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黄山市2012届高三第二次质量检测数学(理)


黄山市 2012 届高三第二次质量检测 数学(理)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 1.已知全集为实数集 R,集合 A ? {x | x2 ?1 ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则 A ? (C R B) =( A. {x | ?1 ? x ? 1} 2.已知复数 z

? 1 ? i ,则 A. B. {x | ?1 ? x ? 1} C. ? D. {1} )

z ?1 =( z2

) C. ?

1 ?i 2

B.

1 ?i 2
2

1 ?i 2
4

D. ?

1 ?i 2

3.某学生四次模拟考试时,其英语作文的减分情况如下表: 4.5 4 3 2.5 显然所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间有较好的线性相关关系,则其线性回归方程为( ) A. y ? 0.7 x ? 5.25 C. y ? ?0.7 x ? 6.25
? ?

考试次数 x 所减分数 y

1

3

B. y ? ?0.6 x ? 5.25 D. y ? ?0.7 x ? 5.25
?

?

4.某流程如图所示,现输入如下四个函数,则可以输 出的函数是( ) A. f ( x) ? x 2 C. f ( x) ? lg x B. f ( x) ?

1 x

D. f ( x) ? sin x

5.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 9a1 ,3a2 , a3 成等 比数列.若 a1 ? 3 ,则 S4 ? ( A. 7 B. 8 ) C. 12 D. 16

6.设 a 、 b 是不同的直线, ? 、 ? 是不同的平面,则下列命题: ①若 a ? b, a ? ? ,则 b // ? ; ②若 a // ? , ? ? ? ,则 a ? ? ;

③若 a ? ? , ? ? ? ,则 a // ? ; ④若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? . 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 7.下列说法正确的是( )

D.3

2 2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”;

B.命题“ ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”;
2 2 2 2 C.在 ?ABC 中,“ A ? B ”是“ cos A ? cos B ”的充要条件;

1 6 15 ) 的展开式中第三项的系数是 ? . 2x 4 ? 8.直线 l 的方向向量为 n ? (4 , 3) 且过抛物线 x2 ? 4 y 的焦点,则直线 l 与抛物线围成的封闭图
D. ( x ? 形面积为( A. ) B.

85 8

125 24

C.

9. 将函数 f ( x) ? 2 sin(2x ?

?

3

) 的图象向左平移
) C. [0 ,

? 个单位,得到函数 g ( x) 的图象,则函数 4

125 12

D.

385 24

g ( x) 的一个单调递增区间是(
A. [?

5? , 0] 24

B. [ ?

?
3

, 0]

?
3

]

D. [ ?

? ?

, ] 6 2

10.已知函数 f ( x) 的定义域为 ?? 3,??? , f (6) ? 1 ,其 导函数的图像如图所示,若正数 a , b 满足
-3

y

b?2 f (2a ? b) ? 1 ,则 的取值范围是( a?2 2 2 A. ( ,1) B. (1, 4) C. ( , 4) 5 5

O
) D. (??, ) ? (4, ??)

x

2 5

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.)

x2 ? y 2 ? 1 有相同的焦点且过点 P ( 2 , 1 ) 的双曲线方程是 11.与椭圆 4
12. 从一个正方体中截去部分几何体,得到一个以原正方体 的部分顶点为顶点的凸多面体,其三视图如图,则该几 何体体积为 . 13. 两 点 等 分 单 位 圆 时 , 有 相 应 正 确 关 系 为
3 3 3

.

正视图

侧视图

sin ? ? sin(? ? ? ) ? 0 ,三点等分单位圆时,有相应正
3

确关系为 sin ? ? sin(? ?

2? 4? ) ? sin(? ? ) ? 0 ,由此 3 3

俯视图

可以推知:四点等分单位圆时的相应正确关系为____ 14.设直线 l1 的参数方程为 ?

.

