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5函数函数的奇偶性与周期性练习题[1]


函数的奇偶性与周期性 一、函数的奇偶性 知识点归纳 1 函数的奇偶性的定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x)就 叫偶函数. 如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫奇函数. 2 奇偶函数的性质: (1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称;
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函数

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3 f ( x ) 为偶函数 ? f ( x ) ? f (| x |) ;
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若奇函数 f ( x ) 的定义域包含 0 ,则 f ( 0 ) ? 0 “f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件;
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4 判断函数的奇偶性的方法:(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点的对称区间,则立即判断该函数既 不是奇函数也不是偶函数; 若函数的定义域是关于原点的对称区间,再判断 f(-x)= -f(x)或 f(-x)=f(x)是否成立
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判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 ,

f (x) f (? x)

? ?1

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(2)图像法:奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或 y 轴)对称. 5 设 f ( x ) , g ( x ) 的定义域分别是 D 1 , D 2 ,那么在它们的公共定义域上:
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奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 应用举例 1、常见函数的奇偶性: 奇函数: y ? ax ( a 为常数) y ? sin x , y ? tan x , y ? ,
k x

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( k 为常数)

偶函数: y ? a ( a 为常数) a ? 0 时既为奇函数又为偶函数 ,
y ? ax
2

( a ? 0 ) , y ? ax

2

? c ( a ? 0 ) , y ? ax ( a 为常数) y ? cos x ,
2

非奇非偶函数: y ? kx ? b ( b ? 0 ) , y ? ax
y ? a ( a ? 0 , a ? 1 ) , y ? log
x

? bx ? c ( b ? 0 ) , y ? ax ? c ( c ? 0 ) , y ?

k x ? c

(c ? 0 ) ,

a

x ( a ? 0 , a ? 1)

既奇又偶函数: y ? 0 2、对奇偶性定义的理解 例 1 下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数的图象关 于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R),其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 分析:偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误;奇函数的图象关于原点对称, 但不一定经过原点,因此②不正确;若 y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得 f(x)=0,但不一定 x ∈R,故④错误,选 A. 练习:1、 (2007 全国Ⅰ) f ( x ) , 偶函数”是“ h ( x ) 为偶函数”的 B
1

是定义在 R 上的函数,

,则“ f ( x ) ,

均为

A.充要条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 解析:∵f(x)、 g(x)均为偶函数,∴f(-x)=f(x),g(-x)=g(x).∴h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x).∴h(x)为偶函数. 但若 h(-x)=h(x),即 f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x), 不一定 f(-x)=f(x),g(-x)=g(x), 例 f(x)=x2+x,g(x)=-x. 2、 (2007 江苏)设 f(x)=lg( )是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是 A

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞) 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.解之,得 a=-1. ∴f(x)=lg. 令 f(x)<0,则 0< <1,∴x∈(-1,0).

3、已知函数解析式,判断或证明函数的奇偶性 例 2 判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a (3) f(x)=3x+1 (4) f(x)=x2 ,x∈[- 4 , 4), (5) y ? sin x ? 1

例 3 判断下列各函数的奇偶性: (1) f ( x ) ? ( x ? 1)
1? x 1? x
2

1? x 1? x

; (2) f ( x ) ?

lg (1 ? x )
2

| x ? 2 | ?2
2



解: (1)由

? 0 ,得定义域为 [ ? 1, 1) ,关于原点不对称,∴ f ( x ) 为非奇非偶函数

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(2)由 ?

?1 ? x ?
2

? 0

?| x ? 2 | ? 2 ? 0 ?
lg (1 ? x )
2

得定义域为 ( ? 1, 0 ) ? ( 0 ,1) ,

∴ f (x) ?

?(x ? 2) ? 2
2

? ?

lg (1 ? x )
2

x
2

2



∵ f (? x) ? ?

lg [1 ? ( ? x ) ] (? x)
2

? ?

lg (1 ? x )
2

x

2

? f (x)

∴ f ( x ) 为偶函数

练习:1、判断函数 f ( x ) = 的奇偶性 | x ? 2 | ?2 解:由题
2 ? 1? x ? 0 ? ( x ? 1 )( x ? 1 ) ? 0 ? ? ? x ? 2 ? ?2 ? ?| x ? 2 | ? 2 ? 0

1? x

2

? ?1? x ?1 ? ? ? x ? 0且 x ? ? 4

∴ 此时

函数的定义域为 [-1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ] f(x)=
1? x
2

(x ? 2) ? 2

?

