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2012年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷(数学理)解析版


绝密★考试结束前

2012 年普通高等学校招生全国同一考试(浙江卷) 数 学(理科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 5 页,选择题部分 1 至 3 页,非选择题 部分 4 至 5 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 选择题部分(共 50 分) 注意事项: 1.答题前,考生务

必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填 写在试卷和答题纸规定的位置上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么
P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?

柱体的体积公式
V ? Sh

如果事件 A,B 相互独立,那么 示柱体的高
P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?

其中 S 表示柱体的底面积,h 表

锥体的体积公式
1 V ? Sh 3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 示锥体的高
k Pn ? k ? ? Cn p k ?1 ? p ? n?k

其中 S 表示锥体的底面积,h 表

, ? k ? 0,1, 2,?, n ?

球的表面积公式
S ? 4πR 2

台体的体积公式
1 V ? h S1 ? S1S2 ? S2 3

?

?

球的体积公式

其中 S1 , S2 分别表示台体的上底、下底面积, h 表示台体的高

V?

4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|1<x<4},B={x|x 2-2x-3≤0},则 A∩( C RB)= A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)

【解析】A=(1,4),B=(-3,1),则 A∩( C RB)=(1,4). 【答案】A

2.已知 i 是虚数单位,则 A.1-2i 【解析】

3+i = 1? i

B.2-i

C.2+i

D.1+2i

? 3 + i ??1+ i ? 2 + 4i 3+i = = =1+2i. 2 1? i 2

【答案】D

3.设 a ? R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行” 的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】当 a=1 时,直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 显然平行;若直线 l1 与直线 l2 平行,则有: 【答案】A
a 2 ,解之得:a=1 or a=﹣2.所以为充分不必要条件. ? 1 a ?1

4.把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向 左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

【解析】把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) 得:y1=cosx+1,向左平移 1 个单位长度得:y2=cos(x—1)+1,再向下平移 1 个单位长度 得:y3=cos(x—1).令 x=0,得:y3>0;x= 【答案】B 5.设 a,b 是两个非零向量. A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 a=λb D.若存在实数 λ,使得 a=λb,则|a+b|=|a|-|b| 【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则 a,b 共线,即存在 实 数 λ,使得 a=λb.如选项 A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b 可为异向的共线向量;选项 B:若 a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项 D:若存在实数 λ,使得 a=λb,a,b 可为 同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立. 【答案】C

?
2

? 1 ,得:y3=0;观察即得答案.

6.若从 1,2,2,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法 共有

A.60 种

B.63 种

C.65 种

D.66 种

【解析】1,2,2,?,9 这 9 个整数中有 5 个奇数,4 个偶数.要想同时取 4 个不同 的数其和为偶数,则取法有: 4 个都是偶数:1 种;
2 2 个偶数,2 个奇数: C52C4 ? 60 种;

4 个都是奇数: C54 ? 5 种. ∴不同的取法共有 66 种. 【答案】D

7.设 S n 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前 n 项和,则下列命题错误的是 .. A.若 d<0,则数列{S n}有最大项 B.若数列{S n}有最大项,则 d<0 C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的 n ? N*,均有 S n>0 D.若对任意的 n ? N*,均有 S n>0,则数列{S n}是递增数列 【解析】选项 C 显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,?.满足数列{S n}是递增 数列,但是 S n>0 不成立. 【答案】C

8.如图,F1,F2 分别是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)的左右焦点,B 是虚轴的端点,直 a 2 b2

线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P, 两点, Q 线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M. 若 |MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 A.
2 3 3

B.

6 2

C. 2

D. 3

b b 【解析】如图:|OB|=b,|O F1|=c.∴kPQ= ,kMN=﹣ . c c

b ? ? y= c ( x+c ) b b ac bc ? 直线 PQ 为:y= (x+c),两条渐近线为:y= x.由 ? ,得:Q( , ); a c?a c?a c ? y= b x ? a ? b ? ? y= c ( x+c ) ? ac bc bc b ? ac ? 由? ,得:P( , ).∴直线 MN 为:y- =﹣ (x- ), c?a c?a c?a c c?a ? y=- b x ? a ?

