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2013高三数学第三轮复习全套基础中档题训练(详细解答)


高中数学

2013 高三数学第三轮复习全题训练
1.集合 A={1,3,a} ,B={1,a2} ,问是否存在这样的实数 a,使得 B ? A, 且 A∩B={1,a}?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,说明理由.

2.在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是三内角 A、B、C 的对应的三边,已知 b2 ? c2 ?

a 2 ? bc 。 (Ⅰ)求角 A 的大小: (Ⅱ)若 2sin
2

B C ? 2sin 2 ? 1 ,判断 ?ABC 的形状。 2 2

3.设椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ?

3 3 ) 到这个椭圆上的点的最远距 .已知点 P (0, 2 2

离为 7 ,求这个椭圆方程.

4.数列 {an } 为等差数列, an 为正整数,其前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 为等比数列,且 a1 ? 3, b1 ? 1 , 数列 {ban } 是公比为 64 的等比数列, b2 S2 ? 64 . (1)求 an , bn ; (2)求证

1 1 1 3 ? ?? ? ? . S1 S2 Sn 4

5.已知函数 f ?x ? ?

6 ? 1 的定义域为集合 A,函数 g ?x? ? lg?? x 2 ? 2x ? m? 的定义域为集合 x ?1

B.

⑴当 m=3 时,求 A ? ?C R B ?; ⑵若 A ? B ? x ? 1 ? x ? 4 ,求实数 m 的值.

?

?

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6.设向量 m ? (cos? ,sin ? ) ,n ? (2 2 ? sin ? , 2 2 ? cos? ) ,? ? (? ? ,?? ) ,若 m ? n ? 1 ,求: (1) sin(? ?

??

?

?
4

3 2

?? ?

) 的值;

(2) cos( ? ?

7 ? ) 的值. 12

7. 在几何体 ABCDE 中, ∠BAC=

? , DC⊥平面 ABC, EB⊥平面 ABC, 是 BC 的中点, F AB=AC=BE=2, 2
E D F C A B

CD=1 (Ⅰ)求证:DC∥平面 ABE; (Ⅱ)求证:AF⊥平面 BCDE; (Ⅲ)求证:平面 AFD⊥平面 AFE.

8. 已知Δ OFQ 的面积为 2 6 ,且 OF ? FQ ? m . (1)设 6 <m<4 6 ,求向量 OF与FQ 的夹角θ 正切值的取值范围; (2)设以 O 为中心,F 为焦点的双曲线经过点 Q(如图), OF ? c ,m=( 最小值时,求此双曲线的方程.

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

6 4

-1)c ,当 OQ 取得

2

????

9.已知向量 a=(3sinα ,cosα ) ,b=(2sinα , 5sinα -4cosα ),α ∈( 且 a⊥b. (1)求 tanα 的值; ? π (2)求 cos( ? )的值. 2 3

3π , ) 2π , 2

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10.某隧道长 2150m,通过隧道的车速不能超过 20 m/s。一列有 55 辆车身长都为 10m 的同一车型 的车队(这种型号的车能行驶的最高速为 40m/s) ,匀速通过该隧道,设车队的速度为 xm/s,根据安 全和车流的需要,当 0 ? x ? 10 时,相邻两车之间保持 20m 的距离;当 10 ? x ? 20 时,相邻两车

( x2 ? 之间保持
y(s) 。

1 6

1 x ) m 的距离。自第 1 辆车车头进入隧道至第 55 辆车尾离开隧道所用的时间为 3

(1)将 y 表示为 x 的函数。 (2)求车队通过隧道时间 y 的最小值及此时车队的速度。

?

3 ? 1.73

?

11.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn = 2 ? an , n ? 1, 2,3, ?。 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 b1=1,且 bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式; (III)设 cn=n(3-bn),求数列{cn}的前 n 项和 Tn

12.设函数 f ( x) ? ( x ? 1)2 ? 2k ln x . (1)当 k=2 时,求函数 f(x)的增区间; (2)当 k<0 时,求函数 g(x)= f ?( x) 在区间(0,2]上的最小值.

13.已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x),设函数f ( x) ? m ? n. (1)求 f (x) 的最小正周期与单调递减区间。 (2)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f ( A) ? 4, b ? 1,

△ABC 的面积为

3 ,求 a 的值. 2

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14.已知数列 ?an ? 为等差数列,且 a1 ? 2 , a1 ? a2 ? a3 ? 12 . (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式;(Ⅱ) 令 bn ? 3 n ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列.
a

15.已知 a 是实数,函数 f ( x) ? x2 ( x ? a) . (Ⅰ)若 f ' (1) ? 3 ,求 a 值及曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ?0,2? 上的最大值.

16.已知二次函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? a( x ? R) 同时满足:①不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元 素;②在定义域内存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立。设数列 {an } 的前 n 项和 (1)求 f (x ) 表达式; (2)求数列 {an } 的通项公式; S n ? f (n) 。 (3) bn ? ( 3) 设
an ?5

,n ? c

6b 2 n ? bn?1 ? bn , cn } 前 n 项和为 T n , n ? n ? m对 n ? N *, n ? 2) ( { T bn bn?1

恒成立,求 m 范围

17.设 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点 a 2 b2

(1)若椭圆 C 上的点 A(1, ) 到 F1 , F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; (2) 设点 P 是(1)中所得椭圆上的动点, Q(0, ) ,求 PQ 的最大值;

3 2

1 2

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18.设函数 f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2 x2 ? b( x ?R) ,其中 a,b ? R . (Ⅰ)当 a ? ?

10 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; 3

(Ⅱ)若函数 f ( x ) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对于任意的 a?? ?2, ,不等式 f ( x) ≤ 1 在 ? ?11? 上恒成立,求 b 的取值范围 2? ,

19.在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一
? 个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 2 海里

的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 + ? (其中 sin ? =
?

26 , 0? ? ? ? 90? ) 26

且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C. (I)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

20.已知分别以 d 1 和 d 2 为公差的等差数列 {an } 和 {bn } 满足 a1 ? 18, b14 ? 36 .
(1)若 d 1 =18,且存在正整数 m ,使得 am ? bm?14 ? 45 ,求证: d 2 ? 108;
2

a ?, b (2) ak ? bk ? 0 , 若 且数列 a1 , 2 , ak , k ?1 , k ? 2 , b14 的前 n 项和 S n 满足 S14 ? 2S k , ?, b
求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;

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21.设函数 f(x)=a?b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, (Ⅰ)若 f(x)=1- 3 且 x∈[-

3 sin2x),x∈R.

? ? , ],求 x; 3 3

(Ⅱ)若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)(|m|< n 的值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.

? )平移后得到函数 y=f(x)的图象,求实数 m、 2

22.盒中装着标有数字 1,2,3,4 的卡片各 2 张,从盒中任意任取 3 张,每张卡片被抽出的可能性 都相等,求: (Ⅰ)抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4 的概率; (Ⅱ)抽出的 3 张中有 2 张卡片上的数字是 3 的概念; (Ⅲ)抽出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率.

23.如图,已知点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上,∠PDA=60°。 D1 (1)求 DP 与 CC1 所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小。
A1 P B1

C1

D

C

A

B

24.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.

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2 1 1 25.甲、乙、丙 3 人投篮,投进的概率分别是 , , .现 3 人各投篮 1 次,求: 5 2 3 (Ⅰ)3 人都投进的概率; (Ⅱ)3 人中恰有 2 人投进的概率.

26.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,AP=BQ=b(0<b<1) ,截面 PQEF∥ A?D , 截面 PQGH∥ AD ? . (Ⅰ)证明:平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直; (Ⅱ)证明:截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值, D? C? 并求出这个值; H G (Ⅲ)若 b ?

1 ,求 D?E 与平面 PQEF 所成角的正弦值. 2

A?
P A D F

B?
Q B E C

27.在 △ ABC 中,已知内角 A ?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.

28.甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品,甲机床产品的正品率是 0.9,乙机床产品的正品 率是 0.95. (Ⅰ)从甲机床生产的产品中任取 3 件,求其中恰有 2 件正品的概率(用数字作答) ; (Ⅱ)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取 1 件,求其中至少有 1 件正品的概率.

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29.如图,正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA ? 2 AB ? 4 ,点 E 在 CC1 上且 C1 E ? 3EC . 1 (Ⅰ)证明: AC ? 平面 BED ; 1 (Ⅱ)求二面角 A1 ? DE ? B 的大小. A1 D1 B1

C1

E D A B C

30.在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, C ? 3 7 . tan (1)求 cos C ; (2)若 CB ? CA ?

??? ??? ? ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

31.甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有 2 个红球,2 个白球;乙袋装有 2 个红球,n 个白球.两甲,乙两袋中各任取 2 个球. (Ⅰ)若 n=3,求取到的 4 个球全是红球的概率; (Ⅱ)若取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率为

3 ,求 n. 4

32.如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ?ABC ? 60? ,E,F 分别 是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的 正切值为

6 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值。 2

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· cos 33.设函数 f ( x) ? a b ,其中向量 a ? (m, 2 x) , b ? (1 ? sin 2 x, , x ? R ,且 y ? f ( x) 的图象经 1)
过点 ? ,? . 2 (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合.

?π ?4

? ?

34.甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机,设经过该机打进的电话是打给甲、 乙、丙的概率依次为

1 1 1 、 、 。若在一段时间内打进三个电话,且各个电话相互独立。求: 6 3 2

(Ⅰ)这三个电话是打给同一个人的概率; (Ⅱ)这三个电话中恰有两个是打给甲的概率;

35.三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示,截面为 A1B1C1 , ?BAC ? 90 ,
?

A1 A ? 平面 ABC , A1 A ? 3 , AB ? 2 , AC ? 2 , AC1 ? 1 , 1
(Ⅰ)证明:平面 A1 AD ? 平面 BCC1B1 ; (Ⅱ)求二面角 A ? CC1 ? B 的大小. B

BD 1 ? . DC 2
A1 B1 A D

C1

C

36.在 △ ABC 中, a, b, c 分别是三个内角 A,B,C 的对边.若 a ? 2, 求 △ ABC 的面积 S w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

C?

π B 2 5 , cos ? , 4 2 5

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37.已知甲盒内有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球,乙盒内有大小相同的 5 个红球和 4 个黑球.现 从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球均为红球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率;

38.如图,平面 ABEF ? 平面 ABCD ,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,

?BAD ? ?FAB ? 900 , BC

// ?

1 AD , BE 2

// ?

1 AF , G , H 分别为 FA, FD 的中点 2

(Ⅰ)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (Ⅱ) C , D, F , E 四点是否共面?为什么? (Ⅲ)设 AB ? BE ,证明:平面 ADE ? 平面 CDE

39.已知 cos ? ?

? 1 13 , cos( ? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14

(Ⅰ)求 tan 2? 的值. (Ⅱ)求 ? .

40.某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则 即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 且各轮问题能否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; (Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率.

4 3 2 1 、 、 、 , 5 5 5 5

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41.如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.
(I)求证: AO ? 平面 BCD; (II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离。

A

D O B E C

42.已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 x ?R . , (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. 8 4

? π 3π ? ? ?

43.从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A : “取出的 2 件产品中 至多有 1 件是二等品”的概率 P( A) ? 0.96 . (1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ; (2)若该批产品共 100 件,从中任意抽取 2 件,求事件 B : “取出的 2 件产品中至少有一件二等品” 的概率 P ( B ) .

44.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC,D、E 分别为 BB1、AC1 的中点. (Ⅰ)证明:ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线; C1 B1 (Ⅱ)设 AA1=AC= 2AB,求二面角 A1-AD-C1 的大小 A1 D E C A B

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45.在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? (Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)求 sin ? 2 B ?

4 . 5

? ?

?? ? 的值. 6?

46.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员 可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有 60%,参加过计算 机培训的有 75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (I)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (II)任选 3 名下岗人员,求这 3 人中至少有 2 人参加过培养的概率 47. 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 DA ? DC ? 4,

DD1 ? 3 ,

求异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

48.已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数.

1 6

49.甲、乙两名跳高运动员一次试跳 2 米高度成功的概率分别是 0.7 , 0.6 ,且每次试跳成功与否相 互之间没有影响,求: (Ⅰ)甲试跳三次,第三次才成功的概率; (Ⅱ)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率; (Ⅲ)甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率

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50. 如图, 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E , P 分别是 BC , A1D1 的中点,M , N 分别是 AE, CD1 的 中点, AD ? AA ? a, AB ? 2a 1 (Ⅰ)求证: MN // 面 ADD1 A ; 1 (Ⅱ)求二面角 P ? AE ? D 的大小。 (Ⅲ)求三棱锥 P ? DEN 的体积。

51.设 f ( x) ? 6cos2 x ? 3 sin 2 x (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及最小正周期; (Ⅱ)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan

4 ? 的值.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5

52.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一 名志愿者. [Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;

53.在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,已知 AB ? 4, AD ? 3, AA ? 2 , 1

D1

C1

E , F 分别是线段 AB, BC 上的点,且 EB ? FB ? 1
(I)求二面角 C ? ED ? C1 的正切值 (II)求直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值

A1 D

B1 C F

A

E

B

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π? ? 1 ? 2 cos ? 2 x ? ? 4? ? 54.已知函数 f ( x) ? . π? ? sin ? x ? ? 2? ?
(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若角 ? 在第一象限且 cos ? ?

3 ,求 f (? ) . 5

55.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5 ,购买乙种商品的概率为 0.6 ,且购买甲 种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的。 (Ⅰ)求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅱ)求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;

P

56.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD ? 底面 ABCD, PD ? DC ,E 是 PC 的中点, 作 EF ? PB 交 PB 于点 F。 (I)证明 PA ∥ 平面 EDB ; (II)证明 PB ? 平面 EFD; (III)求二面角 C - PB - D 的大小。
A

F

E

D B

C

57.在 △ ABC 中, cos B ? ?

5 4 , cos C ? . 13 5

33 ,求 BC 的长. 2 1 58.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 与 p ,且乙投球 2 次均未 2 1 命中的概率为 . 16 (Ⅰ)求乙投球的命中率 p ; (Ⅱ)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率;
(Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ? (Ⅲ)若甲、乙两人各投球 2 次,求两人共命中 2 次的概率.

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59.已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC, ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD,且 PA=AD=DC=

1 AB=1,M 是 PB 的中点。 2

(Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小。

60.已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3

? ?

π? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2?

? 2π ? ? ?

61. 甲、乙两名篮球运动员,投篮的命中率分别为 0.7 与 0.8. (1)如果每人投篮一次,求甲、乙两人至少有一人进球的概率; (2)如果每人投篮三次,求甲投进 2 球且乙投进 1 球的概率.

62.在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明 AB⊥平面 VAD. (Ⅱ)求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小.

V D A B C

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63.求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x 的最大值与最小值。

64. 沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯,汽车在甲、乙、丙三个地方 通过(绿灯亮通过)的概率分别为

1 1 2 , , ,对于在该大街上行驶的汽车, 3 2 3

求: (1)在三个地方都不停车的概率; (2)在三个地方都停车的概率; (3)只在一个地方停车的概率.

65. 如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的, 其中 AB=4, BC=2, CC1=3,BE=1. (Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1F 的距离.

66.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2

? ?

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67.口袋里装有红色和白色共 36 个不同的球,且红色球多于白色球.从袋子中取出2个球, 若是同色的概率为

1 ,求: 2

(1) 袋中红色、白色球各是多少? (2) 从袋中任取3个小球,至少有一个红色球的概率为多少?

68.如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AD 上移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为

? . 4

69.已知函数 f ( x) ? 2cos (Ⅰ)求 ? 的值;

2

? ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周期是 .
2

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的最大值,并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合. 70.袋中有大小相同的 5 个白球和 3 个黑球,从中任意摸出 4 个,求下列事件发生的概率. (1)摸出 2 个或 3 个白球; (2)至少摸出一个黑球.

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71.如图,已知长方体 ABCD ? A B1C1D1, AB ? 2, AA ? 1, 直线 BD 与平面 AA B1B 所成的角为 1 1 1

30? , AE 垂直 BD 于 E , F 为 A1B1 的中点.
(I)求异面直线 AE 与 BF 所成的角; (II)求平面 BDF 与平面 AA1B 所成的二面角; (III)求点 A 到平面 BDF 的距离.
B1

A1

D1

F

A
C1

D

E
B
C

72.已知二次函数 f (x) 对任意 x ? R ,都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立,

1 ) c ? (cos2x,1) d ? (1,2) , , , 2 当 x ?[0, π ]时,求不等式 f( a ? b )>f( c ? d )的解集.
设向量 a ? (sinx,2) b ? (2sinx, ,

73.甲、乙队进行篮球总决赛,比赛规则为:七场四胜制,即甲或乙队,谁先累计获胜四场比赛时, 该队就是总决赛的冠军,若在每场比赛中,甲队获胜的概率均为 0.6,每场比赛必须分出胜负,且每 场比赛的胜或负不影响下一场比赛的胜或负. (1)求甲队打完第五场比赛就获得冠军的概率; (2)求甲队获得冠军的概率.

74.如图,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形, E、F 分别是 AB、PD 的中点. (1)求证:AF∥平面 PCE; (2)若二面角 P-CD-B 为 45°,AD=2,CD=3, 求点 F 到平面 PCE 的距离.

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75.已知函数 f ? x ? 是定义在 ??1,1? 上的奇函数,在 [0,1] 上 f ? x ? ? 2x ? ln ? x ?1? ?1 (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式;并判断 f ? x ? 在 ??1,1? 上的单调性(不要求证明)
2 (Ⅱ)解不等式 f ? 2 x ? 1? ? f 1 ? x ? 0 .

?

?

76.在 △ ABC 中, a, b, c 分别是三个内角 A,B,C 的对边.若 a ? 2, 求 △ ABC 的面积 S .

C?

π B 2 5 , cos ? , 4 2 5

77.有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子,红色骰子有两个面是 8,四个面是 2,蓝色骰子有三个 面是 7,三个面是 1,两人各取一只骰子分别随机掷一次,所得点数较大者获胜. (1)分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望; (2)求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少?

78.如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点,OP ⊥底面 ABC. (Ⅰ)求证:OD∥平面 PAB; P (Ⅱ)当 k=

1 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小; 2
D

(Ⅲ) 当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内的射影恰好为△PBC 的重 心?
A
O

C

B

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79.已知甲、乙、丙三人独自射击命中目标的概率分别是

1 1 1 、 、 。 2 3 4

(1) 、若三人同时对同一目标进行射击,求目标被击中的概率; (2) 、若由甲、乙、丙三人轮流对目标进行射击(每人只有一发子弹) ,目标被击中则停止射击。 请问三人的射击顺序如何编排才最节省子弹?试用数学方法说明你的结论。

80. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式;

1 2 n ? pn , ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ? 2 n ? 1,且 a 4 ? b4 。(1)、 2

(2)、若对于数列 ?cn ? 有, cn ? an ? bn ,请求出数列 ?cn ? 的前 n 项和 R n

81.在△ ABC 中, A , B , C 是三角形的三内角,a,b, c 是三内角对应的三边长, 已知 b2 ? c 2 ? a 2 ? bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求角 B 的大小.

82.如图,四棱锥 P-ABCD 是底面边长为 1 的正方形,PD⊥BC,PD=1,PC= 2 . (Ⅰ)求证:PD⊥面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 A-PB-D 的大小.

P

D A B

C

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83.已知向量 a, b 满足 a ?| b |? 1 ,且 | ka ? b |? 3 | a ? kb | (k ? 0) ,令 f (k ) ? a ? b , (Ⅰ)求 f (k ) ? a ? b (用 k 表示) ;
2 (Ⅱ)当 k ? 0 时, f (k ) ? x ? 2tx ?

? ?

?

?

? ?

?

?

? ?

? ?

1 对任意的 t ? [?1,1] 恒成立,求实数 x 的取值范围。 2

84.已知 ? 为锐角,且 cos ? ?

3 . 5

(Ⅰ)求

5? cos 2 ? ? sin 2? ) 的值. 的值; (Ⅱ)求 tan(? ? 2 4 sin ? ? cos 2?

85 . 如 图 , 在 矩 形 A B C D中 , AB ? 2 BC ,

P, Q 分 别 为 线 段 AB, CD 的 中 点 , EP ⊥ 平 面

A B C D.
(Ⅰ)求证: AQ ∥平面 CEP ; (Ⅱ)求证:平面 AEQ ⊥平面 DEP ; (Ⅲ) 若 EP ? AP ? 1 , 求三棱锥 E ? AQC 的体积.

86.一次口试中,每位考生要在 8 道口试题中随机抽出 2 道题回答,若答对其中 1 题即为及格.(1) 某位考生会答 8 道题中的 5 道题,这位考生及格的概率有多大? (2)若一位考生及格的概率小于 50%,则他最多只会几道题?

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2 87.已知函数 y ? sin x ? 2sin x sin(

?

