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专题 导数及其应用2016新题赏析 课后练习


导数及其应用 2016 新题赏析课后练习
主讲教师:王老师 北京市重点中学数学特级教师 题一:已知 f(x)为偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ln ? ? x ? ? 3x ,则曲线 y= f(x)在点(1,-3)处的切线方 程是________. 题二:已知 f(x)为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x3 ? 1 ,则曲线 y= f(x

)在点 x=2 处的切线方程是 ________. 题三:经过(3,0)的直线 l 与抛物线 y=x2 交于不同的两点,抛物线在这两点处的切线互相垂直,则直 线 l 的斜率是 . x 题四:设函数 f(x)=|e ﹣e2a|,若 f(x)在区间(﹣1,3﹣a)内的图象上存在两点,在这两点处的切线互相 垂直,则实数 a 的取值范围是_______. 题五:设 f ? x ? ?

a ? b ln x . ex

(1)若曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y=x+1,求 a , b 的值; (2)当 a ? e, b ? 1时,求 f ? x ? 的单调区间. 题六:已知函数 f ? x ? ? e (1)求 a , b 的值; (2)讨论 f ? x ? 的单调性,并求 f ? x ? 的极大值. 题七:已知 x = 4 是函数 f ? x ? ? a ln x ? x ?12x ? b 的一个极值点.
2 x

?

?

? ax ? b? ? x2 ? 4x ,曲线 y ? f ? x? 在点 ?0, f ?0?? 处切线方程为 y= 4x+4.

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅲ)若函数 y ? f ? x ? 有 3 个不同的零点,求 b 的取值范围. 题八:设函数 f ? x ? ?

1 3 x ? mx 2 ? ? m 2 ? 4 ? x, x ? R ,若函数 f(x)有三个不相同的零点 0,α,β(α< 3

β),且对任意的 x∈[α,β],都有不等式 f(x)≥ f(1)成立,求实数 m 的取值范围.

题九:已知函数 f(x)=

1 2 x +alnx. 2 1 ,e]上最大值及最小值; e

(Ⅰ)当 a=﹣1 时,求函数 f(x)在区间[

(Ⅱ)若函数 f(x)有两个零点,求实数 a 的取值范围. 题十:已知函数 f ? x ? ?

1 2 ax ? ln x ? 2 ,a∈R. 2

(Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; 第 -1- 页

(Ⅱ)若函数 f(x)有两个零点,求实数 a 的取值范围.

第 -2- 页

导数及其应用 2016 新题赏析 课后练习参考答案
题一:

2x ? y ?1 ? 0

详解:∵f(x)为偶函数,∴ 当x 当x

f (? x) ? f ? x ?

? 0 时, f ( x) ? ln ? ?x ? ? 3x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? ln x ? 3x ? f ? x ?
? 0 时 f '( x) ?

可得:当 x 则

1 ?3 x

f '(1) ? 1 ? 3 ? ?2

则曲线 y= f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 题二:

y ? ? ?3? ? ?2 ? x ?1? ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 .

12 x ? y ? 17 ? 0

详解:∵f(x)为奇函数,∴ 当x 当x

f ? ?x ? ? ? f ? x ?

? 0 时, f ( x) ? x3 ? 1 ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? ? x3 ? 1 ? ? f ( x) ,∴ f ? x ? ? x3 ?1 ? 0 时 f ? 2? ? 7 , f ? ? x ? ? 3x2 , f ? ? 2? ? 12

可得:当 x

则曲线 y= f(x)在点 x=2 处的切线方程是 题三:

y ? 7 ? 12( x ? 2) ,即 12 x ? y ? 17 ? 0 .

?

1 12

详解:设直线 l 的方程为 y=k(x-3),代入抛物线 y=x2 得:x2-kx+3k=0 设直线 l 与抛物线的交点为(x1,y1),(x2,y2) 则 x1x2=3k 因为抛物线在这两点处的切线的斜率分别为 ∴ 2 x1 ? 2 x2 ∴k

f ' ? x1 ? ? 2x1, f ' ? x2 ? ? 2x2 ,且两切线垂直

? 12k ? ?1

??

题四:

1 12 1 (﹣ 2



1 2

)

详解:当 x≥2a 时,f(x)=|ex﹣e2a|=ex﹣e2a,此时为增函数, 当 x<2a 时,f(x)=|ex﹣e2a|=﹣ex+e2a,此时为减函数,

第 -3- 页

即当 x=2a 时,函数取得最小值 0, 设两个切点为 M(x1,f(x1)),N((x2,f(x2)), 由图象知,当两个切线垂直时,必有,x1<2a<x2, 即﹣1<2a<3﹣a,得﹣ ∵ k1k2 则e

1 2

<a<1,

? f ' ? x1 ? f ' ? x2 ? ? (?ex1 ) ? ex2 ? ?ex1 ? x2 ? ?1
? 1 ,即 x1+x2=0,
1 2

x1 ? x2

∵﹣1<x1<0,∴0<x2<1,且 x2>2a, ∴2a<1,解得 a< 综上﹣ ,

1 , 2 1 1 故答案为:(﹣ , 2 2
<a<

1 2

).

