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《圆锥曲线》知识点小结


《圆锥曲线》知识点小结
一、椭圆:(1)椭圆的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 | 其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: 2a ?| F1 F2 | 表示椭圆; 2a ?| F1 F2 | 表示线段 F1 F2 ; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹; (2)椭圆的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方程 中心在原点,焦点在
2 2

F1 F2 | )的点的轨迹。

y 轴上

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
B2 y F2 O F1 B1 A2x

P
图 形

y

B2 O F2 B1 A2

A1

x

F1

P A1





A1 ( ? a,0), A2 ( a,0) B1 (0,?b), B2 (0, b)

A1 ( ?b,0), A2 (b,0) B1 (0,? a ), B2 (0, a )

对称轴

x 轴, y 轴;短轴为 2b ,长轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0) | F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?





F1 (0,?c), F2 (0, c)
c2 ? a2 ? b2





离心率

c (0 ? e ? 1) (离心率越大,椭圆越扁) a





2b 2 a

(过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段)

3.常用结论:(1)椭圆 周长= (2) 设椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点,则 ?ABF2 的 a2 b2

x2 y2 右两个焦点为 F1 , F2 , 过 F1 且垂直于对称轴的直线交椭圆于 P, Q 两点, ? ? 1(a ? b ? 0) 左、 a2 b2

则 P, Q 的坐标分别是 二、双曲线:

| PQ |?

(1)双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 | 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: |

F1 F2 | )的点的轨迹。

PF1 | ? | PF2 |? 2a 与 | PF2 | ? | PF1 |? 2a ( 2a ?| F1 F2 | )表示双曲线的一支。

2a ?| F1 F2 | 表示两条射线; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;
1

(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方程 中心在原点,焦点在
2 2

y 轴上

y x ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

2

2

y x ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
P x y F2 B2 O B1 F1 x

P
图 形

y O A2 F2

F1 A1





A1 (?a,0), A2 (a,0)

B1 (0,?a), B2 (0, a)

对称轴 焦 焦 点 距

x 轴, y 轴;虚轴为 2b ,实轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0)
| F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

F1 (0,?c), F2 (0, c)

c2 ? a2 ? b2

离心率 渐近线 通 径

c (e ? 1) (离心率越大,开口越大) a

y??

b x a
2b 2 a

y??

a x b

(3)双曲线的渐近线:
2 2 2 2 ①求双曲线 x ? y ? 1 的渐近线,可令其右边的 1 为 0,即得 x ? y ? 0 ,因式分解得到 x ? y ? 0 。 a b a2 b2 a2 b2

x2 y2 x2 y2 ②与双曲线 2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 ? ??; a b a2 b2
(4)等轴双曲线为 x
2

? y 2 ? t 2 ,其离心率为 2
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交双曲线的同一支于 A, B 两 a2 b2

(4)常用结论:(1)双曲线

点,则 ?ABF2 的周长= (2) 设双曲线

x2 y2 右两个焦点为 F1 , F2 , 过 F1 且垂直于对称轴的直线交双曲线于 P, Q ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左、 a2 b2

两点,则 P, Q 的坐标分别是 三、抛物线:

| PQ |?

(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质:

p?0

2

焦点在 x 轴上, 开口向右 标准方程

焦点在 x 轴上, 开口向左

焦点在

y 轴上,

焦点在

y 轴上,

开口向上

开口向下

y 2 ? 2 px

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

l
图 形

y P x O F

P F

y

l
x P

y F O x

l
P

O

y O F

x

l
顶 点

O(0,0)

对称轴 焦 点

x轴
p F ( ,0 ) 2 p 2

y轴
F (? p ,0) 2
p F (0, ) 2

p F (0,? ) 2

离心率 准 通 线 径

e ?1
x??
x? p 2

y??

p 2

y?

p 2

2p
| PF |?| x 0 | ? p 2
| PF |?| y 0 | ? p 2

焦半径 焦点弦 焦准距 四、弦长公式:

p

| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ?
y 后所得关于 x 的一元二次方程

? | A|

其中,

A, ? 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去
2

的判别式和 x 的系数 求弦长步骤:( 1 )求出或设出直线与圆锥曲线方程;( 2 )联立两方程,消去 y, 得关于 x 的一元二次方程

Ax2 ? Bx ? C ? 0, 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,由韦达定理求出 x1 ? x 2 ? ?
计算。 法 ( 二 ) 若 是 联 立 两 方 程 , 消 去 x, 得 关 于 y 的 一 元 二 次 方 程

B C , x1 x 2 ? ;(3)代入弦长公式 A A

Ay2 ? By ? C ? 0, 则 相 应 的 弦 长 公 式 是 :

1 1 1 ? | AB |? 1 ? ( ) 2 | y1 ? y 2 |? 1 ? ( ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 1 ? ( ) 2 ? k k k | A|
注意(1)上面用到了关系式 |

x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? | A|
3

? 和 | A|

y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

注意(2)求与弦长有关的三角形面积,往往先求弦长,再求这边上的高(点到直线的距离),但若三角形被过顶点的 一条线段分成两个三角形,且线段的长度为定值,求面积一般用分割法 五、弦的中点坐标的求法 法 (一) : (1) 求出或设出直线与圆锥曲线方程; (2 ) 联立两方程, 消去 y,得关于 x 的一元二次方程 Ax 设
2

? Bx ? C ? 0,

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 由 韦 达 定 理 求 出 x1 ? x 2 ? ?
x1 ? x 2 2
;再把 x

B A

;(3)设中点

M ( x0 , y 0 ) , 由 中 点 坐 标 公 式 得

x0 ?

? x0 代入直线方程求出 y ? y0 。
A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,中点 M ( x0 , y0 ) ,由点在曲线上,线段的中点坐标公式,过 A、

法(二):用点差法,设

B 两点斜率公式,列出 5 个方程,通过相减,代入等变形,求出 x0 , y0 。

六、求离心率的常用方法:法一,分别求出 a,c,再代入公式 法二、建立 a,b,c 满足的关系,消去 b,再化为关于 e 的方程,最后解方程求 e (求 e 时,要注意椭圆离心率取值范围 是 0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围是 e﹥1)

4


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