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导数大题


导数大题
1.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x . (1)若 f ( x) 在 x ?[1,+∞ ) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x= 3 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 x ?[1,a]上的最小值和最大值. 2、已知函数 f ( x) ? ex ? kx,x ? R (Ⅰ)若 k ? e ,试确定函数 f (

x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2) 3、设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x2 (I)若当 x ? ?1 时, f ( x ) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x ) 的单调性; (II)若 f ( x ) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln

F (n) ? (e

n ?1

? 2) (n ? N? ) .

n 2

e . 2 1 2 2 4 、已知定义在正实数集上的函数 f ( x ) ? x ? 2ax , g ( x) ? 3a ln x ? b ,其中 a ? 0 .设两曲线 y ? f ( x) , 2 y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同.
(I)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值; (II)求证: f ( x) ≥ g ( x) ( x ? 0 ) . 5、已知函数 f ( x) ? x3 ? x . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程; (2)设 a ? 0 ,如果过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,证明: ?a ? b ? f (a) . 6、设函数 f ( x) ? x 2 ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 . (Ⅰ)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值点; 2

(Ⅲ)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln ?
2

?1 ? 1 1 ? 1? ? 2 ? 3 都成立. ?n ? n n

7.设函数 f ? x ? ? x ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2 (I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (II)证明: f ? x2 ? ? 8.已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ?

单调区间; (Ⅲ)若 f ( x ) 的最小值为 1,求 a 的取值范围. 9.已知 a ? 0, 且a ? 1 函数 f ( x) ? loga (1 ? a x ) 。

1? x , x ? 0 ,其中 a ? 0 ? ? ? 若 f ( x) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值;? ?? ? 求 f ( x) 的 1? x

1 ? 2 In 2 4

a f (n) ; (I)求函数 f ( x ) 的定义域,并判断 f ( x ) 的单调性; (II)若 n ? N , 求 lim n n ??? a ? a
*

(III)当 a ? e( e 为自然对数的底数)时,设 h( x) ? (1 ? e 的取值范围以及函数 h( x) 的极值。

f ( x)

)( x2 ? m ? 1) ,若函数 h( x) 的极值存在,求实数 m

10.已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 2a ? 3a)e ( x ? R), 其中 a ? R
2 2 x

(1) 当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; (1) 当 a ?

3 1 a ? (x ? ) , 2 x 取最小值) . ∴ a<3(a=3 时也符合题意) . ∴ a≤3.
1.解: (1) f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 3 ? 0 . ∵ x≥1. ∴ (2) f ?(3) ? 0 ,即 27-6a+3=0, ∴

2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值. 3

?a ?

3 1 (当 x=1 时, ( x ? )m i ? n 3 2 x

a=5, f ( x) ? x3 ? 5x2 ? 3x .

令 f ?( x) ? 3x2 ?10 x ? 3 ? 0 得 x ? 3 ,或 x ?

1 (舍去) 3

当 1 ? x ? 3 时, f ?( x) ? 0 ; 当 3 ? x ? 5 时, f ?( x) ? 0 即当 x ? 3 时, f ( x ) 有极小值 f (3) ? ?9 .又 f (1) ? ?1, f (5) ? 15 ∴ f(x)在 x ? [1, 5] 上的最小值是 f (3) ? ?9 ,最大值是 f (5) ? 15 . 2 解: (Ⅰ)由 k ? e 得 f ( x) ? e x ? ex ,所以 f ?( x) ? e x ? e . 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (1 , ? ?) , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递减区间是 (??, 1) . (Ⅱ)由 f ( ?x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立.

1] 时, f ?( x) ? e ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) . 由 f ?( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k .①当 k ? (0,
x x

? ?) 上单调递增.故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意. 此时 f ( x ) 在 [0, , ? ?) 时, ln k ? 0 .当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表: ②当 k ? (1

x
f ?( x )

(0, ln k )

ln k

(ln k, ? ?)

