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椭圆的简单几何性质


考点 125 椭圆的简单几何性质
1. (13 大纲 T21)已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1,F2 , a 2 b2

离心率为 3, 直线 y ? 2 与 C 的两个交点间的距离为 6 . (I )求 a , b ; (II)设过 F2 的直线 l 与 C

的左、右两支分别相交于 A, B 两点,且 AF 1 ? BF 1 ,证明:

AF2 、 AB 、 BF2 成等比数列.
【测量目标】双曲线的标准方程及简单几何性质,直线与双曲线的位置关系,直接证明. 【难易程度】较难 【试题解析】(Ⅰ)由题设知

c a 2 ? b2 ? 3, 即 ? 9, 故 b 2 ? 8a 2 . a a2

所以 C 的方程为 8x2 ? y 2 ? 8a2 . (步骤 1) 将 y=2 代入上式,求得 x ? ? a ? . (步骤 2)
2

1 2

由题设知, 2 a ?
2

1 ? 6, 解得 a 2 ? 1. 所以 a ? 1, b ? 2 2. (步骤 3) 2

2 2 (Ⅱ)证明:由(1)知, F 1 ? ?3,0? , F 2 ? 3,0? , C 的方程为 8 x ? y ? 8. ① (步骤 4)
1 并化简,得 由题设可设 l 的方程为 y ? k ? x ? 3? , k ? 2 2, 将其代入○

?k

2

? 8 ? x 2 ? 6k 2 x ? 9k 2 ? 8 ? 0. (步骤 5)

设 A? x1 , y1 ? , B( x2 , y2 ), 则 x1 剠?1, x2 于是 AF1 ?

1, x1 ? x2 ?
2

6k 2 9k 2 ? 8 , x x ? . (步骤 6) 1 2 k2 ?8 k2 ?8

? x1 ? 3?
2

2

? y12 ?

? x1 ? 3?
2

? 8x12 ? 8 ? ? ? 3x1 ? 1? ,

BF1 ?

? x2 ? 3?

2 ? y2 ?

? x2 ? 3?

2 ? 8x2 ? 8 ? 3x2 ? 1. (步骤 7)

由 AF 1 ? BF 1 , 得 ? ? 3x1 ? 1? ? 3x2 ? 1, (步骤 8)

即 x1 ? x2 ? ? , 故 解得 k ?
2

2 3

6k 2 2 ?? , 2 k ?8 3

4 19 , 从而x1 x2 ? ? . (步骤 9) 5 9

由于 AF2 ?

? x1 ? 3?

2

? y12 ?

? x1 ? 3? ? 8x22 ? 8 ? 1 ? 3x1,
2 2 ? 8x2 ? 8 ? 3x2 ? 1,

BF2 ?

? x2 ? 3? ? y22 ? ? x1 ? 3?

故 AB ? AF2 ? BF2 ? 2 ? 3? x1 ? x2 ? ? 4, (步骤 10)

AF2 ?BF2 =3? x1 ? x2 ? ? 9x1x2 ?1 ? 16,
因而 AF2 ?BF2 ? AB , 所以 AF2 、 AB 、 BF2 成等比数列(步骤 11). 2.(13 北京 T19)已知 A , B , C 是椭圆 W :
2

x2 ? y 2 ? 1 上的三个点, O 为坐标原点. 4

(Ⅰ)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (Ⅱ)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 【测量目标】椭圆的简单几何性质. 【难易程度】中等

x2 【试题解析】 (Ⅰ)椭圆 W: +y2=1 的右顶点 B 的坐标为(2,0). 4 因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分. 1 3 所以可设 A(1,m),代入椭圆方程得 +m2=1,即 m= ? .(步骤 1) 4 2 1 1 所以菱形 OABC 的面积是 OB AC = × 2× 2 m = 3 .(步骤 2) 2 2 (Ⅱ)假设四边形 OABC 为菱形.因为点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点,
所以可设 AC 的方程为 y=kx+m(k≠0,m≠0). (步骤 3)

? x 2 ? 4 y 2 ? 4, 2 2 2 由? 消 y 并整理得 ?1 ? 4k ? x +8kmx+ 4m -4=0. ? y ? kx ? m 设 A? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,
x1 ? x2 y ? y2 x ?x 4km m ?? ? k? 1 2 ? m ? , 1 . 2 2 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2 m ? ? 4km 所以 AC 的中点为 M ? ? .(步骤 4) , 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4 k ? 1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,所以直线 OB 的斜率为 ? . 4k ? 1 ? 因为 k ? ? ? ? ≠-1,所以 AC 与 OB 不垂直. ? 4k ?
则 所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾.