f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增 a b 详解:(1)因为 f ? ? x ? ? ? x ? , e x a a ? 2 ,解得 a ? 2e, b ? 3 . 所以 f ? ?1? ? ? ? b ? 1 , f ?1? ? e e (2)函数 f ? x ? 的定义域是 ? 0, ?? ? .
题五: (1) a

? 2e, b ? 3

(2)

e e 1 e x ?ex ? ? ln x f x ? ? ? ? , . ? ? ex ex x xe x x x 令 g ( x) ? e ?ex ,求导可得 g ?( x) ? e ?e . 当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x ) 单调递减, 当 x ? ?1, ?? ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x ) 单调递增,
当a

? e, b ? 1时, f ? x ? ?

且 g ( x ) 在 x=1 时取得最小值, 因为 g (1) ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 , 所以

f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增.

题六: (1) a (2)

?b?4 f ? x ? 在 (??, ?2),(? ln 2, ??) 单调递增,在 (?2, ? ln 2) 单调递减. 极大值为 4(1 ? e?2 ) .

详解:(1) 由已知得

f ' ? x ? ? ex ? ax ? a ? b? ? 2x ? 4 , f ? 0? ? f ? ? 0? ? 4 ,
第 -4- 页

故 b ? 4, a ? b ? 8 , 从而 a

? b ? 4.

(2)由(1)知

f ? x ? ? 4ex ? x ?1? ? x2 ? 4x

1? ? f ' ? x ? ? 4e x ? x ? 2 ? ? 2 x ? 4 ? 4 ? x ? 2 ? ? e x ? ? 2? ?


f ?( x) ? 0 得, x ? ?2 或 x ? ? ln 2 ,

从而当 x ? (??, ?2) ? (? ln 2, ??) 时, 当 x ? (?2, ? ln 2) 时, 故

f ' ? x? ? 0 ;

f ' ? x? ? 0 .

f ? x ? 在 (??, ?2),(? ln 2, ??) 单调递增,在 (?2, ? ln 2) 单调递减. f ? x ? 取得极大值,极大值为 f ? ?2? ? 4(1 ? e?2 ) .

当 x= -2 时,函数 题七: (Ⅰ)16 (Ⅱ)

f ? x ? 的单调增区间是 ? 0, 2? , ? 4, ??? ; f ? x ? 的单调减区间是 ? 2, 4 ? . (Ⅲ) (20 ? 16ln 2,32 ? 16ln 4) a 详解:(Ⅰ) f ' ? x ? ? ? 2 x ? 12 (x>0) x a 由 f ' ? 4? ? 0 得, ? 8 ? 12 ? 0 ,解得 a =16, 4 2 (Ⅱ) f ? x ? ? 16ln x ? x ?12x ? b, x ? ? 0, ??? 16 2( x ? 2)( x ? 4) f ' ? x ? ? ? 2 x ? 12 ? . x x

?0,2? 时, f ' ? x? ? 0 ;当 x ?? 2,4? 时, f ' ? x? ? 0 ; x ?? 4, ??? 时, f ' ? x? ? 0 . 所以 f ? x ? 的单调增区间是 ? 0, 2? , ? 4, ??? ; f ? x ? 的单调减区间是 ? 2, 4 ? . (Ⅲ)由(Ⅱ)知, f ? x ? 在(0,2)内单调递增,在(2,4)内单调递减,在 ? 4, ??? 上单调递增, 且当 x=2 或 x=4 时, f ' ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 的极大值为 f ? 2? ? 16ln 2 ? 20 ? b ,极小值为 f ? 4? ? 16ln 4 ? 32 ? b ?2 又因为 f ? e ? ? ?32 ? b ? 16 ln 4 ? 32 ? b ? f ? 4 ? ? 0 f ?16? ? 64ln 2 ? 64 ? b ? 16ln 2 ? 20 ? b ? f ? 2? ? 0 ? ? f ? 2? ? 0 当且仅当 ? ,函数 y ? f ? x ? 有 3 个不同的零点, ? ? f ? 4? ? 0
当 x? 解得 20 ? 16 ln 2 ? b ? 32 ? 16 ln 4 题八: 所以,b 的取值范围为 (20 ? 16ln 2,32 ? 16ln 4) .

{?1}

详解:f '(x)=x2﹣2mx+m2﹣4,令 f '(x)=0,可得 x=m﹣2 或 x=m+2. 当 x∈(﹣∞,m﹣2)时,f '(x)>0,故 f(x)在区间(﹣∞,m﹣2)上递增. 当 x∈(m﹣2,m+2)时,f '(x)<0,故 f(x)在区间(m﹣2,m+2)上递减. 当 x∈(2+m,+∞)时,f '(x)>0,故 f(x)在区间(2+m,+∞)上递增.