?
单调递减

0
极小值

?
单调递增

f ( x)

? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k . 由此可得,在 [0,
, ?1 ? k ? e . 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1 综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e .
(Ⅲ)

F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? ex ? e? x ,

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? e x1 ? x2 ? 2 , ? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 ,
F (2) F ( n ? 1) ? e n ?1 ? 2 F (n) F (1) ? e n ?1 ? 2.
由此得, [ F (1) F (2) 故 F (1) F (2) 3 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)] [ F (n) F (1)] ? (en?1 ? 2) n
n ?1

F (n) ? (e

? 2) ,n ? N? .

n 2

3 1 ? 2 x ,依题意有 f ?(?1) ? 0 ,故 a ? . 2 x?a

从而 f ?( x) ?

2 x 2 ? 3 x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? 3 ? ? . f ( x ) 的定义域为 ? ? , ? ∞? , 3 3 ? 2 ? x? x? 2 2

当?

1 3 1 ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 2

从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , ? 1?, ? ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 , ? ?? ,

? 3 ? 2

? ? 1 ? ? 2

? ?

? ?

1? ? 单调减少. 2?

? ∞) , f ?( x) ? (Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 (?a,
2 2

2 x 2 ? 2ax ? 1 . x?a

方程 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4a ? 8 . (ⅰ)若 ? ? 0 ,即 ? 2 ? a ?

2 ,在 f ( x) 的定义域内 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 的极值.

(ⅱ)若 ? ? 0 ,则 a ? 2 或 a ? ? 2 . 若a ?

2 , x ? (? 2,∞ ? ) , f ?( x) ?

( 2 x ? 1)2 . x? 2

当x ? ?

? ? 2? ? 2 2 ? ? ? , ? ∞ 时, f ?( x) ?0 ,当 x ? ? ? 2, ? ? ? ? ? ? 时, f ( x) ?0 ,所以 f ( x) 无极值. 2 ? 2 ? ? ? 2 ?

若 a ? ? 2 , x ?( 2 ,∞ ? ) , f ?( x) ?

( 2 x ? 1)2 ? 0 , f ( x) 也无极值. x? 2
?a ? a 2 ? 2 , 2

(ⅲ)若 ? ?0 ,即 a?

2 或 a ? ? 2 , 则 2 x2 ? 2a x? 1 ? 0 有 两 个 不 同 的 实 根 x1 ?

x2 ?

?a ? a 2 ? 2 . 2

当 a ? ? 2 时, x1 ? ?a,x2 ? ?a ,从而 f ?( x ) 有 f ( x ) 的定义域内没有零点,故 f ( x ) 无极值. 当a?

2 时, x1 ? ?a , x2 ? ?a , f ?( x ) 在 f ( x) 的定义域内有两个不同的零点,由根值判别方法知 f ( x) 在

x ? x1,x ? x2 取得极值.
综上, f ( x ) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2,∞ ? ) . f ( x) 的极值之和为

1 e f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln( x1 ? a) ? x12 ? ln( x2 ? a) ? x2 2 ? ln ? a 2 ? 1 ? 1 ? ln 2 ? ln . 2 2
4 解: (Ⅰ)设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0,y0 ) 处的切线相同.

∵ f ?( x) ? x ? 2a , g ?( x) ?

3a 2 ,由题意 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) . x

?1 2 x0 ? 2ax0 ? 3a 2 ln x0 ? b, ? 3a 2 ?2 即? 由 得: x0 ? a ,或 x0 ? ?3a (舍去) . x ? 2 a ? 2 0 3 a x 0 ? x0 ? 2a ? , ? x0 ?
1 2 5 a ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? a 2 ? 3a 2 ln a . 2 2 5 2 2 令 h(t ) ? t ? 3t ln t (t ? 0) ,则 h?(t ) ? 2t (1 ? 3ln t ) .于是 2
即有 b ? 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 0 ? t ? e 时, h?(t ) ? 0 ;当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 t ? e 时, h?(t ) ? 0 . 故 h(t ) 在 ? 0,e 3 ? 为增函数,在 ? e 3, ? ∞? 为减函数,
1 3 1 3

? ?

1

? ?

? ?

1

? ?

? ∞) 的最大值为 h ? e 3 ? ? 于是 h(t ) 在 (0,

? ?

1

? ?

3 2 e3 . 2

(Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 则 F ?( x) ? x ? 2a ?