?x ? 1 ? t ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴非负半轴为极轴 ? y ? a ? 3t

建立极坐标系,另一直线 l2 的方程为 ? sin ? ? 3? cos? ? 4 ? 0 ,若直线 l1 与 l2 间的距离为

10 ,则实数 a 的值为

.

15. 函 数 f ( x ) 的 导 函 数 为 f ?( x ) , 若 对 于 定 义 域 内 任 意 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) , 有

f ( x1 ) ? f ( x 2) x ?x ? f ?( 1 )2 恒 成 立 , 则 称 f ( x) 为 恒 均 变 函 数 . 给 出 下 列 函 数 : ① x1 ? x2 2

f ( x)=2 x ? 3 ;② f (x) ? x 2 ? 2x ? 3 ;③ f ( x)=

1 ;④ f (x)=e x ;⑤ f (x)=ln x .其中为 x

恒均变函数的序号是 .(写出所有满足条件的函数的序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写 在答题卡上的指定区域内.) 16.(本小题满分 12 分)
? x x x ) 与 b ? ( 3 sin ? cos , y ) 共线,且有函数 y ? f ( x) . 2 2 2 2? ? 2 x) 的值; (Ⅰ)若 f ( x) ? 1 ,求 cos( 3

已知向量 a ? (1, cos

?

(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 2a cos C ? c ? 2b ,求 函数 f ( B ) 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, AE ⊥平面 CDE ,已知

AE ? 3, DE ? 4 .
(Ⅰ)若 F 为 DE 的中点,求证: BE //平面 ACF ; (Ⅱ)求直线 BE 与平面 ABCD 所成角的正弦值; (Ⅲ)如果四棱锥 E ? ABCD 有外接球,求出四棱锥 E ? ABCD 外接球的半径,没有的话请说明理由. C

B A

E F D

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 3 , an?1 ? 4an ? 3an?1 (n ? N ?且n ? 2) . (Ⅰ)证明数列 {an?1 ? an } 是等比数列,并求出数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,且对一切 n ? N ,都有
?

b b1 b2 ? ? ? ? n ? 2n ? 1 成 a1 2a2 nan

立,求 Sn .

19.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? , A 、 B 分别为椭圆长轴右端点与短 a b 2

轴上端点,坐标原点 O 到直线 AB 的距离为 (Ⅰ)求椭圆的方程;

6 . 3

( Ⅱ ) 过 P(0, 2) 作 斜 率 为 k 的 直 线 交 椭 圆 于 不 同 的 两 点 M 、 N , 设 PM ? ? PN, 记

???? ?

????

f (? ) ? ? ?

1

(Ⅲ)求 k 与 ? 的范围.

?

? 2 ,求证: (6 f (? ) ? 32)k 2 ? ?3 f (? ) ;

20. (本小题满分 13 分) 黄山风景区某旅游超市销售不同价格的两种纪念品,一种单价 10 元,另一种单价 15 元, 超市计划将这两种纪念品共 4 件(两件 10 元,两件 15 元)在超市入口和出口处展出销售,假设 光顾该超市的一位游客随机的从这两处选购纪念品,且选购单价 10 元和 15 元的纪念品是等可能 的. (Ⅰ) 若每处各展出一件 10 元的纪念品和一件 15 元的纪念品,则该游客只选购了一件纪念品且 单价为 15 元的概率是多少? (Ⅱ)若每处至少展出一件纪念品,记该游客只选购了一件纪念品且单价为 15 元的概率为 P , 怎样分配展出能使 P 的值最大?并求出 P 的最大值; (Ⅲ) 若每处随机的各展出两件纪念品, 该游客从这两处各选购了一件纪念品,记该游客选购纪 念品的消费总金额为 X 元,求随机变量 X 的分布列,并求出 X 的数学期望.