令 y=0 得: M= x 即 e=
6 . 2

c3 c3 c2 3 . 又∵|MF2|=|F1F2|=2c, ∴3c=xM= 2 , 解之得:e2 ? a ? , 2 c2 ? a2 c ? a2 a

【答案】B

9.设 a>0,b>0. A.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b B.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a<b C.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b D.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a<b 【解析】若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,必有 2a ? 2a ? 2b ? 2b .构造函数: f ? x ? ? 2x ? 2 x ,则
f ? ? x ? ? 2 x ? ln 2? 2? 0 恒成立, 故有函数 f ? x ? ? 2x ? 2 x 在 x>0 上单调递增, a>b 成立. 即 其

余选项用同样方法排除. 【答案】A

10.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 .将 ? ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻 着,在翻着过程中, A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三直线“AC 与 BD”“AB 与 CD”“AD 与 BC”均不垂直 , ,

【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即 可知选项 C 是正确的. 【答案】C

绝密★考试结束前 2012 年普通高等学校招生全国同一考试(浙江卷) 数 学(理科)

非选择题部分(共 100 分) 注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描 黑. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三 棱锥的体积等于___________cm3. 【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形,右侧面也是一直角三角形.故体积等于
1 1 ? 3 ? 1? 2 ? ? 1 . 2 3

【答案】1

12.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 ______________. 【解析】T,i 关系如下图: T i 【答案】 1 2
1 120 1 2 1 6 1 24 1 120

3

4

5

6

13.设公比为 q(q>0)的等比数列{a n}的前 n 项和为{S n}.若
S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 ,则 q=______________.

【解析】将 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 两个式子全部转化成用 a1 ,q 表示的式子. 即?
? a1 ? a1q ? 3a1q ? 2 , 两式作差得:a1q 2 ? a1q3 ? 3a1q(q 2 ? 1) , 即:2q 2 ? q ? 3 ? 0 , 2 3 3 ? a1 ? a1q ? a1q ? a1q ? 3a1q ? 2

解之得: q ?

3 or q ? ?1 (舍去). 2

【答案】

3 2

14.若将函数 f ? x ? ? x5 表示为
f ? x ? ? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ? ? ? a5 ?1 ? x ?
2 5

其中 a0 , a1 , a2 ,?, a5 为实数,则 a3 =______________. 【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.
? a5 ? 1 ? 即: ?C54 a5 ? a4 ? 0 ? a3 ? 10 . ?C 3 a ? C1 a ? a ? 0 4 4 3 ? 5 5

法二: 对等式: f ? x ? ? x5 ? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ? ? ? a5 ?1 ? x ? 两边连续对 x 求导三次得:
2 5

60 x2 ? 6a3 ? 24a4 (1 ? x) ? 60a5 (1 ? x)2 ,再运用赋值法,令 x ? ?1 得: 60 ? 6a3 ,即 a3 ? 10 .

【答案】10

15.在 ? ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB ? AC =______________. 【解析】此题最适合的方法是特例法. 假设 ? ABC 是以 AB=AC 的等腰三角形,如图, AM=3,BC=10,AB=AC= 34 . cos∠BAC=
??? ???? ? ? 34 ? 34 ? 10 29 ??? ???? . AB ? AC = AB ? AC cos ?BAC ? 29 ? 2 ? 34 34

??? ???? ?

【答案】29

16.定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l:y=x 的距离等于 C2:x 2+(y+4) 2 =2 到直线 l:y=x 的距离, 则实数 a=______________. 【解析】C2 :x 2 +(y+4)
d? 0 ? (?4) 2
2

=2,圆心(0,—4),圆心到直线 l:y=x 的距离为:

? 2 2 ,故曲线 C2 到直线 l:y=x 的距离为 d ? ? d ? r ? d ? 2 ? 2 .

另一方面:曲线 C1:y=x 2+a,令 y? ? 2x ? 0 ,得: x ?

1 ,曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l: 2

1 1 1 ? ( ? a) ?a 1 1 2 4 4 y=x 的距离的点为( , ? a ), d ? ? 2 ? ? 2 4 2 2

?

a?