所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形. (步骤 5) 3. (13 福建 T14)椭圆 ? : 若直线 y ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左.右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c, a 2 b2

3( x ? c) 与椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心

率等于__________ 【测量目标】直线与椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质. 【难易程度】中等 【参考答案】 3 ? 1 【试题解析】由直线 y= 3 (x+c)知其倾斜角为 60° , 由题意知∠MF1F2=60° ,则∠MF2F1=30° ,∠F1MF2=90° . 故|MF1|=c,|MF2|= 3 c. (步骤 1) 又|MF1|+|MF2|=2a,∴( 3 +1)c=2a, 即e ?

2 ? 3 ? 1 .(步骤 2) 3 ?1

x2 y2 4. (13 江苏 T12) 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , a b
右焦点为 F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的 距离为 d 2 .若 d 2 ?

6d1 ,则椭圆的离心率为

.

【测量目标】椭圆的简单几何性质. 【难易程度】中等 【参考答案】

3 3
bc a2 b2 ? c ? .又 BF ? c2 ? b2 ? a ,所以 d1 ? .(步骤 1) a c c

【试题解析】依题意, d 2 ?

由已知可得

b2 bc ? 6 ? .所以 6c2 ? ab ,即 6c4 ? a2 (a2 ? c2 ) ,整理得 a 2 ? 3c 2 ,所以 c a

离心率 e ?

c 3 .(步骤 2) ? a 3

5. (13 辽宁 T15)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , 椭圆 C 与过原点的直 a 2 b2
4 ,则 C 的离 5

线相交于 A, B 两点,连接 AF , BF ,若 AB ? 10, AF ? 6, cos ?ABF ? 心率 e= .

【测量目标】余弦定理,椭圆的简单几何性质. 【难易程度】中等 【参考答案】

5 7

【试题解析】 根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为 F ? 直线过原点, 1,

? AF ? BF1 ? 6 , BO ? AO .(步骤 1)
在 △ABF 中,设 BF ? x ,由余弦定理得 36 ? 100 ? x ? 2 ? 10 x ?
2

4 , (步骤 2) 5

? 解得 x ? 8 ,即 BF ? 8 .??BFA ? 90 ,? △ABF 是直角三角形, (步骤 3)

? 2a ? 6 ? 8 ? 14 ,即 a ? 7 .(步骤 4)
又? 在 Rt△ABF 中, BO ? AO ,? OF ?

1 AB ? 5 ,即 c ? 5 , (步骤 5) 2

?e ?

5 .(步骤 6) 7

6.(12 江西 T13)椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A , B ,左、右焦点分别是 a 2 b2

F1 , F2 .若 AF1 , F1F2 , F1B 成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.
【测量目标】椭圆的简单几何性质与等比数列的性质. 【难易程度】中等 【参考答案】

5 5

【 试 题 解 析 】 利 用 椭 圆 及 等 比 数 列 的 性 质 解 题 . 由 椭 圆 的 性 质 可 知 : AF 1 ? a ?c , 故 ? a ? c ?? a ? c ? ? ? 2c ? , F1F2 ? 2c ,F1B ? a ? c .又已知 AF1 , F1F2 , F1B 成等比数列,
2

即 a ? c ? 4c ,则 a ? 5c .故 e ?
2 2 2 2 2

c 5 5 ? .即椭圆的离心率为 . a 5 5

x2 y 2 3 ? y? 7.(12 山东 T10)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,双曲线 x? =1 a b 2
的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程

为 A.