2 1 ? ⑴若 tan x ? ,求 y 的值;⑵若 x ? [0, ] ,求 y 的值域. 2 2

? x) ? 3sin 2 (

3? ? x) . 2

88.某商品每件成本 9 元,售价为 30 元,每星期卖出 432 件,如果降低价格,销售量可以增加,且 每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x (单位:元, 0 ? x ? 30 )的平方成正比,已知商 品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

89.已知圆锥曲线 C 的焦点为 F (1, 0) ,相应的准线方程为 x ? 2 ,且曲线 C 过定点 B(0,1) .又直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两点. (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)试判断是否存在直线 l ,使得点 F 是△ BMN 的重心.若存在,求出对应的直线 l 的方程;若 .. 不存在,请说明理由; (3)试判断是否存在直线 l ,使得点 F 是△ BMN 的的垂心.若存在,求出对应的直线 l 的方程; .. 若不存在,请说明理由.

90.在平面直角坐标系中,已知 a ? (3 cos? ,3sin ? ),b ? (2 cos? ,2 sin ? ) ,直线 l 的方程为:

x cos ? ? y sin ? ?

1 1 ? 0 ,圆 C 的方程为 ( x ? cos ? ) 2 ? ( y ? sin ? ) 2 ? . 2 2

(1)若 a和b 的夹角为 60°时,直线 l 和圆 C 的位置关系如何?请说明理由; (2)若 a和b 的夹角为θ ,则当直线 l 和圆 C 相交时,求θ 的取值范围。

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91.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 . (Ⅰ)若 f ( x) ? 0 的解集是 (?1,3) ,求实数 a, b 的值; (Ⅱ)若 a 为整数, b ? a ? 2 ,且函数 f ( x) 在 ( ?2, ?1) 上恰有一个零点,求 a 的值.

92. 数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? 2n ? 1(n ? N , n ? 2), a3 ? 27. (1)求 a1 , a 2 的值; (2)记 bn ?

1 (a n ? t )( n ? N *) ,是否存在一个实数 t,使数列 {bn } 为等 2n

差数列?若存在,求出实数 t;若不存在,请说明理由; (3)求数列{ an }的前 n 项和 Sn.

93.已知⊙ Q 过定点 A(0, p)( p ? 0) ,圆心 Q 在抛物线 x ? 2 py 上运动, MN 为圆 Q 在 x 轴上所
2

截得的弦. (1)当 Q 点运动时, MN 是否有变化?并证明你的结论; (2)当 OA 是 OM 与 ON 的等差中项时,试判断抛物线 C 的准线与圆 Q 的位置关系,并说明理由.

y

Q

A

o

M

N

x

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94.如图已知在三棱柱 ABC——A1B1C1 中,AA1⊥面 ABC,AC=BC,M、N、P、Q 分别是 AA1、BB1、AB、 B1C1 的中点. (Ⅰ)求证:面 PCC1⊥面 MNQ; (Ⅱ)求证:PC1∥面 MNQ. C1 C Q B P A M A1 N B1

95.将圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 按向量

? a ? (1, ?1) 平移得到圆 O .直线 l 与圆 O 相交于 P1 、 P2 两点,

若在圆 O 上存在点 P3 ,使 OP ? OP ? OP ? 0 ,且 OP ? ? a(? ?R) ,求直线 l 的方程. 1 2 3 3

???? ???? ???? ?

????

?

96.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x ? 1 对称. ⑴证明: f ( x) 是周期为 4 的周期函数; ⑵若 f ( x) ?

x (0 ? x ? 1) ,求 x ?[?5, ?4] 时,函数 f ( x) 的解析式.

97.某地正处于地震带上,预计 20 年后该地将发生地震.当地决定重新选址建设新城区,同时对旧
2 城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为 64a m ,每年拆除的数量相同;新城区计划第一年建设

2 住房面积 a m ,开始几年每年以 100% 的增长率建设新住房,然后从第五年开始,每年都比上一年 2 2 2 增加 a m .设第 n (n ? 1, 且n ?N)年新城区的住房总面积为 an m ,该地的住房总面积为 bn m . 2 ⑴求 an ;⑵若每年拆除 4a m ,比较 an +1 与 bn 的大小.

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98. 已知复数 z ?

a 2 ? 7a ? 6 ? (a 2 ? 5a ? 6)i(a ? R) , 试求实数 a 分别为什么值时, 分别为: Ⅰ) ( z a ?1

实数; (Ⅱ)虚数; (Ⅲ)纯虚数

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点(-3,2) ,离心率为 ,⊙的圆心为原点,直径为椭圆 2 3 a b 2 2 的短轴,⊙M 的方程为 ( x ? 8) ? ( y ? 6) ? 4 ,过⊙M 上任一点 P 作⊙O 的切线 PA、PB,切点为 A、
99.若椭圆 B. (1)求椭圆的方程; (2)若直线 PA 与⊙M 的另一交点为 Q,当弦 PQ 最大时,求直线 PA 的直线方程; (3)求 OA? OB 的最大值与最小值.

?n(n ? N * , n为奇数) ? 100.设函数 f (n) ? ? n , 数列{an }的通项 an ? f (1) ? f (2) ? f (3) f ( )(n ? N * , n为偶数) ? ? 2

?? ? f (2n )(n ? N * ) (1)求 a1,a2,a4 的值;
(2)写出 an 与 an—1 的一个递推关系式,并求出 an 关于 n 的表达式。 (3)设数列 {bn } 的通项为bn ? log2 (3an ? 2) ? 10(n ? N * ),前n项和为S n ,整数 10 是否为数
3

列 {bn ? S n } 中的项:若是,则求出相应的项数;若不是,则说明理由。

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101.某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划成一个矩形高科技工业园 区.已知 AB ? BC , DA ∥ BC 且 AB ? BC ? 2 AD ? 4 km ,曲线段 OC 是以点 O 为顶点且开口向右的抛 物线的一段. (1) 建立适当的坐标系,求曲线段的方程; (2)如果要使矩形的相邻两边分别落在 AB、BC 上,且一个顶点落在 DC 上,问如何规划才能使矩形工业 C 园区的用地面积最大?并求出最大的用地面积(精确到 0.1km2).

O

A

B

102.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,并统计了他们的物理成绩(成绩均为

整数且满分为 100 分) ,把其中不低于 50 分的分成五段 ?50,60? , ?60,70? ? ?90,100? 后画出如下部 . 分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: . 组距 (Ⅰ)求出物理成绩低于 50 分的学生人数; 组数 (Ⅱ)估计这次考试物理学科及格率(60 分及 以上为及格) (Ⅲ) 从物理成绩不及格的学生中选两人,求 0.0 他们成绩至少有一个不低于 50 分的概率. 0.02 3
5 0.01 5 0.00 5 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 10 0

分数

103.如图所示,在直四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 中,DB=BC, DB ? AC ,点 M 是棱 BB1 上一 点. (1)求证: B1 D1 // 面 A1 BD ; (2)求证: MD ? AC ;
ks5u ks5u ks5u

(3)试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1 ? 平面 CC1 D1 D .

D1 A1 B1

C1

D A
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M

C

B

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104.已知双曲线的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,过双曲线右焦点 F2 且斜率为 1 的 直线交双曲线于 A、B 两点,弦 AB 的中点为 T,OT 的斜率为

1 , 3

(1)求双曲线的离心率; (2)若 M、N 是双曲线上关于原点对称的两个点,点 P 是双曲线上任意一点,当直线 PN 斜率

? 1 1? k PN ? ? , ? ,试求直线 PM 的斜率 k PM 的范围。 ? 3 2?

105.已知函数 y ? f ( x ) ?

ln x . x 1 处的切线方程; e

(Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的图像在 x ? (Ⅱ)求 y ? f (x) 的最大值;

(Ⅲ) 设实数 a ? 0 ,求函数 F ( x) ? af ( x) 在 ?a,2a? 上的最小值.

106.已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 3cos2 x . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调增区间; (Ⅱ)已知 f

?? ? ? 3 ,且 ? ? ? 0, π ? ,求 α 的值.

107.已知数列 f ? n? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n2 ? 2n . (Ⅰ)求数列 f ? n? 通项公式; (Ⅱ)若 a1 ? f ?1? , an?1 ? f ? an ? ? n ?N *? ,求证数列 ? an ? 1 ? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的前 n 项和 Tn .

?

?

?

?

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108.在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90° ,∠BAC=∠CAD=60° ,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB=2. P (Ⅰ)求四棱锥 P-ABCD 的体积 V; (Ⅱ)若 F 为 PC 的中点,求证 PC⊥平面 AEF; (Ⅲ)求证 CE∥平面 PAB. E
F A D

B C

109.经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价格(元)均为时间
1 t(天)的函数,且销售量近似满足 g(t)=80-2t(件) ,价格近似满足 f (t ) ? 20 ? | t ? 10 |(元)(Ⅰ) . 2 试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (Ⅱ)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值.

110.为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议。现对他前 7 次考试 的数学成绩 x 、物理成绩 y 进行分析.下面是该生 7 次考试的成绩. 数学 物理 88 94 83 91 117 108 92 96 108 104 100 101 112 106

(Ⅰ)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明; (Ⅱ)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到 115 分,请你估 计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学习数学、物 理上的合理建议.

111.在△ ABC 中,已知 AB · AC =9,sin B =cos A sin C ,面积 S ?ABC =6. (1)求△ ABC 的三边的长; (2)设 P 是△ ABC (含边界)内一点, P 到三边 AC 、 BC 、 AB 的 距离分别为 x,y 和 z,求 x+y+z 的取值范围.

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112.已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 8 交 x 轴于 A, B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,直线 l : x ? ?4 为准线的 椭圆. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若 M 是直线 l 上的任意一点, 以 OM 为直径的圆 K 与圆 O 相交于 P, Q 两点,求证:直线 PQ 必 过定点 E ,并求出点 E 的坐标; (Ⅲ)如图所示,若直线 PQ 与椭圆 C 交于 G , H 两点,且
A Q H O B x M G y P

??? ? ???? EG ? 3HE ,试求此时弦 PQ 的长.

2 113.已知函数 f ? x ? ? ln x ? 2 x, g ( x) ? a x ? x .

?

?

(Ⅰ)若 a ?

1 ,求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间; 2

(Ⅱ)若 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求 a 的取值范围.

114.由于卫生的要求游泳池要经常换水(进一些干净的水同时放掉一些脏水), 游泳池的水深经 常变化,已知泰州某浴场的水深 y(米) 是时间 t (0 ? t ? 24) , (单位小时)的函数, 记作 y ? f (t ) , 下表是某日各时的水深数据 t(时) y(米) 0 25 3 20 6 15 9 20 12 249 15 2 18 151 21 199 24 25

经长期观测的曲线 y ? f (t ) 可近似地看成函数 y ? A cos?t ? b (Ⅰ)根据以上数据,求出函数 y ? A cos?t ? b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (Ⅱ) 依据规定,当水深大于 2 米时才对游泳爱好者开放,请依据(1)的结论, 判断一天内的上午 8 00 至晚上 20 00 之间,有多少时间可供游泳爱好者进行运动

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115.已知函数 f ( x) ? a

x

?

1 (其中 a ? 0 且 a ? 1 , a 为实数常数). ax

(1) f ( x ? , x 的值(用 a 表示); 若 a ? 1, 且 a t f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ?[1 2] 恒成立, 若 (2) ) 2 求 , 求实数 m 的取值范围(用 a 表示).

116.如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的 中点. (1)求证: EF //平面 ABC1D1 ; (2)求证: EF ? B1C ; (3)求三棱锥 VB1 ? EFC 的体积.
A1 E D1 B1 C1

D F A B

C

117.已知数列 ?an ? 是公差为 d ( d ? 0) 的等差数列,数列 ?bn ? 是公比为 q 的(q∈R)的等比数列,若
2 函数 f ( x) ? x ,且 a1 ? f (d ? 1), a5 ? f (2d ? 1) ,

b1 ? f (q ? 2) , b3 ? f (q) ,(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;(2)设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 S n ,
对一切 n ? N ,都有
?

c c1 c2 ? ? ? ? n ? an?1 成立,求 S n b1 2b2 nbn

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118.如图,公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪分成面积 相等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (1)设 AD=x(x≥0) ,ED=y,求用 x 表示 y 的函数关系式; (2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE 的位置应在哪里?如果 DE 是参观 线路,则希望它最长,DE 的位置又应在哪里?请予证明 A x D B y C E

119. 已知等腰梯形 PDCB 中(如图 1) PB=3,DC=1,PB=BC= 2 ,A 为 PB 边上一点,且 PA=1,将△ ,

PAD 沿 AD 折起,使面 PAD⊥面 ABCD(如图 2) 。 (1)证明:平面 PAD⊥PCD; (2)试在棱 PB 上确定一点 M,使截面 AMC
把几何体分成的两部分 VPDCMA : VMACB ? 2 : 1 ; (3)在 M 满足(Ⅱ)的情况下,判断直线 AM 是否平行面 PCD.

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120.已知数列 {an } , {bn } 中, a1 ? t (t ? 0且t ? 1), a2 ? t 2 ,且 x ?

t 是函数

1 f ( x) ? (a n ?1 ? a n ) x 3 ? (a n ? a n ?1 ) x 的一个极值点.(1)求数列 {an } 的通项公式; 3
(2) 若点 Pn 的坐标为(1, bn ) n ? N * ) ,过函数 g ( x) ? ln( ? x 2 ) 图像上的点 (an , g (an )) 的 ( 1 切线始终与 OP 平行(O 为原点) , n 求证:当
? 1 1 1 1 ? t ? 2, 且t ? 1 时,不等式 ? ? ... ? ? 2n ? 2 2 对任意 n ? N * 都成立. 2 b1 b2 bn n

121.已知函数 f ( x ) ? x ?

t (t ? 0) 和点 P(1 , 0) ,过点 P 作曲线 y ? f (x) 的两条切线 PM 、 PN , x

切点分别为 M 、 N . (1)设 MN ? g (t ) ,试求函数 g (t ) 的表达式; (2)是否存在 t ,使得 M 、 N 与 A(0 , 1) 三点共线.若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由; (3) (1) 在 的条件下, 若对任意的正整数 n , 在区间 [ 2 , n ?

64 ] 内总存在 m ? 1 个实数 a1 , a2 ,?, am , n

am?1 ,使得不等式 g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ) ? g (am?1 ) 成立,求 m 的最大值.

122.已知正方形的外接圆方程为 x2 ? y 2 ? 24x ? a ? 0 ,A、B、C、D 按逆时针方向排列,
正方形一边 CD 所在直线的方向向量为(3,1). (1)求正方形对角线 AC 与 BD 所在直线的方程; (2)若顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线 E 经过 正方形在 x 轴上方的两个顶点 A、B,求抛物线 E 的方程.

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123. 已知数列 {an } ,其前 n 项和 Sn 满足 S n?1 ? 2?S n ? 1(? 是大于 0 的常数) ,且 a1=1,a3=4.(1) 求 ? 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式 an; (3)设数列 {nan } 的前 n 项和为 Tn,试比较

Tn 与 2

Sn 的大小.

124.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, (a, b, c ? R) 满足:对任意实数 x,都有 f ( x) ? x ,且当 x ?

1 ( x ? 2) 2 成立。 (1)证明: f (2) ? 2 ; 8 m (2)若 f (?2) ? 0, f ( x) 的表达式;(3)设 g ( x) ? f ( x) ? x , x ? [0,??) ,若 g (x) 2 1 图上的点都位于直线 y ? 的上方,求实数 m 的取值范围。 4
(1,3)时,有 f ( x) ?

125.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x (ax ? 3) ,其中 a 为常数.
2

(1)若 x=1 是函数 f (x) 的一个极值点,求 a 的值; (2)若函数 f (x) 在区间(-1,0)上是增函数,求 a 的取值范围; (3)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x), x ? [0,2] ,在 x=0 处取得最大值,求正数 a 的取值范围. ..

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1.在△ABC 中,A、B、C 的对边分别是 a、b、c 且 a cosC, b cos B, c cos A 成等差数列. (Ⅰ)求 B 的值; (Ⅱ)求 2 sin 2 A ? cos(A ? C) 的范围.

2.已知公差大于零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且满足: a3 ? a4 ? 117, a2 ? a5 ? 22 . (1)求 数列 {an } 的通项公式 an ; (2)若数列 {bn} 是等差数列,且 bn ?

Sn ,求非零常数 c; n?c

(3)若(2)中的 {bn} 的前 n 项和为 Tn ,求证: 2Tn ? 3bn ?1 ?

64bn (n ? 9)bn ?1

3.已知函数 f ?x? ? a ln x ? bx2 图象上一点 P(2,f(2))处的切线方程为 y ? ?3x ? 2 ln 2 ? 2 . (Ⅰ)

1 求 a, b 的值; (Ⅱ)若方程 f ?x ? ? m ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根,求 m 的取值范围(其中 e 为自 e
然对数的底, e? 2.7 ) ; (Ⅲ)令 g ? x ? ? f ? x ? ? nx ,如果 g ?x ? 图象与 x 轴交于 A?x1 ,0?, B?x2 ,0??x1 ? x2 ? ,AB 中点为

C?x0 ,0? ,求证: g ? ? x0 ? ? 0 .

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4. 如图,A、B 是单位圆 O 上的动点,C 是圆与 x 轴正半轴的交点,设 ?COA ? ? . (1)当点 A 的坐标为 3 , 4 时,求 sin ? 的值; 5 5 (2)若 0 ? ? ? π ,且当点 A、B 在圆上沿逆时针方向 2 移动时,总有 ?AOB ? π ,试求 BC 的取值范围. 3

? ?

5. 已知直线 l 的方程为 x ? ?2 , 且直线 l 与 x 轴交于点 M, O : x2 ? y 2 ? 1 与 x 轴交于 A, B 两点 圆 (如 图) . (I)过 M 点的直线 l1 交圆于 P、 Q 两点,且圆孤 PQ 恰为圆周的

1 ,求直线 l1 的方程; 4

(II)求以 l 为准线,中心在原点,且与圆 O 恰有两个公共点的椭圆方程; (III)过 M 点作直线 l2 与圆相切于点 N,设(II)中椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,求三角形 ?NF1 F2 面 积。 l P M A O B x y Q l1

6.已知向量 a ? (cosx, x),b ? ( 2,2 ) ,若 a ? b ? sin (I)试求出 cos( x ?

?

?

? ?

?
4

) 和 tan( x ?

?
4

8 ? ? ,且 ? x ? 5 4 2
1 ? tan x

) 的值;

(II)求 sin 2 x (1 ? tan x ) 的值。

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7.已知函数 f ( x) ? log4 (4x ?1) ? kx ( k ? R ) 是偶函数.
x (1) 求 k 的值;(2)设 g ( x) ? log 4 ( a ? 2 ?

4 a) ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,求实 3

数 a 的取值范围.

8.已知函数 f ( x ) ?

ax 在 x ? 1 处取得极值 2 . x ?b
2

(I) 求函数 f (x) 的表达式; (II)若 f ( x) 的定义域、值域均为 [m, n] , 0 ? m ? n )试求所有满足条件的区间 [m, n] ; ( (Ⅲ)若直线 l 与 f ( x ) ?

ax 的图象切于点 P( x0 , y0 ) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. x ?b
2

9.设 A(x1 , y1),B(x2 , y2)是函数 f(x)=

1 x +log2 图象上任意两点,且 2 1? x 1 1 OM = ( OA + OB ),点 M 的横坐标为 .⑴求 M 点的纵坐标; 2 2
⑵若 Sn=

? f ( n ) =f( n )+f( n )+…+f(
i ?1

n ?1

i

1

2

n ?1 ),n∈N*,且 n≥2,求 Sn; n

?2 ?3 ( n ? 1) ? ⑶已知 an= ? n∈N*,Tn 为数列{an}的前 n 项和,若 1 ( n ? 2) ? ? ( S n ? 1)( S n?1 ? 1) ?
Tn<λ(Sn+1+1) 对一切 n>1 且 n∈N*都成立,求 λ 的取值范围.

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10.烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染,据环保部门测定,地面某处的烟尘浓度与该处到烟 囱的距离的平方成反比,而与该烟囱喷出的烟尘量成正比,某乡境内有两个烟囱 A,B 相距 20km,其 中 B 烟囱喷出的烟尘量 A 的 8 倍,该乡要在两座烟囱连线上一点 C 处建一小学,请确定该小学的位 置使得烟尘浓度最低.

