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2016届山东省济南市第一中学高三上学期期中考试数学理试题


2016 届山东省济南市第一中学高三上学期期中考试数学理试题

说明:本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷为第 1 页至第 3 页,共 20 题,第Ⅱ卷 为第 3 页至第 4 页,全卷共 29 个题。请将第Ⅱ卷答案答在答题纸相应位置,考试结束后将答题纸上交。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,每题 4 分,共 80 分)
1.已知全集为 R,集合 A={ x | ( ) ? 1 },B={ x | x ? 2 }, A ? ?R B =(
x

1 2

)

A. [0, 2] 2.函数 y ?

B. [0, 2)

C. (1, 2) ) C. (?1,1) ? (1,??) )

D. (1, 2]

lg( x ? 1) 的定义域是( x ?1
B. [?1,??)

A. (?1,??)

D. [?1,1) ? (1,??)

3.曲线 y ? x3 ? 2 x 在 (1, ?1) 处的切线方程为( A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0

C. x ? y ? 2 ? 0 )

D. x ? y ? 2 ? 0

2 2 4.命题“若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 ”的逆否命题是( 2 2 A.若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 2 2 C.若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 a ? b ? 0

2 2 B.若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 2 2 D.若 a ? 0 或 b ? 0 ,则 a ? b ? 0

5.下列说法不正确 的是( ...
2

)

A.若“ p 且 q ”为假,则 p , q 至少有一个是假命题 B.命题“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”
2

C.“ ? ?

?
2

”是“ y ? sin ? 2 x ? ? ? 为偶函数”的充要条件
?

D.当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x 在 ? 0, ?? ? 上单调递减 错误!未找到引用源。7.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a, b, c .若 a sin A ? c sin C ? 3a sin C ? b sin B. 则角 B 等于( A. ) B.

5? 6

2? 3

C.

? 3

D.

? 6
)

8.在△ABC 中,A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积为 A. 3 2 B. 3 C. 2 3

3 ,则 BC 的长为( 2 D. 2
x

9.函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的奇函数,当 x ? (0,2) 时, f ( x) ? 2 ? 1, 则 f (log 2 ) 的值为( A. ? 2 B. ?

1 3

)

2 3

C. 7

D. 3 2 ? 1

高三数学试题(理科) 第 1 页 共 7 页

10.将函数 f ? x ? ? sin ?2 x ? ? ? 的图象向左平移 A.

?
8

个单位,所得到的函数图象关于 y 轴对称,则 ? 的一个可能取值为 D. ?

3? 4

B. 0

C.

?
4

?
4

11.若 cos? ? sin ? ? ? A

? 5 ,则 cos( ? 2? ) 的值为 ( 2 3
B

) D ?

4 9

2 9

C

?

2 9

4 9
) C . 错误!未找到引用源。

12.已知 ? ? [0, ? ] , cos ? ?

3 ? ,则 tan ? ( 4 2 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。

A . 7 错误!未找到引用源。 D. 错误!未找到引用源。

13.函数 y ? x ? sin x, x ?[?? , ? ] 的大致图象是(

)

14.要得到函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ?

? ?

??

?? ? ? 的图象,只需将函数 g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 的图象( 3? 3? ?
? 个单位长度 2 ? D. 向右平移 个单位长度 4
B. 向右平移

)

? 个单位长度 2 ? C. 向左平移 个单位长度 4
A. 向左平移

? x 2 ? bx ? c, x ? 0, 15.设函数 f ? x ? ? ? 若 f ? ?4? ? f ? 0? , f ? ?2? ? ?2 ,则关于 x 的方程 f ? x ? ? x 的解的个数为( ) x ? 0. ?2,
A.4 B.3 C.2 D.1 16.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 则 f ( x1 ? x2 ) ? ( A. 1 B. )

?
2

) 的部分图象如图所示,若 x1 , x2 ? (?

? ?

, ) ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 6 3

1 2

C.

2 2

D.

3 2

x 17.若函数 y ? a ? b 的图象如图 1,则函数 y ?

1 x?a

? b ? 1 的图象为(



高三数学试题(理科) 第 2 页 共 7 页

图1

?1 x?0 ? 2 18.函数 f ( x) ? ? 0 x ? 0 , g ( x) ? x ? f ( x ? 1), 则函数 g ( x) 的递减区间是( ?? 1 x ? 0 ?
A. [0,??) B. [0,1) C. (??,1) D. (?1,1)

)

19.设 f ? x ? ? ln x ,若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? ax 在区间 ? 0,3? 上有三个零点,则实数 a 的取值范围是( ) A. ? 0, ?
x

? ?

1? e?

B. ?

? ln 3 ? ,e? ? 3 ?

C. ? 0,

? ?

ln 3 ? 3 ? ?

D. ?

? ln 3 1 ? , ? ? 3 e?

(其中 e 为自然对数的底数),函数 20.设函数 f ( x) ? e ? x ? 2 错误!未找到引用源。的零点为错误!未找到引用源。

f ( x) ? ln x ? x ? 2 错误!未找到引用源。的零点为
A.