第 -5- 页

由 于 函 数 f(x) 有 三 个 不 同 的 零 点 0 , α , β(α < β) , 且

1 f ? x? ? x ? x 2 ? 3mx ? 3 ? m 2 ? 4 ? ? ? ? 3



?3 ? m 2 ? 4 ? ? 0 ? ∴? 2 2 ? ?? 3m ? ? 12 ? m ? 4 ? ? 0
解得 m∈(﹣4,﹣2)∪(﹣2,2)∪(2,4) ①当 m∈(﹣4,﹣2)时,m﹣2<m+2<0,故 α<m﹣2<β<m+2<0 由 f(1)>f(α)=0,可知此时不存在符合条件的实数 m.

②当 m∈(﹣2,2)时,③m﹣2<0<m+2,故 α<m﹣2<0<m+2<β. 由于 f(x)在区间[α,β]内的最小值为 f(m+2), ∴只要 f(m+2)=f(1).就有 x∈[α,β]时,总有 f(x)≥f(1)成立. ∴只要 m+2=1,∴m=﹣1.

③当 x∈(2,4)时,0<m﹣2<m+2,故 0<m﹣2<α<m+2<β.用与②相同的方法, 可得 m+2=1,即 m=﹣1,但﹣1?(2,4),此时不存在符合条件的实数 m

综上可知,m 的取值范围是 {?1} . 题九: (Ⅰ)

f ? x ?max ?
a x

(Ⅱ)(﹣ ? ,﹣e) 详解:

1 2 1 e ? 1 , f ? x ? min ? 2 2

f '? x? ? x ?

(Ⅰ)定义域为[

1 1 ,e],当 a=﹣1 时, f ' ? x ? ? x ? ? 0 ? x ? 1 , e x

第 -6- 页

∴f(x)在[ ∴

1 ,1]上单调递减,在[1,e]上单调递增, e 1 f ? x ?min ? f ?1? ? , 2



1 ?1? 1 f ? ? ? 2 ? 1 ? f ? e ? ? e2 ? 1 , 2 ? e ? 2e
f ? x ?max ? f ? e ? ? 1 2 e ?1 . 2



(Ⅱ)当 a≥0 时,f ′(x)≥0, ∴f(x)在(0,+ ? )上单调递增 从而 f(x)不可能有两个零点. 当 a<0 时,令 当 x?

f ' ? x ? ? 0 ? x ? ?a ? x ? 0?

? 0, ?a ? 时,f ′(x)<0,f(x)在 ? 0, ?a ? 上单调递减, 当 x ? ? ?a , ?? ? 时,f ′(x)>0,f(x)在 ? ? a , ?? ? 上单调递增, 1 1 ? f ? ?a ? ? ? a ? a ln ? ?a ? , ∴ f ? x? 2 2
min

?a ? 0 ? ? a ? ?e , 要想函数有两个零点,则有 ? 1 1 ? a ? a ln ? ?a ? ? 0 ? ? 2 2
a ? 1 1 1 ?1? 1 f ? ? ? 2 ? a ? 2 ? e ? 0 , f (e 2 ) ? e ? a ? a 2 ? 0 2 2 2e ? e ? 2e

∴实数 a 的取值范围是(﹣ ? ,﹣e). 题十: (Ⅰ)当 a ≤0 时,f ′(x)<0,f(x)在(0,+ ? )上单调递减; 当 a >0 时,函数 f(x)在 ? 0, (Ⅱ)(0,e3)

? ? ?

? a ? a? 内单调递减,在 ? , ?? ? ? ? a ? 内单调递增 a ? ? ? ?

详解:(Ⅰ)

f ?( x) ? ax ?

1 ax 2 ? 1 ? ,x ?0 x x

①当 a ≤0 时,f ′(x)<0,f(x)在(0,+ ? )上单调递减; ②当 a >0 时,令 f ′(x)=0,解得 x

?

a a



当 x ? ? 0,

? ? ?

a? ? 时,f ′(x)<0; a ? ?

第 -7- 页

当 x??

? a ? ? a , ?? ? ? 时,f ′(x)>0; ? ?

∴函数 f(x)在 ? 0,

? ? ?

? a ? a? 内单调递减,在 ? , ?? ? ? ? a ? 内单调递增; a ? ? ? ?

(Ⅱ)当 a ≤0 时,由(Ⅰ)知 f(x)在(0,+ ? )上单调递减,函数 f(x)不可能有两个零点; 当 a >0 时,由(Ⅰ)得,函数 f(x)在 ? 0,

? ? ?

a? ? 内单调递减, a ? ?

在?

? a ? ? a , ?? ? ? 内单调递增,且当 x 趋近于 0 和正无穷大时,f(x)都趋近于正无穷大, ? ?
f ? x? ? 1 2 ax ? ln x ? 2 有两个零点, 2

故若要使函数

则 f(x)的极小值

? a? 1 1 ? ln a ? 2 ? 0 ,解得 0<a<e3 f? ? a ? ? ? 0 ,即 2 2 ? ?

所以 a 的取值范围是(0,e3).

第 -8- 页


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