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江苏省泗阳中学高二数学周练四(教师版) -


江苏省泗阳中学高二数学理科班周练(四)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需写出解答过程,请把答案直 Y C 接填写在答题卡相应位置上。 Y 1、点 A(4,5) 关于直线 l 的对称点为 B(?2, 7) 则直线 l 的方程为__________.

x2 y2 ? ? 1 的两焦点为 F1 、 F2 ,过 F1 作

直线交椭圆于 A 、 B 两点,则 ?ABF2 的 2、椭圆 9 4
周长为 .12 3、 若直线 ax ? y ? 1 ? 0 与连结 A(2,3), B(?3,2) 两点的线段 AB 相交, 则实数 a 的取值范围 是 . a≤? 2或a≥1

? y?0 ? 2 2 4、已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? ?2 ,则 ( x ? 3) ? y 的最小值是__________ ?x ? y ? 1 ?
5、已知直线 l 经过 A(2,1),B(1,m )(m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范围是
2

?0,π?∪?π,π?. ? ? ? 4? ? ? ?2 ?
2 2 6、已知圆 ( x ? 3) ? y ? 4 和过原点的直线 y ? kx 的交点为 P 、 Q ,则 | OP | ?| OQ | 的值 为 .5

7、设集合 M ?

?? x, y ? | x

2

? y 2 ? 25? , N ?

?? x, y ? | ? x ? a ?

2

? y 2 ? 9 ,若 M∪N=M,则
y

?

实数 a 的取值范围是-2≤a≤2 8、给出平面区域如图所示, 若使目标函数 Z=ax+y (a>0), 取得最大值的最优解有无数个, 则 a 值为______ 9、若点 O 和点 F 分别为椭圆 C(1, 22 ) 5 A(5,2) B(1,1) O x

x2 ? y 2 ? 1的中心和右焦点, 2
1 2

点 P 为椭圆上的任意一点,则 OP ? FP 的最小值为_____ 10、已知 x , y 满足 0 ? x ?

4 ? y 2 ,则

y?2 的取值范围是 x?3

. [0,

12 ] 5

11、过点 P(3,0)作一直线,使它夹在两直线 l1:2x-y-2=0 与 l2:x+y+3=0 之间的线 段 AB 恰被点 P 平分,则此直线的方程为 8x-y-24=0.

12、过圆 x2+y2=4 外一点 P(4,2)作圆的两条切线,切点为 A、B,则△ ABP 的外接圆的方 程是____________________. 解析:∵ 圆心为 O(0,0),又∵ △ ABP 的外接圆就是四边形 OAPB 的外接圆.其直径 d=OP= 2 5,∴ 半径 r= 5. 而圆心 C 为(2,1),∴ 外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 13、在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,2),直线 l : x ? y ? 4 ? 0 .点 B ( x, y ) 是圆

1

垂足分别为 D、 E, 则线段 DE 的最大值是 . C : x2 ? y2 ? 2x ?1 ? 0 的动点,AD ? l , BE ? l ,

解答:线段 DE 的最大值等于圆心(1,0)到直线 AD(x-y+2=0)的距离加半径,为

5 2 2

14、已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 和圆 O : x2 ? y 2 ? b2 ,若 C 上存在点 P ,使得 a 2 b2

过点 P 引圆 O 的两条切线,切点分别为 A, B ,满足 ?APB ? 60? ,则椭圆 C 的离心率 的取值范围是 ▲

答案:
二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 15、已知直线 l1 : (a-2) x ? 3 y +a ? 0 和 l2 : ax ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 。 (1)当 l1 ∥ l2 时,求 a 的值(2)当 l1 ⊥ l2 时求 a 的值及垂足的坐标 解答: (1)a=2 或 a=0 时, l1 与 l2 不平行。? a ? 0且a ? 0 由 l1 ∥ l2 得:

a?2 3 a 7 ? 33 ? ? 。解得 a ? a a ? 2 ?1 2
1 2 2 3
a ? ?3 时,垂足为 ( ?

- ) (2)a=2 时,垂足为 ( ,

9 2 , ) 17 17

16、已知圆 C 经过 P(4,– 2) ,Q(– 1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,半径 小于 5. (1)求直线 PQ 与圆 C 的方程. (2)若直线 l∥PQ,且 l 与圆 C 交于点 A、B, ?AOB ? 90? ,求直线 l 的方程. 答案 (12 分) 解:(1) PQ 为 y ? 3 ?

