当前位置:首页 >> 数学 >>

空间向量与立体几何复习教案


www. zgjhjy.com

授课教案
学员姓名:__________ 学员年级:__________ 教学标题 教学目标 教学重难点 上次作业检查 授课内容: 授课教师:_ 所授科目: 上课时间:___年__月___日___时___分至___时___分共___小时
专题:空间向量法解决立体几何问题 熟练掌握:三角函数复习 重点掌握: 正确数: 正确率: 考点内容: 问题描述:

一 专题提纲
(一)引入两个重要空间向量
1、直线的方向向量; 2、平面的法向量。

(二)立体几何问题的类型及解法
1、判断直线、平面间的位置关系 (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系; 2、求解空间中的角度 (1)线线角 (2)线面角 (3)二面角

二 梳理知识(新课内容)
(一)引入两个重要的空间向量
1.直线的方向向量
把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图 1,在空 间直角坐标系中,由 A(x1,y1,z1)与 B(x2,y2,z2)确定的直线 AB 的方向向量是

AB ? ? x 2 ? x1, y 2 ? y1, z 2 ? z1?

细节决定未来

www. zgjhjy.com

2.平面的法向量
如果表示向量 n 的有向线段所在的直线垂直于平面α ,称这个向量垂直于平面α , 记作 n⊥α ,这时向量 n 叫做平面α 的法向量.

在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图 2,设 a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α 内的 两个不共线的非零向量 ,由直线与平面垂直的判定定理知 ,若 n⊥a 且 n⊥b,则 n⊥α .换句话说,若 n·a = 0 且 n·b = 0, 则 n⊥α .

求平面的法向量的坐标的步骤: 第一步(设):设出平面法向量的坐标为 n=(x,y,z). 第二步(列):根据 n·a = 0 且 n·b = 0 可列出方程组

? x1 x ? y1 y ? z1 z ? 0 ? ? x2 x ? y2 y ? z2 z ? 0
第三步(解):把 z 看作常数,用 z 表示 x、y. 第四步(取):取 z 为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量 n 的坐标. 例1:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量. 解:以 A 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz (如图) , 设平面 OA1D1 的法向量的法向量为 n=(x,y,z), 则 O(1,1,0) ,A1(0,0,2) ,D1(0,2,2) 由 OA1 =(-1,-1,2) , OD1 =(-1,1,2) 得?

?? x ? y ? 2 z ? 0 ?x ? 2z ,解得 ? ?? x ? y ? 2 z ? 0 ?y ? 0

取z =1 得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).

(二)立体几何问题的类型及解法
1.判定直线、平面间的位置关系
(1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线 a,b 的方向向量分别为 a , b ①若 a ∥ b ,即 a =λ b ,则 a∥b. ②若 a ⊥ b ,即 a · b = 0,则 a⊥b 例 2: 已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是
细节决定未来

www. zgjhjy.com

菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ ,求证: CC1⊥BD 证明:设 CD ? a, CB ? b, CC1 ? c, 依题意有 a ? b

BD ? CD ? CB ? a ? b CC1 ? BD ? c a ? b ? c ? a ? c ? b
于是

?

?

? c a cos ? ? c b cos ? ? 0

? CC1 ? BD
(2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 n ,且 L ? ? ①若 a ∥ n ,即 a =λ n ,则 L ? ? ②若 a ⊥ n ,即 a · n = 0,则 L ? 例 3:棱长都等于 2 的正三棱柱 ABC-A1B1C1,D,E 分别是 AC,CC1 的中点,求 证: (I)A1E ⊥平面 DBC1; (II)AB1∥平面 DBC1

解:以 D 为原点,DC 为 x 轴,DB 为 y 轴建立空间直角坐标系 D-xyz.则 A(-1,0,0), B(0, 3 ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, 3 ,2), C1(1,0,2). 设平面 DBC1 的法向量为 n =(x,y,z),则 ?

? ?x ? 2z ? 0 ? ? 3y ? 0

解之得, ?

