当前位置:首页 >> 数学 >>

集合与函数的概念复习


第一章 章末归纳总结 集合

知识结构 列举法 含义与表示

描述法
集合

包含
基本关系 相等 并集 基本运算

交集
补集

集合的含义与表示

1.元素:一般地,我们把 研究对象 统称为元素,通常 用 小写拉丁字母a,b

,c … 表示. 2.集合:把一些元素组成的 总体 叫做集合(简称为集) ,通常用 大写拉丁字母A,B,C表示 … .

3.集合中元素的特征: 确定性、互异性、无序性 . 4.集合相等:只要构成两个集合的元素是 一样的 ,我们 就称这两个集合是 相等的 . 5.元素与集合的关系: a属于集合A,记作a∈ A / A a不属于集合A,记作a ∈

集合中元素的特性及其应用
? 例1:若一个集合中含有三个元素0,

x?+2x, x+2。求x满足的条件。(p2)

注意元素的互异性

【例2】已知 1?{a ? 2,(a ? 1)2 , a 2 ? 3a ? 3},求实数a的值.
2 解:由题意 a ? 2 ?1 ,或(a ? 1 ) ? 1, 或a 2 ? 3a ? 3 ? 1

解得a ? ?1, 或a ? ?2, 或a ? 0
当a ? ?1时,a ? 2 ? a 2 ? 3a ? 3,不符合元素的 互异性,故 a ? ?1.
同理a ? ?1. 故a ? 0.
总结:集合中的元素具有确定性,互异性,无序性,在 解含有参数的集合的问题时,要注意解题后的代入检验.

6.常用数集及表示符号

自然数集(非负整数集):记作 N 正整数集:记作 N * 或 N + 整数集:记作 Z
有理数集:记作 Q 实数集:记作 R

(二)集合的表示
1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,并放在{ } 内 2、描述法:用文字或公式等描述出元素的 共同特征,并 放在{x| }内 3.图示法:Venn图 4.自然语言

?例3:若方程ax?+bx+1=0的解

集与集合A中的元素为1、2,求 a,b的值。(p4)

二、集合间的基本关系
1.子集: 对于两个集合A,B如果集合A中的任何一个元素 都是集合B的元素,我们称A为B的子集. 记作: A ? B 或 B ? A

如果集合A ? B,但存在元素 x ? B,且x ? A, 2.真子 集: 集合A是集合B的真子集 . 记作: A ? ?B
3.集合相等: A ? B且B ? A ? A ? B

4.空集:规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的 真子集

5.若集合中元素有n个,则其子集个数为 2n 真子集个数为 2n-1 非空真子集个数为 2n-2

【例4】已知A ? {x | ?2 ? x ? 5}, B ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1}, B ? A, 求实数a的取值范围 .

解: ? ? ? A, ?当B ? ?,有a ? 1 ? 2a ? 1, 即a ? 2 ?2 a ? 1 ? a ? 1 ? 当B ? ?时,有?a ? 1 ? -2 ?2 a ? 1 ? 5 ? ?2 ? a ? 3 综上所述,a的取值范围a ? 3.

三、集合的并集、交集、全集、补集

1、A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 2、A ? B ? {x | x ? A且x ? B}

A

B

3、CU A ? {x | x ?U且x ? A}
并集、交集的性质: (1)A∪A= A (2)A∩A= A

? (3)A∩?=?∩A= (4)A∪?=?∪A= A (5)(A∩B) ? (A∪B) (6)A ? (A∪B),B ? (A∪B)

全集:某集

合含有我们所 (7)A∩B=A? A?B;A∪B=A? B?A . 研究的各个集 合的全部元素, (8)A∪B = B∪A,A∩B = B∩A. 用U表示

补集的性质: A∪(?UA)= U ;A∩(?UA)= ? ;?U(?UA)= A ; ?U(A∩B)= (?UA)∪(?UB) ; ?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB) .