1 2 x ? 2ax ? 3a 2 ln x ? b( x ? 0) , 2

3a 2 ( x ? a)( x ? 3a) ? ( x ? 0) . x x

? ∞) 为增函数, 故 F ( x) 在 (0,a) 为减函数,在 (a,

? ∞) 上的最小值是 F (a) ? F ( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 . 于是函数 F ( x) 在 (0,
故当 x ? 0 时,有 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ≥ g ( x) . 5 解: (1)求函数 f ( x ) 的导数; f ?( x) ? 3x 2 ? 1. 曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程为:

y ? f (t ) ? f ?(t )( x ? t ) ,即

y ? (3t 2 ?1) x ? 2t 3 .

(2)如果有一条切线过点 (a,b) ,则存在 t ,使 b ? (3t 2 ?1)a ? 2t 3 . 于是,若过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,则方程

2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ? 0 有三个相异的实数根.


g (t ) ? 2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ,则

g ?(t ) ? 6t 2 ? 6at ? 6t (t ? a) .

当 t 变化时, g (t ),g ?(t ) 变化情况如下表:

t
g ?(t )

(??, 0)

0 0

(0,a)

a
0

(a, ? ?)

?

?

?

g (t )

极大值 a ? b

极小值 b ? f (a)

由 g (t ) 的单调性,当极大值a ? b ? 0 或极小值b ? f (a) ? 0 时,方程 g (t ) ? 0 最多有一个实数根; 当 a ? b ? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得 t ? 0,t ?

3a ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异的实数根; 2

当b ? f (a) ? 0 时,解方程 g (t) ?0 得t ? ? ,t ? a ,即方程 g (t) ?0 只有两个相异的实数根. 综上,如果过 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 三条切线,即 g (t ) ? 0 有三个相异的实数根,则 ?

a 2

?a ? b ? 0, 即 ?b ? f (a) ? 0.

?a ? b ? f (a ) .

, ? ?) , f ?( x) ? 2 x ? 6 解: (Ⅰ)由题意知, f ( x ) 的定义域为 (?1

b 2 x3 ? 2 x ? b ? x ?1 x ?1

设 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ,其图象的对称轴为 x ? ?
2

1 1 ? 1? ? (?1, ? ?) ,? g ( x)max ? g ? ? ? ? ? ? b . 2 2 ? 2?

当b ?

1 1 2 , ? ?) 上恒成立, 时, g ( x) max ? ? ? b ? 0 ,即 g ( x) ? 2 x ? 3x ? b ? 0 在 (?1 2 2

? ?) 时, f ?( x) ? 0 , ? 当 x ? (?1,
1 ? ?) 上单调递增. ? 当 b ? 时,函数 f ( x) 在定义域 (?1, 2 1 (Ⅱ)①由(Ⅰ)得,当 b ? 时,函数 f ( x ) 无极值点. 2

1? ? 2? x ? ? 1 1 2? ? ? 0 有两个相同的解 x ? ? , ② b ? 时, f ?( x) ? 2 2 x ?1

3

1? ? ? 1 ? x ? ? ?1, ? ? 时, f ?( x) ? 0 , x ? ? ? , ? ? ? 时, f ?( x) ? 0 , 2? ? ? 2 ?
?b ? 1 , ? ?) 上无极值点. 时,函数 f ( x ) 在 (?1 2
1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时, f ?( x) ? 0 有两个不同解, x1 ? , x2 ? , 2 2 2

③当 b ?

b ? 0 时, x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1 , x2 ? ? 0, 2 2

即 x1 ? (?1 , ? ?) , x2 ???1 , ? ?? .? b ? 0 时, f ?( x ) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(?1,x1 )
?

x1
0

( x2, ? ?)

?

f ( x)
由此表可知: b ? 0 时, f ( x ) 有惟一极小值点 x1 ?

极小值

?1 ? 1 ? 2b , 2

当0 ? b ?

1 ?1 ? 1 ? 2b 时, x1 ? ? ?1 ,? x1,x2 ? (?1 ? ?) , 2 2

此时, f ?( x ) , f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(?1,x1 )

x1
0
极大值

( x1,x2 )
?

x1
0
极小值

( x1, ? ?)

?

?