? x ? ?2 z ?y ? 0

取 z = 1 得 n =(-2,0,1) (I) A1 E ? ? 2, 0, ?1? ? ? n ,从而 A1E ⊥平面 DBC1 (II) AB1 ? 1, 3, 2

?

?

,而 AB1 ? n ? ?2 ? 0 ? 2 ? 0 ,从而

AB1∥平面 DBC1 (3)平面与平面的位置关系 平面α 的法向量为 n1,平面β 的法向量为 n2 ①若 n1∥n2,即 n1=λ n2,则α ∥β ②若 n1⊥n2,即 n1·n2= 0,则α ⊥β

细节决定未来

www. zgjhjy.com

例 4:正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点,求证:面 ABD1⊥面 A1FD 证明:以 A 为原点建立如图所示的的直角坐标系 A-xyz, 设 正 方 体 的 棱 长 为 2, 则 A(0,0,0),B(2,0,0),D1(0,2,2),E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0), 于是 AB ? ? 2, 0, 0 ?

AD1 ? ? 0, 2, 2 ?
?2 x ? 0 ?2 y ? 2 z ? 0

设平面 AED 的法向量为 n1=(x,y,z)得 ?

解之得 ?

?x ? 0 ? y ? ?z

取 z=1 得 n1=(0,-1,1) 同理可得平面 A1FD 的法向量为 n2=(0,1,1) ∵n1·n2 =0-1+1=0 ∴面 ABD1⊥面 A1FD

2.求空间中的角
(1)两异面直线的夹角 利用向量法求两异面直线所成的夹角 ,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直 线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补 ,我们仅取锐角或直角就行 了. 例 5 如图在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AB 的中点,则对角线 DB1 与 CM 所成角的余弦值为 _____. 解: 以 A 为原点建立如图所示的直角坐标系 A-xyz, 设正方体的棱长为 2,则 M(1,0, 0),C(2,2,0), B1(2, 0, 2),D(0,2 ,0), 于是 CM ? ? ?1, ?2, 0 ?

DB1 ? ? 2, ?2, 2 ?
?2 ? 4 ? 0 2 15 ? ? 30 1? 4 ? 0 4 ? 4 ? 4 5 ?4 3

? cos ? CM , DB1 ??

(2)直线与与平面所成的角 若 n 是 平 面 ? 的 法 向 量 , a 是 直线 L 的 方 向 向 量 , 则 L 与 ? 所 成 的 角 ? ?

?
2

? ? a, n ? 或

? ?? a, n ? ?

?
2







细节决定未来

www. zgjhjy.com

sin ? ? cos ? a, n ? ?
a?n a?n

a?n a?n

?

a?n a?n

所以, ? ? arcsin

,或者 ? ?

?
2

? arccos

a?n a?n

例6:正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 2a ,求AC1与侧面ABB1A1所成的角 解:建立如图示的直角坐标系,则 A(

a a 3 ,0,0),B(0, a ,0) A1( ,0, 2a ). 2 2 2

C1(-

a ,0, 2

2a )

设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z) 由得 AB ? ? ?

? a 3 ? , a , 0 ? ? 2 2 ? , AA1 ? 0, 0, 2a 得 ? ?

?

?

? a 3 ?x ? 3y ay ? 0 ? 0 ?? x ? ? ,解得 ? , 2 ? 2 z ? 0 ? ? ? 2az ? 0 ?
取y= 3 ,得n=(3, 3 ,0) 而 AC1 ? ? a, 0, 2a

?

?
?3a ? 0 ? 0 9 ? 3 ? 0 a 2 ? 0 ? 2a 2 ? 3a 1 ? 2 3 ? 3a 2

∴ sin ? ? cos ? n, AC1 ? ? ∴ ? ? 30

(3)二面角 设n1 、n2分别是二面角两个半平面α 、β 的法向量,由几何知识可知,二面角α -Lβ 的大小与法向量n1 、n2夹角相等(选取法向量竖坐标z同号时相等)或互补(选取法向量 竖坐标z异号时互补) , 于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角, 这样可避免 了二面角的平面角的作图麻烦.

