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选修4-4坐标系与参数方程2016高考复习


选修 4-4:坐标系与参数方程
1. 极坐标系 ①极坐标是用“距离”与“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式。 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素,缺一不可。 规定:当点 M 在极点时,它的极坐标 ? ? 0,? 可以取任意值。 ② 平面直角坐标与极坐标的区别: 在平面直角坐标系内,点与有序实数对(x,y)是一一对应的,可是在极坐标系中,虽然一

个有序实数对 ( ? ,? ) 只 能与一个点 P 对应,但一个点 P 却可以与无数多个有序实数对对应 ( ? ,? ) ,极坐标系中的点与有序实数对极坐标

( ? ,? ) 不是一一对应的。 ③ 极坐标系中,点 M ( ? ,? ) 的极坐标统一表达式 ( ? ,2k? ? ? ), k ? Z 。 ④ 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示,同时,极坐标 ( ? ,? ) 表示
的点也是唯一确定的。 【例 1】在极坐标系中,描出点 M ( 2,

?
3

) ,并写出点 M 的统一极坐标。

2.极坐标与直角坐标的互化: (1)互化的前提: ① 极点与直角坐标的原点重合;② 极轴与 x 轴的正方向重合;③ 两种坐标系中取相同的长度单位。

? ? 2 ? x2 ? y2 ? y ? t an ? ? ,x ? 0 ? x ? 注:极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘 ? ,使之出现 ? 2 是常用的方法. 【例 2】极坐标方程 ? ? cos ? 化为直角坐标方程为 ( ) 1 2 1 1 1 1 1 2 A. ( x ? ) ? y ? B. x2 +(y+ )2 = C. x2 +(y ? )2 = 2 4 2 4 2 4

? x ? ? cos? (2)互化公式 ? , ? y ? ? sin ?

D. (x ?

1 2 2 1 ) +y = 2 4

【例 3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线. (1) ? ? sin ? ? 2 cos? (2) ? ?

2 cos ? sin 2 ?

3. 简单曲线的极坐标方程 1 极坐标方程的定义: 在极坐标系中,如果平面曲线 C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程 f ( ? ,? ) ? 0 ,并且坐标适合方程

f ( ? ,? ) ? 0 的点都在曲线 C 上,那么方程 f ( ? ,? ) ? 0 叫做曲线 C 的极坐标方程。(由于 ?与? 都有明确的几何特
征,有些曲线所蕴含的运动规律用极坐标方程表示更简洁) ①圆心在( a ,0) (a ? 0) 半径为 a 的圆的极坐标方程为:
M

M θ

θ C(a,0) x

O

x

②以极点为圆心半径等于 r 的圆的极坐标方程为 : ③(1)过极点,极角为

( ? 是定值, ? 是任意的)

? 的射线 OM 的极坐标方程: 4 5? (2)过极点,极角为 的射线 OM ? 的极坐标方程: 4
θ=

l

π 4

x

-1-

? 直线 l 极坐标议程可以用 ? ?

? 5? 和? ? 表示 4 4

极坐标系里的直线表示起来很不方便,要用两条射线组合而成。原因在哪? 为了弥补这个不足,可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为: 【例 4】极坐标方程 ( ? ? 1) ( ? ? ? )=0( ? ? 0)表示的图形是( ) (A)两个圆 (B)两条直线 (C)一个圆和一条射线 (D)一条直线和一条射线 【例 5】①过极点且关于极轴的倾斜角是 ②过点 (2,

) 且与极轴垂直的直线方程为( ) 3 A. ? ? ?4 cos? B. ? cos ? ? 1 ? 0 C. ? sin ? ? ? 3 ) 且与平行于极轴的直线的极坐标方程是( ) 3 A. ? sin ? ? 1 B. ? cos ? ? 1 C. ? sin ? ? 3

?

? 的直线的极坐标方程是___________ 3

D.

? ? ? 3sin ?

③过点 (2,

?

D.

? cos? ? 3

④过点 (2, ) 且与极轴所成的角为 ? 的直线的极坐标方程是

?

