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圆与方程精品(教案)


一、知识概要
(一)圆的方程 1.标准方程 圆心为( a, b ) ,半径为 r 的圆的标准方程为 ?x ? a ? ? ? y ? b ? ? r
2 2 2

【说明】方程中有三个参量 a、b、r ,因此三个独立条件可以确定一个圆。 2.一般方程 二次方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

r />配方后为 ( x ?
2 2

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4

当 D ? E ? 4F ? 0 时,二次方程表示圆心为 (?
2 2

D E 1 ,? ) ,半径为 r ? D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆, 2 2 2

把方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4F ? 0 )叫做圆的一般方程。
2 2

【说明】 (1)圆的一般方程体现了圆方程的代数特点:① x 、y 项系数相等且不为零;②没有 xy 项
2 2

(2)当 D ? E ? 4F ? 0 时,二次方程表示点 (?
2 2 2 2

D E ,? ) , 2 2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,二次方程不表示任何图形 (3)据条件列出关于 D、E、F 的三元一次方程组,可以确定圆的一般方程。 3.圆的参数方程 ① 圆心在 O(0,0) ,半径为 r 的圆的参数方程为 ?

? x ? r cos ? ( ? 为参数) ? y ? r sin ?

② 圆心在 O1 (a,b),半径为r 的圆的参数方程为 ?

? x ? a ? r cos? ( ? 为参数) ? y ? b ? r sin ?

(二)直线与圆 1.直线与圆的位置关系的判定 方法一:方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立方程组,利用判别式来讨论位置关系。 ① ? ? 0 ,直线与圆相交; ② ? ? 0 ,直线与圆相切;

1

③ ? ? 0 ,直线与圆相离 方法二:几何的观点,即把圆心到直线的距离 d 和半径 R 的大小加以比较。 ① d ? R ,直线与圆相交; ② d ? R ,直线与圆相切; ③ d ? R ,直线与圆相离 2.直线与圆相切 这类问题主要是求圆的切线方程,求圆的切线方程主要可分为已知斜率 k 或已知直线上一点两 种情况,而已知直线上一点可分为已知圆上一点分圆外一点两种情况。 3.直线和圆相交 这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题。

(三)两圆位置关系 1.两圆圆心距离为 d ? O1O2 ① 外离: d ? R ? r ; ② 外切: d ? R ? r ; ③ 相交: R ? r ? d ? R ? r ; ④ 内切: d ? R ? r ; ⑤ 内含: d ? R ? r . 2.两圆公切线 ① 外离:4 条; ② 外切:3 条; ③ 相交:2 条; ④ 内切:1 条; ⑤ 内含:0 条.

二、知识运用
类型一:圆的方程问题 处理直线与圆相切问题的关键是什么? 【例 1】求以 N (1,3) 为圆心,并且与直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 相切的圆的方程.

2

【解】 r ?

| 3 ? 3 ? 4 ? 1| 3 ?4
2 2

? 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4

【变式练习 1】过坐标原点且与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ?

1 5 ? 0 相切的直线的方程为 y ? 3x 或 y ? ? 2 3
2

【变式练习 2】已知直线 5x ? 12 y ? a ? 0 与圆 x ? 2 x ? y ? 0 相切,则 a 的值为
2

8 或-18

.

【变式练习 3】求经过点 A(0,5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程.

【解】设该圆的圆心为 (a, b) ,半径为 r ,则

| a ? 2b | 5

?

| 2a ? b | 5

? a 2 ? (b ? 5)2

?a ? 1 ? ? ?b ? 3 ? ?r ? 5



?a ? 5 ? 2 2 2 2 ?b ? 15 ,则方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 5 或 ( x ? 5) ? ( y ? 15) ? 125 ? ?r ? 5 5

类型二:弦长问题 直线被圆所截弦长的处理策略是什么?关键是借助圆的什么性质? 【例 2】求直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦 AB 的长.
2 2

【解】圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 ? r ?
2 2

5 , d?
2 2

|3?2?6| 32 ? 12

?