11.某研究机构为了研究人的脚的大小(码)与身高(厘米)之间的关系,随机抽测了 20 人,得到如下数据:



序号 身高 x 脚长 y 序号 身高 x 脚长 y

1 192 48 11 169 43

2 164 38 12 178 41

3 172 40 13 167 40

4 177 43 14 174 43

5 176 44 15 168 40

6 159 37 16 179 44

7 171 40 17 165 38

8 166 39 18 170 42

9 182 46 19 162 39

10 166 39 20 170 41

⑴若“身高大于 175 厘米”的为“高个”,“身高小于等于 175 厘米”的为“非高个”;“脚长大于 42 码”的 为“大脚”,“脚长小于等于 42 码”的为“非大脚”.请根据上表数据完成右面的 2?2 联列表⑵根据题⑴ 中表格的数据,若按 99%的可靠性要求,能否认为脚的大小与身高之间有关系? ⑶若按下面的方法从这 20 人中抽取 1 人来核查测量数据的误差:将一个标有数字 1,2,3,4,5,6 的正六面体骰子连续投掷两次, 记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号.试求: ①抽到 12 号的概率;②抽到“无效序号(超过 20 号)”的概率.
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12.已知以点 C (t , )( t ? R, t ? 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A ,与 y 轴交于点 O 、 B ,其中 O 为 原点。 (1)求证: ?OAB 的面积为定值; (2)设直线 y ? ?2 x ? 4 与圆 C 交于点 M , N ,若 OM ? ON ,求圆 C 的方程。

2 t

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13、已知矩形纸片 ABCD 中,AB=6 cm ,AD=12 cm ,将矩形纸片的右下角折起,使该角的顶点 B 落在矩形的边 AD 上, 且折痕 MN 的两端点, N 分别位于边 AB、 上, ?MNB ? ? , MN ? l 。 M、 BC 设 (ⅰ)试将 l 表示成 ? 的函数; (ⅱ)求 l 的最小值。 D C N

A

M

B

14.在 ΔABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c . A 为锐角, a ? 30 ,ΔABC 的面积 S ? 105 ,外 接圆半径 R=17. (Ⅰ)求 sin A,cos A 的值; (Ⅱ)求 ΔABC 的周长.

15.已知圆 C : x ? ( y ? 3) ? 4 ,一动直线 l 过 A(?1, 0) 与圆 C 相交于 P 、 Q 两点, M
2 2

是 PQ 中点,l 与直线 m: x ? 3 y ? 6 ? 0 相交 y 于 N .(Ⅰ)求证:当 l 与 m 垂直时,l 必过圆 心C ; (Ⅱ) PQ ? 2 3 时, 当 求直线 l 的方程; (Ⅲ) 探索 AM ? AN 是否与直线 l 的倾斜角 有关,若无关,请求出其值;若有关,请 说明理由. N
第 15 题

C? M Q ? ? A P O m l

l

x

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16.某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼 房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单位:元).为了 使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

购地总费用 建筑总面积

17.如图所示,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BB , AC1 ? 平面 A1 BD, D 为 AC 的中点. (1) 1 求证: B1C // 平面 A1BD ; (2)求证: B1C1 ? 平面 ABB A ; 1 1 (3) CC1 上是否存在一点 E , 在 使得∠ BA1 E =45°, 若存在, 试确定 E 的位置, 并判断平面 A BD 1 与平面 BDE 是否垂直?若不存在,请说明理由.

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点, B(0,?1) . 18. 设 F1 、 F2 分别是椭圆 4
(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值; (Ⅱ)若 C 为椭圆上异于 B 一点,且 BF ? ?CF1 ,求 ? 的值; 1 (Ⅲ)设 P 是该椭圆上的一个动点,求 ?PBF 的周长的最大值. 1

???? ???? ?

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19 . 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , d 为 常 数 , 已 知 对 ?n, m ? N ? , 当

n?m 时,总有

S n ? S m ? S n?m ? m(n ? m)d .⑴ 求证:数列{ an }是等差数列;
⑵ 若正整数 n, m, k 成等差数列,比较 S n ? S k 与 2S m 的大小,并说明理由!

20. 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆心在直线 y ? x ? 4 上,半径为 2 2 的圆 C 经过坐标原点 O, 椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10. a2 9

(1)求圆 C 的方程; (2)若 F 为椭圆的右焦点,点 P 在圆 C 上,且满足 PF ? 4 ,求点 P 的坐标.

21. 某厂为适应市场需求,提高效益,特投入 98 万元引进先进设备,并马上投入生产,第一年需要 的各种费用是 12 万元,从第二年开始,所需费用会比上一年增加 4 万元,而每年因引入该设备可获 得的年利润为 50 万元。请你根据以上数据,解决下列问题:(1)引进该设备多少年后,开始盈利? (2)引进该设备若干年后,有两种处理方案:第一种:年平均盈利达到最大值时,以 26 万元的价格 卖出;第二种:盈利总额达到最大值时,以 8 万元的价格卖出,哪种方案较为合算?请说明理由′

22. 设 二 次 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在 区 间 ? ?2, 2 上 的 最 大 值 、 最 小 值 分 别 是 M 、 m , 集 合 ?
2

A ? ?x | f ( x) ? x? .(1)若 A ? {1, 2} ,且 f (0) ? 2 ,求 M 和 m 的值;
(2)若 A ? {2} ,且 a ? 1 ,记 g (a) ? M ? m ,求 g (a ) 的最小值.

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23. 设 数 列 ?an ? , ?bn ? 满 足 a1 ? b1 ?6 , a 2 ? b2 ?4 , a3 ? b3 ?3 若 ?an?1 ? an ? 是 等 差 数 列 , ,

?bn?1 ? bn ? 是等比数列.(1)分别求出数列 ?an?,?bn ? 的通项公式;
(2)求数列 ?an ? 中最小项及最小项的值; (3)是否存在 k ? N * ,使 ak ? bk ? ? 0, ? ,若存在,求 满足条件的所有 k 值;若不存在,请说明理由.

? ?

1? 2?

24、已知 E、F 分别是正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧面 AA1 B1 B 和侧面 AA1C1C 的对角线的交点, D
是棱 BC 的中点. 求证:(1) EF // 平面 ABC ; (2)平面 AEF ? 平面 A AD . 1 B1 E F A A1

C1

B

D

C

? x ? 2 y ? 10 ≥ 0, ? 25.在平面区域 ? x ? 2 y ? 6 ≥ 0, 内有一个圆,向该区域内随机投点,当点落在圆内的概率最大时的圆 ?2 x ? y ? 7 ≤ 0 ?

记为⊙M. (1)试求出⊙M 的方程; (2)过点 P(0,3)作⊙M 的两条切线,切点分别记为 A,B; 2 2 又过 P 作⊙N:x +y -4x+ ? y+4=0 的两条切线,切点分别记为 C,D.试确定 ? 的值,使 AB⊥CD. y
x-2y+10=0 2x-y-7=0

y B P O A D N
(图 2)

M

O

x+2y-6=0 (图 1)

x

C

x

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26. 已知函数 f ( x) ? ln x ? a2 x2 ? ax(a ? R) . (1)当 a=1 时,证明函数 f ( x) 只有一个零点; (2) 若函数 f ( x) 在区间(1,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围.

27. 已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? 1, ?,? 是方程 f ( x ) ? 0 的两个根 (? ? ? ) , f ?( x ) 是 f ( x) 的导 数.设 a1 ? 1 , an ?1 ? an ?

f (an ) (n ? 1, ?) . 2, (1)求 ?,? 的值; f ?(an ) an ? ? ( n 12 , ? . ? ) , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an ? ?

(2) 已知对任意的正整数 n 有 an ? ? , bn ? l 记 n

?π π? ?π ? 28.已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . (1)求 f ( x) 的最大值和最小值; (2)若 4 ?4 2? ? ? ?π π? 不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围 ?4 2?

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29、 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 ,F2 , P 在椭圆 C 上, PF1 ? F1 F2 , 点 且 a2 b2

PF1 ?

4 14 , PF2 ? . (1)求椭圆 C 的方程; 3 3

(2)若直线 l 过圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0 的圆心 M ,交椭圆 C 于 A , B 两点,且 A ,B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程.

30 . 已 知 集 合 是 满 足 下 列 性 质 的 函 数 f (x) 的 全 体 : 在 定 义 域 D 内 存 在 x0 , 使 得 (1)函数 f ( x) ? f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1) 成立.

1 是否属于集合 M ?说明理由; x

(2)若函数 f ( x) ? kx ? b 属于集合 M ,试求实数 k 和 b 的取值范围; (3)设函数 f ( x ) ? lg

a 属于集合 M ,求实数 a 的取值范围. x ?1
2

31.设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? ln x ? 2a ln x ?1 ( x ? (0, ??)) .
2

? (1)令 g ( x) ? xf ( x) ( x ? 0) ,求 g ( x) 的最小值,并比较 g ( x) 的最小值与零的大小;
(2)求证: f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数;
2 (3)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 .

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32.若函数 f ( x) ? sin 2 ax ? sin ax cosax(a ? 0) 的图象与直线 y=m 相切,并且切点的横坐标依次 成公差为

? 的等差数列.(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若点 A( x0 , y0 )是y ? f ( x) 图象的对称中心,且 2 ? x 0 ? [0, ] ,求点 A 的坐标. 2

4 2 3 2 ), N ( - , 2 )两点. 3 2 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)在椭圆上是否存在点 P(x,y),使 P 到定点 A(a,0)(其中 0<a<3)的距 离的最小值为1?若存在,求出 a 的值及 P 点的坐标;若不存在,请给予证明.
33.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆过 M (1,

34.设 A(x1 , y1),B(x2 , y2)是函数 f(x)= 横坐标为 Sn;

1 1 x +log2 图象上任意两点,且 OM = ( OA + OB ),点 M 的 2 2 1? x

n ?1 1 1 2 n ?1 i .⑴求 M 点的纵坐标;⑵若 Sn= ? f ( ) =f( )+f( )+…+f( ),n∈N*,且 n≥2,求 2 n n n n i ?1

?2 ?3 ( n ? 1) ⑶已知 an= ? n∈N*,Tn 为数列{an}的前 n 项和,若 Tn<λ(Sn+1+1) 对一 ? ( n ? 2) 1 ? ? ( S n ? 1)( S n?1 ? 1) ?
切 n>1 且 n∈N*都成立,求 λ 的取值范围.

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35.已知函数 f(x)= n +lnx 的图像在点 P(m,f(m))处的切线方程为 y=x , 设 g ? x ? ? mx ?

n ? 2 ln x . x

(1)求证:当 x ? 1, g ? x ? ? 0 恒成立; (2)试讨论关于 x 的方程: mx ?

n ? g ? x ? ? x 3 ? 2ex 2 ? tx 根的个数. x

36.已知函数 f ?x? ? loga ?x ? 1?, g ?x? ? 2 loga ?2 x ? t ??t ? R? ,其中 x ? ?0,15?, a ? 0 且 a ? 1 .(1) 若 1 是关于 x 的方程 f ?x ? ? g ?x ? ? 0 的一个解,求 t 的值; (2)当 0 ? a ? 1 时,不等式 f ?x ? ? g ?x ? 恒成立,求 t 的取值范围.

37.已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x 在 (1, 2] 是增函数, g ( x) ? x ? a x 在(0,1)为减函数 (1)求 f (x) 、 g (x) 的表达式 (2)求证:当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解; (3)当 b ? ?1 时,若 f ( x ) ? 2bx ?

1 在 x ∈ (0,1] 内恒成立,求 b 的取值范围. x2

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38.点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上, 36 20

且位于 x 轴上方,PA⊥PF, (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值.

39、 已知直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? BC, AB ? 1, BC ? 2, CD ? 1 ? 3, 过 A 作 AE ? CD , 垂足为 E , G、F分别 为AD、CE 的中点,现将 ?ADE 沿 AE 折叠,使得 DE ? EC .(1)求证:

BC ? 面CDE ; (2)求证: FG // 面BCD ;
(3)在线段 AE 上找一点 R ,使得面 BDR ? 面 DCB ,并说明理由. D D E F ? C G E A B

G?

F

C

A

B

2 n ?1 40、已知:数列 ?an ? 满足 a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? …… ? 2 an ?

n ?n ? N ? ? 2

(1)求数列 ?an ? 的通项(2)若 bn ?

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项的和 Sn an

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41.已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x 在 (1, 2] 是增函数, g ( x) ? x ? a x 在(0,1)为减函数. (I)求 f (x) 、 g (x) 的表达式; (II)求证:当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解; (III)当 b ? ?1 时,若 f ( x ) ? 2bx ?

1 在 x ∈ (0,1] 内恒成立,求 b 的取值范围. x2

42.某观测站 C 在城 A 的南偏西 25° 的方向上,由 A 城出发有一条公路,走向是南偏东 50° ,在 C 处 测得距 C 为 12 3 km 的公路上 B 处,有一人正沿公路向 A 城走去,走了 12 km 后,到达 D 处,此 时 C、D 间距离为 12 km,问这人还需走多少千米到达 A 城?

A 250 500 C B D

43.已知下表中的对数值有且只有两个是错误的。
x lgx 1.5 3a?b+c 3 2a?b 5 a+c 6 1+a?b?c 7 2(a+c) 8 3(1?a?c) 9 2(2a?b) 14 1?a+2b 27 3(2a?b)

(1)假设上表中 lg3=2a?b 与 lg5=a+c 都是正确的, 试判断 lg6=1+a?b?c 是否正确, 给出判断过程;(2) 求 证 lg3 的对数值是正确的; (3)试将两个错误的对数值均指出来, 并加以改正(不要求证明) ....

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44.已知 a 是实数,函数 f ( x) ? x 2 ( x ? a) . (Ⅰ)若 f ' (1) ? 3 ,求 a 值及曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a﹥0 时,求 f ( x ) 在区间 ?0,2? 上的最大值.

45.已知二次函数 y ? f (x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2, 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,点 (n, S n )(n ? N*)均在函数 ? f ( x)的图像上。 y (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) bn ? 设 m 的范围。

3 m , Tn 是数列 bn }的前n项和, 求出Tn ; 并 使 { 求 得 T n? 对所有 n ? N * 都成立的 an an?1 7

46.已知圆 O: x ? y ? 1 ,点 O 为坐标原点,一条直线 l : y ? kx ? b(b ? 0) 与圆 O 相切并与椭
2 2



x2 ? y 2 ? 1 交于不同的两点 A、B 2
2 求直线 l 的方程; 3,

(1)设 b ? f (k ) ,求 f (k ) 的表达式; (2)若 OA ?OB ? (3)若 OA ? OB ? m(

2 3 ? m ? ) 求三角形 OAB 面积的取值范围. 3 4 ,

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47.设 f1 ( x) ?

f (0) ? 1 2 , 定义f n?1 ( x) ? f1[ f n ( x)],an ? n , n ? N *. 1? x f n (0) ? 2

(1)写出 an?1与an的关系式; (2)数列 {an } 的通项公式; (3)若 T2n ? 2a2 ? 4a4 ? 6a6 ? ? ? 2na2n , 求T2n .

48.定义在 (0, ??) 的三个函数 f(x)、g(x)、h(x),已知 f(x)=lnx, g(x)= x2 ? af ( x), h( x) ? x ? a x ,且 g(x)在 x=1 处取极值。 (I)求 a 值及 h(x)的单调区间;
2 (II)求证:当 1<x< e 时,恒有 x ?

2 ? f ( x) ; 2 - f ( x)

(III)把 h(x)对应的曲线 C1 向上平移 6 个单位后得曲线 C2 ,求 C2 与 g(x)对应曲线 C3 的交点个数, 并说明道理.

49.已知向量 m ? (cosx,? sin x), n ? (cosx, sin x ? 2 3 cos x), x ? R ,令 f ( x) ? m ? n , (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
4

] 时,求函数 f(x)的值域.

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50.设实数 x, y 同时满足条件: 4 x2 ? 9 y 2 ? 36 ,且 xy ? 0 . (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并证明.

a 51.设函数 f ( x ) = x – ln x ,其中 a∈R . 2

(1)求 f ( x )的单调递增区间; (2)求函数 g ( x) ? x ? e ? e(ln x ? ln e)( x ? 0) 的单调区间; (3)求证: e 2(
π? e)

> π e

??

e

.

52.已知 x=

1 b 是 f ( x ) ? 2 x ? ? ln x 的一个极值点 2 x

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调增区间; (Ⅲ)设 g ( x ) ? f ( x ) ?

1 ,试问过点(2,5)可作多少条曲线 y=g(x)的切线?为什么? x

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高三数学中档题训练
1.解:由 A={1,3,a} ,B={1,a2} ? A,得 a2=3.或 a2=a. ,B 当 a2=3 时, a ? ? 3 ,此时 A∩B≠{1,a} ; ------------------- 7 分

当 a2=a 时,a=0 或 a=1, a=0 时,A∩B={1,0} ;a=1 时,A∩B≠{1,a} . 综上所述,存在这样的实数 a=0,使得 B ? A,且 A∩B={1,a} .-------------------14 分 2.解: (Ⅰ)在 ?ABC 中, b2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A ,又 b2 ? c2 ? a 2 ? bc

1 ? , A ? ???????????????????6 分 2 3 B C 2 ? 2sin 2 ? 1 ,∴ 1 ? cos B ? 1 ? cos C ? 1 ????????8 分 (Ⅱ)∵ 2sin 2 2 2? 2? 2? ? B) ? 1 , cos B ? cos cos B ? sin sin B ? 1 , ∴ cos B ? cos C ? 1, cos B ? cos( 3 3 3
∴ cos A ?

? 3 1 sin B ? cos B ? 1 ,∴ sin( B ? ) ? 1 , 6 2 2
, ∴ ?ABC 为等边三角形。?????14 分 3 3 x2 y2 c 3 3.解:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , M ( x, y ) 为椭圆上的点,由 ? 得 a ? 2b a 2 a b 3 1 2 AM ? x 2 ? ( y ? ) 2 ? ?3( y ? ) 2 ? 4b 2 ? 3 , (?b ? y ? b) 2 2 1 3 2 3 1 2 若 b ? ,则当 y ? ?b 时 AM 最大,即 ( ?b ? ) ? 7 , ? b ? 7 ? ? ,故矛盾. 2 2 2 3 1 1 2 2 若 b ? 时, y ? ? 时 4b ? 3 ? 7 , b ? 1 2 2 ∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ?

?

,C ?

?

所求方程为

x2 ? y2 ? 1 4

4.解: (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,

an ? 3 ? (n ?1)d , bn ? qn?1
? ban?1 q 3? nd ? 3? ( n ?1) d ? q d ? 64 ? 26 ? q 依题意有 ? ban ① ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64 ?
由 (6 ? d )q ? 64 知 q 为正有理数,故 d 为 6 的因子 1, 2,3, 6 之一, 解①得 d ? 2, q ? 8

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故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 8n?1 (2) Sn ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ∴

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? S1 S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 3 ? (1 ? ? ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4 ?
5.解: A ? {x

6 ? 1 ? 0} ? ?? 1,5? x ?1

2 (1)当 m=3 时, B ? {x ? x ? 2 x ? 3 ? 0} ? (?1,3)

∴ CR B ? {x x ? ?1或x ? 3} , A ? (C R B) ? [3,5] (2)由题意知:4 为方程-x +2x+m=0 的根,得:m=8
2

经检验 m=8 适合题意.

?? ? 6.解: (1)依题意, m ? n ? cos? (2 2 ? sin ? ) ? sin ? (2 2 ? cos? ) ? 2 2(sin ? ? cos? ) ?????????????3 分
? 4 sin(? ?
又 m? n ?1

?
4

) ?????????5 分

?? ?

1 ?????????7 分 4 4 3 ? 5 3 (2)由于 ? ? (? ? ,?? ) ,则 ? ? ? ( ? ? ,? ? ) ?????9 分 2 4 4 4
∴ sin(? ?

?

)?

??

3 ? 15 ??14 分 8

7.解:(Ⅰ) ∵DC⊥平面 ABC,EB⊥平面 ABC ∴DC//EB,又∵DC ? 平面 ABE,EB ? 平面 ABE,∴DC∥平面 ABE??(4 分) (Ⅱ)∵DC⊥平面 ABC,∴DC⊥AF,又∵AF⊥BC,∴AF⊥平面 BCDE??(8 分) (Ⅲ)由(2)知 AF⊥平面 BCDE,∴AF⊥EF,在三角形 DEF 中,由计算知 DF⊥EF, ∴EF⊥平面 AFD,又 EF ? 平面 AFE,∴平面 AFD⊥平面 AFE.??(14 分 8.(1)∵ S ?OFQ ?

? ? 1 ??? ??? OF FQ sin ?OFQ , 2 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 4 6 OF ? FQ ? OF FQ cos ?OFQ ? m ∴tanθ = .
m

又∵ 6 <m<4 6 ,∴1<tanθ <4.????????????6 分
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x y (2)设所求的双曲线方程为 2 - 2 = 1 (a>0,b>0),Q(x1,y1), a b 则=(x1-c,y1),∴S△OFQ= 1 4 6 ||?|y1|=2 6 ,∴y1=± . 2 c 6 4 -1)c ,∴x1=
2

2

2

又由 OF ? FQ =(c,0)?(x1-c,y1)=(x1-c)c=( ∴ OQ = x1 +y1 =

??? ??? ? ?
2

6 4

c.??8 分

????

