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椭圆


椭圆专题训练
一、选择题: 1.椭圆 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 的焦距是( ) A.2 B. 2( 3 ? 2 ) C. 2 5 D. 2( 3 ? 2 ) 2.F1、F2 是定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则点 M 的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 5 3 3.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0) ,

且椭圆过点 ( ,? ) ,则椭圆方程是( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A. y ? x ? 1 B. y ? x ? 1 C. y ? x ? 1 D. x ? y ? 1 10 6 4 8 8 4 10 6 2 2 4.方程 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是( ) A. (0,??) B. (0,2) ) C. C. (1,+∞) D. (0,1)



5.椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 1的离心率为( A.

3 2

B.

3 4

2 2

D.

2 3


x2 y 2 ? ? 1 上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则 PF1 ? PF2 等于( 6.设 p 是椭圆 25 16
A.4 B.5
2

C.8
2

D.10

7.若焦点在 x 轴上的椭圆 A. 3

x y 1 ? ? 1 的离心率为 ,则 m=( ) 2 2 m 3 8 2 B. C. D. 2 3 3

x2 2 8.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上, 3 则△ABC 的周长是( ) (A)2 3 (B)6 (C)4 3 (D)12 9.直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 过椭圆的左焦点 F1 和 一个顶点 B,该椭圆的离心率为( )
A.

1 5

B.

2 5

C.

5 5

D.

2 5 5

10.已知椭圆的焦点是 F1、F2、P 是椭圆上的一个动点.如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹 是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 11.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,若△ABF2 是正三角形, 则这个椭圆的离心率是( )

2 3 D. 2 2 12.已知以 F1 (-2,0) , F2 (2,0) 为焦点的椭圆与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 有且仅有一个交点, 则椭圆的长轴长为 (
A B. C. A. 3 2
2 2

2 3

3 3

)

B. 2 6

C. 2 7

D. 4 2

13. 过椭圆 4 x ? 2 y ? 1 的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A 、 B 两点,则 A 、 B 与椭圆的另一焦点 F2 构成

?ABF2 ,那么 ?ABF2 的周长是(
A. 2 2
2

) C.
2 2

B. 2
2

2


D. 1

14. 已知 k <4,则曲线 A. 相同的准线

x y x y ? ? 1和 ? ? 1 有( 9 4 9?k 4?k
B. 相同的焦点

C. 相同的离心率
1

D. 相同的长轴

x2 ? y 2 ? 1 上,F1 、F2 分别是椭圆的两焦点, 且 ?F1 PF2 ? 90? , 则 ?F1 PF2 的面积是 ( 2 1 3 A. 2 B. 1 C. D. 2 2 2 2 x y ? 2 ? 1(m > 0) 的左焦点 F1 (?4,0) ,则 m ? ( ) 16.(2015 广东)已知椭圆 25 m
15. 若点 P 在椭圆 A.2 B.3 C.4 D.9 17.(2013 广东)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1,0) ,离心率等于



1 ,则 C 的方程是( ) 2

x2 y 2 ? ?1 A. 3 4

x2 y 2 ? ?1 B. 4 3

C.

x2 y 2 ? ?1 4 2

D.

x2 y 2 ? ?1 4 3

x2 y 2 3 18.(2014 大纲全国)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a > b > 0) 的左、右焦点为 F1 , F2 ,离心率为 ,过 F2 的直线 l 交 a b 3 C 于 A,B 两点。若 ?AF 1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为( ) x2 x2 y 2 2 ? y ?1 ? ?1 B. C. 3 12 8 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为( ) 19.(2011 全国新课标)椭圆 16 8 1 1 3 A. B. C. 3 2 3
A.

x2 y 2 ? ?1 A. 3 2

x2 y 2 ? ?1 D. 12 4

D.

2 2
4 5

20.(2010 广东)若一个椭圆长轴的长度,短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

x2 y 2 21.(2013 新 课 标 全 国 ) 设 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1(a > b > 0) 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , P 是 C 上 的 点 , a b o PF2 ? F1F2 , ?PF 1F 2 ? 30 ,则 C 的离心率为( )
A.

3 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 3

22.(2012 全国新课标)设 F1 , F2 是椭圆 E:
o

3a x2 y 2 ? 2 ? 1(a > b > 0) 的左, 右焦点, P 为直线 x ? 上一点,?F2 PF 1 2 2 a b
C.

是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为( ) A.

1 2

B.

2 3

3 4

D.

4 5

23.(2012 江西)椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a > b > 0) 的左右顶点分别是 A,B, 左右焦点分别是 F1 , F2 , 若 AF 1, F 1F 2, F 1B 成 a 2 b2
) C. B.

等比数列,则此椭圆的离心率为( A.