10 ? AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 10 2

? 【变式练习 1】直线 3 x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y ? 4 得的劣弧所对的圆心角为 60

【变式练式 2】直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 A, B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,
2 2

则a ?

0

.
2 2

【变式练习 3】已知圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 6 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 . (1)求证:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒交于两点; 【解】恒过 (1,1) (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程.【解】与过定点直线垂直时最小, m ? 2 ? l : y ? 2 x ? 1 类型三:直线与圆的位置关系 【例 3】已知直线 3 x ? y ? 2 3 ? 0 和圆 x ? y ? 4 ,判断此直线与已知圆的位置关系.
2 2

【解】 d ?

| ?2 3 | 3 ?1

? 3 ? 2 ? 相交
2 2

【变式练习 1】直线 x ? y ? 1 与圆 x ? y ? 2ay ? 0 (a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是 (0, 2 ? 1)

3

【变式练习 2】直线 y ? kx ? 2 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围是 (0, )
2 2

4 3

【变式练习 3】若直线 y ? x ? m 与曲线 y ?

4 ? x 2 有且只有一个公共点,求实数 m 的取值范围.

【解】有且只有一个公共点,则 ?2 ? m ? 2 或 m ? 2 2 有两个公共点,则 2 ? m ? 2 2 无交点,则 m ? ?2 或 m ? 2 2

类型四:圆与圆的位置关系 【例 4】判断圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 6 y ? 26 ? 0 与圆 C 2 : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的位置关系
2 2 2 2

【解】圆心之间距离 C1C2 ?
2 2

(2 ? 1) 2 ? (?1 ? 3) 2 ? 5 ? r1 ? r2 ? 6 ? 1 ? 7 ? 相离
2 2

【变式练习 1】圆 x ? y ? 2 x ? 0 和圆 x ? y ? 4 y ? 0 的位置关系是
2 2 2 2 2

外切
2

【变式练习 2】 若圆 x ? y ? 2mx ? m ? 4 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 4my ? 4m ? 8 ? 0 相切, 则实数 m 的取值集合是 {0, , ?2,
2 2

2 5

12 } 5
2 2

【解】方程为 ( x ? m) ? y ? 4 与 ( x ? 1) ? ( y ? 2m) ? 9

2 5 12 2 2 内切: (m ? 1) ? (2m) ? 3 ? 2 ? m ? ?2 或 m ? 5
2 2 外切: (m ? 1) ? (2m) ? 3 ? 2 ? m ? 0 或 m ?

【变式练习 3】求与圆 x ? y ? 5 外切于点 P(?1,2) ,且半径为 2 5 的圆的方程.
2 2

? a 2 ? b2 ? 3 5 ?a ? 3 【解】设圆心为 (a, b) ,则 ? ?? ? 2 2 ?b ? 6 ? (a ? 1) ? (b ? 2) ? 2 5 ?
则方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 6) ? 20
2 2

类型五:最值问题 与圆相关的最值有哪些解决途径,体现那些思想方法? 【例 5】已知点 P( x, y ) 在圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上运动.
2 2

(1)求

y ?1 2 2 的最大值与最小值; (2)求 2 x ? y 的最大值与最小值; (3) x ? y 的最大值与最小值。 x?2

【解】 (转化为斜率问题,即点 (2,1) 与 P( x, y ) 所在直线的斜率的最值) (1)

4

设直线为: y ? 1 ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 1 ? 2k ? 0 则圆心 (0,1) 到直线的距离: d ?

| 0 ? 1 ? 1 ? 2k | k2 ?1

?

| 2k | k2 ?1

? r ?1 ? ?

3 3 ?k? 3 3

??

3 y ?1 3 ? ? 3 x?2 3

(2)方法一: (使用圆的参数方程)设 P 的坐标为 (cos? ,sin ? ? 1) 则 2 x ? y ? 2cos? ? sin ? ? 1 ?