3.注意空集的特殊性
【例3】已知集合A ? { x | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0,a ? R}至多有一个 真子集,求a的取值范围 . 解:若A ? ? , 则集合A无真子集,这时关于 x的方程

ax ? 2 x ? 1 ? 0无实数解,则a ? 0, 且? ? 4 - 4a ? 0
2

解得a ? 0. 若集合A恰有一个真子集,这时 集合A中仅有一个元素
1 可分两种情况: ( 1 )a ? 0时,方程为 2 x ? 1 ? 0, x ? ? 2 (2)a ? 0时,则? ? 4 - 4a ? 0, a ? 1

综上,当集合 A至多有一个真子集时, 实数a的取值 范围为 {a | a ? 1,或a ? 0}

题型 集合实际应用 例6:向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结 果:赞成A的人数是30,其余的不赞成,赞成B的人数是 33,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学生比对 A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成 的学生和都不赞成的学生各多少人? 分析:画出韦恩图,形象地表示出各数量关系的联系

解:

赞成 A的人数为30,赞成B的人数为33,如上图,记50名 学生组成的集合为 ? ,赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的 学生全体为集合B. 设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生 x 人数为 +1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数 3 x 为33-x. 依题意(30-x)+(33-x)+x+( +1)=50,解得x=21 3 所以对A、B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人.

方法归纳: 解决这一类问题一般借用数形结合,借助于
Venn 图,把抽象的数学语言与直观的图形结合 起来

函数的概念: 设A,B是非空的 数集 ,如果按照某种确定的对应关 系f,使对于集合A中的 任意一个数 ,在集合B中都有 x f :A? B 为 唯一确定的数f(x) 和它对应,那么就称 从集合A到集合B的一个函数. 记作:y ? f ( x ), x ? A

其中,x叫做 自变量 , x的取值范围 A叫做函数的定义域, 与x相对应的y值叫做 ,函数值的集合 ? f ( x ) x ? A? 叫 函数值 做函数的值域.值域是集合B的子集. (1)函数的三要素: 定义域、对应关系、值域 .

3.函数三种表示法: 解析法;列表法;图象法。

知识探究(二)区间 思考1:设a,b是两个实数,且a<b,介于这两个数之间 的实数x用不等式表示有哪几种可能情况?

a ? x ? b, a ? x ? b, a ? x ? b, a ? x ? b
思考2:将实数集R看成一个大区间,怎样用区间表示实数 集 R?

(-∞,+∞)

我们可以把满足 x ? a, x 的实数x的集合分别表示为

? a, x ? a, x ? a

[a,+∞),(a,+∞), (-∞,a],(-∞,a).

上述知识内容总结成下表: 定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} 名称 闭区间 符号 [ a, b ] 数轴表示 a

b

开区间
半开半闭 区间 半开半闭 区间

( a, b )
[ a, b ) ( a, b ]

a a a

b b b

{x|a<x≤b}

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.

例题讲解
例1 判断下列对应是否为从集合A到集合B的函数 (1) A=R,B=(0,+?),x ? A,对应法则f:x ? |x|

(2) A ? R, B ? { y | y ? R且y ? 1}, x ? A, 对应法则f:x ? y=x2 ? 2 x ? 2
解:(1)不是函数.因为集合A中的元素0,在集合B中没有元素与之对应.

(2)是函数.满足函数的概念.
例2 函数f(x)=-x 2 ? 6 x ? 9在区间[a , b](a ? b ? 3)有最大值9, 最小值 ? 7, 求 a , b的值.
解:对称轴x=3

注意 : 开口方向,对称轴的位置

?函数f ( x )在[a, b]上是增函数
? ? a 2 ? 6a ? 9 ? ?7 ? 2 ? ? ? b ? 6b ? 9 ? 9 ?a ? b ?
? a ? ?2, b ? 0

定义域

1.求函数的定义域应注意:

(1)f(x)是整式,则定义域是R;

(2)f(x)是分式,则分母不为0;

(3)偶次方根的被开方数非负;

(4) 若f(x)= x 0 ,则定义域{x ? R | x ? 0} (5)表格形式给出时,定义域就是表格中数的集合.