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln (1 ? x), g ( x) ?
2

x2 . 1? x

(Ⅰ)分别求函数 f ( x ) 和 g ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线方程; (Ⅱ)证明不等式 ln ?1 ? x ? ?
2

x2 ; 1? x
1 n
n?a

(Ⅲ)对一个实数集合 M ,若存在实数 s ,使得 M 中任何数都不超过 s ,则称 s 是 M 的一个上 界.已知 e 是无穷数列 an ? (1 ? ) 数),求实数 a 的最大值. 所有项组成的集合的上界(其中 e 是自然对数的底

黄山市 2012 届高三第二次质量检测 数学(理科)答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.)

题号 答案

1 D

2 A

3 D

4 D

5 C

6 B

7 C

8 B

9 B

10 C

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.)
11.

x2 ? y2 ? 1 2

12.

9

13. sin ? ? sin(? ?

?
2

) ? sin(? ? ? ) ? sin(? ?

3? )?0 2

14. 9 或-11

15. ①②

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.)
16.解: (Ⅰ)∵ a 与 b 共线
? ?



y ? cos

x x x ( 3 sin ? cos ) 2 2 2

3 1 ? 1 ????????3 分 sin x ? (1 ? cos x) ? sin(x ? ) ? 2 2 6 2 ? 1 ? 1 ∴ f ( x) ? sin( x ? ) ? ? 1 ,即 sin( x ? ) ? ????????4 分 6 2 6 2 2? ? ? ? 1 cos( ? 2 x) ? cos 2( ? x) ? 2 cos 2 ( ? x) ? 1 ? 2 sin 2 ( x ? ) ? 1 ? ? ?6 分 3 3 3 6 2 (Ⅱ)已知 2a cos C ? c ? 2b ?
由正弦定理得:

2 sin A cosC ? sin C ? 2 sin B ? 2 sin( A ? C ) 2 sin A cosC ? sin C ? 2 sin A cosC ? 2 cos A sin C 1 ? ∴ cos A ? , ∴在 ?ABC 中 ∠ A ? .??????8 分 2 3 ? 1 f ( B ) ? sin( B ? ) ? 6 2 ? 2? ? ? 5? ∵∠ A ? ∴0 ? B ? , ? B? ? ???????10 分 3 3 6 6 6 1 ? 3 ∴ ? sin( B ? ) ? 1 , 1 ? f ( B) ? 2 6 2 3 ∴函数 f ( B ) 的取值范围为 (1, ] .???????12 分 2 BD AC 17.解:(Ⅰ)设 和 相交于 G ,连结 GF . 正方形 ABCD ,? BG ? GD ,又? EF ? DF , ? GF // BE ,又? GF ? 平面 ACF , BE ? 平面 ACF , ? BE // 平面 ACF ???????????????4 分 (Ⅱ)过 E 点作 EH ⊥ AD ,垂足为 H ,连结 BH ? AE ? 平面 CDE ,? AE ? CD ,又? CD ? AD , AE ? AD ? A , ? CD ? 平面 ADE ,? CD ? EH , CD ? AD ? D ,? EH ? 平面 ABCD 所以 ?EBH 是直线? BE 与平面 ABCD 所成的角.???????6 分
RT ?ADE 中, AE ? 3, DE ? 4 , B A G C F D E

? AD ? 5, EH ?

12 . 5

AB // CD,? AB ? AE,? BE ? 34 ,
? sin ?EBH ? HE 6 34 ? . 所 以 直 线 BE 与 平 面 ABCD 所 成 角 的 正 弦 值 为 BE 85

6 34 . ....................... 9 分 85
(Ⅲ)? AE ? 平面 CDE ,? AE ? CE, ?AEC ? 90? ,又 ABCD 为正方形, 所以有 GA ? GB ? GC ? GD ?

1 AC ? GE ,所以四棱锥 E ? ABCD 有外接球,且 2

半径为

5 2 ??????????????????12 分 2

18. 解: (Ⅰ)由 an ?1 ? 4an ? 3an ?1 可得 an?1 ? an ? 3(an ? an?1 ) 所以数列 {an?1 ? an } 是以 2 为首项,3 为公比的等比数列 ??????3 分 故有 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1

?