由此表可知: 0 ? b ?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时, f ( x ) 有一个极大值 x1 ? 和一个极小值点 x2 ? ; 2 2 2

综上所述: b ? 0 时, f ( x ) 有惟一最小值点 x ?

?1 ? 1 ? 2b ; 2

0?b?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时, f ( x ) 有一个极大值点 x ? 和一个极小值点 x ? ; 2 2 x

1 b ≥ 时, f ( x) 无极值点. 2
(Ⅲ)当 b ? ?1 时,函数 f ( x) ? x2 ? ln( x ? 1) ,令函数 h( x) ? x2 ? f ( x) ? x2 ? x2 ? ln( x ? 1) , 则 h?( x) ? 3x ? 2 x ?
2

1 3x 2 ? ( x ? 1)2 ? . x ?1 x ?1

? ?? 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 h( x) 在 ?0, ? ?? 上单调递增, ? 当 x ??0,
? ?) 时,恒有 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 x2 ? x3 ? ln( x ? 1) 恒成立. 又 h(0) ? 0 .? x ? (0, ? ?) 时,有 ln( x ? 1) ? x ? x . 故当 x ? (0,
2 3

对任意正整数 n 取 x ?

1 ?1 ? 1 1 ? (0, ? ?) ,则有 ln ? ? 1? ? 2 ? 3 .所以结论成立. n ?n ? n n

7 解: (I) f ? ? x ? ? 2 x ?

a 2x2 ? 2x ? a ? ( x ? ?1) 1? x 1? x
1 。由题意知 x1、x2 是方程 g ( x) ? 0 的两个均大于 ?1 的不相等的 2

2 令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ,其对称轴为 x ? ?

实根,其充要条件为 ?

?? ? 4 ? 8a ? 0 1 ,得 0 ? a ? 2 ? g (?1) ? a ? 0

⑴当 x ? (?1, x1 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 (?1, x1 ) 内为增函数; ⑵当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 内为减函数; ⑶当 x ? ( x2, ? ?) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x2, ? ?) 内为增函数; (II)由(I) g (0) ? a ? 0,??

1 ? x2 ? 0 , a ? ?(2x22 +2x2 ) 2

? f ? x2 ? ? x22 ? aln ?1? x2 ? ? x22 ? (2x22 +2x2 )ln ?1? x2 ?
2 2 设 h ? x ? ? x ? (2 x ? 2 x)ln ?1 ? x ? ( x ? ? ) ,

1 2

则 h? ? x ? ? 2x ? 2(2x ?1)ln ?1 ? x ? ? 2x ? ?2(2x ?1)ln ?1 ? x ? ⑴当 x ? (?

1 1 , 0) 时, h? ? x ? ? 0,?h( x) 在 [? , 0) 单调递增; 2 2

⑵当 x ? (0, ??) 时, h? ? x ? ? 0 , h( x) 在 (0, ??) 单调递减。

1 1 1 ? 2 ln 2 ?当x ? (? , 0)时, h ? x ? ? h(? ) ? 2 2 4
8 解(Ⅰ) f '( x) ?

故 f ? x2 ? ? h( x2 ) ?

1 ? 2 In 2 . 4

a 2 ax 2 ? a ? 2 ? ? , ax ? 1 (1 ? x)2 (ax ? 1)(1 ? x)2

∵ f ( x ) 在 x=1 处取得极值,∴ f '(1) ? 0,即a 12 ? a ? 2 ? 0, 解得 a ? 1. (Ⅱ) f '( x) ?

ax 2 ? a ? 2 , ∵ x ? 0, a ? 0, (ax ? 1)(1 ? x)2

∴ ax ? 1 ? 0.

①当 a ? 2 时,在区间 (0, ??)上,f '( x) ? 0, ∴ f ( x ) 的单调增区间为 (0, ??). ②当 0 ? a ? 2 时,由 f '( x) ? 0解得x ?

2?a 2?a ,由f '( x) ? 0解得x ? , a a

∴ f ( x)的单调减区间为(0,

2-a 2-a ), 单调增区间为( , ? ?). a a

(Ⅲ)当 a ? 2 时,由(Ⅱ)①知, f ( x)的最小值为f (0) ? 1; 当 0 ? a ? 2 时,由(Ⅱ)②知, f ( x ) 在 x ?