?1?

x ? 1? ? y?

0

x ?x

? 2? y ?

x ?1 ? 1 ? x

求值域的方法

例1 求y ? ax ? bx ? c(a ? 0, x ? R)的值域.
2

解:配方法 b 2 y ? a( x ? x) ? c a b b 2 b2 ? a[ x ? x ? ( ) ] ? c ? a 2a 2 4a

b 2 b b 2 4ac ? b 2 ? a( x ? ) ? c ? ? a( x ? ) ? 2a 4a 2a 4a
2 2

4ac ? b 4ac ? b ( 1 )当a ? 0时,y ? ? 值域为{ y | y ? } 4a 4a 4ac ? b 2 4ac ? b 2 ( 1 )当a ? 0时,y ? ? 值域为{ y | y ? } 4a 4a

例3求y ?

x ? 1值域.

解:

由题知定义域为x ? 0 ? x ? 0 ? y ? 1
所以值域为{ y | y ? 1}

观察法通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的 值域,求出函数的值域.

练一练y ? 9 ? x 解: 由 x 2 ? 0及9 ? x 2 ? 0知
2

9 - x 2 ? [0,3] 故所求的值域为[0,3]

x 例4求f ( x ) ? 的值域. x ?1
x ?1?1 1 解: f ( x) ? ? 1? x ?1

1 ?0 定义域为x ? ?1 ? x ?1 所以值域为{ y | y ? R, 且y ? 1}
分离常数法

x ?1

1 ?1 ?1 x ?1

cx ? b c 形如y ? 的形式的值域为{ y ? R | y ? } ax ? b a

x ?1 ( x ? ?1)的值域 例7 求函数 y ? x?2

解 :

反表示法
2 y ?1 x ?1 得x ? ( y ? 1) 由y ? 解出x, 1? y x?2

y?2 2 y ?1 ?0 而x ? ?1, 所以 ? ?1 即 1? y y ?1

所以 - 2 ? y ? 1 故所求函数的值域[-2, 1 )

例5求y ? ? x ? 2 x ? 3(?5 ? x ? ?2)
2

解:配方,画简图

y ? ?( x ? 1) ? 4
2

3 -5 -2 -1

当x ? ?5时,y ? ?12
当x ? ?2时,y ? 3,由图知

-12

函数的值域为{ y | ?12 ? y ? 3}或[?12,3]

三、函数单调性
定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、 x2,当x1<x2时,都有f(x1) >f(x2) ,那么就说函数在区间 上是减函数。区间D叫做函数的减区间。 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2 当x1<x2时,都有f(x1) < f(x2) ,那么就说函数在区间上是 增函数。区间D叫做函数的增区间。

增函数、减函数、单调函数是对定义域上的某个区间而言的

3.最大(小)值的定义:

设函数y=f(x)定义域为I,如果存在实数M满 足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x) ? M (或 ? ;) (2)存在x0 ∈I,使得f(x0)=M.则称M是函数y=f(x) 的最大(小)值.

例5 画出函数f(x)=3x+2的图像,判断它的单调 性,并加以证明. 解 作出f(x)=3x+2的图像.由图看出,函数的图 在R上是上升的,函数是R上的增函数. y y=3x+2 证明: 任取x1,x2∈R,设 取值 5 x < x , 4 1 2 所以 f(x )-f(x )=(3x +2)-(3x +2)作差
1 2 1 2

=3(x1-x2),
? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0

3

变形

2 1 2 x

O1 定号 判断 下结论

四、函数的奇偶性

1.奇函数:对任意的 x ? I ,都有 f (? x) ? ? f ( x) 2.偶函数:对任意的 x ? I ,都有 f (? x) ? f ( x) 3.奇函数和偶函数的必要条件:
定义域关于原点对称.

