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【一轮效果监测】2014届高考数学一轮复习检测:《等差数列》 Word版含解析


等差数列
【选题明细表】 知识点、方法 等差数列的基本运算 等差数列的性质 等差数列的判定 等差数列的最值问题 综合应用问题 题号 1、3 2、4、5、9 8、11 6、7 10、12 B )

一、选择题 1.(2013 年高考重庆卷)在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前 5 项和 S5 等于( (A)7 (B)15 (C)20 (D)25 解析:∵{an}是等差数列, ∴ ?

∴S5=5a1+

d=5×(-1)+10×2=15,

故选 B. 2.(2013 年高考福建卷)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( B (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:∵a1+a5=2a3=10, ∴a3=5, 又∵a4=7, ∴d=2,故选 B.

)

3.(2013 天津市新华中学月考)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,S5=3(a2+a8),则 的值为 ( D ) (A) (B) (C) (D) 解析:由 S5=3(a2+a8)得, =3×2a5, 即 5a3=6a5, 所以 = , 故选 D.

4.(2013 金华一中月考)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,S5=3(a2+a8),则 等于(

A )

(A) (B) (C) (D) 解析:由等差数列的性质可知,S5=5a3,a2+a8=2a5, 因为 S5=3(a2+a8), 所以 5a3=3×2a5, = , 故选 A. 5.(2013 厦门市高三上学期期末质量检查)在等差数列{an}中,an>0,且 a1+a2+…+a10=30,则 a5·a6 的最大值等于( C ) (A)3 (B)6 (C)9 (D)36 解析:∵a1+a2+…+a10 =30, 即 ∴a5+a6=6, ∴a5·a6≤ =9, =30,a1+a10=6,

故选 C. * 6.(2013 北京海淀)若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N ),则数列{an}的前 n 项和数值最大 时,n 的值为( B ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 * 解析:∵an+1-an=-3(n∈N ), ∴数列{an}是以 19 为首项,-3 为公差的等差数列, ∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设前 k 项和最大, 则有



∴ ≤k≤ , ∵ k∈N , ∴k=7. 故满足条件的 n 的值为 7. 故选 B. 二、填空题
*

7.(2013 西安八校联考)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵 树相距 10 米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取 树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 米. 解析:设树苗放在第 i 个树坑旁边(如图), 那么各个树坑到第 i 个树坑距离的和是 s=(i-1)×10+(i-2)×10+ … +(i-i)×10+[(i+1) +(20-i)×10=10×[i×i-i ×(20-i)+ ]=10(i -21i+210),
2

-i]×10+



所以当 i=10 或 11 时,s 的值最小,最小值是 1000, 所以往返路程的最小值是 2013 米. 答案:2013 8.已知数列{an} 中,a1=1 且 = + (n∈N ),则 a10=
*

.

解析:由

= + 知,

数列

为等差数列,

则 =1+ (n-1),

即 an=

.

∴a10=

= .

答案:

9.(2013 烟台高三质检) 由正数组成的等差 数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,且 =

,

则 =

.

解析:由 = ∴取 n=3,

=

,

则有 =

= .

答案: 三、解答题 10.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a2+a4=14,S7=70. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ,则数列{bn}的最小项是第几项?并求出该项的值.

解:(1)设公差为 d , 则有



解得 所以 an=3n-2. (2)数列{bn}的最小项是第 4 项, Sn= [1+(3n-2)]= ,

所以 bn=

=3n+ -1≥2

-1=23.

当且仅当 3n= , 即 n=4 时取等号, 故数列{bn}的最小项是第 4 项,该项的值为 23. 11.已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且满足 2Sn= +n-4(n∈N ). (1)求证:数列{an}为等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明:当 n=1 时,有 2a1= +1-4, 即 -2a1-3=0, 解得 a1=3( a1=-1 舍去).
*

当 n≥2 时,有 2Sn-1=

+n-5,

又 2Sn= +n-4,

两式相减得 2an= -

+1,

即 -2an+1=

,

也即(an-1) =

2

,

因此 an-1=an-1 或 an-1=-an-1. 若 an-1=-an-1, 则 an+an-1=1. 而 a1=3, 所以 a2=-2, 这与数列{an}的各项均为正数相矛盾, 所以 an-1=an-1, 即 an-an-1=1, 因此数列{an}为等差数列. (2)解:由(1)知 a1=3,d=1, 所以数列{an}的通项公式 an=3+(n-1)×1=n+2, 即 an=n+2. 12.(2013 南充市第一次适应性考试)设数列{an}的各项都为正数,其前 n 项和为 Sn,已知对任意 n∈N ,Sn 是 和 an 的等差中项. (1)证明数列{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)证明: + +…+ <2.
*

(1)解:由已知,2Sn= +an,且 an>0. 当 n=1 时,2a1= +a1, 解得 a1=1. 当 n≥2 时,有 2Sn-1= +an-1.

于是 2Sn-2Sn-1= -

+an-an-1,

即 2an= -

+an-an -1,

于是 -

=an+an-1,

即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1. 因为 an+an-1>0, 所以 an-an-1=1(n≥2). 故数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 且 an=n. (2)证明:因为 an=n, 则 Sn= , = =2 .

所以 + +…+

=2

+

+…+

=2 <2.


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