2

96 3 2 c ≥ 12 . 2 + c 8

当且仅当 c=4 时, ||最小,这时 Q 点的坐标为( 6 , 6 )或( 6 ,- 6 ).12 分
2 ? 62 - 62 = 1 ? ?a =4 a b ? 2 ∴? , ∴ . ?b =12 ?a2+b2=16 ?

x y 故所求的双曲双曲线方程为 = 1 .???????????14 分 4 12 9.解: (1)∵a⊥b,∴a?b=0.而 a=(3sinα ,cosα ) ,b=(2sinα , 5sinα -4cosα ), 2 2 故 a?b=6sin α +5sinα cosα -4cos α =0.??????????????2 分 由于 cosα ≠0,∴6tan2α +5tanα -4 =0.

2

2

4 1 ,或 tanα = .?????????????????5 分 3 2 1 4 3π ∵α ∈( , ) .∴tanα =- .??6 分 2π ,tanα <0,故 tanα = (舍去) 2 2 3 ? 3π 3π (2)∵α ∈( , ) . ( ,π) 2π ,∴ ? 2 2 4 4 ? ? 1 由 tanα =- ,求得 tan ? ? , tan =2(舍去) . 3 2 2 2 ? 5 ? 2 5
解之,得 tanα =- ∴ sin cos(
2 ? 5 , cos 2 ?? 5

,??????????????????11 分

π ? π ? π )= cos cos ? sin sin 2 3 2 3 2 3 2 5 1 5 3 2 5 ? 15 ? ? ? =? =? . ???????14 分 5 2 5 2 10 2150 ? 10 ? 55 ? 20 ? (55 ? 1) 3780 ? 10.解:当 0 ? x ? 10 时, y ? x x

?

?

1 1 2150? 10 ? 55 ? ( x 2 ? x) ? (55 ? 1) 6 3 当 10 ? x ? 20 时, y ? x 2700 ? ? 9 x ? 18 x 3780 ? (0 ? x ? 10) ? x 所以, y ? ? 2700 ? ? 9 x ? 18(10 ? x ? 20) ? x 3780 ? 378 ( s ) (1) 当 x ? (0,10] 时,在 x ? 10 时, y min ? 10
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当 x ? (10,20] 时, y ?

2700 2700 ? 9 x ? 18 ? 18 ? 2 ? 9 x ? ? 18 ? 180 3 x x

? 329.4( s)
当且仅当 9 x ?

2700 ,即: x ? 17.3(m / s) 时取等号。 x

因为 17.3 ? (10,20] ,所以 当 x ? 17.3(m / s) 时, y min ? 329.4(s) 因为

378 ? 329 .4

所以,当车队的速度为 17.3(m / s) 时,车队通过隧道时间 y 有最小值 329.4( s) 11. ( Ⅰ ) ∵ n ? 1 时 , a1 ? S1 ? a1 ? a1 ? 2 ∴ a1 ? 1 ∵ Sn ? 2 ? an 即 an ? Sn ? 2 , ∴

an?1 ? Sn?1 ? 2 两式相减: an?1 ? an ? Sn?1 ? Sn ? 0 即 an?1 ? an ? an?1 ? 0
故有 2an?1 ? an ∵ an ? 0 ,∴ 所以,数列 {an } 为首项 a1 ? 1 ,公比为

an ?1 1 ? (n ? N * ) an 2

1 1 n ?1 * 的等比数列, an ? ( ) ( n ? N ) 2 2 1 n ?1 ( ) (Ⅱ)∵ bn?1 ? bn ? an (n ? 1, 2,3,…) ,∴ bn ?1 ? bn ? 2 1 1 1 b3 ? b2 ? b4 ? b3 ? ( ) 2 ? bn ? bn ?1 ? )? 2 ( n ? 2,3 …) ( n 得 b2 ? b1 ? 1 2 2 2 将这 n ? 1 个等式相加 1 1 ? ( )n ?1 1 1 1 1 1 2 bn ? b1 ? 1 ? ? ( ) 2 ? ( )3 ? … ? ( ) n ?2 ? ? 2 ? 2( ) n ?1 1 2 2 2 2 2 1? 2 1 n ?1 又∵ b1 ? 1 ,∴ bn ? 3 ? 2( ) ( n ? 1, 2,3 …) 2 1 n ?1 (Ⅲ)∵ cn ? n(3 ? bn ) ? 2n( ) 2 1 0 1 1 2 1 n?2 1 n ?1 ∴ Tn ? 2[( ) ? 2( ) ? 3( ) ? … ? ( n ? 1)( ) ? n( ) ] ① 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n 而 Tn ? 2[( ) ? 2( ) ? 3( ) ? … ? ( n ? 1)( ) ? n( ) ] ② 2 2 2 2 2 2 1 1 0 1 1 1 2 1 n ?1 1 n ①-②得: Tn ? 2[( ) ? ( ) ? ( ) ? … ? ( ) ] ? 2n( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 ? ( )n 2 ? 4n( 1 )n ? 8 ? 8 ? 4n( 1 ) n ? 8 ? (8 ? 4n) 1 (n ? 1, 2,3, …) Tn ? 4 1 2 2n 2 2n 1? 2
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12.解: (1)k=2, f ( x) ? ( x ? 1)2 ? 4ln x .则 f ?( x) = 2 x ? 2 ?

4 .???3 分 x

2 (此处用“≥”同样给分) ????????5 分 ? ( x ? 1)( x ? 2) >0, x 注意到 x>0,故 x>1,于是函数的增区间为 (1, ??) . (写为 [1, ??) 同样给分)7 分
(2)当 k<0 时,g(x)= f ?( x) = 2 x ? 2 ?

2k ?k .g(x)= 2( x ? ) ? 2 ≥ 4 ?k ? 2 9 分 x x

当且仅当 x= ?k 时,上述“≥”中取“=” . ①若 ?k ∈ (0, 2] ,即当 k∈ [?4,0) 时,函数 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为 4 ?k ? 2 ;?11 分 ②若 k<-4,则 g ?( x) ? 2(1 ?

k ) 在 (0, 2] 上为负恒成立, x2

故 g(x)在区间 (0, 2] 上为减函数, 于是 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为 g(2)=6-k. ?????????13 分 综上所述,当 k∈ [?4,0) 时,函数 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为 4 ?k ? 2 ; 当 k<-4 时,函数 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为 6-k. ?????????15 分
2 13. 解: f ( x) ? m ? n ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2 cos x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 3 ----4 分

2? ? ? --------------6 分 2 ? ? 3? ]( k ? Z ) 时,函数 f(x)单调递减 当 (2 x ? ) ? [2k? ? ,2k? ? 6 2 2 ? 2? ]( k ? Z ) --------------10 分 ∴函数 f(x)单调递减区间 [k? ? , k? ? 6 3 ? ? 1 (2) f ( A) ? 2 sin( 2 A ? ) ? 3 ? 4 ∴ sin( 2 A ? ) ? 6 6 2
(1)最小正周期 T ? ∵ A ? (0, ? ) ∴A?

?
3

----12 分 又 S ? ?
2 2

1 3 bc sin A ? 2 2

∴c=2----14 分

∴ a ? b ? c ? 2bc cos A ? 3 …..16 分

14.解:(Ⅰ)∵数列 ?an ? 为等差数列,设公差为 d , 由 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12 ,得 3a 2 ? 12 , a 2 ? 4 , ∴d ? 2 ,

an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n .
(Ⅱ)∵ bn ? 3 ∴
an

??6 分

? 32 n ? 9 n ,


bn?1 9 n?1 ? n ?9 bn 9

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∴数列 ?bn ? 是等比数列 .

??12 分

15.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ,因为 f ?(1) ? 3 ? 2a ? 3 ,所以 a ? 0 .???3 分 又当 a ? 0 时, f (1) ? 1 , f ?(1) ? 3 , 所以曲线 y ? f ( x) 在 (1 f (1)) 处的切线方程为 3x ? y ? 2 ? 0 .?6 分 , (Ⅱ)令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? ①当

2a .??????????7 分 3

2a ≤ 0 ,即 a ≤ 0 时, f ( x) 在 [0, 上单调递增,从而 fmax ? f (2) ? 8 ? 4a 9 分 2] 3 2a ≥ 2 ,即 a ≥ 3 时, f ( x) 在 [0, 上单调递减,从而 fmax ? f (0) ? 0 ②当 2] 3
③当 0 ? 13 分 从而 f max ? ?

2a ? 2a ? ? 2a ? ? 2 ,即 0 ? a ? 3 时, f ( x) 在 ?0, ? 上单调递减,在 ? ,? 上单调递增? 2 3 ? 3? ?3 ?

0 ?8 ? 4a,? a ≤ 2, ?????????????????15 分 ?0, 2 ? a ? 3.

综上所述, f max ? ?

?8 ? 4a,a ≤ 2, ??????????????16 分 a ? 2. ?0,
2

16.解(1)? f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素,? ? ? a ? 4a ? 0 ? a ? 0或a ? 4,
2 当 a=4 时, 函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4在(0,2) 上递减, 故存在 0 ? x1 ? x2 , 使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 )

成立,当 a=0 时,函数 f ( x) ? x 在(0,??) 上递增
2 2 故不存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,综上,得 a=4, f ( x) ? x ? 4x ? 4

(2)由(1)可知 S n ? n 2 ? 4n ? 4 ,当 n=1 时, a1 ? s1 ? 1
2 2 当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 ? (n ? 4n ? 4) ? [(n ? 1) ? 4(n ? 1) ? 4] ? 2n ? 5

?1, n ? 1 ? an ? sn ? sn?1 ? ? n?2 ?2n ? 5
(3)? bn ? ( 3 )
an ? 5

?27, n ? 1 1 , ,? b1 ? ?? n 27 3 ,n ? 2 ?
6 ? 32 n ? 3n ?1 ? 3n 1 1 ? 2 ? n ? n?1 n n ?1 3 ?3 3 3
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c1 ? 18 ?

2 27

n ? 2时,cn ?

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Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? c1 ? 2(n ? 1) ? (

1 1 ? n ?1 ) ] 2 3 3 2 1 1 1 1 ? 2n ? 2 ? ? n ?1 ? 16 ? ? 2n ? n ?1 ? n ? m 对 n ? N *, n ? 2 恒成立, = 18 ? 27 9 3 27 3 1 1 1 1 ? n ? n ?1 对 n ? N *, n ? 2 恒成立,因为 16 ? ? n ? n ?1 是关于 n 可转化为: m ? 16 ? 27 27 3 3
的增函数,所以当 n=2 时,其取得最小值18,所以 m<18

17.解: (1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上,由椭圆上的点 A 到 F1 , F2 两点的距离之和是 4,得 2a ? 4

3 ( )2 3 1 2 即 a ? 2 ,又 A(1, ) 在椭圆上,? ? 2 ? 1 ,解得 b2 ? 3 ,于是 c 2 ? 1 2 2 b
所以椭圆 C 的方程是

x2 y 2 ? ? 1 ,焦点 F1 (?1,0), F2 (1,0) 4 3 x2 y 2 4 ? ? 1 ,? x 2 ? 4 ? y 2 3 4 3

设 P ( x, y ) ,则

1 4 1 1 17 1 3 PQ 2 ? x 2 ? ( y ? ) 2 ? 4 ? y 2 ? y 2 ? y ? ? ? y 2 ? y ? ? ? ( y ? ) 2 ? 5 2 3 4 3 4 3 2 3 又? ? 3 ? y ? 3 ,? 当 y ? ? 时, PQmax ? 5 2
18.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 4x3 ? 3ax2 ? 4x ? x(4x2 ? 3ax ? 4) .

10 时, f ?( x) ? x(4 x2 ?10 x ? 4) ? 2 x(2 x ?1)( x ? 2) . 3 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? , x3 ? 2 . 2
当a ? ? 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(?∞, 0)

0

? 1? ? 0, ? ? 2?

1 2

?1 ? 2 ? ,? ?2 ?

2
0
极小值

(2,∞) ?

?


0
极小值

?


0
极大值

?


?


f ( x)

? 0) 所以 f ( x ) 在 ? 0, ? , (2,∞) 内是增函数,在 (?∞, , ? ,? 内是减函数. 2
2 2 (Ⅱ)解: f ?( x) ? x(4 x ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 的根.

? ?

1? 2?

?1 ?2

? ?

2 2 为使 f ( x ) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4 x ? 3ax ? 4 ≥ 0 恒成立,即有 ? ? 9a ? 64 ≤ 0 .

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解此不等式,得 ? ≤ a ≤ .这时, f (0) ? b 是唯一极值. 因此满足条件的 a 的取值范围是 ? ? , ? . 3 3 (Ⅲ)解:由条件 a?? ?2, 可知 ? ? 9a 2 ? 64 ? 0 ,从而 4 x2 ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立. 2? 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . 因此函数 f ( x ) 在 ? ?11? 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者. , 为使对任意的 a?? ?2, ,不等式 f ( x) ≤ 1 在 ? ?11? 上恒成立,当且仅当 2? ,

8 3

8 3

? 8 8? ? ?

? f (1) ≤1, ? ? f (?1) ≤1,

即?

?b ≤ ?2 ? a, ?b ≤ ?2 ? a

在 a?? ?2, 上恒成立.所以 b ≤ ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 2? 19. 解: (I)如图,AB=40 2 ,AC=10 13 ,

?BAC ? ? ,sin ? ?

26 . 26

? ? 由于 0 ? ? ? 90 ,所以 cos ? = 1 ? (

26 2 5 26 ) ? . 26 26

由余弦定理得 BC=

AB2 ? AC2 ? 2 AB?AC? ? ? 10 5. cos
10 5 ? 15 5 (海里/小时). 2 3

所以船的行驶速度为

(II)解法一 如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系, 设点 B、C 的坐标分别是 B(x1,y2), C(x1,y2), BC 与 x 轴的交点为 D. 由题设有,x1=y1=

2 AB=40, 2

x2=ACcos ?CAD ? 10 13cos(45? ? ? ) ? 30 , y2=ACsin ?CAD ? 10 13sin(45? ? ? ) ? 20. 所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=

20 ? 2 ,直线 l 的方程为 y=2x-40. 10
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又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d=

| 0 ? 55 ? 40 | ? 3 5 ? 7. 1? 4

所以船会进入警戒水域. 解法二: 如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q. 在△ABC 中,由余弦定理得,

cos ?ABC ?

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 2 AB ? BC

=

402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ? 13 3 10 = . 10 2 ? 40 2 ? 10 5
从 而

sin ?ABC ? 1 ? cos2 ?AB

在 ?ABQ 中,由正弦定理得,

AB sin ?ABC ? AQ= sin(45? ? ?ABC )

40 2 ?

10 10 ? 40. 2 2 10 ? 2 10

由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP ? BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt ?QPE 中,PE=QE?sin ?PQE ? QE ? sin ?AQC ? QE ? sin(45 ? ?ABC)
?

= 15 ? 所以船会进入警戒水域.

5 ? 3 5 ? 7. 5

(3)在(2)的条件下,令 cn ? 2an , dn ? 2bn ,问不等式 cn d n ? 1 ≤ c n ? d n 是否对 n ∈N+恒 成立?请说明理由. 20.解: (1)依题意, [18 ? (m ? 1) ?18] ? 36 ? (m ? 14 ? 14)d 2 ? 45,
2

即 (18m) ? md2 ? 9 ,
2

9 ? 2 18 2 ? 9 ? 108 ; m 9 1 2 等号成立的条件为 18 m ? ,即 m ? , 6 m
2 即 d 2 ? 18 m ?

? m ? N * ,? 等号不成立,? 原命题成立.????????5 分

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(2)由 S14 ? 2S k 得: S k ? S14 ? S k ,即: 则 9k ? 18? (15 ? k ) ,得 k ? 10

18 ? 0 36 ? 0 ?k ? ? (14 ? k ? 1) , 2 2

d1 ?
10 分

0 ? 18 36 ? 0 ? ?2 , d 2 ? ? 9 ,则 an ? ?2n ? 20 , bn ? 9n ? 90 ;???? 9 14 ? 10

(3)在(2)的条件下, cn ? 2an , dn ? 2bn , 要使 cn d n ? 1 ≤ c n ? d n ,即要满足 (cn ? 1)(d n ? 1) ≤0, 又 cn ? 220?2n ? 410?n , dn ? 29n?90 ? 512n?10 ,∴数列 {cn } 单调减; {dn } 单调增, ①当正整数 n ? 9 时, cn ? 1 ? 0 , d n ? 1 ? 0 , (cn ? 1)(d n ? 1) ? 0 ; ②当正整数 n ? 11 时, cn ? 1 ? 0 , d n ? 1 ? 0 , (cn ? 1)(d n ? 1) ? 0 ; ③当正整数 n ? 10 时, cn ? 1 ? 0 , d n ? 1 ? 0 , (cn ? 1)(d n ? 1) ? 0 , 综上所述,对 n ∈N+,不等式 cn d n ? 1 ≤ c n ? d n 恒成立.??16 分 21.解: (Ⅰ)依题设,f(x)=2cos x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+
2

? ). 6

由 1+2sin(2x+

? ? 3 )=1- 3 ,得 sin(2 x + )=- . 6 6 2

? ? ? ? 5? ? ? ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ ,∴2x+ =- , 3 3 2 6 6 3 6 ? 即 x=- . 4
∵(Ⅱ)函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)平移后得到函数 y=2sin2(x-m)+n 的图象,即函 数 y=f(x)的图象. 由(Ⅰ)得 f(x)=2sin2(x+ ∵|m|<

? ? ,∴m=- ,n=1. 2 12

? )+1. 12

22.解: “抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4”的事件记为 A,由题意 (I)

P( A) ?

1 2 2 1 C2C6 ? C2 C6 9 ? 3 C8 14

(II) “抽出的 3 张中有 2 张卡片上的数字是 3”的事件记为 B,则

P( B) ?

2 1 C2 C6 3 ? 3 C8 28

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(III) “抽出的 3 张卡片上的数字互不相同”的事件记为 C, “抽出的 3 张卡片上有两个数字相同” 的事件记为 D,由题意,C 与 D 是对立事件,因为

P( D) ?

1 1 C4C32C6 3 ? 3 C8 7

所以

P(C ) ? 1 ? P( D) ? 1 ?

3 4 ? . 7 7

23.解:如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 DA ? (1 0, , CC? ? (0, . ,0) 01) , 连结 BD , B ?D ? . 在平面 BB ?D ?D 中,延长 DP 交 B ?D ? 于 H .

??? ?

???? ?

z

D?

???? ? 设 DH ? (m,m, m ? 0) , 1)(
由已知 ? DH, ?? 60 , DA
?

A?

H P

C?

B?

???? ??? ? ?

D

C B

y

, 由 DA ? DH ? DA DH cos ? DA DH ?
可得 2m ? 2m2 ?1 . 解得 m ? x

??? ???? ? ?

??? ???? ? ?

??? ???? ? ?

A

???? ? 2 2 ? ? 2 1? ,所以 DH ? ? ? 2 ,2 , . ? 2 ? ?

2 2 ?0 ? ? 0 ? 1? 1 ???? ???? ? ? 2 2 ? ?? 2 CC ? (Ⅰ)因为 cos ? DH, , 2 1? 2

CC 所以 ? DH, ? ?? 45 .
?

???? ???? ? ?

即 DP 与 CC ? 所成的角为 45 .
?

(Ⅱ)平面 AA?D ?D 的一个法向量是 DC ? (0,0) . 1,

????

2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 ???? ???? ? 1 2 2 DC ? , 因为 cos ? DH, ?? 2 1? 2

DC 所以 ? DH, ?? 60 .
?

???? ???? ?

可得 DP 与平面 AA?D ?D 所成的角为 30 .
?

24.解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ?

1 , 2

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由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

π . 6

(Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

? ?

? ? ? A? ? ?

?? ? ? cos A ? sin ? ? A ? ?6 ?

1 3 ? cos A ? cos A ? sin A 2 2
?? ? ? 3 sin ? A ? ? . 3? ?
由 △ ABC 为锐角三角形知,

? ? ? ? ? ? ? A? ?B, ?B? ? ? . 2 2 2 2 6 3 2? ? ? ? A? ? , 3 3 6
所以

1 ? ?? 3 . sin ? A ? ? ? 2 ? 3? 2 3 ?? 3 ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 3? 2 ?
? 3 3? ? 2 , ?. 2? ? ?

由此有

所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ?

25.解: (Ⅰ)记"甲投进"为事件 A1 , "乙投进"为事件 A2 , "丙投进"为事件 A3, 2 1 1 则 P(A1)= , P(A2)= , P(A3)= , 5 2 3 ∴ P(A1A2A3)=P(A1) · 2) · 3) = P(A P(A 3 ∴3 人都投进的概率为 25 (Ⅱ) 设“3 人中恰有 2 人投进"为事件 B P(B)=P(A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2) =P()· 2)· 3)+P(A1)· P(A3)+P(A1)· 2)· P(A P(A P()· P(A P() 2 1 3 2 1 3 2 1 3 19 =(1- )× × + × (1- )× + × × (1- ) = 5 2 5 5 2 5 5 2 5 50 19 ∴3 人中恰有 2 人投进的概率为 50 26.以 D 为原点,射线 DA,DC,DD′分别为 x,y,z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系 D- xyz.由已知得 DF ? 1 ? b ,故
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2 1 3 3 × ×= 5 2 5 25

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A(1,0) , A?(1,1) , D(0, 0) , D?(0,1) , 0, 0, 0, 0, P(1, b) , Q(11,b) , E(1 ? b,0) , 0, , 1, F (1 ? b,0) , G(b, , H (b,1) . 0, 11) , 0,
(Ⅰ)证明:在所建立的坐标系中,可得

z H

D? B?
G

C?