注:要判断函数的奇偶性,首先要看其定
义域是否关于原点对称!

奇(偶)函数的一些特征
1.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0. 2.奇函数图像关于原点对称,且在对称的区间上 单调性一致。 3.偶函数图像关于y轴对称,且在对称的区间上单
调性相反。

例题讲解
px 2 ? 2 5 例3 已知函数f ( x ) ? 是奇函数, 且f (2) ? 3x ? q 3 (1)求实数p, q的值. (2)判断函数f ( x )在( ? ? , ?1)上的单调性, 并加以证明.
解:(1)?函数f(x)为奇函数 ? f ( ? x ) ? f ( x ) px 2 ? 2 px 2 ? 2 4p? 2 5 ?q?0 ? ? ? f (2) ? ? ? p?2 ?3 x ? q ?3 x ? q 6 3 2 2x ? 2 (2) f ( x ) ? 3x 设x1 ? x2 ? ?1 则x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 1

x x ?1 2 x 1 2 ? 1 x2 2 ? 1 2 ?0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ? ) ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2 3 x1 x2 3 x1 x2
? f ( x1 ) ? f ( x2 )

即函数f ( x )在( ? ?, ?1)上是增函数.

例题讲解
例4 若函数f ( x )是定义在R上的偶函数,且在(-?,0)上是增函数,并且

f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1), 求实数a的取值范围.
解 :由条件知f(x)在(0,+?)上是减函数
1 8 1 1 而2a 2 ? a ? 1 ? 2(a ? )2 ? ? 0, 3a 2 ? 2a ? 1 ? 3(a ? )2 ? ? 0 4 7 3 3 ?由f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) ? 2a 2 ? a ? 1 ? 3a 2 ? 2a ? 1
? a 2 ? 3a ? 0 ? 0 ? a ? 3

练习
1.下面四组中的函数f ( x )与g( x ), 表示同一个函数的是(C ) B. f ( x ) ? x , g( x ) ? x 2 A. f ( x ) ? x, g( x ) ? ( x )2
C . f ( x ) ? x , g( x ) ?
3

x3

D. f ( x ) ?| x 2 ? 1 |, g( x ) ?| x ? 1 |

2.求函数y ? ax ? 1在[0,2]上的最值.

当a ? 0时, y的最大值为2a ? 1, 最小值为1;当a ? 0时, y的最大值为1, 最小值为2a ? 1 : 当a ? 0时, y ? 1
3.求函数y ? 3 | x ? 1 | 的单调增区间.
[1, ??)

4.若奇函数f ( x )是定义在[?1,1]上的减函数, 且f (1 ? a ) ? f (1 ? a 2 ) ? 0, 1? a ? 2 求a的取值范围.

练习
5.若函数f ( x ) ? ? 求区间[a,b].
解 : (1)若0 ? a ? b 则f ( x )在[a, b]上单调递减 ? f (a ) ? 2b, f (b) ? 2a ? 1 2 13 ? a ? ? 2b ? ? 2 2 ? a ? 1, b ? 3 ? [a , b] ? [1, 3] ?? ? ? 1 b 2 ? 13 ? 2a ? 2 ? 2 (2)若a ? 0 ? b 则f ( x )在[a,0]上单调递增,在[0,b]是单调递减 13 39 ? fmax ? f (0) ? b ? 而f ( b ) ? ? 0, f ( x )min ? 2a ? 0 4 32 13 1 2 13 ? [ a , b ] ? [ ? 2 ? 17, ] ? f ( x )min ? f (a ) ? ? a ? ? 2a ? a ? ?2 ? 17 4 2 2 (3)若a ? b ? 0 则f ( x )在[a, b]上单调递增 ? f (a ) ? 2a, f (b) ? 2b ? 1 2 13 1 2 13 ? a ? ? 2 a ? 方程 x ? 2 x ? ? 0的两根异号 ? ? 2 2 2 2 ?? ? ? 1 b 2 ? 13 ? 2b ? 满足a ? b ? 0的区间不存在. ? 13 2 ? 2 综上, 所求区间为[1, 3]或[?2 ? 17, ]. 4

1 2 13 x ? 在区间[a , b]上的最小值为2a , 最大值为2b, 2 2

练习
7.(1)设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},B={2,3,4}, {0,1, 4} 则(C U A) ? (C U B ) ? ____
2) (2)设集合M ? { x | 0 ? x ? 2}, E ? { x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0}, 则M ? E ? [0, ___ .