2(1 ? 3n ?1 ) ? 1 ? 3n ?1 ???????6 分 1? 3

(Ⅱ) 由

b b1 b2 ? ? ? ? n ? 2n ? 1 可知 a1 2a2 nan b1 ? 3 , b1 ? 3 , S1 ? 3 a1 bn ? 2n ? 1 ? (2n ? 1) ? 2 , bn ? 2n ? 3n?1 ?????8 分 nan

当 n ? 1 时,

当 n ? 2 时,

S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 32 ? ?2 ? n ? 3n?1
? 2(1? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? ?n ? 3n?1 ) ? 1
设 x ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? 3
0 1 2 n ?1

3 x ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? ? ? (n ? 1) ? 3n?1 ? n ? 3n

2x ? n ? 3n ? (3n?1 ? 3n?2 ? ?30 ) ? n ? 3n ?

3n ? 1 2

1 3 S n ? (n ? ) ? 3 n ? ???????11 分 2 2 1 3 n ? 综上 S n ? (n ? ) ? 3 ? , n ? N ???????12 分 2 2

19.解: (Ⅰ)椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1;???????4 分 2

x2 ? y 2 ? 1联立消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8kx ? 6 ? 0 (Ⅱ)依题意得 l : y ? kx ? 2 与椭圆方程 2
设 M ( x1 , y1 ) N ( x2 , y2 ) ,由 PM ? ? PN 得 x1 ? ? x2 ,? ? ?

???? ?

??? ?

x1 ???????6 分 x2

( x1 ? x2 )2 32k 2 f (? ) ? ? ? ? 2 ? ? ? x1 x2 3(1 ? 2k 2 ) 1
64k 2 32k 2 2 (6 f (? ) ? 32)k ? ( ? 32)k ? ? ? ?3 f (? ) 得证???????8 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2

(Ⅲ)由 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8kx ? 6 ? 0 得 ? ? (8k )2 ? 4 ? 6(1 ? 2k 2 ) ? 0

?k2 ?

3 6 6 ,即 k ? 或k ? ? ???????10 分 2 2 2

64 32k 2 得 4 ? f (? ) ? ???????11 分 f (? ) ? ? ? ? 2 ? 2 3 ? 3(1 ? 2k )

1

4???

1

?

?2?

64 1 , ? ? ? 3 且 ? ? 1 ???????12 分 3 3
1 6 6 ) ? ( , ??) , ? ? ( ,1) ? (1,3) ???????13 分 3 2 2

综上所述: k ? (??, ? 20. 解: (Ⅰ) P ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ????????3 分 2 2 2 2 2

(Ⅱ) a: 当一处展出 1 件单价为 10 元的纪念品,另一处展出另外 3 件纪念品时

P?

1 1 2 1 ?0+ ? ? 2 2 3 3

b: 当一处展出 1 件单价为 15 元的纪念品,另一处展出另外 3 件纪念品时

P?

1 1 1 2 ?1 ? ? ? 2 2 3 3 P? 1 1 1 ? 0 ? ?1 ? 2 2 2 1 2

c: 当一处展出 2 件单价为 10 元的纪念品,另一处展出 2 件单价为 15 元的纪念品时

d: 当每处各展出一件单价为 10 元的纪念品和一件单价为 15 元的纪念品时

P?

所以,当一处展出 1 件单价为 15 元的纪念品,另一处展出另外 3 件纪念品时 P 的值最大,最大值 为

2 ????????8 分 3

(Ⅲ)记该游客选购单价为 15 元的纪念品数为 Y ,则 Y 的可能取值为 0, 1, 2.