3

4.参数方程:参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程,是曲线在同一坐标系下的又一种表示形 式.参数方程实际上是一个方程组,其中 x , y 分别为曲线上点 M 的横坐标和纵坐标。 ①定义:一般地,在直角坐标系中,一动点的坐标 x 和 y 同时可以独立地表示成第三个变量 t 的函数。即

且满足(1)对于[a,b]中的任何一个 t1,则①得到的(x1,y1)点都在曲线 C 上;(2)曲线上的任意一点 P(x0,y0)的 坐标 x0,y0 通过①在[a,b]上可求得一个 t. 那么上述方程叫曲线 C 的参数方程。相对参数方程而言,过去的方程就叫做曲线 C 的直角坐标方程,简称普通 方程。 ②直线的参数方程 问题:已知一条直线过点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? , 求这条直线的方程. 解:直线的普通方程为 y ? y0 ? tan? ( x ? x0 )

sin ? ( x ? x0 ) cos ? y ? y 0 x ? x0 ?x=x0 ? t cos ? ? 进一步整理 整理,得到 ? (t是参数) sin ? cos? ? y ? y0 ? t sin ? y ? y 0 x ? x0 ? ?t 令该比例的比值为 t ,即 sin ? cos? 【问题】 :已知一条直线过点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? , 求这条直线的方程.
把它变形成 y ? y 0 ? 解:在直线上任取一点 M(x,y),则

M 0 M ? ( x, y) ? ( x0 , y0 ) ? ( x ? x0 , y ? y0 )
设 e 是直线 l 的单位方向向量,则

e ? (cos? , sin ? ),? ? ?0, ? ?

y

因为 M 0 M // e, 所以存在实数 t ? R, 使 M 0 M // t e, 即

M(x,y) M0

M 0 M ? ( x ? x0 , y ? y0 ) ? t (cos? , sin ? ) 于是 x ? x0 ? t cos? , y ? y0 ? t sin ? 即 x ? x0 ? t cos? , y ? y0 ? t sin ?
过点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? , 的直线 l 的参数方程为 ?

x

? x ? x0 ? t cos? (t为参数) y ? y ? t sin ? 0 ?
-2-

③参数 t 的几何意义? M 0 M // t e, e ? 1? M 0 M ? t 所以,直线参数方程中参数 t 的绝对值等于直线上动点 M 到定点 M 0 的距离. ④利用直线参数方程中参数 t 的几何意义,简化求直线上两点间的距离.

? x ? x0 ? a ? t (t为参数) t ? M 0 M ,只有 a 2 ? b 2 ? 1 时, t 才具有此几何意义。 ? ? y ? y0 ? b ? t
⑤【结论】

直线与曲线y ? f ( x)交于M 1 , M 2两点,对应的参数 分别为t1 , t2 . (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少?

(1) M1M 2 ? t1 ? t2 (2)t ?

t1 ? t2 (2)线段M 1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少? 2 ? 3 x ? 6? t ? ? 2 (t为参数); 【例 6】在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 在以 O 为极点, x 轴的正半 ?y ? 1 t ? 2 ? 轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 10 cos? ,曲线 C1 与 C 2 交于 A, B 两点,求 AB .

t ? 2, ?x ? ? x ? cos ?, 2 【例 7】 (08 新课标卷)已知曲线 C1: ? ( ? 为参数) ,曲线 C2: ? (t 为参数) . ? ? y ? sin ? 2 ? y? t ? ? 2
(Ⅰ )指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (Ⅱ )若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1?,C2? .写出 C1?,C2? 的参数方程.C1? 与

?

2

C 2? 公共点的个数和 C 1 与C2 公共点的个数是否相同?说明你的理由.

【例 8】 (09 新课标卷)已知曲线 C 1 : ?

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数) , C2 :? ( ? 为参数) 。 ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ?

? ,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 2

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

-3-

【例 9】 (10 新课标卷)已知直线 C1 ? (Ⅰ )当 ? =

(Ⅱ )过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨迹的参数方程,并指出它是 什么曲线。

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

?x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos ? (t 为参数) ,C2 ? ( ? 为参数) ? y ? t sin ? ? y ? sin ?

【例 10】 (11 新课标卷)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ )求 C2 的方程 (Ⅱ )在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 于极点的交点为 B,求 AB .

? x ? 2cos ? ( ? 为参数)M 是 C1 上的动 ? y ? 2 ? 2sin ?

?
3

与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异

【例 11】 【2012 省联考题】在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C

? 3 x ? ?2 ? t ? ? 2 (t为参数); 的方程为 ? ? 4 cos? ,直线 l 的方程为 ? 直线 l 与曲线 C 的公共点为 T 。 1 ?y ? t ? 2 ? (1) 求点 T 的极坐标; (2) 过点 T 作直线 l ? , l ? 被曲线 C 截得的线段长为 2,求直线 l ? 的极坐标方程。

【例 12】在直角坐标系 ? O? 中。直线 C1 :

? = ? 2,圆 C2 : ? ? ? 1? ? ? ? ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点,
2 2

? 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求 C1 , C2 的极坐标方程; (2)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 求 C2 MN 的面积

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N

,

-4-


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