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2.3平面向量的基本定理及坐标表示(1)(教学设计)


SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计(人教 A 版必修 4 第二章《平面向量》 )

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示(1)(教学设计) 2.3.1 平面向量基本定理;2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 [教学目标] 一、知识与能力: 1. 了解平面向量基本定理。 2.掌握平面向量基本定理,理解平面向量的正交分解及坐标表示; 3.能够在具体问题中

适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 二、过程与方法: 体会数形结合的数学思想方法;培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观: 培养对现实世界中的数学现象的好奇心,学习从数学角度发现和提出问题. 教学重点:平面向量基本定理,向量的坐标表示;平面向量坐标运算 教学难点:平面向量基本定理. 一、复习回顾: 1.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a

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(1)|λ a |=|λ || a |; (2)λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ a = 0 2.运算定律 结合律:λ (μ a )=(λ μ) a ;分配律:(λ +μ) a =λ a +μ a , λ ( a + b )=λ a +λ b

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3. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ ,使 b =λ a . 二、师生互动,新课讲解: 思考:给定平面内任意两个向量 e1,e2,请作出向量 3e1+2e2、e1-2e2,平面内的任一向量是否都可以用形如?1e1+?2e2 的向量表示呢?. 在平面内任取一点 O,作 OA ? e1, OB ? e2, OC ? a,过点 C 作平行于直线 OB 的直线,与直线 OA 交于点 M;过 点 C 作平行于直线 OA 的直线,与直线 OB 交于点 N. 由向量的线性运算性质可知,存在实数?1、?2,使得 OM ? ?1e1,
ON ? ?2e2. 由于 OC ? OM ? ON ,所以 a=?1e1+?2e2,也就是说任一向量 a 都可以表示成?1e1+?2e2 的形式.

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1. 平面向量基本定理 (1)定理:如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数?1、 ?2,使得

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a=?1e1+?2e2. 把不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (2)向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b,作 OA =a, OB =b,则?AOB=?(0????180?)叫做向量 a 与 b 的夹角, 当?=0?时,a 与 b 同向;当?=180?时,a 与 b 反向. 如果 a 与 b 的夹角是 90?,则称 a 与 b 垂直,记作 a?b.

例 1 (课本 P94 例 1)已知向量 e1、e2,求作向量-2.5e1+3e2。

解: 变式训练 1: 如图在基底 e1、e2 下分解下列向量: 解: AB ? ?2e1 ? 2e2 ,
CD ? 3e1 ? 3e2 , EF ? ?3e1 ? 2e2 , GH ? 6e1 ? 3e2

2. 平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. (2)向量的坐标表示 思考:我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示,对平面直角坐标系 内的每一个向量,如何表示呢? 在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底,则对于平面内的一个向量 a,有且只 有一对实数 x、y 使得 a=xi+yj, 把有序数对(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作

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a=(x,y), 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 显然, i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). (3)向量与坐标的关系 思考:与 a 相等的向量坐标是什么? 向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应?(多对一的对应,因为相等向量对应的坐标相同) 当向量起点被限制在原点时,作 OA =a,这时向量 OA 的坐标就是点 A 的坐标,点 A 的坐标也就是向量 OA 的坐标, 二者之间建立的一一对应关系.

例 2(课本 P96 例 2) 如图,分别用基底 i、j 表示向量 a、b、c、d,并求出它们的坐标. 解:a=2i+3j=(2,3), b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3) d=2i-3j=(2,-3).

变式训练 2: 在直角坐标系 xOy 中,向量 a、b、c 的方向和长度如图所示,分别求他们的坐标. 解:设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),则 a1=|a|cos45?= 2 ?
2 2 ? 2 ,a2=|a|sin45?= 2 ? ? 2; 2 2

3 3 3 1? 3 b1=|b|cos120?= 3 ? ? ; ? ? ? ? ? ? ,b2=|b|sin120? ? 3 ? 2 2 2 ? 2? 3 ? 1? c1=|c|cos(-30?)= 4 ? ? 2 3 ,c2=|c|sin(-30?)= 4 ? ? ? ? ? ?2 , 2 ? 2?

因此 a ?

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? 3 3 3? 2, 2 , b ? ? ? , ? , c ? 2 3, ?2 . ? 2 2 ?

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例 3:已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限, | OA |? 4 3 , ?xOA ? 60? ,求向量 OA 的坐标.

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解:设点 A ? x, y ? ,则 x ? 4 3 cos60? ? 2 3, y ? 4 3sin 60? ? 6 即 A 2 3,6 ,所以 OA ? 2 3,6 .

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变式训练 3:如图,e1、e2 为正交基底,分别写出图中向量 a、b、c、d 并分别求出它们的直角坐标. 解:a=2e1+3e2=(2,3),b=-2e1+3e2=(-2,3), c=-2e1-3e2=(-2,-3),d=2e1-3e2=(2,-3).

的分解式,

三、课堂小结,巩固反思: 1. 平面向量基本定理; 2. 平面向量的正交分解; 3. 平面向量的坐标表示. 四、课时必记: 1、平面向量的基本定理:如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只 有一对实数?1、?2,使得功 a=?1e1+?2e2.把不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2、当向量起点被限制在原点时,作 OA =a,这时向量 OA 的坐标就是点 A 的坐标,点 A 的坐标也就是向量 OA 的坐标, 二者之间建立的一一对应关系. 五、分层作业: A 组: 1、设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( ) A.e1、e2 一定平行 B.e1、e2 的模相等

C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2、已知矢量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

3、已知向量 e1、e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2

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4、已知 a、b 不共线,且 c =λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若 c 与 b 共线,则 λ1=

.

5、已知 λ1>0,λ2>0,e1、e2 是一组基底,且 a =λ1e1+λ2e2,则 a 与 e1_____,a 与 e2_________(填共线或不共线).

B 组: C 组:


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