3? 2 ? ( x ? 1) 即 x ? y ? 2 ? 0 ?1 ? 4 3?2 4 ?1 C 在 PQ 的中垂线 y ? ? 1? ( x ? )即y=x–1上 2 2 设 C(n,n – 1) ,则 r 2 ? | CQ | 2 ? (n ? 1)2 ? (n ? 4)2
∴ n = 1 或 5,r 2 = 13 或 37

由题意,有 r 2 ? (2 3)2 ? | n | 2 ∴ n2 ? 12 ? 2n2 ? 6n ? 17 (舍) ∴圆 C 为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 13 解法二:设所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
?4 D ? 2 E ? F ? ?20 ? D ? ?2 ? D ? ?10 ? ? ? 或 ? E ? ?8 由已知得 ? D ? 3E ? F ? 10 解得 ? E ? 0 ? F ? ?12 ?F ? 4 ? 2 ? ? ? E ? 4 F ? 48
2

? D ? ?2 ? D ? ?10 ? ? 当 ?E ? 0 时, r ? 13 ? 5 ;当 ? E ? ?8 时, r ? 37 ? 5 (舍) ? F ? ?12 ?F ? 4 ? ?

∴ 所求 圆的方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? 12 ? 0 (2) 设 l 为 x ? y ? m ? 0
?x ? y ? m ? 0 由? ,得 2 x2 ? (2m ? 2) x ? m2 ? 12 ? 0 2 2 ( x ? 1) ? y ? 13 ?

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1 ? x2 ? 1 ? m,x1 x2 ? ∵ ?AOB ? 90? , ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ∴ x1 x2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? 0

m2 ? 12 2

∴ m2 ? m ? 12 ? 0 ∴ m = 3 或 – 4(均满足 ? ? 0 ) ∴ l 为 x? y?3?0 或 x? y?4?0 17、某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱 1 吨需耗一级子棉 2 吨、二级子棉 1 吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉 1 吨、二级子棉 2 吨,每 1 吨甲种棉纱的利润是 600 元, 每 1 吨乙种棉纱的利润是 900 元,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超 过 300 吨、二级子棉不超过 250 吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨),能使利润总 额最大? 消耗量 产品 资源
一级子棉(吨) 二级子棉(吨) 利 润(元) 甲种棉纱 (1 吨) 2 1 600 乙种棉纱 (1 吨) 1 2 900
y

资源限额 (吨) 300 250

解:设生产甲、乙两种棉纱分别为 x 吨、y 吨,利润总额为 z 元,

?2 x ? y ? 300 ? 那么 ? x ? 2 y ? 250z=600x+900y.作出以上不等式组所表示的平面区域 (如 ? ?x ? 0 ? ?y ? 0

2x+y=300

50 50

x+2y=250 x

图),即可行域.作直线 l:600x+900y=0,即直线 l:2x+3y=0,把直线 l 向右上方平移至

l1 的位置时,直线经过可行域上的点 M,且与原点距离最大,此时 z=600x+900y 取最大值.解方程组

?2 x ? y ? 300,得 M 的坐标为 x= 350 ≈117,y= 200 ≈67. ? 3 3 ? x ? 2 y ? 250
答:应生产甲种棉纱 117 吨,乙种棉纱 67 吨,能使利润总额达到最大.

18、已知圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 9 ,斜率等于 1 的直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点.
2 2

(1)求弦 AB 为圆 C 直径时直线 l 的方程; (2)试问原点 O 能否成为弦 AB 的中点?说明理由; (3)若坐标原点 O 在以 AB 为直径的圆内,求直线 l 在 y 轴上的截距范围 .