1? x x

2

又 f (? x) ?

1 ? (? x) ? x

2

? ?

1? x x

2

= -f ( x )

故 f ( x ) 是奇函数 4、抽象函数奇偶性的判定与证明 例 4 (2007 北京西城)已知函数 f ( x ) 对一切 x , y ? R ,都有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,
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(1)求证: f ( x ) 是奇函数; (2)若 f ( ? 3 ) ? a ,用 a 表示 f (1 2 )

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解: (1)显然 f ( x ) 的定义域是 R ,它关于原点对称.在 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) 中,

2

令 y ? ? x ,得 f ( 0 ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) ,令 x ? y ? 0 ,得 f ( 0 ) ? f ( 0 ) ? f ( 0 ) ,∴ f ( 0 ) ? 0 , ∴ f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 ,即 f ( ? x ) ? ? f ( x ) , ∴ f ( x ) 是奇函数. (2)由 f ( ? 3) ? a , f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) 及 f ( x ) 是奇函数, 得 f (1 2 ) ? 2 f ( 6 ) ? 4 f (3 ) ? ? 4 f ( ? 3 ) ? ? 4 a . 例 5.(2006 年辽宁)设 A. C. 是奇函数 是偶函数 是 上的任意函数,下列叙述正确的是(C) B. D. 是奇函数 是偶函数

解:据奇偶函数性质:易判定 f(x)· -x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数 f( f(x)·(-x)|的奇偶取决于 f(x)的性质,只有 f(x)+f(-x)是偶函数正确。 |f 5、利用函数奇偶性求函数解析式或求值 例 6、已知 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x-2|,求 x<0 时,f(x)的表达式. 解:∵f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x-2|, ∴当 x<0 时,f(x)=- f(-x)=- (-x)|(-x)-2|=x|x+2|. 练习:已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? ( 0 , ? ? ) 时, f ( x ) ? x (1 ?
? x (1 ? ? 则 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? ? ? x (1 ? ?
3
3

x)



x ), x ? 0
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3

x ), x ? 0

例 7(2007 黄冈中学月考)已知函数 f ( x ) ? ? x ? log
f (? 1 2005 ) + f (? 1 2004 )+ f ( 1 2004 )+ f( 1 2005 ) 的值

1? x
2

1? x

,求

解:由

1? x 1? x

? 0 得函数的定义域是 ( ? 1,1 ) 1? x
2

又 f ( ? x ) ? f ( x ) ? log

1? x

? log

1? x
2

1? x

? log

2

1? 0

? f ( ? x ) ? ? f ( x ) 成立,? 函数是奇函数

f (?

1 2005

)+ f( 1

1 2005

) =0 1 2004

f (? )+ f ( 1 2004

1 2004

)+ f ( )+ f ( 1

1 2004

) =0 ) =0

∴ f (?

) + f (?

2005

2005

例 8(2007 海南、宁夏)设函数 解析:∵f(x)= , ∴f (-x)=-

为奇函数,则

-1

又∵f(x)为奇函数,∴f (x)=-f (-x). ∴ = .∴ x ? ( a ? 1 ) x ? a ? x ? ( a ? 1 ) x ? a ∴a=-1.
2 2

3

练习:已知 f ( x ) ? ax

2

? bx ? 3 a ? b 是偶函数,定义域为 ? a ? 1 , 2 a ? ,则 a ?

1 3

,b=0

解: a ? 1 ? ? 2 a ? a ?

1 3

,b ? 0

6、偶函数性质 f ( x ) ? f ( x ) 的应用 偶函数图象关于 y 轴对称,运用 f ( x ) ? f ( x ) 可将偶函数问题转化至 ?0 , ?? ? 的范围解决。 例 9、设定义在[-2,2]上的偶函数 f ( x ) 在区间[0,2] 上单调递减,若 f (1 ? m ) ? f ( m ) ,求实数 m 的取值范 围。 解:? f ( x ) 是偶函数, ? f ( ? x ) ? f ( x ) ? f ( x )
? f (1 ? m ) ? f ( m ) ? f ( 1 ? m ) ? f ( m )

又当 x ? ?0 , 2 ? 时, f ( x ) 是减函数

?