错误!未找到引用源。

,则下列不等式成立的是(

)

f (a) ? f (1) ? f (b)

B. D.

f (a) ? f (b) ? f (1) f (b) ? f (1) ? f (a)

C. f (1) ? f (a) ? f (b)

第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分,填空每题 4 分)
21. A ? {?4, 2a ?1, a } ,B= {a ? 5,1 ? a,9}, 且 A ? B ? {9} ,则 a 的值是
2

2 22. 若 f ( x) ? x ? 2 xf ?(1) ,则 f ?(0) 等于

23.设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) = 2 x(1 ? x) , f ( ? ) =____ 24. 小明爸爸开车以 80 km / h 的速度沿着正北方向的公路行驶,小明坐在车里观察,在点 A 处望见电视塔 P 在北偏东

5 2

30 0 方向上, 15 分钟后到点 B 处望见电视灯塔在北偏东 750 方向上,则汽车在点 B 时与电视塔 P 的距离是
____________ km . 25.设函数 f ( x) ? x | x | ?bx ? c ,下列四个命题中正确的 是 ... ① c ? 0 时, y ? f ( x) 是奇函数; ③ y ? f ( x) 的图象关于点 (0, c ) 对称; ② b ? 0, c ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 只有一个实数根; ④ 方程 f ( x) ? 0 最多有两个实根;
高三数学试题(理科) 第 3 页 共 7 页

三、解答题(共 50 分) 26. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin? 2 x ?

? ?

??

? ? 2? ? ? 2 sin ? x ? ? ( x ?R). 6? 12 ? ?
? ? ?? ,求 x; , ? 4 4? ?

(Ⅰ)若 f ( x) ? 1 ? 2 且 x ? ??

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间.

27. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 2cos A cos C (tan A tan C ?1) ? 1 . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? c ?

3 3 , b ? 3 ,求 ?ABC 的面积. 2

28. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x
2

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4

? 3 1? ? ?

29. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? e ? ax ? a (其中 a ? R, e 是自然对数的底数, e ? 2.71828 ?).
x

(I)当 a ? e 时,求函数 f ? x ? 的极值; (II)当 0 ? a ? 1 时,求证 f ? x ? ? 0 ; (III)求证:对任意正整数 n,都有 ? 1 ?

? ?

1 ?? 1 ? ? 1 ? ??1 ? 2 ? ??? ?1 ? n ? ? e . 2 ?? 2 ? ? 2 ?

高三数学试题(理科) 第 4 页 共 7 页

高三模拟试题(理科)参考答案
一、选择题

1-5

BCADC

6-10 BDBAC 16-20 DABDA
22.

11-15 DBACB
二、填空题 21. ?3 三、解答题 26.解: (Ⅰ) f ( x) ? 3 sin? 2 x ?

?4

23. ?

1 2

24. 10 2

25. ①②③

? ?

??

? ? 2? ? ? 2 sin ? x ? ? 6? 12 ? ?

? 3 sin( 2 x ?

?
6

) ? 1 ? cos( 2 x ?

?

?? ?? ?? ?? ? ) ? 2 sin ?? 2 x ? ? ? ? ? 1 ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 ------4 分 6 3? 6 ? 6? ? ??

因为 f ( x) ? 1 ? 2 ,所以 sin? 2 x ?

? ?

??

2 ------------------------------------------------6 分 ??? 3? 2

由于 x ? ?? 所以 x ? ?

? 3? ? ? ? ? 5? ? ? ? ? ?? , ? ,所以 2 x ? ? ?? , ? ,故 2 x ? ? ? 或 2 x ? ? ? 3 4 3 4 3 ? 6 6? ? 4 4?
5? ? 或x ? ---------------------------------------------------------------------------------8 分 24 24

(Ⅱ)令 2k? ? 解得 k? ?

?

?

2

? 2x ?

?

3

? 2k? ?

?

12

? x ? k? ?

5? (k ? Z ) 12

2

------------------------------------------------10 分

所以 f ( x ) 单调递增区间为 ?k? ? 27. (本小题满分 12 分)

? ?

?
12

, k? ?

5? ? (k ? Z ) ----------------------------------------12 分 12 ? ?

解: (Ⅰ)由 2cos A cos C (tan A tan C ?1) ? 1 得:

2 cos A cos C (

sin A sin C ? 1) ? 1 ?????????????????????2 分 cos A cos C

? 2(sin A sin C ? cos A cos C ) ? 1
1 ? cos( A ? C ) ? ? ,???????????????????????????4 分 2 ? 1 ???????????????????6 分 ? cos B ? ,又 0 ? B ? ? ? B ? 3 2

a 2 ? c ? b2 1 (a ? c) 2 ? 2ac ? b 2 1 ? , ???8 分 ? ? (Ⅱ)由余弦定理得: cos B ? 2ac 2 2ac 2

2

高三数学试题(理科) 第 5 页 共 7 页

又a?c ?

5 27 3 3 ? 2ac ? 3 ? ac , ac ? ,b ? 3 ? 4 4 2

???????????10 分

1 1 5 3 5 3 ??????????????????12 分 ? S?ABC ? ac sin B ? ? ? ? 2 2 4 2 16 ? 3 ? ? 2 ? 2 2 4 x ? 6 x ? 2 2(2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? ? (Ⅰ) f ?( x) ? . 2x ? 3 2x ? 3 2x ? 3 3 当 ? ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; 2 1 当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ; 2 1 当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 ? 3 ? ? 1 ? 从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , ? 1? , ? ? , ? ∞? 单调增加, ? 2 ? ? 2 ?
28.解: f ( x ) 的定义域为 ? ? , ? ∞? . 在区间 ? ?1 , ?

? ?

1? ? 单调减少.?????????????6 分 2?

1 ? 3 1? ? 1? ? ? ? ? 3 9 7 1 3 1 1? 49 ? ? 3? ?1? 又 f ? ? ? ? f ? ? ? ln ? ? ln ? ? ln ? ? ?1 ? ln ? ? 0 . 2 16 2 16 7 2 2? 6 ? ? 4? ?4?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最小值为 f ? ? ? ? ln 2 ? . 4 4 2 4 所以 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值为 f ? ? ? ? ln .?????????????12 分 2 ? 4 4? ? 4 ? 16

? 3 1?

?1?

1

7

高三数学试题(理科) 第 6 页 共 7 页

29.

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