3

x2 y 2 19、 已知点 P(4, 4) , 圆 C: ( x ? m)2 ? y 2 ? 5(m ? 3) 与椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b

的一个公共点为 A(3,1) ,F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相 切。 (1)求 m 的值与椭圆 E 的方程; (2)设 D 为直线 PF1 与圆 C 的切点,在椭圆 E 上是否存在点 Q ,使△PDQ 是以 PD 为底的等腰三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由。 解(1)∵点 A(3,1)在圆 C 上,∴ (3 ? m)2 ? 1 ? 5 又 m ? 3 ,∴ m ? 1 设 F1 (?c,0) ,∵ P(4, 4) ∴直线 PF1 的方程为 4 x ? (4 ? c) y ? 4c ? 0 ∵直线 PF1 与圆 C 相切 ∴ ????4 分 ???2 分

| 4 ? 4c | 16 ? (4 ? c)2

? 5(c ? 0)

????6 分

4

即c ? 4
?a 2 ? b 2 ? 16 ? a 2 ? 18 ? ? 由? 9 1 解得 ? 2 ? ?b ? 2 ? 2 ? 2 ?1 ?a b

∴椭圆 E 的方程是

x2 y 2 ? ?1 18 2

?8 分

(2) 直线 PF1 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0

?x ? 2 y ? 4 ? 0 由? 得切点 D (0, 2) 2 2 ?( x ? 1) ? y ? 5
又∵P(4,4), ∴线段 PD 的中点为 M(2,3) 又∵椭圆右焦点 F2 (4,0)

??10 分

3 3 ?? 2?4 2 1 又 k PD ? ,∴线段 PD 的垂直平分线的斜率为 -2 ???14 分 2 3 ∵ ?2 ? ? ,∴线段 PD 的垂直平分线与椭圆有两个交点 2 k MF2 ?

即在椭圆上存在两个点 Q,使△PDQ 是以 PD 为底的等腰三角形. ?16 分 (或与过点 M 的椭圆右侧切线斜率比较说明)
给定椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O、半径是 a2 ? b2 的圆为椭圆 C a 2 b2

的“准圆” .已知椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2,0) ,其短轴的一个端点到点 F 的距离为 3 . (1)求椭圆 C 和其“准圆”的方程;

B, D 是椭圆 C 上的两相异点, (2) 若点 A 是椭圆 C 的 “准圆” 与 x 轴正半轴的交点, 且 BD ? x
轴,求 AB ? AD 的取值范围; (3)在椭圆 C 的“准圆”上任取一点 P ,过点 P 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只有一 个交点,试判断 l1 , l2 是否垂直?并说明理由.

答案及解析:
解: (1)由题意知 c ? 2 ,且 a ? b2 ? c2 ? 3 ,可得 b ? 1 , 故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,其“准圆”方程为 x2 ? y 2 ? 4 . 3
5

(2)由题意,可设 B(m, n), D(m, ?n) (? 3 ? m ? 3) ,则有 又 A 点坐标为 (2,0) ,故 AB ? (m ? 2, n), AD ? (m ? 2, ?n) , 故 AB ? AD ? (m ? 2) 2 ? n 2 ? m 2 ? 4m ? 4 ? (1 ?

m2 ? n2 ? 1, 3

m2 ) 3

4 4 3 ? m2 ? 4m ? 3 ? (m ? )2 , 3 3 2
又 ? 3 ? m ? 3 ,故 (m ? )2 ?[0,7 ? 4 3) , 所以 AB ? AD 的取值范围是 [0,7 ? 4 3) . (3)设 P( s, t ) ,则 s 2 ? t 2 ? 4 . 当 s ? ? 3 时, t ? ? 1 ,则 l1 , l2 其中之一斜率不存在,另一斜率为 0,显然有 l1 ? l2 . 当 s ? ? 3 时,设过 P( s, t ) 且与椭圆有一个公共点的直线 l 的斜率为 k , 则 l 的方程为 y ? t ? k ( x ? s ) ,代入椭圆 C 方程可得

4 3

3 2

x2 ? 3[kx ? (t ? ks)2 ] ? 3 ,即 (3k 2 ? 1) x2 ? 6k (t ? ks) x ? 3(t ? ks)2 ? 3 ? 0 ,
由 ? ? 36k 2 (t ? ks)2 ? 4(3k 2 ? 1)[3(t ? ks)2 ? 3] ? 0 , 可得 (3 ? s 2 )k 2 ? 2stk ? 1 ? t 2 ? 0 ,其中 3 ? s 2 ? 0 , 设 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 , k2 是上述方程的两个根, 故 k1k 2 ?

1 ? t 2 1 ? (4 ? s 2 ) ? ? ?1 ,即 l1 ? l2 . 3 ? s2 3 ? s2

综上可知,对于椭圆 C 上的任意点 P ,都有 l1 ? l2 .

6


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