7 . 4

【答案】

7 4

17.设 a ? R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1]( x 2-ax-1)≥0,则 a=______________. 【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况: (A) ? (B) ?
? (a-1) x-1 ? 0 , 无解; 2 ? x -ax-1 ? 0

? (a-1) x-1 ? 0 , 无解. 2 ? x -ax-1 ? 0

因为受到经验的影响, 会认为本题可能是错题或者解不出本题. 其实在 x>0 的整个区间 上, 我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?), 在各自的区间内恒正或恒负. (如下答图) 我们知道:函数 y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1 都过定点 P(0,1). 考查函数 y1=(a-1)x-1:令 y=0,得 M( 考查函数 y2=x 2-ax-1:显然过点 M(
1 ,0),还可分析得:a>1; a ?1
2

a 1 ? 1 ? ,0),代入得: ? ? 1 ? 0 ,解之 ? ? a ?1? a ?1 a ?1 ?

得: a ? ? 2 ,舍去 a ? ? 2 ,得答案: a ? 2 .

【答案】 a ? 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 18.(本小题满分 14 分)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= , 3

sinB= 5 cosC. (Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积. 【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点。
5 2 (Ⅰ)∵cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos2 A ? , 3 3

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA =
5 2 cosC+ sinC. 3 3

整理得:tanC= 5 . (Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC= 又由正弦定理知: 故 c ? 3 . (1) 对角 A 运用余弦定理:cosA= 解(1) (2)得: b ? 3 or b= ∴ ? ABC 的面积为:S= 【答案】(Ⅰ)
5 ;(Ⅱ)
5 . 6

a c , ? sin A sin C

b2 ? c 2 ? a 2 2 ? . (2) 2bc 3

3 (舍去). 3

5 . 2

5 . 2

19.(本小题满分 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2 分,取出一个黑球 的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分 数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X). 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点。 (Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.
P( X ? 3) ? P( X ? 5) ?
3 C5 5 ? ; 3 C9 42

P( X ? 4) ?

1 C52 C4 20 ? ; 3 42 C9 3 C4 2 ? . 3 C9 42

1 2 C5C4 15 ? ; 3 42 C9

P( X ? 6) ?

故,所求 X 的分布列为 X P 3
5 42

4
20 10 ? 42 21

5
15 5 ? 42 14

6
2 1 ? 42 21

(Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为: E(X)= ? i ? P( X ? i) ?
i?4 6

91 . 21

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)

91 . 21

20.(本小题满分 15 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形,且∠BAD=120° ,且 PA ⊥平面 ABCD,PA= 2 6 ,M,N 分别为 PB,PD 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 ABCD; (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值. 【解析】本题主要考察线面平行的证明方法,建系求二面角等知识点。 (Ⅰ)如图连接 BD. ∵M,N 分别为 PB,PD 的中点, ∴在 ? PBD 中,MN∥BD. 又 MN ? 平面 ABCD, ∴MN∥平面 ABCD; (Ⅱ)如图建系: A(0,0,0),P(0,0, 2 6 ),M( ? N( 3 ,0,0),C( 3 ,3,0).
CP ? 2 设 Q(x,y,z),则 CQ ? ( x ? 3,y ? 3,z ), ? (? 3, 3, 6) . ? 2 3 2 ∵ CQ ? ? CP ? (? 3?, 3?, 6? ) ,∴ Q( 3 ? 3?, ? 3?, 6? ) . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

3 3 , ,0), 2 2

???? ??? ? 2 3 2 6 1 ? OQ ? CP ? 0 ,得: ? ? . 即: Q( ,2, ). 3 3 3 ? 对于平面 AMN:设其法向量为 n ? (a,b,c) .

由 OQ ? CP

????

??? ?

∵ AM ? (?

???? ?

???? 3 3 , ,0),AN =( 3,0,0) . 2 2

???? ? ? ? AM ? n ? 0 ? 则 ? ???? ? ? AN ? n ? 0 ?

? 3 3 a? b? 0 ?? ? ? 2 2 ? 3a ? 0 ?

?

? 3 ?a ? 3 ? 1 ? . ?b ? 3 ? ?c ? 0 ? ?

? 3 1 ∴ n ? ( , ,0) . 3 3

同理对于平面 AMN 得其法向量为 v ? ( 3,,? 6) . 1 记所求二面角 A—MN—Q 的平面角大小为 ? ,
? ? n?v 10 则 cos ? ? ? ? ? . 5 n?v

?