细节决定未来

www. zgjhjy.com

例7:在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90,侧棱SA⊥底面AC,SA=AB=BC=1,AD=2,求二面角 A-SD-C的大小. 解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则B(1,0, 0) ,C(1,1,0) ,D(0,2,0) ,S(0,0,1). 设 平 面 SCD 的 法 向 量 n1=(x,y,z), 则 由

SC ? ?1,1, ?1? CD ? ? ?1,1, 0 ?
z ? x ? ? ?x ? y ? z ? 0 ? 2 ,取z=2,得n1=(1,1,2). 得?,解得 ? ?? x ? y ? 0 ?y ? z ? ? 2
而面SAD的法向量n2 = (1,0,0). 于是二面角A-SD-C的大小θ 满足 cos ? ? cos ? n1 , n2 ??

1 1 6 ? ? 6 1?1? 4 1? 0 ? 0 6

∴二面角A-SD-C的大小为 arc cos

6 . 6

三 真题演练
例 1(2011)如图,已知正三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 的底面边长为 2, 侧棱长为 3

2 ,点 E 在侧棱 A A 1 上,点 F 在侧棱 B B 1 上,且

AE ? 2 2 , BF ? 2 .
(I) 求证: CF ? C 1E ;

F?C (II) 求二面角 E?C 1 的大小。

细节决定未来

www. zgjhjy.com

解法 1: (Ⅰ)由已知可得 CC1 ? 3 2, CE ? C1 F ?

22 ? (2 2) 2 ? 2 3

EF 2 ? AB 2 ? ( AE ? BF ) 2 , EF ? C1 E ? 22 ? ( 2) 2 ? 6
于是有 EF 2 ? C1 E 2 ? C1 F 2 , CE 2 ? C1 E 2 ? CC12 所以 C1 E ? EF , C1 E ? CE 又 EF ? CE ? E, 所以C1 E ? 平面CEF . 由 CF ? 平面CEF , 故CF ? C1 E. (Ⅱ)在 ?CEF 中,由(Ⅰ)可得 EF ? CF ? 于是有 EF2+CF2=CE2,所以 CF ? EF . 又由(Ⅰ)知 CF ? C1E,且 EF ? C1 E ? E ,所以 CF ? 平面 C1EF, 又 C1 F ? 平面 C1EF,故 CF ? C1F。 于是 ?EFC1 即为二面角 E—CF—C1 的平面角。 由(Ⅰ)知 ?C1 EF 是等腰直角三角形,所以 ?BFC1 ? 45? ,即所求二面角 E—CF—C1 的大小为 45 ? 。 解法 2:建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知可得

6, CE ? 2 3

A(0,0,0), B( 3,1,0), C(0,2,0), C1 (0,2,3 2), E(0,0,2 2), F ( 3,1, 2)
(Ⅰ) C1 E ? (0, ?2, ? 2), CF ? ( 3, ?1, 2)

C1 E ? CF ? 0 ? 2 ? 2 ? 0
?CF ? C1 E.
( Ⅱ ) CE ? (0, ?2, 2 2) , 设 平 面 CEF 的 一 个 法 向 量 为

m ? ( x, y, z )
由 m ? CE , m ? CF , 得 ?

? ?m ? CE ? 0, ? ?m ? CF ? 0,

即?

? ??2 y ? 2 2 z ? 0, ? ? 3x ? y ? 2 z ? 0

可取m ? (0, 2,1)

细节决定未来

www. zgjhjy.com

设侧面 BC1 的一个法向量为 n,由n ? CF , n ? CC1 , 及CF ? ( 3, ?1, 2)

CC1 ? (0,0,3 2 ),可取n ? (1, 3,0)
设二面角 E—CF—C1 的大小为θ ,于是由θ 为锐角可得

cos ? ?