{

1? m ? m ? 2 ? 1 ? m ? 2 ? ?1 ? m ? ? 2 ? m ? 2 1 2
? m 的取值范围是 1 ? ? ? 1, ? ? 2? ?

练习:已知 f ( x ) 是偶函数, x ? R ,当 x ? 0 时, f ( x ) 为增函数,若 x 1 ? 0 , x 2 ? 0 ,且 | x 1 |? | x 2 | ,则 ( B )
A f ( ? x1 ) ? f ( ? x 2 ) B
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f ( ? x1 ) ? f ( ? x 2 )

C ? f ( x1 ) ? f ( ? x 2 )
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D

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? f ( x1 ) ? f ( ? x 2 )

二、函数的周期性 知识点归纳
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定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,使 f ( x ? T ) ? f ( x ) 恒成立 则 f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期 一般所说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定义域一定是无限集 常见函数周期: ①y=sinx, 最小正周期 T=2π ; ②y=cosx, 最小正周期 T=2π ; ③y=tanx, 最小正周期 T=π ; ④y=cotx,
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最小正周期 T=π

.

周期函数变换后的周期 周期函数 f(x) 最小正周期为 T,则 y=Af(ω x+φ )+k 的最小正周期为 T/|ω |. 例 10 已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(x+m)=-f(x),求证:2m 是 f(x)的一个周期. 证明:因为 f(x+m)=-f(x) 所以,f(x+2m)=f[(x+m)+m] =-f(x+m) =f(x) 所以 f(x)是以 2m 为周期的周期函数. 练习:1 、已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(x+m)=f(x-m),求证:2m 是 f(x)的一个周期 证明:因为 f(x+m)=f(x-m) 所以,f(x+2m)=f[(x+m)+m]=f[(x+m)-m]=f(x) 所以 f(x)是以 2m 为周期的周期函数. 以上两题可作为结论记,注意 f(x+m)=f(x-m)与 f(m +x)=f(m-x)的区别, f(m +x)=f(m-x) ? x ? m 是 f(x)图像的对称轴
4

2、已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 证明:由已知

f (x ? m) ?

1 ? f (x)

1 ? f (x)

,求证:2m 是 f(x)的一个周期.

f(x+2m)=f[(x+m)+m]

?

1 ? f (x ? m) 1? f (x ? m)

1? ? 1?

1 ? f (x) 1 ? f (x) 1 ? f (x) 1 ? f (x)
1 f (x)

? f (x)

所以 f(x)是以 2m 为周期的周期函数. 3、 设偶函数 f ( x ) 对任意 x ? R , 都有 f ( x ? 3 ) ? ? 的值为(D) A. ?
2 7

, 且当 x ? ?? 3 , ? 2 ? 时, f ( x ) ? 2 x ,则 f (113 . 5 )

B.

2 7

C. ?
1

1 5

D.

1 5

解:? f ( x ? 3 ) ? ?

? f ( x ? 6 ) ? f [( x ? 3 ) ? 3 ] ? ?

1 f ( x ? 3)

? f (x)

f (x)

? f ( x ) 是以 T ? 6 为周期的周 期函数 ? f (113 . 5)? f (18 ? 6 ? 5 . 5)? f ( 5 . 5 ) ? f ( 6 ? 0 . 5 ) ? f ( ? 0 . 5 ) ? ? 1 f (3 ? 0 .5 ) ? ? 1 f ( ? 2 .5 ) ? 1 5

三、函数奇偶性、单调性、周期性综合运用 例11 已知 f ( x ) 是偶函数,而且在 (-∞ , 0 ) 上是增函数,问 f ( x ) 在 ( 0 ,+ ∞ ) 上是增 函数还是减函数? 解:设 0 < x 1 <x 2 < + ∞则 - ∞ < -x 2 <-x 1 < 0 ∵ f ( x ) 在 (-∞ , 0 ) 上是增函数 ∴ f (-x 2 ) < f ( -x 1 ) ∵ f ( x ) 是偶函数 ∴ f ( x 2 ) < f ( x 1 ) 故 f ( x ) 在( 0 ,+ ∞ ) 上是减函数 知识点:偶函数在对称区间上单调性相反,奇函数在对称区间上对称性相同 例 12 函 数 y ? f ( x )( x ? 0 ) 是 奇 函 数 , 且 当 x ? ? 0 , ?? ? 时 是 增 函 数 , 若 f (1 ) ? 0 , 求 不 等 式
f [x(x ? 1 2 )] ? 0 的解集
1? 4 1? 4

解: f (1 ) ? 0 ? f [ x ( x ?