8.已知f ( x ? 1)是偶函数, 且x ? 1时, f ( x) ? x 2 ? x, 求x ? 1时, f ( x)的解析式. f ( x) ? x 2 ? 5 x ? 6 x 9.已知f ( x )是定义在(0, ??)上的增函数, 且f ( ) ? f ( x ) ? f ( y ), f (2) ? 1 y 1 解不等式f ( x ) ? f ( ) ? 2. (3, 4] x?3 7 x2 ? 2 x ? a 1 10.已知函数f ( x ) ? , x ? [1, ?? ), 求a ? 时,函数f ( x )的最小值. 2 x 2 11.已知集合A ? { x | x 2 ? 3 x ? 10 ? 0}, B ? { x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1}, 若A ? B ? A,
求实数m的取值范围. [ ?3, 3]

x 12.已知f ( x )是定义在(0, ??)上的增函数, 且f ( ) ? f ( x ) ? f ( y ) y (1)求f (1)的值. 3 1 x ? (2)若f (6) ? 1, 解不等式f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 35 x


相关文章:
高考总复习_集合与函数概念知识点及习题
高考总复习_集合与函数概念知识点及习题_数学_高中教育_教育专区。第一章 集合与函数概念 知识网络集合与函数概念 集合 映射 函数 集合表示法 集合关系 集合...
高中数学必修一集合与函数的概念_复习资料
高中数学必修一集合与函数的概念_复习资料_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第一章 集合与函数概念 必修 1 第一章 集合与函数概念 〖1.1〗集合【1.1.1】...
第一章_集合与函数概念__复习讲义
第一章_集合与函数概念__复习讲义_高二数学_数学_高中教育_教育专区。第一章_集合与函数概念__复习讲义 第一章 集合与函数概念 一、集合基本概念与运算 (一...
第一章集合与函数概念复习题
高一数学必修Ⅰ第一章《集合与函数概念》 高一数学必修Ⅰ第一章《集合与函数概念》期末复习题一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每题有四...
集合与函数的概念单元复习
集合与函数的概念单元复习_数学_高中教育_教育专区。第一章章节复习 1.2.2 函数的表示方法 知识点 1:函数的三种表示方法___、___、___. 三种表示方法的优...
第一章 集合与函数的概念(复习)
第一章 集合与函数的概念(复习)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。京翰一对一 光谷校区 授课教案学员姓名:___ 授课教师:_ 所授科目: 学员年级:___ 上课...
函数与集合概念复习
函数与集合概念复习_数学_高中教育_教育专区。《集合与函数概念》复习学案 一、目标 1、对本章节知识整理归纳,构建知识网络体系; 2、通过复习,进一步掌握本章节的...
高一数学复习教案(集合、函数概念)
高一数学复习教案(集合函数概念)_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修一复习课件(4) ——公式和总练习题一、集合 1、含义与表示: (1)集合中元素的特征:...
学考复习集合与函数的概念
学考复习集合与函数的概念_高二数学_数学_高中教育_教育专区。集合与函数的概念集合与函数的概念一.基础知识回顾 1.基本概念 + (1)常用数集及其记法。 ? ,N,...
高考数学综合复习学案:集合与函数的概念
高考数学综合复习学案:集合与函数的概念_数学_高中教育_教育专区。很好 青草地教育 《集合与函数的概念》学案(限时 90 分钟) ---命题人:肖老师 2014.7.28 【...
更多相关标签: