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2013高考数学(理)一轮复习教案:第八篇


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2013 年高考预测

空间点、直线、平面之间的位置关系

1.本讲以考查点、线、面的位置关系为主,同时考查逻辑推理能力与空间想象能力. 2.有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 【复习指导】 1.掌握平面的基本性质,在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位 置关系及等角定理. 2.异面直线的判定与证明是本部分的难点,定义的理解与运用是关键. 基础梳理 1.平面的基本性质 (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. (2)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. (3)公理 3:如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所 有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 推论 1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类

?共面直线?平行 ? ? ?相交 ? ?异面直线:不同在任何一个平面内 ?
(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′ 所成的锐角或直角叫做异面直线 a,b 所成的角(或夹角). π? ? ②范围:?0,2?. ? ? 3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
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6.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

两种方法 异面直线的判定方法: (1)判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 三个作用 (1)公理 1 的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;③由直线在平面内判断直线上的点在 平面内. (2)公理 2 的作用:公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法. (3)公理 3 的作用:①判定两平面相交;②作两平面相交的交线;③证明多点共线. 考向一 平面的基本性质

【例 1】?正方体 ABCDA1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点,那么,正方体 的过 P、Q、R 的截面图形是( A.三角形 答案 D 画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交线,此交线只需两个公共点即可 确定.作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件,可以更快的确定交线的位置. 【训练 1】 下列如图所示是正方体和正四面体,P、Q、R、S 分别是所在棱的中点,则四个 点共面的图形是________. B.四边形 ). C.五边形 D.六边形

答案

①②③ 考向二 异面直线

【例 2】?如图所示,

正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由;
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(2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由. 【训练 2】 在下图中,G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).

解析

如题干图(1)中,直线 GH∥MN;

图(2)中,G、H、N 三点共面,但 M?面 GHN,因此直线 GH 与 MN 异面; 图(3)中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面; 图(4)中,G、M、N 共面,但 H?面 GMN, ∴GH 与 MN 异面.所以图(2)、(4)中 GH 与 MN 异面. 答案 (2)(4) 考向三 异面直线所成的角

【例 3】?(2011· 宁波调研)正方体 ABCDA1B1C1D1 中. (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E、F 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小. 考向四 【例 4】?正方体 点共线、点共面、线共点的证明

ABCDA1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点. [审题视点] (1)由 EF∥CD1 可得; (2)先证 CE 与 D1F 相交于 P,再证 P∈AD. 证明 (1)如图,连接 EF,CD1,A1B.

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∵E、F 分别是 AB、AA1 的中点, ∴EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F 四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 则由 P∈CE,CE?平面 ABCD, 得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA,∴CE、D1F、DA 三线共点. 常见错误——点、直线、平面位置关系考虑不全致误

【问题诊断】 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑,这与在平面上考虑点、线 的位置关系相比复杂了很多,特别是当直线和平面的个数较多时,各种位置关系错综复杂、 相互交织,如果考虑不全面就会导致一些错误的判断. 【防范措施】 借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析. 【示例】?(2011· 四川)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 ( A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 错因 实录 受平面几何知识限制,未能全面考虑空间中的情况. 甲同学:A 乙同学:C ).

丙同学:D.
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正解

在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故 A 错;两平行线中的一条垂直

于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,B 正确;相互平行的三条直 线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故 C 错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三 条侧棱,故 D 错. 答案 B

【试一试】 (2010· 江西)

过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l,使 l 与棱 AB,AD,AA1 所成的角都相等,这样 的直线 l 可以作( A.1 条 C.3 条 [尝试解答] ). B.2 条 D.4 条 如图,连结体对角线 AC1,显然 AC1 与棱 AB、AD,AA1 所成的角都相等,所成

角的正切值都为 2.联想正方体的

其他体对角线,如连结 BD1,则 BD1 与棱 BC、BA、BB1 所成的角都相等, ∵BB1∥AA1,BC∥AD, ∴体对角线 BD1 与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等,同理,体对角线 A1C、DB1 也与棱 AB、 AD、AA1 所成的角都相等,过 A 点分别作 BD1、A1C、DB1 的平行线都满足题意,故这样的直 线 l 可以作 4 条. 答案 D

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