1 2

)] ? f (1 )

? 0 ? x(x ?

1 2

) ?1?

1 2

? x ?

17



17

? x ? 0

又函数 y ? f ( x )( x ? 0 ) 是奇函数,它在对称区间上的单调性相同且 f ( ? 1 ) ? ? f (1 ) ? 0
? f [x(x ?

1 2

)] ? f ( ? 1 )

? x(x ?

1 2

) ? ?1 ? ?
1? 4

? 原不等式的解集是

{x /

1 2

? x ?

1? 4

17



17

? x ? 0}

例13、已知 f ( x ) 是周期为4的偶函数,当 x ? ?2 , 3 ? 时, f ( x ) ? x ,求 f ( 6 . 5 ), f ( ? 1 . 5 ) , f ( 5 . 5 ) 解: f ( ? x ) ? f ( x ) , f ( x ? 4 ) ? f ( x ) f ( 6 . 5 ) ? f ( 4 ? 2 . 5 ) ? f ( 2 . 5 ) ? 2 . 5

5

f ( ? 1 .5 ) ? f ( ? 1 .5 ? 4 ) ? f ( 2 .5 ) ? 2 .5 f ( 5 . 5 ) ? f ( 5 . 5 ? 4 ? f (1 . 5 ) ? f ( ? 1 . 5 ) ? f ( ? 1 . 5 ? 4 ) ? f ( 2 . 5 ) ? 2 . 5

例 14、 (2005 福建)

是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且

,则方程 f(x)=0 在区间(0,6)

内解的个数的最小值是 D A.2 B.3 C.4 D.5 解析:依题可知 f(x)=f(x+3).f(2)=f(5)=0. 又∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x).∴f(-2)=-f(2)=0.∴f(-2)=f(1)=f(4)=0. 又∵奇函数有 f(0)=0,∴f(3)=f(6)=0. ∴在(0,b)内 f(x)=0 解的个数最小值为 5. 练习:1、 (2007 重庆)已知定义域为 R 的函数 f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数 y=f(x+8)为偶函数,则 D A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10) 解析:∵y=f(x+8)为偶函数,∴y=f(x)图象关于 x=8 对称. 又∵y=f(x)在(8,+∞)上为减函数,∴y=f(x)在(-∞,8)上为增函数.∴f(7)=f(9),f(9)>f(10).∴f(7)>f(10). 2、(2006 山东)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为 B (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 解析:∵f(x+2)=-f(x).∴f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)=-f(2). 又-f(x)为 R 上的奇函数,∴f(2)=0 ∴f(6)=0. 3、2005 重庆) ( 若函数 的 x 的取值范围是 A. B. 是定义在 R 上的偶函数, 在 ( D) C. D. (-2,2) 上是减函数, 且 , 则使得

解析:∵f(2)=0 且 f(x)为偶函数,∴f(-2)=0. 又∵f(x)在(-∞,0]递减,∴f(x)在(-2,0]递减. ∴对于 x∈(-2,0)必有 f(x)<0. 由对称性得对于 x∈[0,2)必有 f(x)<0. ∴使得 f(x)<0 的范围是(-2,2). 4、 (2005 全国Ⅳ)设函数 f(x) (x∈R)为奇函数,f(1)= A.0 B.1 C. D.5 , f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)等于( C)

解:f(x+2)=f(x)+f(2)且 f(x) (x∈R)为奇函数,f(1)=
? f (1 ) ? f ( ? 1 ? 2 ) ? f ( ? 1 ) ? f ( 2 ) ? ? f (1 ) ? f ( 2 )

? f ( 2 ) ? 2 f (1 ) ? 2 ?

1 2

?1 5 2

? f ( 5 ) ? f ( 3 ? 2 ) ? f ( 3 ) ? f ( 2 ) ? f (1 ? 2 ) ? f ( 2 ) ? 2 f ( 2 ) ? f (1 ) ?

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