A?
P A x

??? ? ??? ? PQ ? (01 0) PF ? (?b, ? b) , , ,, 0, ???? PH ? (b ?1 01 ? b) , , , ???? ? ???? ? AD? ? (?1 01) A?D ? (?1 0,1) . , ,, ,?
因为 AD?? PQ ? 0, ??PF ? 0 ,所以 AD? 是平面 PQEF 的法向量. AD 因为 A?D? PQ ? 0,?D?PH ? 0 ,所以 A?D 是平面 PQGH 的法向量. A 因为 AD??A?D ? 0 ,所以 A?D ? AD? ,

D F

Q C B E y

???? ??? ? ?

???? ??? ? ?

???? ?

???? ??? ? ?

???? ???? ?

???? ?

???? ???? ? ?

???? ?

???? ?

所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直. ························· 4 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ····

EF (Ⅱ)证明: 因为 EF ? (0, 1 0) ,所以 EF ∥ PQ, = PQ ,又 P ?P , F Q 所以 PQEF 为矩形, ?,
同理 PQGH 为矩形. 在所建立的坐标系中可求得 PH ? 所以 PH ? PF ?

??? ?

??? ?

??? ???? ? ?

???? ?

?? ?? ? ? ? ?

?????

???? ? 2(1 ? b) , PF ? 2b ,

????? ???? ?

???? ? 2 ,又 PQ ? 1 ,

所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和为 2 ,是定值. ················· 分 ··········· ····· 8 ·········· ······ (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知 AD? ? (?1 01) 是平面 PQEF 的法向量. , , 由 P 为 AA? 中点可知, Q,E,F 分别为 BB? , BC , AD 的中点. 所以 E ? ,0 ? , D?E ? ? , ? 1? ,因此 D?E 与平面 PQEF 所成角的正弦值等于 1, 1,

???? ?

?1 ?2

? ?

???? ?

?1 ?2

? ?

???? ???? ? ? 2 | cos ? AD?, ?E ?|? D . 2
27.解: (1) △ ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ? 应用正弦定理,知

? 2? ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? . ? ?

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高中数学

AC ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ?

AB ?

BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?. sin A ? ? ?

因为 y ? AB ? BC ? AC , 所以 y ? 4sin x ? 4sin ?

2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
? ? 1 cos x ? sin x ? ? 2 3 ? ? 2 ?

(2)因为 y ? 4 ? sin x ?

? ? ?

?? ? ? 4 3 s i?nx ? ? ? ?? ?
所以,当 x ?

? 5? ? ?? 2? 3 ? x? ? ?, ? ? ? ??

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?

28.解: (I)任取甲机床的 3 件产品恰有 2 件正品的概率为
2 P (2) ? C3 ? 0.92 ? 0.1 ? 0.243. 3

(II)解法一:记“任取甲机床的 1 件产品是正品”为事件 A, “任取乙机床的 1 件产品是正品” 为事件 B。则任取甲、乙两台机床的产品各 1 件,其中至少有 1 件正品的概率为

P( A.B) ? P( A.B) ? P( A.B) ? 0.9 ? 0.95 ? 0.9 ? 0.05 ? 0.1? 0.95 ? 0.995.
解法二:运用对立事件的概率公式,所求的概率为 z D1 A1 B1

1 ? P( A.B) ? 1 ? 0.1? 0.05 ? 0.995.
29.以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴, 建立如图所示直角坐标系 D ? xyz . 依题设, B(2,0) C(0,0) E(0,1) A (2,4) . 2,, 2,, 2,, 1 0,

C1

E D C y B

A ???? ???? ? ??? ? ??? ? x DE ? (0, DB ? (2,0) , AC ? (?2, ? 4), 1 ? (2,4) .----3 分 21) ,, 2, 2, DA 0, 1 (Ⅰ)因为 AC ? DB ? 0 , AC ? DE ? 0 , 1 1 故 AC ? BD , AC ? DE . 1 1 又 DB ? DE ? D ,

???? ??? ?

???? ??? ?

所以 AC ? 平面 DBE . ···································6 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· 1
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(Ⅱ)设向量 n ? ( x,y,z ) 是平面 DA1E 的法向量,则

??? ? ???? ? n ? DE , n ? DA1 .
故 2 y ? z ? 0 , 2x ? 4z ? 0 .

1, 令 y ? 1 ,则 z ? ?2 , x ? 4 , n ? (4,? 2) . ······················· 分 ··········· ·········· · 9 ·········· ··········· ·

???? ? n,1 ? 等于二面角 A1 ? DE ? B 的平面角, AC ???? ???? n ? A1C 14 . cos ? n,1C ?? A ???? ? 42 n A1C
所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arccos

14 . 42

? 30.解: (1)? tan C ? 3 7,
又? sin C ? cos C ? 1
2 2

sin C ?3 7 cos C

1 . 8 ? tan C ? 0 ,? C 是锐角. 1 ? cos C ? . 8 ??? ??? 5 ? ? (2)? CB ? CA ? , 2 5 ? ab cos C ? , 2 ? ab ? 20 . 又? a ? b ? 9
解得 cos C ? ?

? a2 ? 2ab ? b2 ? 81 . ? a 2 ? b2 ? 41. ?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 .
?c ? 6 .
31.解: (I)记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A . P( A) ?
2 2 C2 C2 1 1 1 ? 2? ? ? . 2 C4 C5 6 10 60

(II)记“取到的 4 个球至多有 1 个红球”为事件 B , “取到的 4 个球只有 1 个红球”为事件 B1 , “取到的 4 个球全是白球”为事件 B2 .由题意,得
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P( B) ? 1 ?

3 1 ? . 4 4

P( B1 ) ?

2 1 1 2 2n 2 C2 ? C 2 Cn C 2 C21? Cn 1 ? ; ? 2 ? 2? 2 n C4 Cn? 2 C 4 Cn? 2 2 3 (n ? 2 ) (? 1 )

P( B2 ) ?

2 2 n(n ? 1) C2 Cn ; ? 2 ? 2 C4 Cn? 2 6(n ? 2)(n ? 1)

2n2 n(n ? 1) 1 ? , 所以 P( B) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? ? 3(n ? 2)(n ? 1) 6(n ? 2)(n ? 1) 4
化简,得 7n2 ?11n ? 6 ? 0, 解得 n ? 2 ,或 n ? ?

3 (舍去) , 7

32.由(Ⅰ)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又 E、 F 分别为 BC、PC 的中点,所以 E、F 分别为 BC、PC 的中点,所以

A(0,0,0) ,B( 3 ,-1,0) ,C(C,1,0) ,

D(0,2,0) ,P(0,0,2) ,E( 3 ,0,0) ,F(

3 1 , , ,1 ) 2 2

所以

??? ? ??? ? 3 1 AE ? ( 3,0,0), AF ? ( , ,1). 2 2

设平面 AEF 的一法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ),

??? ? ?m ? AE ? 0, ? 则 ? ??? ? ?m ? AF ? 0, ?
? 3x1 ? 0, ? 因此 ? 3 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0. ? ? 2 2


z1 ? ?1, 则m ? (0, 2, ?1),

因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A, 所以 BD⊥平面 AFC, 故 又

??? ? BD 为平面 AFC 的一法向量.

??? ? BD =(- 3,3, 0 ) ,

??? ? ??? ? m ? BD 2?3 15 ??? ? ? 所以 cos<m, BD >= ? . 5 | m | ? | BD | 5 ? 12
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因为

二面角 E-AF-C 为锐角,

所以所求二面角的余弦值为

15 . 5

b 33.解: (Ⅰ) f ( x) ? a? ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x ,
由已知 f ?

π? π ?π? ? ? ? m ?1 ? sin ? ? cos ? 2 ,得 m ? 1 . 2? 2 ?4? ? ? ? π? ?, 4?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin ? 2 x ?

π? ? ? 当 sin ? 2 x ? ? ? ?1 时, f ( x) 的最小值为 1 ? 2 , 4? ?
由 sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 3π ? ? ? ?1 ,得 x 值的集合为 ? x x ? kπ ? ,k ? Z? . 4? 8 ? ?
2 2 C2 C2 1 1 1 ? 2? ? ? . 2 C4 C5 6 10 60

34.解: (I)记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A . P( A) ?

(II)记“取到的 4 个球至多有 1 个红球”为事件 B , “取到的 4 个球只有 1 个红球”为事件 B1 , “取到的 4 个球全是白球”为事件 B2 .由题意,得

3 1 P( B) ? 1 ? ? . 4 4

2 1 1 2 2n 2 C2 ? C 2 Cn C 2 C21? Cn 1 ? ; P( B1 ) ? ? ? 2? 2 n C4 Cn2 2 C 4 Cn? 2 2 3 (n ? 2 ) (? 1 ) ?

P( B2 ) ?

2 2 n(n ? 1) C2 Cn ; ? 2 ? 2 C4 Cn? 2 6(n ? 2)(n ? 1)

所以 P( B) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? 化简,得 7n ?11n ? 6 ? 0,
2

2n2 n(n ? 1) 1 ? , ? 3(n ? 2)(n ? 1) 6(n ? 2)(n ? 1) 4

解得 n ? 2 ,或 n ? ?

3 (舍去) , 7
A1

35. (Ⅰ)如图,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0) B( 2,0) C(0,0) A (0, 3),C1 (01 3) , B1 0,, 0,, 2,, 1 0, , ,

z C1

??? 1 ??? ? ? ? BD : DC ? 1: 2 ,? BD ? BC . 3
B x
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A D C y

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?2 2 2 ? ? D 点坐标为 ? 0 ? 3 , ,? . 3 ? ? ? ???? ? 2 2 2 ? ??? ? ???? , ,? , BC ? (? 2,0) AA1 ? (0, 3) . 0? ? AD ? ? 2,, 0, ? 3 3 ? ? ??? ???? ? ??? ???? ? ? BC?AA1 ? 0 , BC ?AD ? 0 ,? BC ? AA1 , BC ? AD ,又 A1 A ? AD ? A ,
? BC ? 平面 A1 AD ,又 BC ? 平面 BCC1B1 ,? 平面 A1 AD ? 平面 BCC1B1 .
(Ⅱ)? BA ? 平面 ACC1 A ,取 m ? AB ? ( 2,0) 为平面 ACC1 A 的法向量, 0, 1 1 设平面 BCC1B1 的法向量为 n ? (l,m,n) ,则 BC ? n ? 0, 1 ? n ? 0 . CC

??? ?

??? ?

???? ?

?? 2l ? 2m ? 0, 3 ? ?? ? l ? 2m,n ? m, 3 ??m ? 3n ? 0, ?
1, 如图,可取 m ? 1 ,则 n ? ? 2, ? ? ? 3? ?, 3 ? ?

cos ? m,n ??

2 ? 2 ? 0 ?1 ? 0 ?

3 3
2

? 3? ( 2) 2 ? 02 ? 02 ( 2) 2 ? 12 ? ? ? ? 3 ?
15 . 5

?

15 , 5

即二面角 A ? CC1 ? B 为 arccos

4 3 36.解: 由题意,得 cos B ? , B 为锐角, sin B ? , 5 5

? 3π ? 7 2 , sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin? ?B?? ? 4 ? 10
由正弦定理得 c ?

10 1 1 10 4 8 , ? S ? ac? B ? ? 2 ? ? ? . sin 2 2 7 5 7 7

37. (Ⅰ)解:设“从甲盒内取出的 2 个球均为红球”为事件 A , “从乙盒内取出的 2 个球均为红球” 为事件 B .由于事件 A,B 相互独立,且

P( A) ?

2 C3 1 C2 5 ? , P( B) ? 3 ? , 2 2 C7 7 C9 18

故取出的 4 个球均为红球的概率是

1 5 5 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? ? ? . 7 18 126
(Ⅱ)解:设“从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球;从乙盒内取出的 2 个红球为黑
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球”为事件 C , “从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是 黑球”为事件 D .由于事件 C,D 互斥,且

P(C ) ?

C1 C1 C2 2 C2 C1 C1 10 3 4 4 ? 4 ? , P ( D) ? 2 ? 5 2 2 ? . 2 2 C7 C9 21 C7 C5 63

故取出的 4 个红球中恰有 4 个红球的概率为

2 10 16 ? ? . 21 63 63 38. 由平面 ABEF ? 平面 ABCD , AF ? AB ,得 AF ? 平面 ABCD , P(C ? D) ? P (C ) ? P ( D) ?
以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系 A ? xyz (Ⅰ)设 AB ? a,BC ? b, BE ? c ,则由题设得

A? 0 , 0? , 0? ,a B
????

? ,, 0C ?,
??? ?

0a? b

?

, D 0 ,? , ? b

0 ? 2 ? , 0 c?, G , 0 ?c ,H 0 b 0c, , a E , , ?

,

0,

所以 HG ? ? 0, b,0? , BC ? ? 0, b,0 ? 于是 HG ? BC

????

??? ?

又点 G 不在直线 BC 上 所以四边形 BCHG 是平行四边形。 (Ⅱ) C , D, F , E 四点共面。理由如下: 由题设知 F ? 0,0, 2c ? ,所以

??? ? ???? ??? ???? ? EF ? ? ?a,0.c ? , CH ? ? ?a,0.c ? , EF ? CH
又 C ? EF , H ? FD ,故 C , D, E, F 四点共面。 (Ⅲ)由 AB ? BE 得,所以 CH ? ? ?a,0, a ? , AE ? ? a,0, a ? 又 AD ? ? 0, 2b,0 ? ,因此 CH ? AE ? 0, CH ? AD ? 0 即 CH ? AE, CH ? AD 又 AD ? AE ? A ,所以 CH ? 平面 ADE 故由 CH ? 平面 CDFE ,得平面 ADE ? 平面 CDE 39.解: (Ⅰ)由 cos ? ?
2 1 ? , 0 ? ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 4 3 ? ? 7 2 7 ?7?

????

??? ?

????

???? ??? ?

???? ??? ?

∴ tan ? ?

sin ? 4 3 7 ? ? ? 4 3 ,于是 tan 2? ? 2 tan ? ? 2 ? 4 3 2 ? ? 8 3 cos ? 7 1 1 ? tan 2 ? 1 ? 4 3 47

?

?

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(Ⅱ)由 0 ? ? ? ? ? 又∵ cos ?? ? ? ? ?

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2
2

13 3 3 13 ,∴ sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 14 14 ? 14 ?

由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得:

cos ? ? cos ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ? ? ?
所以 ? ?

1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? 7 14 7 14 2

?
3 4 , 5

40.解: (Ⅰ)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i ? 1 2,4) ,则 P ( A1 ) ? ,3,

3 2 1 , P ( A3 ) ? , P ( A4 ) ? , ? 该 选 手 进 入 第 四 轮 才 被 淘 汰 的 概 率 5 5 5 4 3 2 4 96 P4 ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( P4 ) ? ? ? ? ? . 5 5 5 5 625 P ( A2 ) ?
(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率

P ? P( A1 ? A1 A2 ? A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) ? P( A1 )P( A2 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 3
? 1 4 2 4 3 3 101 ? ? ? ? ? ? . 5 5 5 5 5 5 125

41. (I)证明:连结 OC

? BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. ? BO ? DO, BC ? CD,?CO ? BD.
在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,
B O D C A

M

? AO2 ? CO2 ? AC 2 , ??AOC ? 90o , 即 AO ? OC .
? BD ? OC ? O,
? AO ? 平面 BCD

E

(II)解:以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0), D(?1,0,0),

??? ? ??? ? 1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA ? (?1, 0,1), CD ? (?1, ? 3, 0). 2 2
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??? ??? ? ? ??? ??? ? ? BA.CD 2 ? cos ? BA, CD ?? ??? ??? ? , ? ? 4 BA CD

z

A

? 异面直线 AB 与 CD 所成角
D

2 的大小为 arccos . 4
(III)解:设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z), 则

O x B E C y

?

? ???? ?n. AD ? ( x, y, z ).(?1, 0, ?1) ? 0, ? ? ? ???? ?n. AC ? ( x, y, z ).(0, 3, ?1) ? 0, ?
? x ? z ? 0, ? ?? ? 3 y ? z ? 0. ?
令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量。 又 EC ? (? ,

?

??? ?

1 3 , 0), 2 2

? 点 E 到平面 ACD 的距离 ??? ? ? EC.n 3 21 h? ? ? ? . 7 7 n
42. (Ⅰ)解: f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? 因此,函数 f ( x) 的最小正周期为 π . (Ⅱ)解法一:因为 f ( x) ?

? ?

π? ?. 4?

π? ? π 3π ? ? ? 3π 3π ? 2 sin ? 2 x ? ? 在区间 ? , ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减 4? ?8 8 ? ? ?8 4?

函数,又 f ?

?π? ??0, ?8?

? 3π ? f ? ?? 2, ? 8 ?

π ? 3π ? ? 3π π ? f ? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 cos ? ?1 , 4 ? 4 ? ? 2 4?

故函数 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 . 8 4 解法二:作函数 f ( x) ?

? π 3π ? ? ?

π? ? 2 sin ? 2x ? ? 在长度为一个周期的区间 4? ?

? π 9π ? ? π 3π ? 由图象得函数 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最 ? 8 ,4 ? 上的图象如下: ? ? ?8 4 ?

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大值为 2 ,最小值为 f ?

? 3π ? ? ? ?1 ? 4 ?

43. (1)记 A0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” , . A1 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品” 则 A0,A1 互斥,且 A ? A0 ? A ,故 1

P( A) ? P( A0 ? A1 )
? P ( A0 ) ? P ( A1 ) ? (1 ? p ) 2 ? C1 p (1 ? p ) 2 ? 1 ? p2
于是 0.96 ? 1 ? p 2 . 解得 p1 ? 0.2,p2 ? ?0.2 (舍去) . (2)记 B0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” , 则 B ? B0 . 若该批产品共 100 件,由(1)知其中二等品有 100 ? 0.2 ? 20 件,故 P( B0 ) ?
2 C80 316 . ? 2 C100 495

P( B) ? P( B0 ) ? 1 ? P( B0 ) ? 1 ?

316 179 ? 495 495

44. (Ⅰ)如图,建立直角坐标系 O-xyz,其中原点 O 为 AC 的中点. 设 A(a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c). 则 C(-a,0,0),C1(-a,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c). → → ED =(0,b,0) ,BB1 =(0,0,2c). →→ ED · 1 =0,∴ED⊥BB1. BB → 又AC1=(-2a,0,2c), →→ ED · 1=0,∴ED⊥AC1, AC C ??6 分 C1

??3 分 z B1 A1 D E y O A B x

所以 ED 是异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线. (Ⅱ)不妨设 A(1,0,0),则 B(0,1,0),C(-1,0,0),A1(1,0,2), → → → BC =(-1,-1,0), AB =(-1,1,0),AA1 =(0,0,2), →→ →→ BC · =0, BC · 1 =0,即 BC⊥AB,BC⊥AA1,又 AB∩AA1=A, AB AA
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∴BC⊥平面 A1AD. 又 E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,1), → → → EC =(-1,0,-1), AE =(-1,0,1), ED =(0,1,0), →→ →→ EC · =0, EC · =0,即 EC⊥AE,EC⊥ED,又 AE∩ED=E, AE ED ∴ EC⊥面 C1AD. ??10 分 →→ → → → → EC · BC 1 cos< EC , BC >= = ,即得 EC 和 BC 的夹角为 60°. → → 2 | EC |·BC | | 所以二面角 A1-AD-C1 为 60°.
2

???12 分

45.(Ⅰ)解:在 △ ABC 中, sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ?

3 ? 4? ? ? ,由正弦定理, 5 ? 5?

2

BC AC ? . sin A sin B AC 2 3 2 sin A ? ? ? . 所以 sin B ? BC 3 5 5 4 (Ⅱ)解:因为 cos A ? ? ,所以角 A 为钝角,从而角 B 为锐角,于是 5

21 ?2? cos B ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2

2

cos 2 B ? 2cos 2 B ? 1 ? 2 ?

21 17 ?1 ? , 5 25

2 21 4 21 . sin 2 B ? 2sin B cos B ? 2 ? ? ? 5 5 15 ?? ? ? ? sin ? 2B ? ? ? sin 2B cos ? cos 2 B sin 6? 6 6 ?
? 4 21 3 17 1 ? ? ? 25 2 25 2 12 7 ? 17 . 50

?