∴所求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值为 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
10 . 5

10 . 5

21.(本小题满分 15 分)如图,椭圆 C:

x2 y 2 + ? 1 (a>b>0) a 2 b2

的离心率为 的直线 l 与

1 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10 .不过原点 O 2

C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程. 【解析】 (Ⅰ)由题: e ?
c 1 ? ; (1) a 2

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d ? (2 ? c) 2 ? 12 ? 10 . (2) 由(1) (2)可解得: a2 ? 4,b2 ? 3,c2 ? 1 . ∴所求椭圆 C 的方程为:
x2 y 2 + ?1. 4 3

1 1 (Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0. 2 2

∵A,B 在椭圆上,
? xA2 y A2 + ?1 ? ? ∴ ? 42 32 ? xB + yB ? 1 ? 4 3 ? y A ? yB 3 xA ? xB 3 2 x0 3 ?? ?? ?? . xA ? xB 4 y A ? yB 4 2 y0 2

? k AB ?

3 设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ x ? m (m≠0), 2

? x2 y2 ?1 ? + ? 代入椭圆: ? 4 3 ? y=- 3 x ? m ? ? 2

?

3 x 2 ? 3mx ? m 2 ? 3 ? 0 .

显然 ? ? (3m)2 ? 4 ? 3(m2 ? 3) ? 3(12 ? m2 ) ? 0 . ∴﹣ 12 <m< 12 且 m≠0. 由上又有: xA ? xB =m, yA ? yB = ∴|AB|= 1 ? k AB | xA ? xB |= 1 ? k AB ∵点 P(2,1)到直线 l 的距离为: d ?
m2 ? 3 . 3
( x A ? xB ) 2 ? 4 x A xB = 1 ? k AB

4?

m2 . 3

?3 ? 1 ? m 1 ? k AB

?

m? 2 1 ? k AB



m2 1 1 ∴S ? ABP= d|AB|= |m+2| 4 ? , 3 2 2

当|m+2|= 4 ?

m2 ,即 m=﹣3 3

1 or m=0(舍去)时,(S ? ABP)max= . 2

3 1 此时直线 l 的方程 y=﹣ x ? . 2 2

【答案】 (Ⅰ)

3 1 x2 y 2 + ? 1 ;(Ⅱ) y=﹣ x ? . 4 3 2 2

21.(本小题满分 14 分)已知 a>0,b ? R,函数 f ? x ? ? 4ax3 ? 2bx ? a ? b . (Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ)函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0; (Ⅱ) 若﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围. 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力。 (Ⅰ) (ⅰ) f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b . 当 b≤0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b >0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 f ? x ? 的最大值为: f ?1? ? 4a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b>0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断, 此时 f ? x ? 的最大值为:

?b ? a,b ? 2a =|2a-b|﹢a; f max ? x ? ? max{ f (0),() ? max{(b ? a),(3a ? b) ? ? f 1} } b ?3a ? b, ? 2a

综上所述:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) 要证 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0,即证 g ? x ? =﹣ f ? x ? ≤|2a-b|﹢a. 亦即证 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a, ∵ g ? x ? ? ?4ax3 ? 2bx ? a ? b ,∴令 g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b ? 0 ? x ? 当 b≤0 时, g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b <0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 g ? x ? 的最大值为: g ? 0 ? ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b<0 时, g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,
g max ? x ? ? max{g ( b ),() g 1} 6a b . 6a

4 b ? max{ b ? a ? b,b ? 2a} 3 6a ?4 b b ? a ? b, ? 6a ? b ? ? 3 6a b ? 6a ?b ? 2a, ?

≤|2a-b|﹢a; 综上所述:函数 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a. 即 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ∵﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立, ∴|2a-b|﹢a≤1. 取 b 为纵轴,a 为横轴. 则可行域为: ? 作图如下: 由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 zmax ? 3 . ∴所求 a+b 的取值范围为: ? ??,3? .
? b ? 2a ? b ? 2a 和? ,目标函数为 z=a+b. b ? a ? 1 ?3a ? b ? 1 ?

【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ)

? ??,3? .


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