(

)

x2 y 2 ? ?1 8 2

B.

x2 y 2 ? ?1 12 6

C.

x2 y 2 ? ?1 16 4

D.

x2 y 2 ? ?1 20 5

【测量目标】椭圆的简单几何性质. 【难易程度】中等 【参考答案】D 【试题解析】双曲线 x? =1 的渐近线方程为 y ? ? x , (步骤 1) ? y?

x2 y 2 a 2b 2 2 , S ? 4 x 2 ? 16 ,则 a2b2 ? 4 代入 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 可得 x ? 2 (步骤 (a2 ? b2 ) , 2 a b a ?b
2) 又由 e ?

x2 y 2 3 4 2 ? ? 1 ,答 可得 a ? 2b ,则 b ? 5b ,于是 b2 ? 5, a2 ? 20 .椭圆方程为 20 5 2

案应选 D.(步骤 3) 8. (12 新课标 T4) 设 F1F2 是椭圆 E:
?

3a x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, P 为直线 x ? 2 2 a b
( ) D.

上一点,F2 PF 则 E 的离心率为 1 是底角为 30 的等腰三角形, A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

4 5

【测量目标】椭圆的简单几何性质. 【难易程度】中等 【参考答案】C
? ? 【试题解析】由题意得(如图所示) ?F 1F 2 P ? 120 ? ?MF 2 P ? 60 ,(步骤 1)1

在直角 △MF2 P 中, PM ? PF2 sin 60? ? 3c ,(步骤 2) 又 F2 M ?

3 c 3 PM 3c 3c a ?c, ? ? tan 60? ? ? 3 , 所以 e ? ? , 且 3 3 2 a 4 F2 M a?c a?c 2 2

(步骤 3)故选 C.

MF48 9. (11 北京 T19) 已知椭圆 G :

x2 ? y 2 ? 1 过点 作圆 x 2 ? y 2 ? 1的切线 l 交椭圆 G 于 (m, 0) 4

A,B 两点.
(I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值. 【测量目标】椭圆的简单几何性质,直线与圆的位置关系,两点间的距离公式. 【难易程度】较难 【试题解析】 (Ⅰ)由已知得 a ? 2, b ? 1, 所以 c ?

a 2 ? b 2 ? 3. (步骤 1)

所以椭圆 G 的焦点坐标为 (? 3,0), ( 3,0) ,离心率为 e ? (Ⅱ)由题意知, | m |…1 .

c 3 ? . (步骤 2) a 2

当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1 ,点 A、B 的坐标分别为 (1, 此时 | AB |?

3 3 ), (1,? ), 2 2

3 (步骤 3) 3

当 m ? ?1 时,同理可得 | AB |?

当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m), (步骤 4)

? y ? k ( x ? m), ? 由 ? x2 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 m x ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ? 1. ?4
设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 )(x2 , y 2 ) ,则

4k 2 m 2 ? 4 (步骤 5) x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
又由 l 与圆 x ? y ? 1相切, 得
2 2

8k 2 m

| km | k ?1
2

? 1,即m 2 k 2 ? k 2 ? 1.




| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )[

64 k 4 m ? 4( 4 k 2 m 2 ? 4) ? ] (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2

?

4 3|m| . m 2 ? 3 (步骤 6)

由于当 m ? ?3 时, | AB |? 3, 所以 | AB |?

4 3|m| , m ? (?? ,?1] ? [1,?? ) .(步骤 7) m2 ? 3

因为 | AB |?

4 3|m| 4 3 ? ? 2, 2 m ?3 |m|? 3 |m|

且当 m ? ? 3 时, | AB |? 2 ,所以 | AB | 的最大值为 2. (步骤 8) 10.(11 浙江 T8)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 y2 2 ? ? 1( a > b > 0) C : x ? ? 1 有公共的焦 与双曲线 2 a 2 b2 4

点, C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三 等分,则 (
2 B. a ? 13



13 2 A. a ? 2
【难易程度】中等 【参考答案】C 【试题解析】由双曲线 x ?
2

1 2 C. b ? 2

2 D. b ? 2

【测量目标】椭圆和双曲线的简单几何性质.

y2 =1 知渐近线方程为 y ? ?2 x ,又∵椭圆与双曲线有公共焦 4

点,
2 2 2 2 2 2 ∴椭圆方程可化为 b x + b ? 5 y = b ? 5 b ,联立直线 y ? ?2 x 与椭圆方程消 y 得,

?