5 sin(? ? ? ) ? 1 ,其中 tan ? ? 2

又 ?1 ? sin(? ? ? ) ? 1 ,则 1 ? 5 ? 2 x ? y ? 1 ? 5 方法二: (转化为线性规划) (3) (将 x ? y 看为 P( x, y ) 与原点距离的平方,即将问题转化为距离来求解)
2 2

圆心到原点的距离 d ? 1 ,半径 r ? 1, 则 (d ? r ) ? x ? y ? (d ? r ) ,即 0 ? x ? y ? 4
2 2 2 2 2 2

【变式练习 1】实数 x, y 满足 x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 求:
2 2

(1)

y 2 2 的最大值; (2) y ? x 的最小值; (3) x ? y ? 2 x 的最值. x
2 5 5
2

【解】 (1)

(2) ?2 2 ? 3
2

(3) 2 ? x ? y ? 2 x ? 6
2 2

【变式练习 2】 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是 6 2 圆
2 2 【变式练习 2】已知点 A(?2, ?2), B(?2,6), C (4, ?2) ,点 P 在圆 x ? y ? 4 上运动,求 PA ? PB ? PC
2 2 2

的最大值和最小值. 【解】 PA ? PB ? PC
2 2 2

? 3( x 2 ? y 2 ) ? 68 ? 4 y ? 3 ? 4 ? 68 ? 4 y ? 80 ? 4 y

y ? 2 时, ymin ? 72 ; y ? ?2 时, ymax ? 88 ;
类型六:圆的应用问题 如何利用已知条件挖掘求圆的方程的重要信息?还需要注意限制条件。 【例 6】已知点 M 与两个定点 O(0,0) , A(3,0) 的距离的比为

1 ,求点 M 的轨迹方程. 2

【解】

x2 ? y 2 | OM | 1 1 ? 即 ? | AM | 2 ( x ? 3)2 ? y 2 2
2 2

整理得 ( x ? 1) ? y ? 4 ( x ? 0 , x ? 3 )

5

【变式练习 1】已知两定点 A(?2,0) , B(1,0) ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹所包围的面 积等于 4? 【变式练习 2】由动点 P 向圆引两条切线 PA 、 PB ,切点分别为 A 、 B , ?APB ? 60 ,
?

则动点 P 的轨迹方程是 x ? y ? 4
2 2

类型七:圆中的动点问题 圆中动点的变化,带来求其轨迹方程的方法是什么? 【例 7】已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4,3) ,端点 A 在圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上运动,求线段 AB 的中点
2 2

M 的轨迹方程.
【解】设 M ( x, y ) , A( x0 , y0 ) ,

x0 ? 4 ? ?x ? 2 ? 则有 ? ? y ? y0 ? 3 ? ? 2
? x0 ? 2 x ? 4 2 2 ?? 代入 ( x ? 1) ? y ? 4 y0 ? 2 y ? 3 ?
整理得

3 3 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 1 2 2
2 2

【变式练习 1】已知定点 B(3,0) ,点 A 在圆 x ? y ? 1 上运动, M 是线段 AB 上的一点,且 AM ? MB 则点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) ? y ?
2 2

???? ?

1 ???? 3

3 4

9 16

【变式练习 2】已知直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 4 相交于 A 、 B 两点,以 OA 、 OB 为邻边作平行四边
2 2

形 OAPB ,求点 P 的轨迹方程. 【解】连接 AB, OP 相交于 M ,则在平行四边形 OAPB 中, M 是 AB, OP 的公共中点 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,则 x1 ? x2 ? 2 x0 , y1 ? y2 ? 2 y0 将 y ? kx ? 1 代入 x ? y ? 4 ,得 (1 ? k ) x ? 2kx ? 3 ? 0
2 2
2 2

? x1 ? x2 ?

?2k ?k y ? y2 1 ? x0 ? ? y0 ? 1 ? 2 2 1? k 1? k 2 1? k2
6

消去 k 得

2 2 x0 ? y0 ? y0

设 P( x, y) ,由 M 为 OP 中点,则 x0 ?

x y , y0 ? 2 2

? x2 ? y 2 ? 2 y ? 0
而 y0 ?

1 2 ,且 k ? 0 ,即 0 ? y0 ? 1 ,则 0 ? y ? 2 1? k2

? x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 (0 ? y ? 2)

7


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