46.解:任选 1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件 A , “该人参加过计算机培训”为事 件 B ,由题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P( A) ? 0.6 , P( B) ? 0.75 . (I)解法一:任选 1 名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是

P ? P( A?B) ? P( A)?P(B) ? 0.4 ? 0.25 ? 0.1 1
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所以该人参加过培训的概率是 1 ? P ? 1 ? 0.1 ? 0.9 . 1 解法二:任选 1 名下岗人员,该人只参加过一项培训的概率是

P ? P( A?B) ? P( A?B) ? 0.6 ? 0.25 ? 0.4 ? 0.75 ? 0.45 2
该人参加过两项培训的概率是 P ? P( A? ) ? 0.6 ? 0.75 ? 0.45 . B 3 所以该人参加过培训的概率是 P ? P ? 0.45 ? 0.45 ? 0.9 . 2 3 (II)解法一:任选 3 名下岗人员,3 人中只有 2 人参加过培训的概率是
2 P4 ? C3 ? 0.92 ? 0.1 ? 0.243 .

3 人都参加过培训的概率是 P ? 0.93 ? 0.729 . 3 所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 P ? P ? 0.243 ? 0.729 ? 0.972 . 4 5 解法二:任选 3 名下岗人员,3 人中只有 1 人参加过培训的概率是
1 C3 ? 0.9 ? 0.12 ? 0.027 .

3 人都没有参加过培训的概率是 0.1 ? 0.001 .
3

所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 1 ? 0.027 ? 0.001 ? 0.972 47.以 D 为坐标原点,分别以 DA 、 DC 、 DD1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标 系. ??2 分 则 A1 (4, 0, 3)、B(4, 4, 0)、B1 (4, 4, 3)、C (0, 4, 0) , 得 A1 B ? (0, 4, ? 3),

B1C ? (?4, 0, ? 3) .

??6 分

设 A1 B 与 B1C 的夹角为 ? , 则 cos ? ?

A1 B ? B1C A1 B ? B1C

?

9 , 25

??10 分

? A1 B 与 B1C 的夹角大小为 arccos

9 , 25 9 . 25
??12 分

即异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为 arccos

48.解: (I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 ,

BC ? AC ? 2 AB ,
两式相减,得 AB ? 1 .

第 74 页 共 147 页

高中数学

(II)由 △ ABC 的面积 由余弦定理,得 cos C ?

1 1 1 BC ? AC ? sin C ? sin C ,得 BC ? AC ? , 3 2 6

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 2 AC ?BC ( AC ? BC )2 ? 2 AC ? BC ? AB 2 1 ? , 2 AC ? BC 2

?
所以 C ? 60 .
?

49.解:记“甲第 i 次试跳成功”为事件 Ai , “乙第 i 次试跳成功”为事件 Bi ,依题意得 P( Ai ) ? 0.7 ,

2, P( Bi ) ? 0.6 ,且 Ai , Bi ( i ? 1, 3 )相互独立.
(Ⅰ) “甲第三次试跳才成功”为事件 A1 A2 A3 ,且三次试跳相互独立,

? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? 0.3? 0.3? 0.7 ? 0.063.
答:甲第三次试跳才成功的概率为 0.063 . (Ⅱ) “甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件 C . 解法一:?C ? A B1 ? A B1 ? A B1 ,且 A1 B1 , A B1 , A1B1 彼此互斥, 1 1 1 1

? P(C) ? P( A1 ?B1 ) ? P( A1 ?B1 ) ? P( A1 ?B1 ) ? P( A1 )P(B1 ) ? P( A1 )P(B1) ? P( A1)P(B1)
? 0.7 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.7 ? 0.6 ? 0.88 .
解法二: P(C) ? 1 ? P( A )? (B1 ) ? 1 ? 0.3? 0.4 ? 0.88 . 1 P 答:甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为 0.88 . (Ⅲ)设“甲在两次试跳中成功 i 次”为事件 Mi (i ? 01 2) , , , “乙在两次试跳中成功 i 次”为事件 Ni (i ? 0,2) , 1,

? 事件“甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为 M1 N0 ? M 2 N1 ,且 M1 N0 ,
M 2 N1 为互斥事件,

? 所求的概率为 P(M1 N0 ? M 2 N1 ) ? P(M1N0 ) ? P(M 2 N1 )
? P(M1 ) P( N0 ) ? P(M 2 ) P( N1 )
1 1 ? C2 ? 0.7 ? 0.3? 0.42 ? 0.72 ? C2 ? 0.6 ? 0.4

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高中数学

? 0.0672 ? 0.2352 ? 0.3024
答:甲、乙每人试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为 0.3024 50 . 以 D 为 原 点 , DA, DC, DD1 所 在 直 线 分 别 为 x 轴 , y 轴 , z 轴 , 建 立 直 角 坐 标 系 , 则

A? a,0,0? , B ? a,2a,0? , C ?0,2a,0? , A1 ? a,0, a ? , D1 ?0,0, a ?
∵ E , P, M , N 分别是 BC, A D1 , AE, CD1 的中点 1 ∴ E ? , 2a, 0 ? , P ? , 0, a ? , M ?

?a ?2

? ?

?a ?2

? ?

a? ? 3a ? ? , a, 0 ? , N ? 0, a, ? , 2? ? 4 ? ?

(Ⅰ) MN ? ? ?

???? ?

a? ? 3 a, 0, ? 2? ? 4

取 n ? ? 0,1,0? ,显然 n ? 面 ADD1 A 1

?

?

???? ? ? ???? ? ? MN ? n ? 0 ,∴ MN ? n
又 MN ? 面 ADD1 A 1 ∴ MN // 面 ADD1 A 1

(Ⅱ)过 P 作 PH ? AE ,交 AE 于 H ,取 AD 的中点 F ,则 F ?

?a ? , 0, 0 ? ∵ ?2 ?

??? ? ???? 设 H ? x, y,0? ,则 HP ? ? a ? x, ? y, a ? , HF ? ? a ? x, ? y, 0 ? ? ? ? ? ?2 ? ?2 ?
又 AE ? ? ? , 2a, 0 ? ? ?

??? ?

a ? 2

?

? a2 a ??? ??? ? ? AE 上,可得: ?? 4 ? 2 x ? 2ay ? 0 由 AP ? AE ? 0 ,及 H 在直线 ? ? ? 4 x ? y ? 4a
解得 x ? ∴ HP ? ? ? ?

33 2 a, y ? a 34 17
即 HF ? AE

??? ?

???? ??? ? 8a 2a ? ???? ? 8a 2a ? , ? , a ? , HF ? ? ? , ? , 0 ? ∴ HF ? AE ? 0 ? 17 17 ? ? 17 17 ?
????

????

??? ?

∴ HP 与 HF 所夹的角等于二面角 P ? AE ? D 的大小

??? ?

??? ???? ? ??? ???? ? HP ? HF 2 cos HP, HF ? ??? ???? ? ? 21 HP ? HF
故:二面角 P ? AE ? D 的大小为 arccos

2 21 21

第 76 页 共 147 页

高中数学

(Ⅲ)设 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? 为平面 DEN 的法向量,则 n1 ? DE, n1 ? DN 又 DE ? ? , 2a, 0 ? , DN ? ? 0, a, ? , DP ? ? , 0, a ?

??

??

??? ?? ?
? ?

????

??? ?

?a ?2

? ???? ?

? ?

? a ? ??? 2?

?a ?2

?a ? 2 x1 ? 2ay1 ? 0 ? ∴? ? 2y ? a z ? 0 ? 1 2 1 ?

即 ?

? x1 ? ?4 y1 ? z1 ? ?2 y1

∴可取 n1 ? ? 4, ?1, 2 ?

??

??? ?? ? DP ? n1 2a ? 2a 4a ∴ P 点到平面 DEN 的距离为 d ? ? ?? ? 16 ? 1 ? 4 21 n1 ???? ???? ???? ???? ???? ???? DE ? DN 8 21 ∵ cos DE , DN ? ???? ???? ? , sin DE, DN ? 85 85 DE ? DN
∴ S?DEN ?

? ??? ???? ? 1 ??? ???? 21 2 DE ? DN ? sin DE , DN ? a 2 8

∴ VP ? DEN ?

1 1 21 2 4a a3 S?DEN ? d ? ? a ? ? 3 3 8 21 6
1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x 2

51.解: (Ⅰ) f ( x) ? 6

? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3
? 3 ? 1 ? 2 3? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 3 ? 2 ? 2 ? ?

?? ? ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? 3 . 6? ?
故 f ( x) 的最大值为 2 3 ? 3 ; 最小正周期 T ?

2? ? ?. 2

(Ⅱ)由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 2 3 cos ? 2? ? 又由 0 ? ? ?

? ?

?? ?? ? ? ? 3 ? 3 ? 2 3 ,故 cos ? 2? ? ? ? ?1 . 6? 6? ?

? ? ? ? ? 5 ?. 得 ? 2? ? ? ? ? ,故 2? ? ? ? ,解得 ? ? 12 2 6 6 6 6 4 ? 从而 tan ? ? tan ? 3 . 5 3

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高中数学

52.解: (Ⅰ)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA ,那么 P( EA ) ? 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是

3 A3 1 , ? 2 4 C5 A4 40

1 . 40

4 A4 1 (Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ,那么 P( E ) ? 2 4 ? , C5 A4 10

所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P ( E ) ? 1 ? P ( E ) ?

9 10

53.解: (I)以 A 为原点, AB, AD, AA 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系,则有 1 D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2) 于是, DE ? (3,?3,0), EC1 ? (1,3,2), FD ? (?4,2,2) 1 设向量 n ? ( x, y, z) 与平面 C1DE 垂直,则有

n ? DE ? 3 x ? 3 y ? 0 ? 1 ? ?? ?? x ? y ?? z x ? 3 y ? 2 z ? 0? 2 n ? EC1 ? ? z z z ? n ? (? ,? , z ) ? (?1,?1,2), 其中z ? 0 2 2 2 取n0 ? (?1,?1,2),则n0 是一个与平面C1 DE垂直的向量, ?向量 AA1 ? (0,0,2)与平面CDE垂直, ? n0 与 AA1所成的角?为二面角C ? DE ? C1的平面角 ? cos? ? ? t an? ? n0 ? AA1 | n0 | ?| AA1 | 2 2
EC1 ? FD1 | EC1 |? | FD1 | 1 ? (?4) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 1 ? 3 ? 2 ? (?4) ? 2 ? 2
2 2 2 2 2 2

?

? 1? 0 ? 1? 0 ? 2 ? 2 1?1? 4 ? 0 ? 0 ? 4

?

6 3

(II)设 EC1 与 FD1 所成角为β ,则

cos ? ?

?

?

21 14

54.解: (Ⅰ) 由 sin ? x ?

? ?

π π π? ? ? 0 得 x ? ? 2 ? kπ ,即 x ? kπ ? 2 (k ? Z) . 2?

故 f ( x) 的定义域为 ? x ? R | x ? kπ ? ,k ? Z ? .

? ?

π 2

? ?

4 ?3? 2 (Ⅱ)由已知条件得 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? . 5 ?5?
第 78 页 共 147 页

2

高中数学

从而

π π? π? ? ? 1 ? 2 cos ? 2? ? ? 1 ? 2 ? cos 2? cos ? sin 2? sin ? 4 4? 4? ? ? ? f (? ) ? π? cos ? ? sin ? ? ? ? 2? ?

?

1 ? cos 2? ? sin 2? 2cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos ? cos ?
14 . 5

? 2(cos ? ? sin ? ) ?

55.解:记 A 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲种商品, 记 B 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买乙种商品, 记 C 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种, 记 D 表示事件:进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种, (Ⅰ) C ? A ? B ? A ? B

P ? C? ? P A B A B ? ? ? ? P A? B ? P A? B

?

?

?

? ?

?

? P ? A? ? P B ? P ? A? ? P B

? ?

? ?

? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5
(Ⅱ) D ? A ? B

P D ? P A? B ? P A ?P B

? ?

?

?

? ? ? ? ? ?

? 0.5 ? 0.4 ? 0.2
P ? D? ? 1 ? P D ?0 . 8
56.如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点。设 DC ? a. (I)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 G。连结 EG。

z P

a a 依题意得 A( a, 0, 0), P (0, 0, a ), E (0, , ) 2 2 ? 底面 ABCD 是正方形, ? ? G 是此正方形的中心, a a ? 故点 G 的坐标为 ( , , 0) 且 2 2
A x

F

E

D G B

C

y

第 79 页 共 147 页

高中数学

??? ? ??? ? a a PA ? (a, 0, ? a ), EG ? ( , 0, ? ). 2 2 ??? ? ??? ? ? PA ? 2EG 。这表明 PA∥EG 。
而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB,? PA∥ 平面 EDB。 (II)证明:依题意得 B(a, a,0), PB ? (a, a, ?a) 。又 DE ? (0,

??? ?

????

a a , ), 故 2 2

??? ???? ? a2 a2 PB.DE ? 0 ? ? ?0 2 2
? PB ? DE
由已知 EF ? PB ,且 EF ? DE ? E , 所以 PB ? 平面 EFD。 (III)解:设点 F 的坐标为 ( x0 , y0 , z0 ), PF ? ? PB, 则

??? ?

??? ?

( x0 , y0 , z0 ? a) ? ?(a, a, ?a)
从而

x0 ? ?a, y0 ? ?a, z0 ? (1 ? ? )a. 所以

??? ? a a 1 1 FE ? (? x0 , ? y0 , ? z0 ) ? (?? a, ( ? ? ) a, (? ? ) a). 2 2 2 2 ??? ??? ? ? 由条件 EF ? PB 知, FE.PB ? 0, 即
1 1 1 ?? a 2 ? ( ? ? )a 2 ? (? ? )a 2 ? 0, 解得 ? ? 。 3 2 2 a a 2a ? 点 F 的坐标为 ( , , ), 且 3 3 3 ??? ? ??? ? a a a a a 2a FE ? (? , , ? ), FD ? (? , ? , ? ). 3 6 6 3 3 3

??? ??? ? ? a 2 a 2 2a 2 ? PB.FD ? ? ? ? ? 0. 3 3 3
即 PB ? FD ,故 ? EFD 是二面角 C ? PB ? D 的平面角。

??? ??? a 2 a 2 a 2 a 2 ? ? ? FE.FD ? ? ? ? ,且 9 18 9 6

??? ? a2 a2 a2 6 | FE |? ? ? ? a, 9 36 36 6 ??? ? a 2 a 2 4a 2 6 | FD |? ? ? ? a, 9 9 9 3

第 80 页 共 147 页

高中数学

??? ??? ? ? FE.FD ? ? ? cos EFD ? ??? ??? ? | FE || FD |

a2 6 6 6 a. a 6 3

1 ? . 2

??EFD ?

?
3

所以,二面角 C ? PB ? D 的大小为 57.解: (Ⅰ)由 cos B ? ? 由 cos C ?

? . 3

5 12 ,得 sin B ? , 13 13

4 3 ,得 sin C ? . 5 5

所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? (Ⅱ)由 S△ ABC ?

33 . ················5 分 ··········· ····· ·········· ····· 65

33 1 33 得 ? AB ? AC ? sin A ? , 2 2 2 33 由(Ⅰ)知 sin A ? , 65 故 AB ? AC ? 65 , ······································ 分 ··········· ·········· ··········· ····· 8 ·········· ··········· ··········· ····· AB ? sin B 20 ? AB , 又 AC ? sin C 13 20 13 AB 2 ? 65 , AB ? . 故 2 13 AB ? sin A 11 ? . 所以 BC ? sin C 2
58. (Ⅰ)解法一:设“甲投球一次命中”为事件 A, “乙投球一次命中”为事件 B. 由题意得 ?1 ? P ?B ?? ? ?1 ? p ? ?
2 2

1 16

解得 p ?

3 5 3 或 (舍去) ,所以乙投球的命中率为 . 4 4 4

解法二:设设“甲投球一次命中”为事件 A, “乙投球一次命中”为事件 B.

1 1 1 3 ,于是 P ( B ) ? 或 P( B) ? ? (舍去) ,故 p ? 1 ? P( B) ? . 16 4 4 4 3 所以乙投球的命中率为 . 4 1 1 (Ⅱ)解法一:由题设和(Ⅰ)知 P ? A? ? , P A ? . 2 2 3 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 1 ? P A ? A ? 4
由题意得 P ( B ) P ( B ) ?

?? ?

?

解法二: 由题设和(Ⅰ)知 P ? A? ?

1 1 ,P A ? 2 2

??

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高中数学

故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 C 2 P? A?P A ? P? A?P? A? ?
1

??

(Ⅲ)由题设和(Ⅰ)知, P? A? ?

1 1 3 1 , P A ? , P ?B ? ? , P B ? 2 2 4 4

??

??

3 4

甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中两次,乙两次均不中; 甲两次均不中,乙中 2 次。概率分别为
1 1 C 2 P? A?P A ? C 2 P?B ?P B ?

?? ?

??

P ? A ? A?P B ? B ?

1 , 64 9 P A ? A P ?B ? B ? ? 64

?

3 , 16

?

?

所以甲、乙两人各投两次,共命中 2 次的概率为

3 1 9 11 ? ? ? 16 64 64 32

59.因为 PA⊥PD,PA⊥AB,AD⊥AB,以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐 标系,则各点坐标为 A(0,0,0)B(0,2,0) ,C(1,1,0) ,D(1,0,0) ,P(0,0,1) ,M(0,1, ) . (Ⅰ)证明:因 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0),故AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC. 由题设知 AD⊥DC,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC⊥面 PAD. 又 DC 在面 PCD 上,故面 PAD⊥面 PCD. (Ⅱ)解:因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2,?1),

1 2

故 | AC |? 2 , | PB |? 5 , AC ? PB ? 2, 所以 cos ? AC, PB ?? AC ? PB | AC | ? | PB | ? 10 . 5

(Ⅲ)解:在 MC 上取一点 N(x,y,z) ,则存在 ? ? R, 使 NC ? ? MC,

1 1 NC ? (1 ? x,1 ? y,? z ), MC ? (1,0,? ),? x ? 1 ? ? , y ? 1, z ? ?.. 2 2 1 4 要使 AN ? MC , 只需 AN ? MC ? 0即x ? z ? 0, 解得 ? ? . 2 5

4 1 2 可知当? ? 时, N点坐标为( ,1, ),能使 AN ? MC ? 0. 5 5 5 1 2 1 2 此时, AN ? ( ,1, ), BN ? ( ,?1, ), 有 BN ? MC ? 0 5 5 5 5

由AN ? MC ? 0, BN ? MC ? 0得AN ? MC, BN ? MC.所以?ANB 为所求二面角的平面角.

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高中数学

?| AN |?

30 30 4 , | BN |? , AN ? BN ? ? . 5 5 5 AN ? BN

? cos(AN , BN ) ?

2 ?? . 3 | AN | ? | BN | 2 故所求的二面角为 arccos(? ). 3

60.解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 6? 2 ?
因为函数 f ( x) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 , 所以

2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 ?? . 6? 2

2π , 3 π π 7π 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ , 6 6 6
因为 0 ≤ x ≤ 所以 ?

1 π ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 , ? ? 2 6? ? ? ? π? 1 3 ? 3? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? 2?

因此 0 ≤ sin ? 2 x ?

61. 解:设甲投中的事件记为 A,乙投中的事件记为 B, (1)所求事件的概率为: P=P(A? B )+P( A ?B)+P(A?B) =0.7?0.2+0.3?0.8+0.7?0.8 =0.94. (2)所求事件的概率为:
2 P=C 3 0.7 ?0.3?C 1 0.8?0.2 =0.042336. 3
2 2

6分

12 分

62.证明: (Ⅰ)作 AD 的中点 O,则 VO⊥底面 ABCD.??????????1 分 建立如图空间直角坐标系,并设正方形边长为 1,??????????2 分 则 A(

1 1 1 ,0,0) ,B( ,1,0) ,C(- ,1,0) , 2 2 2

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高中数学

D(-

1 3 ,0,0) ,V(0,0, ) , 2 2

∴ AB ? (0,1, 0), AD ? (1, 0, 0), AV ? (? , 0,

??? ?

????

????

1 2

3 ) ????????????3 分 2

由 AB ? AD ? (0,1,0) ? (1,0,0) ? 0 ? AB ? AD ??????????????4 分

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ???? ? ??? ???? ? 1 3 AB ? AV ? (0,1, 0) ? (? , 0, ) ? 0 ? AB ? AV ??????????????5 分 2 2
又 AB∩AV=A ∴AB⊥平面 VAD????????????????????????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 AB ? (0,1,0) 是面 VAD 的法向量????????????7 分 设 n ? (1, y, z ) 是面 VDB 的法向量,则

??? ?

?

? ??? ? x ? ?1 ? ? n ?VB ? 0 ?(1, y, z ) ? (? 1 ,1, ? 3 ) ? 0 ? 3 ? ? ?? ?? ? ? ? ??? 2 2 3 ? n ? (1, ?1, ) ??9 分 3 ?n ? BD ? 0 ? (1, y, z ) ? (?1, ?1, 0) ? 0 ?z ? ? ? 3 ? ?
3 (0,1, 0) ? (1, ?1, ) ??? ? ? 3 ? ? 21 ,??????????????11 分 ∴ cos ? AB, n ?? 7 21 1? 3
又由题意知,面 VAD 与面 VDB 所成的二面角,所以其大小为 arccos 63.解: y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x
2 4

21 7

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ?

? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x
? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x
? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
2

由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ? ?11? 中的最大值为 ,
2

zm a x? ? ? ?1 1 ?
最小值为

2

?6 ?1 0

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高中数学

zm i n? ?1 ? 1 ?

2

?6 ?6

故当 sin 2 x ? ?1时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6. 64. 解: (1)P=

1 1 2 1 ? ? = . 3 2 3 9 2 1 1 1 (2)P= ? ? = 3 2 3 9 2 1 2 1 1 2 1 1 1 7 (3)P= ? ? + ? ? + ? ? = . 3 2 3 3 2 3 3 2 3 18

65. (I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) ,B(2,4,0) ,A(2,0,0) , C(0,4,0) ,E(2,4,1) 1(0,4,3).设 F(0,0,z). ,C ∵AEC1F 为平行四边形,

?由AEC1 F为平行四边形 , ?由AF ? EC1得, (?2,0, z ) ? (?2,0,2), ? z ? 2. ? F (0,0,2). ? EF ? (?2,?4,2). 于是 | BF |? 2 6 , 即BF的长为2 6 .
(II)设 n1 为平面 AEC1F 的法向量,

显然n1不垂直于平面 ADF, 故可设n1 ? ( x, y,1)
?n1 ? AE ? 0, ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0 ? 由? 得? ?n1 ? AF ? 0, ?? 2 ? x ? 0 ? y ? 2 ? 0 ?
? x ? 1, ?4 y ? 1 ? 0, ? 即? ?? 1 ?? 2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? . 4 ?

又CC1 ? (0,0,3),设CC1与n1 的夹角为 a,则
cos? ? CC1 ? n1 | CC1 | ? | n1 | ? 3 3? 1? 1 ?1 16 ? 4 33 . 33

∴C 到平面 AEC1F 的距离为

d ?| CC1 | cos? ? 3 ?

4 33 4 33 ? . 33 11

66.解: (1)? f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4
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?

?

高中数学

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
? s i n (x2?

?
6

)

∴周期T ?
由 2x ?

?
6

2? ?? 2

? k? ?

?

2

(k ? Z ), 得x ?

k? ? ? (k ? Z ) 2 3

∴ 函数图象的对称轴方程为 x ? k? ?
(2)? x ? [? 因为 f ( x) ? sin(2 x ? 所以 当x?

?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6
?
?
6 ) 在区间 [?

? ?

3

(k ? Z )

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 3 2 12 3

? ?

? ?

3

时, f ( x) 取最大值 1

又 ? f (?

?
12

)??

? 3 3 ? 1 ? f ( ) ? ,当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 2 2 2 2
3 , ] 上的值域为 [? ,1] 12 2 2
2 2 Cx C36? x 1 ? 2 ? , 2 C36 C36 2

所以 函数 f ( x) 在区间 [?

? ?

67.解: (1)令红色球为 x 个,则依题意得

(3 分)

所以 2 x ? 72 x ? 18 ? 35 ? 0 得 x=15 或 x=21,又红色球多于白色球,所以 x=21.所以红色球为2
2

1个,白色球为15个. ( 6 分) (2)设从袋中任取3个小球,至少有一个红色球的事件为 A,均为白色球的事件为 B,
3 C15 则 P(B)=1-P(A)= 1 ? 3 C36



191 204

68.以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,设 AE=x,则 A1(1,0,1) 1(0,0,1) ,D ,E(1,x,0) ,A(1,0,0)C(0,2,0) (1) 因为DA , D1 E ? (1,0,1), (1, x,?1) ? 0, 所以DA ? D1 E. 1 1 (2)因为 E 为 AB 的中点,则 E(1,1,0) ,从而 D1 E ? (1,1,?1), AC ? (?1,2,0) ,
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?n ? AC ? 0, ? AD1 ? (?1,0,1) ,设平面 ACD1 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则 ? ?n ? AD1 ? 0, ?
也即 ?

?? a ? 2b ? 0 ?a ? 2b ,得 ? ,从而 n ? (2,1,2) ,所以点 E 到平面 AD1C 的距离为 ?? a ? c ? 0 ?a ? c
? 2 ?1? 2 1 ? . 3 3

h?

| D1 E ? n | |n|

(3)设平面 D1EC 的法向量 n ? (a, b, c) ,∴ CE ? (1, x ? 2,0), D1C ? (0,2,?1), DD1 ? (0,0,1), 由?

?n ? D1C ? 0, ?

?2b ? c ? 0 令 b=1, ∴c=2,a=2-x, ?? ?n ? CE ? 0, ?a ? b( x ? 2) ? 0. ?

∴ n ? (2 ? x,1,2). 依题意 cos

?
4

?

| n ? DD1 | | n | ? | DD1 |

?

2 2 2 ? ? . 2 2 ( x ? 2) 2 ? 5

∴ x1 ? 2 ? 3 (不合,舍去) x2 ? 2 ? 3 . , ∴AE= 2 ? 3 时,二面角 D1—EC—D 的大小为 69. (Ⅰ)解:

? . 4

f ?x ? ? 2 ?

1 ? cos 2?x ? sin 2?x ? 1 2 ? sin 2?x ? cos 2?x ? 2

? ?? ? ? 2 ? sin 2?x cos ? cos 2?x sin ? ? 2 4 4? ? ?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? ? 2 4? ?
由题设,函数 f ?x ? 的最小正周期是 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ?x ? ?

? 2? ? ? ,所以 ? ? 2 . ,可得 2 2? 2

?? ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 . 4? ?
?
16 ? k? ?k ? Z ? 时, sin ? 4 x ? ? ? 取得最大值 1,所以函数 f ?x ? 的 ? ? 2 4? ?

当 4x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,即 x ?

最大值是 2 ?

? k? ? ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x | x ? ? , k ? Z ?. 16 2 ? ?

70.解: (Ⅰ)设摸出的 4 个球中有 2 个白球、3 个白球分别为事件 A、B,
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P( A) ?

C52 ? C32 3 C 2 ? C1 3 ? , P( B) ? 5 4 3 ? 7 7 C84 C8
∴P(A+B)=P(A)+P(B)=

∵A、B 为两个互斥事件

6 7

即摸出的 4 个球中有 2 个或 3 个白球的概率为 (Ⅱ)设摸出的 4 个球中全是白球为事件 C,则 P(C)=

6 ????6 分 7

C 54 1 ? 至少摸出一个黑球为事件 C 的对立事件 4 C8 14
1 13 ? ??????12 分 14 14

其概率为 1 ?

71. 解: 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB 所在的直线为 x 轴, AD 所在的直线为 y 轴, AA1 以 以 所在的直线为 z 轴建立如图示空间直角坐标系 由已知 AB ? 2, AA ? 1, 可得 A(0,0,0), B(2,0,0) , F (1,0,1) 1 又 AD ? 平面 AA B1B , 从而 BD 与平面 AA B1B 所成的角为 ?DBA ? 30? , AB ? 2 ,AE ? BD , 又 1 1

AE ? 1, AD ?

?1 3 ? ? 2 3 ? 2 3 从而易得 E ? , ? 2 2 ,0 ? , D ? 0, 3 ,0 ? ? ? ? 3 ? ? ? ?

??? ??? ? 1 ? ? ??? ? 1 3 ? ??? ? ? ??? ??? ? ? AE ? BF 2 2 (I)因为 AE ? ? , ? ? ? 2 2 ,0 ? , BF ? ? ?1,0,1? 所以 cos AE , BF ? ??? ??? = 2 ? ? 4 ? AE BF ? ?

?

?

易知异面直线 AE、BF 所成的角为 arccos

2 4

( II ) 易 知 平 面 AA B 的 一 个 法 向 量 m ? (0,1, 0) n ? ( x, y, z) 是 平 面 B D F 的 一 个 法 向 量 , 设 1

??

?

? ??? ? ? ??? ? ?? x ? z ? 0 ??? ? ?n ? BF ?n ? BF ? 0 ?x ? z 2 3 ? ? ? ? ?? BD ? (?2, ,0) 由 ? ? ??? ? ? ? ??? ?? ? ? 2 3 3 y?0 ? 3x ? y ?n ? BD ?n ? BD ? 0 ? ?2 x ? ? ? 3 ? ?? ? ? ?? ? m?n 15 即 n ? 1, 3,1 所以 cos m, n ? ?? ? ? 即平面 BDF 与平面 AA1 B 所成的二面角的大小(锐 5 m n

?

?

角)为 arccos

15 5
??? ?

(III)点 A 到平面 BDF 的距离,即 AB 在平面 BDF 的法向量 n 上的投影的绝对值,

?

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??? ? ? ??? ? ??? ? ? AB ? n 2 5 2 5 所以距离 d ? AB ? cos AB, n = 所以点 A 到平面 BDF 的距离为 ? ? 5 5 n
72. (x) 设f 的二次项系数为 m, 其图象上两点为 (1-x,y1 ) B 、 (1+x,y2 ) 因为

(1 ? x) ? (1 ? x) ?1, 2

f (1 ? x) ? f (1 ? x) , 所 以 y1 ? y2 , 由 x 的 任 意 性 得 f ( x ) 的 图 象 关 于 直 线 x = 1 对
称, ????????????????????????(2 分) ∵

1 a ? b ? (sin x , 2) ? (2 sin x , ) ? 2 sin 2 x ? 1 ? 1 , 2

c ? d ? (cos2 x , 1) ? (1 , 2) ? cos 2 x ? 2 ? 1 ,????????????(4 分)
∴ 当 m ? 0 时,∵f(x)在 x≥1 内是增函数,

f (a ? b) ? f (c ? d ) ? f (2 sin 2 x ? 1) ? f (cos2x ? 1) ? 2 sin 2 x ? 1
? cos 2 x ? 2 ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 ? 2 cos 2 x ? 0 ? cos 2 x ? 0 ? 2kπ ?

π 2

? 2 x ? 2kπ ?

3π ,k ?Z. 2 π 3π ?x? ∵ 0 ? x ? π, ∴ .??????????????????(8 分) 4 4 当 m ? 0 时,∵f(x)在 x≥1 内是减函数. π 3π ? x ? π , k ? Z .???????????????(11 分) 同理可得 0 ? x ? 或 4 4 π 3π , k ? Z }, 综上: f (a ? b) ? f (c ? d ) 的解集是当 m ? 0 时,为 {x | ? x ? 4 4 π 3π ? x ? π, k ? Z} .?????????(12 分) 当 m ? 0 时,为 {x | 0 ? x ? ,或 4 4

73. (1)设甲队在第五场比赛后获得冠军为事件 M,则第五场比赛甲队获胜,前四场比赛甲队获胜 三场, 依题意得 P(M ) ? C4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.20736.???????????(6 分)
3 4

(2)设甲队获得冠军为事件 E,则 E 包含第四、第五、第六、第七场获得冠军四种情况,且它 们彼此互斥. ∴
3 3 3 P(E) ? 0.64 ? C4 ? 0.64 ? 0.4 ? C5 ? 0.64 ? 0.42 ? C6 ? 0.64 ? 0.43 ? 0.710208.

????????????????????????(12 分) 74.解法一: (1)取 PC 中点 M,连结 ME、MF,则 MF∥CD,MF=

1 1 CD,又 AE∥CD,AE= CD, 2 2 ∴AE∥MF,且 AE=MF,∴四边形 AFME 是平行四边形,∴AF∥EM,∵AF ? 平面 PCE,∴

AF∥平面 PCE. ?????????????(4 分) (2)∵PA⊥平面 ABCD,CD⊥AD. ∴CD⊥PD,∴∠PDA 是二面角 P-CD-B 的平面角,即∠ PDA=45°, ????????????????????????(6 分) ∴△PAD 是等腰直角三角形,∴AF⊥PD,又 AF⊥CD,∴AF⊥平面 PCD,而 EM∥AF,∴EM⊥平
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面 PCD. 又 EM ? 平面 PEC,∴面 PEC⊥面 PCD. 在平面 PCD 内过 F 作 FH⊥PC 于 H,则 FH 就是点 F 到平面 PCE 的距离. ?????????????(10 分) 由已知,PD= 2 2 ,PF= 2 ,PC= 17 ,△PFH∽△PCD,∴

FH CD ? , PF PC

∴FH=

3 34 . 17

????????????????????????(12 分)

解法二: (1)取 PC 中点 M,连结 EM, AF ? AD ? DF ? BC ?

1 1 DP ? BC ? 2 2

(DC ? CP) = BC +

1 AB? CM = EB ? BC ? CM ? EM ,∴AF∥EM,又 EM ? 平面 PEC,AF ? 2

平面 PEC,∴AF∥平面 PEC. ??????????????????(4 分) (2)以A为坐标原点,分别以 AB AD AP 所在直线为 x、y、z 、 、 轴建立坐标系. ∵PA⊥平面 ABCD,CD⊥AD,∴CD⊥PD, ∴∠PDA 是二面角 P-CD-B 的平面角,即∠PDA=45°. ??(6 分) ∴A(0, 0, 0), P(0, 0, 2), D(0, 2, 0), F(0, 1, 1), E ( ,0,0) , C(3, 2, 0), 面 PCE 的法向量为 n =(x, y, z),则 n ⊥ EP , n ⊥ EC ,而 EP =(-

3 2

设平

3 ,0,2) , 2 3 3 3 3 3 ,∴- x+2z=0,且 x+2y=0,解得 y=- x,z= x. 取 x=4 EC =( ,2,0) 2 2 2 4 4

得 n =(4, -3, 3),????????????????????????(10 分) 又 P F =(0,1,-1) , 故点 F 到平面 PCE 的距离为 d= 75.解: (1)

| PF ? n | |n|

?

| 0?3?3| 16 ? 9 ? 9

?

3 34 .????(12 分) 17

设 ?1 ? x ? 0 ,则 0 ? ? x ? 1 ???????1 分

? f (? x) ? 2? x ? ln(1 ? x) ? 1 ?

1 ? ln(1 ? x) ? 1 ???????2 分 2x

又 f ( x) 是奇函数,所以 f (? x) ? ? f ( x) ???????3 分

f ( x) ? ? f ( ? x) = ?

1 ? ln(1 ? x) ? 1 ??4 分 2x

? 1 ?? ? ln(1 ? x) ? 1 (?1 ? x ? 0) ? f ( x) ? ? 2 x ?2 x ? ln ? x ? 1? ? 1 (0 ? x ? 1) ??????5 分 ?

f ( x) 是[-1,1]上增函数??????6 分
2 (2)? f ( x) 是[-1,1]上增函数,由已知得: f (2 x ?1) ? f ( x ?1) ????7 分

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?0 ? x ? 2 ?2 x ? 1 ? x 2 ? 1 ? ? 等价于 ??1 ? 2 x ? 1 ? 1 ? ?? 2 ? x ? 2 ??1 ? x 2 ? 1 ? 1 ? ? ?0 ? x ? 1

????10 分

解得: 0 ? x ? 1 ,所以 {x | 0 ? x ? 1} ????12 分

4 3 76.解: 由题意,得 cos B ? , B 为锐角, sin B ? , 5 5

3分

? 3π ? 7 2 , sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin? ?B?? ? 4 ? 10
由正弦定理得 c ?

6分

10 , 7
10 4 8 ? ? . 7 5 7

9分 12 分

? S ? ac?sin B ? ? 2 ?

1 2

1 2

77.解: (1)设红色骰子投掷所得点数为 ? 1 ,其分布如下:

?1
P

8

2

1 2 ??????2 分 3 3 1 2 E? 1 ? 8 ? ? 2 ? ? 4 ;??????????????????4 分 3 3
设蓝色骰子投掷所得点数 ? 2 ,其分布如下;

?2

7

1 ??????6 分

1 1 P 2 2 1 1 E? 2 ? 7 ? ? 1 ? ? 4. ????????????8 分 2 2
(2)∵投掷骰子点数较大者获胜,∴投掷蓝色骰子者若获胜,则投掷后蓝色骰子点数为 7, 红色骰子点数为 2.∴投掷蓝色骰子者获胜概率是

3 4 1 2 1 ? ? ? ? ????12 分 6 6 2 3 3

78. 解:解法一 (Ⅰ)∵O、D 分别为 AC、PC 的中点:∴OD∥PA,又 PA ? 平面 PAB, ∴OD∥平面 PAB. 3分 (Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面 ABC,∴PA=PB=PC. 取 BC 中点 E,连结 PE,则 BC⊥平面 POE,作 OF⊥PE 于 F,连结 DF,则 OF⊥平面 PBC ∴∠ODF 是 OD 与平面 PBC 所成的角. 又 OD∥PA,∴PA 与平面 PBC 所成角的大小等于∠ODF. 在 Rt△ODF 中,sin∠ODF=

OF 210 ? , OD 30
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∴PA 与平面 PBC 所成角为 arcsin

210 30

4分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF⊥平面 PBC,∴F 是 O 在平面 PBC 内的射影. ∵D 是 PC 的中点,若 F 是△PBC 的重心,则 B、F、D 三点共线,直线 OB 在平面 PBC 内的射影为直线 BD,∵OB⊥PC.∴PC⊥BD,∴PB=BC,即 k=1..反之,,当 k=1 时,三棱锥 O-PBC 为正三棱锥,∴O 在平面 PBC 内的射影为△PBC 的重心. 5分 解法二: ∵OP⊥平面 ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP. 以 O 为原点,射线 OP 为非负 x 轴,建立空间坐标系 O-xyz 如图),设 AB=a,则 A(

2 a,0,0). 2

B(0,

2 2 a,0),C(a,0,0).设 OP=h,则 P(0,0,h). 2 2

(Ⅰ)∵D 为 PC 的中点,∴ OD ? (?

????

2 1 a,0, h), 又 2 2

??? ? ???? ? ? 2 1 ??? ???? ??? PA ? ( a, 0, ?h), OD ? ? PA,? OD ∥ PA , 2 2
∴OD∥平面 PAB. ( Ⅱ ) ∵ k=

1 , 则 PA=2a, ∴ h= 2

7 a, ∴ 2

??? ? ? 2 7 1 PA ? ( a, 0, ? a), 可求得平面 PBC 的法向量 n ? (1, ?1, ? ), 2 2 7 ??? ? ? ??? ? ? PA ? n 210 ? ? ? ∴cos ( PA, n) ? ??? . 30 | PA | ? | n |
设 PA 与平面 PBC 所成角为θ ,刚 sinθ =|cos( PA, n )|=

??? ? ?

210 . 30

∴PA 与平面 PBC 所成的角为 arcsin

210 . 30

(Ⅲ)△PBC 的重心 G( ?

???? 2 2 1 2 2 1 a, a, h ),∴ OG =( ? a, a, h ). 6 6 3 6 6 3

∵OG⊥平面 PBC,∴ OC ? PB, 又 PB ? (0,

??? ?

??? ?

??? ?

???? ??? 1 ? 1 2 a, ?h), ∴ OC ? PB ? a 2 ? h 2 ? 0 , 6 3 2

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∴h=

2 a ,∴PA= OA2 ? h2 ? a ,即 k=1,反之,当 k=1 时,三棱锥 O-PBC 为正三棱锥. 2

∴O 为平面 PBC 内的射影为△PBC 的重心. 79.解: (1)设甲命中目标为事件 A,乙命中目标为事件 B,丙命中目标为事件 C 三人同时对同一目标射击,目标被击中为事件 D ?? 2 分 可知,三人同时对同一目标射击,目标不被击中为事件 D 有 P( D) ? 1 ? P( D)

P( D) ? [1 ? P( A)] ? [1 ? P( B)] ? [1 ? P( D)] 又由已知 1 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? 2 3 4 4 1 3 ∴ P( D) ? 1 ? ? 4 4
答:三人同时对同一目标进行射击,目标被击中的概率为

?? 6 分

3 4

?? 8 分

(2)甲、乙、丙由先而后进行射击时最省子弹。 ?? 10 分 甲、乙、丙由先而后进行射击时所用子弹的分布列为 ξ P 1 2 3

1 2

1 1 ? 2 3

1 2 1 ? ? 2 3 4
?? 11 分 ?? 13 分

13 由此可求出此时所耗子弹数量的期望为: E (? ) ? 12

按其它顺序编排进行射击时,得出所耗子弹数量的期望值均高过此时, 因此甲、乙、丙由先而后进行射击时最省子弹。 ?? 14 分 80.解: (1)由已知, a n ? S n ? S n ?1 ? n ? p ?

1 2

?? 2 分 ?? 4 分

bn ? Tn ? Tn?1 ? 2 n?1 1 4 ?1 由 a 4 ? b4 ,得 2 ? 4 ? p ? =2 2 1 ∴p= ∴ an ? n 2 (2)由(1)得, cn ? an ? bn=n ? 2n Rn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n 2

?? 6 分 ?? 7 分 ? ①

2 ? Rn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 ?② ??10 分
②-①得, Rn ? n ? 2n?1 ? (21 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2n ) =n?2
2
n ?1

?