?

?

?

x2 ?

?b

? 5 b2 b 2 ? 5 b 2 2a 2 ? , (步骤 1)又∵ C1 将线段 AB 三等分,∴ 1 ? 2 ? 2 , 5b 2 ? 20 3 5b 2 ? 20
2
2

?

?

?

解之得 b ?

1 .(步骤 2) 2

???? ???? ? x2 ? y 2 ? 1的焦点, 11. (11 浙江 T17) 设 F1 , F2 分别为椭圆 点 A, B 在椭圆上, 若F A ? 5 F B 1 2 ; 3
则点 A 的坐标是 .

【测量目标】椭圆的简单几何性质. 【难易程度】较难

【参考答案】 ? 0, ?1? 【试题解析】设直线 F1 A 的反向延长线与椭圆交于点 B ? ,又∵ F 1 A ? 5F 2 B ,由椭圆的对称

????

???? ?

? 1 ,设 A?x1 , y1 ? , B??x2 , y 2 ? , 性可得 F (步骤 1) 1 A ? 5B F
由于椭圆

????

???? ?

x2 c 2 6 ? y 2 ? 1的 a ? 3, b ? 1, c ? 2 ,? e ? ? ? , F1 ( 2, 0). 3 a 3 3
6 3 2 6 3 2 x1 ? x2 ? , F1 B? ? , 3 2 3 2
(步骤 2)

又∵ F1 A ?

从而有:

6 3 2 6 3 2 x1 ? x2 ? =5 ? 3 2 3 2

由于 ? 3 剟x1 , x2

3,? x1 ?

3 2 3 2 ? 0, x2 ? ? 0, 2 2
(步骤 3)



6 3 2 6 3 2 ( x1 ? ) =5 ? ( x2 ? ) 3 2 3 2

3 2 3 2 ① ? x1 ? 5( x2 ? ). 2 2 ???? ???? ? ? 又? 三点 A, F1 , B? 共线, F A ? 5 B F 1 1

?( x1 ? (?2), y1 ? 0) ? 5(? 2 ? x2 ,0 ? y2 ) ? x1 ? 2 ? 5(? 2 ? x2 ). ②
由①+②得: y1 ? ?1, ∴点 A 的坐标为 (0,1)或(0,-1) .(步骤 4) 12. (11 重庆 T15)动圆的圆心在抛物线 y ? 8x 上,且动圆恒与直线 x ? 2 ? 0 相切,则动
2

圆必过点 . 【测量目标】抛物线的简单几何性质. 【难易程度】较难 【参考答案】 (2, 0)

0) ,准线方程为 x ? 2 ? 0 , 【试题解析】抛物线 y ? 8x 的焦点 F (2, (步骤 1)
2

故圆心到直线 x ? 2 ? 0 的距离即半径等于圆心到焦点 F 的距离,所以 F 在圆上. (步骤 2) 故答案为: (2, 0) .

13.(10 四川 T9)椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a>b>0 ? 的右焦点为 F,其右准线与 x 轴的交点为 A . 在椭 a 2 b2

圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是 A. ? 0,

( D. ? , 1?

)

? ? ?

2? ? 2 ?

B. ? 0, ?

? ?

1? 2?

C. ? 2 ? 1

?

?

?1 ? ?2 ?

【测量目标】椭圆的标准方程、几何性质和垂直平分线的性质. 【难易程度】中等 【参考答案】D 【试题解析】由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 F ,即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等,而|FA|=

a2 b2 ? c ? , |PF|∈[a-c,a+c](步骤 1) c c

2 2 2 ? b2 ?ac ? c ? a ? c 2 2 2 于是 ∈[a-c,a+c],即 ac-c ? b ? ac+ c .∴ ? 2 2 2 c ? ?a ? c ? ac ? c

?c ? 1 ? ?a ?? ? c 剠?1或 c ? a ?a

1 2

(步骤 2)

又 e∈(0,1),故 e∈ ? ,1? (步骤 3) 14 . ( 09 江 苏 T13 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , A1 , A2 , B1 , B为 2 椭圆

?1 ? ?2 ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点, F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线 a 2 b2
段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为 .

