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2011年新课标版高考题库考点37 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系


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考点 37
一、选择题

圆的方程、 直线与圆、 圆与圆的位置关系

1. (2011· 安徽高考文科· T 4) 若直线 3x ? y ? a ? 0 过圆 x2 ? y 2 ? 2

x ? 4 y ? 0 的圆心, 则 a 的值为 ( ) (A)-1 (B)1 (C)3 (D)-3

【思路点拨】将圆的方程化为标准形式,得到圆心坐标,代入直线方程求出 a . 【精讲精析】选 B. 圆的方程 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 可变形为 (x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ,所以圆心坐标为 (-1,2) ,代入直线方程得 a ? 1 . 2.(2011·江西高考理科·T9)若曲线 C1 : x 2 ? y 2 —2 x =0 与曲线 C 2 : y( y ? mx ? m) ? 0 有四个不同的 交点,则实数 m 的取值范围是 ( (A)( ? )

3 3 , ) 3 3 3 3 , ] 3 3

(B) (?

3 3 ,0)∪(0, ) 3 3 3 3 )∪( ,+∞) 3 3

(C) [ ?

(D)( -∞, ?

【思路点拨】先根据方程 y(y-mx-m)=0,得出 y=0 或 y-mx-m=0,再根据直线与圆的位置关系,易得 m 的取 值范围. 【精讲精析】选 B.

? y(y ? mx ? m) ? 0,? y ? 0或y ? mx ? m ? 0, 当 y ? 0 时,很明显直线y ? 0与圆x 2 ? y 2 ? 2x ? 0有两个不同交点, 当 y ? mx ? m ? 0 时,要使直线与圆有两个不同交点, ? y ? mx ? m ? 0, 需联立 ? 2 2 得:(m 2 ? 1)x 2 ? (2m 2 ? 2)x ? m 2 ? 0, x ? y ? 2x ? 0 , ? 由? ? 0, 得:m ? (? 3 3 3 3 , ), 又m ? 0时,y ? 0, 故m ? 0, 所以m ? (? ,0) ? (0, ). 3 3 3 3

3.(2011·江西高考理科·T10)如图所示,一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁进行逆时针方向滚动,M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点. 那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点 M,N 在大圆内所绘出的图形大致

-1-

是 (



【思路点拨】小圆在滚动的过程中,一直与大圆内切,其直径为大圆的半径,且一直过大圆的圆心,易得 点 M,N 在大圆内所绘出的图形. 【精讲精析】选 A.小圆在滚动的过程中,一直与大圆内切,由于其直径为大圆半径,故小圆在滚动过程中 必过大圆的圆心,所以点 M,N 在大圆内所绘出的图形大致是 A. 二、填空题 4.(2011·江苏高考·T14)设集合 A ? {( x, y ) |

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R} , 2

B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 若 A ? B ? ? , 则实数 m 的取值范围是____________.
【思路点拨】本题考查的是直线与圆的位置关系,解题的关键是找出集合所代表的几何意义,然后结合直 线与圆的位置关系,求得实数 m 的取值范围. 【精讲精析】由 A ? B ? ? 得, A ? ? ,所以 m ?
2

1 m , m ? 或 m ? 0 .当 m ? 0 时, 2 2

2 ? 2m 2

? 2 ? 2m ? ?m ,且

2 ? 2m ? 1 2

?

2 ? 2m ? ?m ,又 2 ? 0 ? 2 ? 2m ? 1 ,所以集合 A 表 2 2 ? 2m 2 ? 2m ? 1 1 时,只要 ? m, 或 ? m, 解得 2 2 2

示的区域和集合 B 表示的区域无公共部分;当 m ?

2 ? 2 ? m ? 2 ? 2 或1 ?
【答案】

2 2 ?1 ? ,所以,实数 m 的取值范围是 ? ,2 ? 2 ? . ? m ? 1? 2 2 ?2 ?

1 ?m? 2?2 2

5.(2011·辽宁高考文科·T13)已知圆 C 经过 A(5,1) ,B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则圆 C 的方 程为___________. 【思路点拨】可设圆心坐标 C ( x,0) ,利用 CA ? CB ,求出圆心和半径,再写出圆的标准方程.
2 【精讲精析】设 C ( x,0) ,由 CA ? CB ,得 (x ? 5) ? 1 ?

(x ? 1) 2 ? 9 ,

2 2 解得 x ? 2 .∴ r ? CA ? 10 , ∴圆 C 的标准方程为 ( x ? 2) ? y ? 10 .

【答案】 ( x ? 2) ? y ? 10
2 2

-2-

三、解答题 6.(2011·新课标全国高考文科·T20)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点 都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 OA ? OB ,求 a 的值. 【思路点拨】第(Ⅰ)问,求出曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1与坐标轴的 3 个交点,然后通过 3 个点的坐标建立方 程或方程组求得圆 C 的方程; 第 ( Ⅱ ) 问 , 设 A( x ) OA ? OB ? OA ? OB ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 , 利 用 直 线 方 程 1, y 1 ) , B (x 2 ,y 2 ,

??? ? ??? ?

x ? y ? a ? 0 与圆的方程联立,化简 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,最后利用待定系数法求得 a 的值.
【精讲精析】 (Ⅰ)曲线 y ? x ? 6 x ? 1与坐标轴的交点为(0,1) (3 ? 2 2,0) ,
2

故可设圆的圆心坐标为(3,t) ,则有 解得 t=1,则圆的半径为 所以圆的方程为 (Ⅱ)设 A(
1

3 ? ? t-1?
2

2

?

?

2 2

?

2

+

t

2

3 ? ?t ?1?
2
2

2

?3.
2

(x- 3) + (y- 1) = 9 .
1 2 2

x , y ) , B( x , y ) 其坐标满足方程组
2 2

x ? y ? a ? 0,

? x?3? ? ? y?1? ? 9,
消去 y 得到方程 2

x

2

? (2a ? 8) x ? a ? 2a ? 1 ? 0 ,

2

由已知可得判别式 ? =56-16a-4

a

2

>0,
2

由韦达定理可得 x ? x ? 4 ? a , x x ? a
1 2

1

2

? 2a ? 1 , 2
1



由 OA ? OB 可得 2

xx ?y y
1 2 1
2

2

? 0. 又 y ?
1

x

? a, y ?
2

x

2

? a ,所以


xx
1

2

? a ( x1 ? x2) ? a ? 0 ,

由①②可得 a=-1,满足 ? >0,故 a=-1.

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