1 4

5 5

1 2

D. 5 - 2 )

24.若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍,则这个椭圆的离心率为(
1 A. 4

1 2 2 B. C. D. 2 2 4 17 x2 y2 25.已知 P 是椭圆 ? ? 1 上的一点,若 P 到椭圆右准线的距离是 ,则点 P 到左焦点的距离是 ( 2 100 36 16 66 77 75 A. B. C. D. 5 5 8 8



2

二.填空题:

1 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m ? 。 2 4 m x2 ? y 2 ? 1 上的一点, F1 , F2 是椭圆的两个焦点,则 PF1 PF2 的最大值为 27.设 P 是椭圆 4
26.椭圆 为 。
1 2
2 2

;最小值

28.直线 y=x- 被椭圆 x +4y =4 截得的弦长为



29.已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25及点A(1,0), Q 为圆上一点,AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M,则点 M 的轨迹方程 为 。 三、解答题: 30.已知三角形 ABC 的两顶点为 B(?2, 0), C (2, 0) ,它的周长为 10 ,求顶点 A 轨迹方程. 31、椭圆的一个顶点为 A(2,0) ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程. 32、中心在原点,一焦点为 F1(0,5
2

)的椭圆被直线 y=3x-2 截得的弦的中点横坐标是 1 ,求此椭圆的方程。
2

33、设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e= 求这个椭圆方程。 34、椭圆

3 2

3 ,已知点 P(0, 2

)到椭圆上的点的最远距离是

7



9 X2 Y2 ? ? 1 上不同三点 A( x1 , y 1 ) , B(4, ) , C(x 2 , y 2 ) 与焦点 5 25 9
; 的垂直平分线与 轴的交点为 ,求直线 的斜率 .

F(4,0)的距离成等差数列. (1)求证 (2)若线段

2 2 35、椭圆 x ? y ? 1 ?a > b > 0 ? 与直线 x ? y ? 1 交于 P 、 Q 两点,且 OP ? OQ ,其中 O 为坐标原点. a2 b2

(1)求

1 1 ? 2 的值; 2 a b
3 ≤ e ≤ 2 ,求椭圆长轴的取值范围. 3 2

(2)若椭圆的离心率 e 满足

3

椭圆练习题参考答案 一、 选择题: ACDD ADBD BBDC 二、 填空题 13、3 或

16 3

14、

4

, 1

15、

2 38 5

16、 4 x ? 4 y ? 1
25 21

2

2

三、 解答题 17、

x2 y2 ? ? 1 (x ? ?3) 9 5
为长轴端点时, ; , , , ,

18、解:(1)当

椭圆的标准方程为: (2)当 为短轴端点时, ;

椭圆的标准方程为: 19、设椭圆:
x a
2 2

?

y b

2 2

,则 ? 1 (a>b>0)
3 2 1 2

a +b =50…①

2

2

又设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,弦 AB 中点(x0,y0) ∵x0= ,∴y0= -2=-
1 2

? y 2 x2 ? 1 ? 1 ?1 2 2 y 2 ? y2 x 2 ? x2 a 2 b2 由? ? 1 ?? 1 ? k AB ? ? 2 2 2 2 a b ? y2 ? x2 ? 1 ? 2 b2 ?a

y1 ? y2 a 2 x0 ?? ? ? 3 ? a 2 ? 3b 2 …② x1 ? x2 b 2 y0
y2 x2 ? 75 25

解①,②得:a 75,b =25,椭圆为: 20、 ∵e == a
2

2=

2

=1

2

? b2 a
2

b 3 ? 1 ? ( )2 ? ? a ? 2b a 4

∴椭圆方程可设为:

x2 4b2

?

y2 b2

? 1(b ? 0)
2 2

设 A(x,y)是椭圆上任一点,则:│PA│ =x +(y- ) =-3y -3y+4b +
?

3 2

2

2

2

9 4

f(y) (-b≤y≤b)
3 2
2

讨论:1°、-b>-

1 1 ? 0<b< 2 2

时,│PA│ 2 max = f(-b)=(b+ ) =(
7 )2 ? b ? 7 ? 3 2

但 b> ,矛盾。不合条件。 2°、-b≤- b≥ 时,│PA│ 2 max = f(- )=4b +3=7 ? b =1
1 2 1 2
2 2

1 2 1 ? 2
2

∴所求椭圆为: x

4

? y2 ? 1

21、证明:(1)由椭圆方程知







由圆锥曲线的统一定义知: ∴ 同理 . .



4

∵ ∴ 即 (2)因为线段 .

,且

, ,

的中点为

,所以它的垂直平分线方程为

又∵点



轴上,设其坐标为

,代入上式,得

又∵点 ∴



都在椭圆上,

∴ 将此式代入①,并利用

. 的结论得

22、[解析]:设 P( x1 , y1 ), P( x 2 , y 2 ) ,由 OP ⊥ OQ ? x
2 2

1

x

2

+ y1 y

2

= 0

? y1 ? 1 ? x1 , y 2 ? 1 ? x 2 , 代入上式得: 2 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0

① 又将 y ? 1 ? x代入

y x 2a 2 ? 2 ? 1 ? (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 ,? ? ? 0,? x1 ? x 2 ? 2 , 2 a b a ? b2 a 2 (1 ? b 2 ) 代入①化简得 1 ? 1 ? 2 . x1 x 2 ? 2 a ? b2 a2 b2

(2) ? e 2 ?
?

a2 c2 b2 1 b2 1 1 b2 2 2 又由( 1 )知 b ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? , 2 a2 3 2a 2 ? 1 a2 a2 3 a2 2

1 1 2 5 3 5 6 ,∴长轴 2a ∈ [ 5 , 6 ]. ? ? ? ? a2 ? ? ?a? 2 2a 2 ? 1 3 4 2 2 2

5


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