Wzq56 【测量目标】直线与椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质,直线方程. 【难易程度】中等 【参考答案】 2 7 ? 5 【试题解析】直线 A1B2 的方程为:

x y ? ? 1; ?a b

直线 B1F 的方程为: 二者联立解得: T ? (

x y ? ? 1 .(步骤 1) c ?b 2ac b(a ? c) , ), ( 步骤 2) a?c a?c

x2 y 2 ac b(a ? c) , ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上, 则M ?( a b a ? c 2(a ? c)

c2 (a ? c) 2 ? ? 1, c 2 ? 10ac ? 3a 2 ? 0, e2 ? 10e ? 3 ? 0, (步骤 3) (a ? c)2 4(a ? c)2
解得: e ? 2 7 ? 5 (步骤 4) 15.(09 全国 T12)已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ? l ,线段 AF 2

交 C 于点 B ,若 FA ? 3FB ,则 | AF | = A. 2 B. 2 C. 3 D. 3

??? ?

??? ?

???? ?

( )

【测量目标】椭圆的定义和简单几何性质,向量的线性运算. 【难易程度】较难 【参考答案】A 【试题解析】过点 B 作 BM ? l 于 M ,并设右准线 l 与 x 轴的交点为 N ,易知 FN ? 1 .由题 意 FA ? 3FB ,故 | BM |? A .

??? ?

??? ?

2 2 2 2 .又由椭圆的第二定义,得 | BF |? ? ? ? | AF |? 2 .故选 3 2 3 3

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 16. (09 北京 T12)椭圆 9 2

| PF2 |? _________; ?F1PF2 的小大为__________.
【测量目标】椭圆的简单几何性质和余弦定理. 【难易程度】中等 【参考答案】 2, 120
2 ?

【试题解析】∵ a ? 9, b ? 2 ,∴ c ? a2 ? b2 ? 9 ? 2 ? 7 ,∴ F1 F2 ? 2 7 ,
2

又 PF 1 ? 4, PF 1 ? PF 2 ? 2a ? 6 ,

∴ PF2 ? 2 , (步骤 1)

又由余弦定理,得 cos ?F1 PF2 ?

22 ? 42 ? 2 7 2? 2? 4

?

?

2

1 ?? , 2

? ? ∴ ?F 1PF 2 ? 120 ,故应填 2, 120 .

(步骤 2)

WH27 17. (09 江西 T6) 过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ,F2 a 2 b2
( )

? 为右焦点,若 ?F 1PF 2 ? 60 ,则椭圆的离心率为

A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

【测量目标】椭圆的简单几何性质. 【难易程度】中等 【参考答案】B

? b2 ? ? 【试题解析】由题意知,? P ? ?c, ? ? ,又? ?F 1PF 2 ? 60 ,(步骤 1) a? ?
? tan ?F1 PF2 ? PF2 2c 2ac 2ac 2e ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? 3 ,(步骤 2) PF1 b b a ?c 1 ? e2 a

? e2 ?

1 3 2 或 e ? 3 (舍去) ,? e ? .(步骤 3) 3 3

CGC 88

18. (09 上海 T9)已知 F1、F2 是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C a 2 b2

上一点,且 PF 1 ? PF 2 .若△PF1F2 的面积为 9,则 b=_________. 【测量目标】椭圆的简单几何性质. 【难易程度】中等 【参考答案】3

????

???? ?

??? ? ???? ? ?| PF 1 | ? | PF2 |? 2a ? ? ? ???? ???? 【试题解析】依题意,有 ?| PF1 |? ,可得 4c2 ? 36 ? 4a2 , 即 a2 ? c2 ? 9, 故 | PF2 |? 18 ?2 ? ???? 2 ???? 2 | PF | ? | PF 1 2 | ? 4c ? ?
有b ? 3.


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