| m?n | 6 2 ,所以 ? ? 45? ? ? | m|?| n| 2 3?2

即所求二面角 E—CF—C1 的大小为 45 ? 。

例 2(2010)如图,在四面体 ABOC 中,OC⊥OA。OC⊥OB,∠AOB=120°,且

OA=OB=OC=1 (Ⅰ)设 P 为 AC 的中点,Q 在 AB 上且 AB=3AQ,证明:PQ⊥OA; (Ⅱ)求二面角 O-AC-B 的平面角的余弦值。

细节决定未来

www. zgjhjy.com

细节决定未来

www. zgjhjy.com

例 3(2009)如图,四棱锥 S=ABCD 的底面是正方形,SD⊥平面 ABCD,SD=AD=a,点 E 是 SD 上的点,且 DE= ? a(0< ? ≦1). (Ⅰ)求证:对任意的 ? ? (0、1) ,都有 AC⊥BE: 0 (Ⅱ)若二面角 C-AE-D 的大小为 60 C,求 ? 的值。

细节决定未来

www. zgjhjy.com

证明: (Ⅰ)证法 1:连接 BD,由底面是正方形可得 AC ? BD。 ? SD ? 平面ABCD,? BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影, 由三垂线定理得 AC ? BE. (Ⅱ) 解法 1:? SD ? 平面 ABCD,CD ? 平面ABCD,? SD ? CD. 又底面ABCD是正方形,? CD ? AD,又SD ? AD=D,? CD ? 平面 SAD。 过点 D 在平面 SAD 内做 DF ? AE 于 F,连接 CF,则 CF ? AE, 故 ? CFD 是二面角 C-AE-D 的平面角,即 ? CFD=60° 在 Rt△ADE 中,? AD= a , DE= ? a , AE= a 于是,DF=

?2 ? 1 。

AD ? DE ?a ? AE ?2 ? 1 DF ? ? CD ?2 ? 1

在 Rt△CDF 中,由 cot60°=



? ?2 ? 1

?

3 , 即 3?2 ? 3 =3 ? 3

? ? ?0,1?

解得 ? =

2 2

细节决定未来

www. zgjhjy.com

例 4(2008)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 A 1 BC ? 侧面 A 1 ABB 1. (Ⅰ)求证: AB ? BC;

? (Ⅱ)若 AA 1 ? AC ? a ,直线 AC 与平面 A 1BC 所成的角为 ,二面


A1 ? BC ? A的大小为? , 求证:? ? ? ?

?
2

.

细节决定未来

www. zgjhjy.com

细节决定未来

www. zgjhjy.com

例5(2007)如图,在三棱锥 V-ABC 中,VC⊥底面 ABC,AC⊥BC;D 是 AB 的中点,且 AC= ?? ? BC=a,∠VDC=θ ? 0<?< ? . 2? ?

(Ⅰ)求证:平面 VAB⊥平面 VCD; (Ⅱ)试确定角θ 的值,使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为

? . 6

解法 1: (Ⅰ)∵AC=BC=a,∴△ACB 是等腰三角形,又 D 是 AB 的中点, ∴CD⊥AB,又 VC⊥底面 ABC,∴VC⊥AB,于是 AB⊥平面 VCD, 又 AB 平面 VAB,∴平面 VAB⊥平面 VCD. (Ⅱ)过点 C 在平面 VCD 内作 CH⊥VD 于 H,则由(Ⅰ)知 CH⊥平面 VAB. 连接 BH,于是∠CBH 就是直线 BC 与平面 VAB 所成的角. 依题意∠CBH=

? ,所以 6
2 a sin ? ; 2

在 Rt△CHD 中,CH=

在 Rt△BHC 中,CH=asin

?
6

?

a , 2

∴sinθ = 故当 ? ?

? ? 2 , ∵0<θ < , ∴ ? ? . 2 4 2

?
4

时,直线 BC 与平面 VAB 所成的角为

? . 6

解法 2: (Ⅰ)以 CA、CB、CV 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直 坐标系,则 C(0,0,0) ,A(a,0,0),B(0,a,0),D ?
?

? 2 ?a a ? ? , ,0 ?,V ? 0,0, a t an? ? ? ?. 2 ?2 2 ? ? ? ?
?

