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不等式 3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 第1课时 二元一次不等式(组)所表示的平面区域同步练习


【成才之路】2016 年春高中数学 第 3 章 不等式 3.5 二元一次不等 式(组)与简单的线性规划问题 第 1 课时 二元一次不等式(组)所表示 的平面区域同步练习 新人教 B 版必修 5

一、选择题 1.不等式组?
? ?x>2 ?x-y+3<0 ?

表示的平面区域是(

)

[答案] D 2.不等式 x -y ≥0 表示的平面区域是(
2 2

)

[答案] B 3.完成一项装修工程,木工和瓦工的比例为 2?3,请木工需付工资每人 50 元,请瓦工 需付工资每人 40 元,现有工资预算 2 000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,请工人数的约束条件 是( )
?2x+3y≤5 ? A.? * ?x、y∈N ?

50x+40y≤2000 ? ? B.?x 2 = ? ?y 3

-1-

5x+4y≤200 ? ?x 2 C.? = y 3 ? ?x、y∈N
*

5x+6y<100 ? ? D.?x 2 = ? ?y 3

[答案] C [解析] 因为请木工每人工资 50 元,瓦工每人工资 40 元,工资预算为 2 000 元,∴50x +40y≤2 000 即 5x+4y≤200.x、y 表示人数∴x、y∈N ,∴答案为 C. 4.(2016·山东潍坊高二测试)不等式组
??x-y+1??x+y+1?≥0 ? ? ? ?-1≤x≤4
*

表示的平面区域是(

)

A.两个三角形 C.梯形 [答案] B

B.一个三角形 D.等腰梯形

[解析] 如图,∵(x-y+1)(x+y+1)≥0 表示如图 A 所示的对角形区域.且两直线交于 点 A(-1,0).故添加条件-1≤x≤4 后表示的区域如图 B.

5.已知点(-3,-1)和(4,-6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧,则 a 的取值范围为( A.(-24,7) B.(-7,24) C.(-∞,-7)∪(24,+∞) D.(-∞,-24)∪(7,+∞) [答案] B

)

[解析] ∵Ax+By+C>0 与 Ax+By+C<0 分别表示直线 Ax+By+C=0 两侧的点的集 合.∴(-9+2-a)·(12+12-a)<0∴-7<a<24. 6.图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )

-2-

A.?

?x+y-1≥0 ? ?x-2y+2≥0 ? ? ?x+y-1≥0 ?x-2y+2≤0 ?

B.?

?x+y-1≤0 ? ?x-2y+2≤0 ? ? ?x+y-1≤0 ?x-2y+2≥0 ?

C.?

D.?

[答案] A [解析] 取原点 O(0,0)检验满足 x+y-1≤0,故异侧点应为 x+y-1≥0,排除 B、D.

O 点满足 x-2y+2≥0,排除 C.
∴选 A. 二、填空题 7.不等式|2x-y+m|<3 表示的平面区域内包含点(0,0)和点(-1,1),则 m 的取值范围 是________. [答案] 0<m<3 [解析] 将点(0,0)和(-1,1)代入不等式中解出 0<m<3. 8.用三条直线 x+2y=2,2x+y=2,x-y=3 围成一个三角形,则三角形内部区域(不包 括边界)可用不等式表示为________.

x+2y<2 ? ? [答案] ?2x+y>2 ? ?x-y<3
三、解答题

x+y-6≥0 ? ?x-y≥0 9.画出不等式组? y≤3 ? ?x<5

表示的平面区域.

[解析] 不等式 x+y-6≥0 表示在直线 x+y-6=0 上及右上方的点的集合, x-y≥0 表 示在直线 x-y=0 上及右下方的点的集合,y≤3 表示在直线 y=3 上及其下方的点的集合,x

-3-

x+y-6≥0 ? ?x-y≥0 <5 表示直线 x=5 左方的点的集合, 所以不等式组? y≤3 ? ?x<5
图阴影部分.

表示的平面区域为如

一、选择题

x+y-1≥0 ? ? 1.在平面直角坐标系中,若不等式组?x-1≤0 ? ?ax-y+1≥0
面积等于 2,则 a 的值为( A.-5 C.2 [答案] D [解析] 由?
?x=1 ? ? ?x+y-1=0 ? ?y=ax+1 ?x+y-1=0 ? ? ?y=ax+1 ?x=1 ?

(a 为常数)所表示的平面区域的

) B.1 D.3

,得 A(1,a+1),

由?

,得 B(1,0),

由?

,得 C(0,1).

∵S△ABC=2,且 a>-1, 1 ∴S△ABC= |a+1|=2,∴a=3. 2

x≤0 ? ? 2.若 A 为不等式组?y≥0 ? ?y-x≤2

表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直

线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为( 3 A. 4

) B.1

-4-

7 C. 4 [答案] C

D.2

[解析] 如图所示,区域 A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形,当 a 从- 2 连续变化到 1 时扫过的区域为四边形 ODEC 所围成的区域.

S 四边形 ODEC=S△OBC-S△BDE=2- = .
二、填空题 3 5 3.点 P(1,a)到直线 x-2y+2=0 的距离为 ,且点 P 在 3x+y-3>0 表示的区域内, 5 则 a=________. [答案] 3 |1-2a+2| 3 5 [解析] 由题意,得 = , 5 5 ∴a=0 或 3,又点 P 在 3x+y-3>0 表示区域内, ∴3+a-3>0,∴a>0,∴a=3.

1 7 4 4

x+y-2≥0 ? ? 4.(2014·安徽文,13)不等式组?x+2y-4≤0 ? ?x+3y-2≥0
[答案] 4

表示的平面区域的面积为________.

[解析] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,

由?

? ?x+3y-2=0 ?x+2y-4=0 ?

,得 A(8,-2).

由 x+y-2=0 得 B(0,2).又|CD|=2, 1 1 故 S 阴影= ×2×2+ ×2×2=4. 2 2 三、解答题
-5-

x-2y+1>0 ? ? 5.画出不等式组?x+2y+1≥0 ? ?1<|x-2|≤3

表示的平面区域.

[解析] 不等式 x-2y+1>0 表示直线 x-2y+1=0 右下方的点的集合; 不等式 x+2y+1≥0 表示直线 x+2y+1=0 上及其右上方的点的集合; 不等式 1<|x-2|≤3 可化为-1≤x<1 或 3<x≤5, 它表示夹在两平行线 x=-1 和 x=1 之间或夹在两平行线 x=3 和 x=5 之间的带状区域,但不包括直线 x=1 和 x=3 上的点.所 以,原不等式表示的区域如下图所示.

x<3 ? ?2y≥x 6.求不等式组? 3x+2y≥6 ? ?3y<x+9

表示的平面区域的面积.

[解析] 不等式 x<3 表示直线 x=3 左侧点的集合. 不等式 2y≥x,即 x-2y≤0 表示直线 x-2y=0 上及左上方点的集合. 不等式 3x+2y≥6,即 3x+2y-6≥0 表示直线 3x+2y-6=0 上及右上方点的集合. 不等式 3y<x+9 即 x-3y+9>0 表示直线 x-3y+9=0 右下方点的集合. 综上可得,不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.

因为平面区域为四边形形状,设顶点分别为 A、B、C、D,如图. 3 3 3 可知 A(0,3)、B( , )、C(3, )、D(3,4) 2 4 2

S 四边形 ABCD=S 梯形 AOED-S△COE-S△AOB
1 1 1 = (OA+DE)·OE- OE·CE- OA·xB 2 2 2 1 1 3 1 3 = ×(3+4)×3- ×3× - ×3× =6. 2 2 2 2 2

-6-


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