2?a 2?a ) ? f (0) ? 1, 处取得最小值 f ( a a

综上可知,若 f ( x ) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2, ??).
x 9 解: (Ⅰ)由题意知 1 ? a ? 0

时,f ( x)的定义域是(0, ? ?);当a ? 1时,f ( x)的定义域是(? ?, 0) 当 0 ? a ?1

-a x ln a ax f?(x)= glog a e ? x 1 ? ax a ?1
当 0 ? a ?1 时,x ? (0, ??).因为a x ?1 ? 0, a x ? 0, 故f?(x)<0,所以f(x)是减函数 当 a ?1 时,x ? (??,0),因为a x ?1 ? 0, a x ? 0, 故f ?( x) ? 0, 所以f ( x)是减函数 …. (Ⅱ)因为 f (n) ? loga (1 ? an ), 所以a f ( n) ? 1 ? an 由函数定义域知 1 ? a n >0, 因为 n 是正整数,故 0<a<1. 所以

lim

a f (n) 1 ? an 1 ? lim ? n ?? a n ? a n ?? a n ? a a

(Ⅲ) ( h x) ? ex ( x2 ? m ? 1)( x ? 0), 所以h?( x) ? e x ( x2 ? 2x ? m ? 1) 令 h?( x) ? 0,即x2 ? 2 x ? m ? 1 ? 0,由题意应有? ? 0,即m ? 0 ① 当 m=0 时, h?( x) ? 0 有实根 x ? ?1 ,在 x ? ?1 点左右两侧均有 h?( x) ? 0 故无极值 ② 当 0 ? m ? 1 时, h?( x) ? 0 有两个实根 x1 ? ?1 ? m, x2 ? ?1 ? m 当 x 变化时, h?( x ) 、 h( x) 的变化情况如下表所示:

x
h?( x) h( x )

(??, x1 )
+ ↗
m

x1
0 极大值

( x1 , x2 )


x2
0 极小值

( x2 ,0)
+ ↗

? h( x) 的极大值为 2e?1?

(1 ? m ) , h( x) 的极小值为 2e?1? m (1 ? m )

③ 当 m ? 1 时, h?( x) ? 0 在定义域内有一个实根, x ? ?1 ? m 同上可得 h( x) 的极大值为 2e?1?
m

(1 ? m )

(0, ? ?) 综上所述, m ? 时,函数 h( x) 有极值;
当 0 ? m ? 1 时 h( x) 的极大值为 2e 当
?1? m

(1 ? m ) , h( x) 的极小值为 2e?1? m (1 ? m )
极 大 值 为

m ?1





h( x )



2e?1? m (1 ? m )

10

、 (

I







当a ? 0时,f ( x) ? x 2 e x ,f ' ( x) ? ( x 2 ? 2x)e x,故f ' (1) ? 3e.

所以曲线y ? f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为 3e.
(II) 解:f ' ( x) ? x ? (a ? 2) x ? 2a ? 4a e .
2 2 x

?

?

令f ' ( x) ? 0,解得 x ? ?2a,或 x ? a ? 2.由a ?
以下分两种情况讨论。

2 知, ? 2a ? a ? 2. 3

(1) 若a >

2 ,则 ? 2a < a ? 2 .当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3

x

?? ?, ? 2a ?
+ ↗

? 2a
0 极大值

?? 2a,a ? 2?
— ↘

a?2
0 极小值

?a ? 2, ? ??
+ ↗

所以f ( x)在(??, ? 2a), (a ? 2, ? ?)内是增函数,在 (?2a,a ? 2)内是减函数 .
函数f ( x)在x ? ?2a处取得极大值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a . 函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极小值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 .
(2) 若a <

2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3

x

?? ?,a ? 2?
+ ↗

a?2
0 极大值

?a ? 2, ? 2a ?
— ↘

? 2a
0 极小值

?? 2a, ? ??
+ ↗

所以f ( x)在(??,a ? 2), (?2a, ? ?)内是增函数,在 (a ? 2, ? 2a)内是减函数。
函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极大值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 . 函数f ( x)在x ? ?2a处取得极小值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a .


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