? , ,0 ?, AB ? (?a, a,0). 于是, VD ? ? ? 2 , 2 ,? 2 a tan? ?, CD ? ? 2 2 ? ? ? ?
从而 AB? CD ? (?a, a,0) ? ? , ,0 ? ? ? a ?
2 ? ?

?a a

2

?

?

?a a

?a a ? ?2 2 ?

1 2

1 2 a ? 0 ? 0,即AB ⊥CD. 2

细节决定未来

www. zgjhjy.com

同理 AB? VD ? (?a, a,0) ? ?

?

?

?a a ? 2 1 2 1 2 ? ? 2 , 2 ,? 2 a tan? ? ? ? 2 a ? 2 a ? 0 ? 0, AB⊥CD. ? ?

又 CD∩VD=D,∴AB⊥平面 VCD, 又 AB ? 平面 VAB, ∴平面 VAB⊥平面 VCD. (Ⅱ)设平面 VAB 的一个法向量为 n=(x,y,z),
? ? n ? AB ? 0, ? 则由 ? ? ? ?n ? CD ? 0.

?? ax ? ay ? 0, ? 得 ?a a 2 az tan? ? 0. ? x? y? 2 2 ?2
可取 n=(1,1, 2 cot? ),又 BC ? (0, ? a, 0).

于是 sin

?
6

?

n ? BC | n | ? | BC |
?

?

?

a a ? 2 ? 2 cot2 ?

?

2 sin ? . 2

即 sin= 故当θ =

? 2 , ∵0<θ < . 4 2

? ? 时,直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 . 4 6

课后作业:

学员课堂表现:

签字确认

学员_____________

教师_____________

班主任_____________

细节决定未来


相关文章:
高二复习学案——空间向量与立体几何
高二复习学案空间向量与立体几何 高二复习学案空间向量与立体几何一.选择题 uuu r uuu r uuu r 1.在四面体 O-ABC 中, OA =a, OB =b, OC =c,D 为 BC...
第三章空间向量与立体几何复习课
复习课: 第三章 空间向量与立体几何(1) 一、【教学目标】重点:理解空间向量的概念,掌握空间向量的数量积的定义及其性质,掌握空间向量的运算. 难点:空间向量的...
...空间向量与立体几何 复习与小结参考教案2
【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1教案:第2章 空间向量与立体几何 复习与小结参考教案2_数学_高中教育_教育专区。空间向量与立体几何复习与小结 ...
北师大版选修2-1 第二章 空间向量与立体几何 复习与小...
石泉中学复习教案科目:数学 教师: 授课时间:第 17 周 星期三 2016 年 12 月 21 日单元(章节)课题 本节课题 北师大版选修 2-1 第二章空间向量与立体几何...
...空间向量与立体几何 复习与小结参考教案3
【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1教案:第2章 空间向量与立体几何 复习与小结参考教案3_数学_高中教育_教育专区。空间向量与立体几何复习与小结一、...
...高二数学教案 选修2-1:空间向量与立体几何复习2
湖北省巴东一中高二数学教案 选修2-1:空间向量与立体几何复习2_数学_高中教育_教育专区。空间向量与立体几何(复习二) 【学情分析】 : 学生能用向量计算空间角、...
2012高考数学第一轮复习第十三章空间向量与立体几何教案
空间向量与立体几何教案空间向量与立体几何教案隐藏>> 文都教育 http://www.whwendu.cn 提分热线 86309430 86860395 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标:1....
...1空间向量专题复习学案:空间向量与立体几何(含答案,...
必修2立体几何+选修2-1空间向量专题复习学案:空间向量与立体几何(含答案,可直接打印)_数学_高中教育_教育专区。必修2立体几何+选修2-1空间向量专题...
2010高三数学高考第一轮复习向量复习教案:空间向量及其...
2010高三数学高考第一轮复习向量复习教案:空间向量及其运算_高二数学_数学_高中教育...线向量定理 共面向量定理 空间向量与立体几何 空间向量的数量积运算 空间向量...
用空间向量解立体几何教案
空间向量立体几何教案 隐藏>> 利用空间向量立体几何一,空间向量的直角坐标运算:. 1,(1)若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 ) ...
更多相关标签: