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第4节 指数函数


第 4 节 指数函数 课时训练 【选题明细表】 知识点、方法 指数式的化简与运算 指数函数的图象 指数函数的性质 综合应用 题号 1、3、8、9 2、4、5 6、7、12 10、11、13、14 练题感 提知能

一、选择题 1.化简:( )·(-3 )÷( (D)9a2 =-9a.故选 C. C ) )=( C )

(A)6a (B)-

a (C)-9a 解析:原式=(-3÷ )·

2.函数 f(x)=2x 与 g(x)=-2-x 的图象关于( (A)x 轴对称 (B)y 轴对称 (C)原点对称 (D)直线 y=x 对称

解析:由 g(x)=-f(-x)得函数 f(x)=2x 与 g(x)=-2-x 的图象关于原点对 称.故选 C. 3.已知 f(x)=2x+2-x,若 f(a)=3,则 f(2a)等于( (A)5 (B)7 (C)9 (D)11 解析:由 f(a)=3 得 2a+2-a=3, B )

两边平方得 22a+2-2a+2=9, 即 22a+2-2a=7,故 f(2a)=7,选 B. 4.函数 f(x)=ax-b 的图象如图所示,其中 a、b 为常数,则下列结论正确 的是( D )

(A)a>1,b<0 (B)a>1,b>0 (C)0<a<1,b>0 (D)0<a<1,b<0 解析:由题图知函数单调递减, ∴0<a<1. 又 x=0 时,0<y<1,即 0<a-b<1, ∴-b>0,∴b<0.故选 D. 5.(2012 年高考四川卷)函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图象可能是 ( C )

解析:显然函数 y=ax-a 的图象过定点(1,0).故选 C. 6.设 a=40.8,b=80.46,c= (A)a>b>c (B)b>a>c (C)c>a>b (D)c>b>a ,则 a,b,c 的大小关系为( A )

解析:∵a=40.8=21.6,b=80.46=21.38,c= 又∵1.6>1.38>1.2,∴21.6>21.38>21.2, 即 a>b>c.故选 A.

=21.2,

7.若函数 f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足 f(1)= ,则 f(x)的单调递减区间 是( B )

(A)(-∞,2] (B)[2,+∞) (C)[-2,+∞) (D)(-∞,-2] 解析:由 f(1)= 得 a2= , ∴a= (a=- 舍去),

即 f(x)=

.

由于 y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以 f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.故选 B. 二、填空题 8.已知函数 f(x)= ,则 f(0)+f(-1)= .

解析:f(0)+f(-1)=100+6×(-1)+7=2. 答案:2 9.设函数 f(x)=a-|x|(a>0 且 a≠1),若 f(2)=4,则 f(-2)与 f(1)的大小 关系是 .

解析:∵f(2)=a-2=4,

∴a= . =2|x|,

∴f(x)=

∴f(-2)=4,f(1)=2, ∴f(-2)>f(1). 答案:f(-2)>f(1) 10.已知函数 f(x)=|2x-1|,a<b<c,且 f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中, 一定成立的是 .

①a<0,b<0,c<0; ②a<0,b≥0,c>0; ③2-a<2c; ④2a+2c<2. 解析:画出函数 f(x)=|2x-1|的大致图象(如图所示),

由图象可知:a<0,b 的符号不确定,0<c<1,故①②错; ∵f(a)=|2a-1|,f(c)=|2c-1|, ∴|2a-1|>|2c-1|, 即 1-2a>2c-1,故 2a+2c<2,④成立. 又 2a+2c>2 ∴2a+c<1, ∴a+c<0,∴-a>c, ∴2-a>2c,③不成立. ,

答案:④ 11.设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件: ①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当 0≤x≤1 时,f(x)=2x-1.则 f( )+f(1)+f( )+f(2)+f( )= .

解析:由 f(x)+f(-x)=0 知 f(x)是 R 上的奇函数,由 f(x)=f(x+2)知 f(x) 是周期为 2 的周期函数. ∴原式=f( )+f(1)+f(2- )+f(2-2)+f( -2) =f( )+f(1)-f( )+f(0)+f( ) =f(0)+f( )+f(1) =0+ -1+2-1= . 答案: 三、解答题 12.已知对任意 x∈R,不等式 范围. 解:原不等式可化为( ) >( ) , >( ) 恒成立,求实数 m 的取值

∵函数 y=( )x 在 R 上是减函数, ∴x2+x<2x2-mx+m+4 在 R 上恒成立, 即 x2-(m+1)x+m+4>0 对 x∈R 恒成立, ∴Δ =[-(m+1)]2-4(m+4)<0,

即 m2-2m-15<0,解得-3<m<5, ∴实数 m 的取值范围是(-3,5). 13.已知函数 y=b+ (a,b 是常数,且 a>0,a≠1)在区间[- ,0]上有

ymax=3,ymin= ,试求 a、b 的值. 解:令 t=x2+2x=(x+1)2-1, ∵x∈[- ,0], ∴t∈[-1,0], (1)若 a>1,函数 y=b+at 在[-1,0]上为增函数, ∴当 t=-1 时,y 取到最小值, 即 b+ = ,① 当 t=0 时,y 取到最大值,即 b+1=3,② 联立①②得方程组 解得

(2)若 0<a<1,函数 y=b+at 在[-1,0]上为减函数, 由题意得 解得 或 是奇函数.

综上,所求 a、b 的值为

14.已知定义域为 R 的函数 f(x)= (1)求 a,b 的值;

(2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取 值范围. 解:(1)∵f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(0)=0,即 从而有 f(x)= =0,解得 b=1. . =,

又由 f(1)=-f(-1)知

解得 a=2.经检验 a=2 适合题意, ∴所求 a、b 的值为 2,1. (2)由(1)知 f(x)= =- + .

由上式易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又因 f(x)是奇函数, 从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0, 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因 f(x)是减函数, 所以由上式推得 t2-2t>-2t2+k. 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0. 从而判别式Δ =4+12k<0, 解得 k<- .


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