且 X ? 15Y ? 10(2 ? Y ) ? 5Y ? 20

2 1 1 1 ? ? ? 3 2 2 6 1 2 1 1 1 1 2 P(Y ? 1) ? ? 1 ? ? ( ? ? ? ) ? 3 3 2 2 2 2 3 2 1 1 1 P(Y ? 2) ? ? ? ? 3 2 2 6 1 2 1 EY ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 1 ,所以随机变量 X 的分布列为 6 3 6 20 25 X 1 2 P 6 3 P(Y ? 0) ?
EX ? 5EY ? 20 ? 25 元????????13 分
21. 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

30

1 6

2 ln(1 ? x) x 2 ? 2x , , g ?( x) ? 1? x (1 ? x) 2

则 f ?(0) ? 0, g ?(0) ? 0 ,且 f (0) ? 0, g (0) ? 0 , 所以函数 f ( x) 和 g ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线方程都是 y ? 0 ??????3 分 (Ⅱ)令函数 h( x) ? ln (1 ? x) ?
2

x2 ,定义域是 (?1,??) , 1? x

h?( x) ?

2 ln(1 ? x) x 2 ? 2 x 2(1 ? x) ln(1 ? x) ? x 2 ? 2 x , ? ? 1? x (1 ? x) 2 (1 ? x) 2
2

设 u( x) ? 2(1 ? x) ln( 1 ? x) ? x ? 2x ,则 u ?( x) ? 2 ln(1 ? x) ? 2 x ,

1 ? x) ? 2 x ,则 v ?( x) ? 令 v( x) ? 2 ln(

2 ? 2x ?2? , 1? x 1? x

当 ? 1 ? x ? 0 时, v ?( x) ? 0 , v( x) 在 (?1,0) 上为增函数,

? 当 x ? 0 时, v ( x) ? 0, v( x) 在 (0,??) 上为减函数.
所以 v( x) 在 x ? 0 处取得极大值,且就是最大值 , 而 v(0) ? 0 , 所以 u ?( x) ? 0 ,函数 u ( x) 在

(?1,??) 上为减函数???????????????????5 分
于是当 ? 1 ? x ? 0 时, u( x) ? u(0) ? 0 ,当 x ? 0 时, u( x) ? u(0) ? 0 , 所以,当 ? 1 ? x ? 0 时, h?( x) ? 0, h( x) 在 (?1,0) 上为增函数. 当 x ? 0 时, h?( x) ? 0, h( x) 在 (0,??) 上为减函数.

故 h( x) 在 x ? 0 处取得极大值,且就是最大值,而 h(0) ? 0 ,所以 h( x) ? 0 ,即

x2 x2 2 ln (1 ? x) ? ? 0, ln ?1 ? x ? ? ????????????8 分 1? x 1? x
2

(Ⅲ)由题意可知不等式 (1 ? 且不等式 (1 ?

1 n?a ) n

1 n?a ) ? e 对任意的 n ? N ? 都成立, n 1 1 ? e 等价于不等式 (n ? a ) ln(1 ? ) ? 1 ,由 1 ? ? 1 知, n n

a?

1 1 ln(1 ? ) n

? n ,设 F ( x) ?

1 1 ? , x ? (0,1] ,则 ln(1 ? x) x

F ?( x) ? ?

1 1 (1 ? x) ln 2 (1 ? x) ? x 2 ???????10 分 ? ? 2 (1 ? x) ln 2 (1 ? x) x 2 x (1 ? x) ln 2 (1 ? x)
2

由(Ⅱ)知, ln ?1 ? x ? ?

x2 ,即 (1 ? x) ln 2 (1 ? x) ? x 2 ? 0 , 1? x

所以 F ?( x) ? 0, x ? (0,1] ,于是 F ( x ) 在 (0,1] 上为减函数. 故函数 F ( x ) 在 (0,1] 上的最小值为 F (1) ? 所以 a 的最大值为

1 ?1, ln 2

1 ? 1 ???????????????13 分 ln 2


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