2(1 ? 2 n ) n?1 = (n ? 1) ? 2 ? 2 1? 2
2

??14 分

81.解: (Ⅰ)在△ABC 中, b ? c ? a ? 2bc cos A
2

又b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc

? cos A ?

1 , 2

A?

? ……………………………… 6 分
3

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(Ⅱ)由正弦定理,又 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,故

a2 b2 c2 ? ? 2 2 4R 4R 4R2

即: a 2 ? b 2 ? c 2 故△ABC 是以角 C 为直角的直角三角形 又 A ? ? , ? B ? ? ………………………………………………12 分
3 6

82.(Ⅰ)证明:? PD ? DC ? 1, PC ? 2 ,

??PDC是直角三角形,即PD ? CD .??2 分
又? PD ? BC, BC ? CD ? C ,??4 分 ∴ PD⊥面 ABCD???6 分 (Ⅱ)解:连结 BD,设 BD 交 AC 于点 O, 过 O 作 OE⊥PB 于点 E,连结 AE, ∵PD⊥面 ABCD, ∴ AO ? PD , 又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面 PDB. ∴AO⊥PB, ∵ AE ? PB, AE ? AO ? A , ∴ PB ? 平面AEO ,从而 PB ? EO , 故 ?AEO 就是二面角 A-PB-D 的平面角.????????10 分 ∵ PD⊥面 ABCD, ∴PD⊥BD, ∴在 Rt△PDB 中, PB ? 又∵

P

E D C A O B

PD2 ? BD2 ? 1? 2 ? 3 ,
6 ,??????12 分 6

OE OB ? , PD PB

∴ OE ?

2 AO ? tan ?AEO ? ? 2 ? 3, OE 6 6



?AEO ? 60? .

故二面角 A-PB-D 的大小为 60°. ???????14 分 (也可用向量解) 83. (Ⅰ)由题设得 a ?| b | ? 1 ,对 | ka ? b |? 3 | a ? kb | 两边平方得
2

?2

?

? ?

?

?

?2 ? ? ?2 ?2 ? ? ?2 k 2 a ? 2ka ? b ? b ? 3(a ? 2ka ? b ? k 2 b )
展开整理易得 f (k ) ? a ? b ?

? ?

k 2 ?1 (k ? 0) ------------------------6 分 4k

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(Ⅱ) f (k ) ?

k 2 ?1 k 1 1 ? ? ? ,当且仅当 k =1 时取得等号. 4k 4 4k 2
2

欲使 f (k ) ? x ? 2tx ?

1 1 1 2 对任意的 t ? [?1,1] 恒成立,等价于 ? x ? 2tx ? 2 2 2

即 g (t ) ? 2 xt ? x 2 ? 1 ? 0 在 [?1,1] 上恒成立,而 g (t ) 在 [?1,1] 上为单调函数或常函数, 所以 ?

? g (1) ? 2 x ? x 2 ? 1 ? 0 ? 2 ? g (?1) ? ?2 x ? x ? 1 ? 0 ?

解得 1 ? 2 ? x ? 2 ? 1 故实数 x 的取值范围为 [1 ? 2, 2 ?1] ---------------------------------14 分 84.解: ? ? 为锐角,且 cos ? ?

3 5

4 4 ? sin ? ? , tan ? ? ??3 分 5 3
…….6 分

cos 2 ? ? sin 2? cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? (Ⅰ) sin 2 ? ? cos 2? sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ?
? 1 ? 2 tan ? ? 1 ? 2 ?

4 11 ? ………….7 分 3 3 5? tan ? ? tan 5? 4 )= (Ⅱ) tan(? ? ………. 10 分 5? 4 1 ? tan ? tan 4 4 ?1 1 …………..14 分 ? 3 ? 4 7 1 ? ?1 3
85.证明: (Ⅰ) 在矩形 ABCD 中, ∵AP=PB, DQ=QC, ∴AP CQ. ∴AQCP 为平行四边形. ∴CP∥AQ. ????3 分 ∵CP ? 平面 CEP, AQ ? 平面 CEP, ∴AQ∥平面 CEP. ????5 分 (Ⅱ) ∵EP⊥平面 ABCD, AQ ? 平面 ABCD, ∴AQ⊥EP. ????6 分 ∵AB=2BC, P 为 AB 中点, ∴AP=AD. 连 PQ, ADQP 为正方形. ∴AQ⊥DP. 又 EP∩DP=P, ????8 分
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∴AQ⊥平面 DEP. ????9 分 ∵AQ ? 平面 AEQ. ∴平面 AEQ⊥平面 DEP. ????10 分 (Ⅲ)解:∵ EP ⊥平面 ABCD ∴EP 为三棱锥 E ? AQC 的高 所以

1 1 1 VE ? AQC ? S ?AQC ? EP ? ? CQ ? AD ? EP 3 3 2 ???14 分 1 1 ? ? 1? 1? 1 ? 6 6

86.解: (1)8 道题中任抽出 2 道题的方法有 28 种,其中两题都在不会答的 3 道题中抽出的方法有 25 3 种,故他及格的概率= 28
(2)如果他会 3 道题,那么两题不会答的方法有 10 种,他及格的概率仍大于 50%.当他只会 2 道题 时,抽到 2 题不会的方法有 15 种,此时他及格的概率= 87.解: y ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x ? ⑴ y?

13 ? 50 % .即他最多会 2 题. 28

2 sin(2 x ? ) ? 2 4

?

sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos 2 x tan 2 x ? 2 tan x ? 3 17 ? ? . 5 tan 2 x ? 1 sin 2 x ? cos 2 x
2 sin(2 x ? ) ? 2 在 [0, ] 上单调递增,在 [ , ] 上单调递减. 4 8 8 2
时, ymax ? 2 ? 2 ;当 x ?

⑵ 函数 y ? 所以,当 x ?

?

?

? ?

?

?

8

2

时, ymin ? 1.

故 y 的值域为 [1, 2 ? 2] . 88.解: (1)设商品降价x 元,则多卖的商品数为 kx ,若记商品在一个星期的获利 为 f ( x) ,则依题意有 f ( x) ? (30 ? x ? 9)(432 ? kx ) ? (21 ? x)(432 ? kx ) ,
2 2
2

· 2 又由已知条件, 24 ? k 2 ,于是有 k ? 6 ,
所以 f ( x) ? ?6x ? 126x ? 432x ? 9072 x ?[0 30] .-------------8 分 , ,
3 2

(2)根据(1) ,我们有 f ?( x) ? ?18x ? 252x ? 432 ? ?18( x ? 2)( x ? 12) .
2

x

2 ?0,?

2

(2, 12)

12

30 ?12, ?

f ?( x ) 0 0 ? ? ? f ( x) 减 极小 增 极大 减 故 x ? 12 时, f ( x) 达到极大值.因为 f (0) ? 9072 , f (12) ? 11264 , 所以定价为 30 ? 12 ? 18 元能使一个星期的商品销售利润最大. --------16 分
89.解:(1)根据圆锥曲线的第二定义知,曲线 C 的离心率根据圆锥曲线的第二定义知,曲线 C 的离 (1-0)2+(0-1)2 x 2 ? y2 ? 1 . 心率 e= = <1,故为椭圆,根据条件解得曲线 C 的轨迹方程为: 2 2-0 2 -----------------4 分;
2

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(2)假设存在直线 l,使得点 F 是△BMN 的重心. 再设直线 l 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 .的交点 M、N 的 2

坐标分别为 M(x1,y1)、N(x2,y2),则由椭圆几何性质的范围性知:- 2≤x1≤ 2, - 2≤x2≤ 2,则 -2 2≤x1+x2≤2 2<3,另一方面,F(1,0)是△BMN 的重心, 结合 B(0,1)及重心坐标公式知 3?1 =0+x1+x2, x1+x2=3, 即 这与 x1+x2≤2 2<3 矛盾, 故满足要求的直线 l 不存在. --------------8 分; (3) 假设存在直线 l, 使得点 F 是△BMN 的垂心. 由 B(0,1)、 F(1,0), 知直线 BF 的斜率为-1. 于是, 由 BF⊥MN,知直线 l 的斜率为 1. 4bx+2(b2-1)=0 (*) 2b2-2 4b 设 M(x1,y1)、N(x2,y2),根据韦达定理得 x1+x2=- , x1x2= . 3 3 若再能保证 NF⊥BM,即?=0,则 F 必为△BMN 的垂心. ∵=(1-x2,-y2), =(x1,y1-1) ?=(1-x2)x1-y2(y1-1)=x1+y2-x1x2-y1y2=x1+(x2+b)-x1x2-(x1+b)(x2+b) 2b2-2 4b =-2x1x2+(1-b)(x1+x2)+b-b2=-2? +(1-b)(- )+b-b2=0 3 3 4 即 3b2+b-4=0,解得 b=1 或 b=- . 3 当 b=1 时,点 B 即为直线 l 与椭圆的交点,不合题意; 4 16 14 162 14 88 当 b=- 时,代入方程(*)得 3x2- x+ =0,其判别式△= -4× 3× = >0, 3 3 9 9 9 9 4 两端点存在,满足题设.综上得,存在直线 l: y=x- ,使得点 F 是△BMN 的垂心. 3 ---------------------16 分 90.解: (1) a ? b ? 6 cos? cos? ? 6 sin ? sin ? ? 6 cos(? ? ? ) ?| a | ? | b | ? cos60? =3 设直线 l 方程为 y=x+b. 与

x2 ? y 2 ? 1 联立消去 y,得 3x2+ 2

? cos( ? ? ? ) ?

1 2

????2 分

设圆心到直线 l 的距离为 d,则

1 ? d ? r 即直线 l 与圆 C 相离

d?

| cos? cos ? ? sin ? sin ? ?

1 | 2 ?| cos(? ? ? ) ? 1 |? 1 ? 2 ? r 2 2
????6 分

(2)由 a ?b ? 6 cos(? ? ? ) ? 6 cos? ? cos(? ? ? ) ? cos? ????8 分 由条件可知, d ?| cos? ?

1 2 |? 2 2

????10 分

又∵向量的夹角的取值范围是[0,π ]

? ?1 ? cos? ?

2 ?1 2

????12 分

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?? ? (arccos

2 ?1 ,? ) 2

????14 分

91.解: (Ⅰ)? 不等式 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 解集是 (?1,3) ,故方程 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 的两根是 x1 ? ?1 ,

x2 ? 3 ,
1 b ? x1 x2 ? ?3 , ? x1 ? x2 ? 2 . a a 1 2 所以 a ? ? , b ? ? . 3 3 1 (Ⅱ)当 a=0 时,f(x)=0,x= ,不合题意. 2
当 a≠0 时, 4分 6分 8分

?b ? a ? 2,? f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? 1, ? ? (a ? 2)2 ? 4a ? 0
函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 必有两个零点, 又函数 f ( x) 在 ( ?2, ?1) 上恰有 一个零点,故 f (?2) f (?1) ? 0 , (6a ? 5)(2a ? 3) ? 0 , 9分 11 分

3 5 ? ?a?? 2 6,
又 a ? Z ,? a ? ?1 . 92. 解: (1)由 a 3 ? 27,27 ? 2a 2 ?23 ? 1

13 分 14 分

?a 2 ? 9
? 9 ? 2a1 ?2 2 ?1

?a1 ? 2 ??????????4 分
(2)假设存在实数 t,使得 {bn } 为等差数列。 则 2b n ?b n?1 ?b n?1

?2?

1 1 1 (a n ?t ) ? n ?1 (a n ?1 ?t ) ? n ?1 (a n ?1 ?t ) n 2 2 2

? 4a n ? 4a n?1 ?a n?1 ?t
? 4a n ? 4 ?
?t ? 1
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a n ?2 n ? 1 ? 2a n ?2 n?1 ? t ? 1 2

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? 存在 t=1,使得数列 {b n } 为等差数列。??????????9 分
(3)由(1)(2)知: b1 ? 、 又 {b n } 为等差数列。

3 5 ,b 2 ? 2 2

bn ? n ?

1 2

1 ?a n ? (n ? ) ? 2 n ? 1 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ? 1??????11 分 2

?S n ? 3 ? 20 ? 1 ? 5 ? 21 ? 1 ? 7 ? 22 ? 1 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n?1 ? 1

? 3 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ? n
? 2S n ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 2n

??S n? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ?? 2 ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ? n
1 ? 2n ? 1? 2? ? (2n ? 1) ? 2 n ? n 1? 2

? (1 ? 2n) ? 2 n ? n ? 1
?S n ? (2n ? 1) ? 2n ? n ? 1 ??????????14 分
2 93、解: (1)设 Q( x0 , y0 ), 则 x0 ? 2 py0 ( y0 ? 0)

则⊙ Q 的半径 | QA |?

2 x0 ? ( y0 ? p) 2 ,

2 ⊙ Q 的方程为 ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y 0) 2 ? x 0 ? ( y 0 ? p ) 2

令 y ? 0 ,并把 x02 ? 2 py0 代入得 x2 ? 2 x0 x ? x02 ? p2 ? 0 , 解得 x1 ? x0 ? p , x2 ? x0 ? p , ∴ | MN |?| x1 ? x2 |? 2 p , ∴ | MN | 不变化,为定值 2 p . (2)不妨设 M ( x0 ? p,0), N ( x 0 ? p,0) 由题义: 2 | OA |?| OM | ? | ON | ,得 2 p ?| x 0 ? p | ? | x 0 ? p | ∴ ? p ? x0 ? p

? Q 到抛物线准线 y ? ?

p x2 ? p2 p 的距离 d ? y 0 ? ? 0 2 2p 2

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⊙ Q 的半径 r = | QA |?

2 2 x0 ? ( y0 ? p) 2 ? x0 ? (

2 x0 1 4 x0 ? 4 p 4 ? p) 2 ? 2p 2p

3 2 ( p 2 ? x0 ) 4 2 2 x0 ? 4 p 4 ( x0 ? p 2 ) 2 ?2 x0 ? 3 p 2 2 2 2 r ?d ? ? ? ? 4 p2 4 p2 2

2 x0 ? p 2 ?

3 2 p ( p ? 0) ,故 r ? d , 2

y

即⊙ Q 与抛物线的准线总相交. 94. (Ⅰ)∵AC=BC, P 是 AB 的中点 CQ ∴AB⊥PC A ∵AA1⊥面 ABC,CC1∥AA1, N B ∴CC1⊥面 ABC 而 AB 在平面 ABC 内 o M P N x ∴CC1⊥AB, A M ∵CC1∩PC=C ∴AB⊥面 PCC1; 5分 又∵M、N 分别是 AA1、BB1 的中点,四边形 AA1B1B 是平行四边形,MN∥AB, ∴MN⊥面 PCC1 ∵MN 在平面 MNQ 内, ∴面 PCC1⊥面 MNQ; 8分 (Ⅱ)连 PB1 与 MN 相交于 K,连 KQ, ∵MN∥PB,N 为 BB1 的中点, ∴K 为 PB1 的中点. 又∵Q 是 C1B1 的中点 ∴PC1∥KQ 14 分 而 KQ ? 平面 MNQ,PC1 ? 平面 MNQ ∴PC1∥面 MNQ. 16 分
2 2 95.解:由题意可知圆 O 的方程为 x ? y ? 2 ,于是 ? ? ?1 .

C1 Q B1 A1

? ? 1 时,设 P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) ,则由 OP ? OP2 ? OP3 ? 0 得, 1
1 1 x1 ? x2 ? ?1 , y1 ? y2 ? 1 . 所以 PP2 的中点坐标为 ( ? , ) . 1 2 2
???? ???? ? ???? ???? ???? ? 又由 OP ? OP2 ? ?OP ,且 | OP |?| OP2 | ,可知直线 l 与直线 OP3 垂直,即直线 l 的斜率为1 . 1 3 1
1 1 此时直线 l 的方程为 y ? ? x ? ,即 x ? y ? 1 ? 0 . 2 2

???? ???? ???? ?

?

? ? ?1 时,同理可得直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 .
故直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . 96.证明:⑴由函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,有 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ,
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即有 f (? x) ? f ( x ? 2) . 又函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,有 f (? x) ? ? f ( x) . 故 f ( x ? 2) ? ? f ( x) . 从而 f ( x ? 4) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x) . 即 f ( x) 是周期为 4 的周期函数. ⑵由函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,有 f (0) ? 0 .

x ? [?1, 0) 时, ? x ? (0,1] , f ( x) ? ? f (?x) ? ? ? x .故 x ?[?1, 0] 时, f ( x) ? ? ? x . x ?[?5, ?4] 时, x ? 4 ?[?1,0] , f ( x) ? f ( x ? 4) ? ? ?x ? 4 .
从而, x ?[?5, ?4] 时,函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ? ? x ? 4
2 97.解:⑴设第 n 年新城区的住房建设面积为 cn m ,则

当 1 ? n ? 4 时, cn ? 2n?1 a ;当 n ? 5 时, cn ? (n ? 4)a . 所以, 当 1 ? n ? 4 时, an ? (2n ?1)a ;

n 2 ? 9n ? 22 a. 当 n ? 5 时, an ? a ? 2a ? 4a ? 8a ? 9a ? …? (n ? 4)a ? 2
?(2n ? 1)a(1 ? n ? 4), ? 故 an ? ? n2 ? 9n ? 22 . a(n ? 5). ? ? 2

⑵ 1 ? n ? 3 时, an?1 ? (2n?1 ?1)a , bn ? (2n ?1)a ? 64a ? 4na ,显然有 an?1 ? bn .

n ? 4 时, an?1 ? a5 ? 24a , bn ? b4 ? 63a ,此时 an?1 ? bn .

n 2 ? 11n ? 12 n2 ? 9n ? 22 5 ? n ? 1 6 时, an ?1 ? a , bn ? a ? 64a ? 4na , 2 2

an?1 ? bn ? (5n ? 59)a 所以, 5 ? n ? 11 时, an?1 ? bn ;12 ? n ? 16 时, an?1 ? bn .
n ? 17 时,显然 an?1 ? bn . 故当 1 ? n ? 11 时, an?1 ? bn ;当 n ? 12 时, an?1 ? bn .

?a 2 ? 5a ? 6 ? 0 98.解: (Ⅰ)当 z 为实数时,则 ? ?a ? 1 ? 0
? a ? ?1 或 a ? 6 ,且 a ? ?1,?当 a ? 6 时, z 为实数.
(Ⅱ)当 z 为虚数时,则 ? 5分

?a 2 ? 5a ? 6 ? 0 ?a ? 1 ? 0
10 分
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? a ? ?1 且 a ? 6 , z 为虚数.

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?a 2 ? 5a ? 6 ? 0 ? 2 (Ⅲ)当 z 为纯虚数时,则 ?a ? 7a ? 6 ? 0 ?a ? 1 ? 0 ? ? a ? 1 , z 为纯虚数.
4 ?9 ?a2 ? b2 ? 1 ? ?a 2 ? 15 3 ?c ? 99.解: (1)由题意得: ? ? ?? 2 3 ?b ? 10 ?a ? 2 2 2 ?a ? b ? c ? ?
x2 y2 ? ?1 所以椭圆的方程为 15 10
????????5 分

14 分

(2)由题可知当直线 PA 过圆 M 的圆心(8,6)时,弦 PQ 最大 因为直线 PA 的斜率一定存在, 设直线 PA 的方程为:y-6=k(x-8) 又因为 PA 与圆 O 相切,所以圆心(0,0)到直线 PA 的距离为 10 即

| 8k ? 6 | 1? k 2

? 10

可得 k ?

1 13 或k ? 3 9

所以直线 PA 的方程为: x ? 3 y ? 10 ? 0或13x ? 9 y ? 50 ? 0 ?????11 分 (3)设 ?AOP ? ? 则 ?AOP ? ?BOP, ?AOB ? 2?

OA 2 20 ) ?1 ? ?1 OP OP 2 ? OP |max ? 10 ? 2 ? 12, | OP |min ? 10 ? 2 ? 8 | 200 ? OA ? OB ?| OA | ? | OB | cos ?AOB ? ? 10 OP 2 55 155 ? (OA ? OB ) max ? ? , (OA ? OB ) min ? ? ????16 分 8 18
2 则 cos ?AOB ? 2 cos ? ? 1 ? 2(

100.解: (1) a1 ? f (1) ? f (2) ? f (1) ? f (1) ? 2

a2 ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (1) ? f (3) ? f (1) ? f (2) ? 1 ? 3 ? a1 ? 6 a4 ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (16) ? 86
(2) an?1 ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2 n?1 ) ????4 分 ????5 分

a n ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2 n ) ? f (1) ? f (3) ? f (5) ? ? ? f (2 n ? 1) ? f (2) ? f (4) ? f (6) ? ? ? f (2 n ) ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 n ? 1) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2 n ?1 )

? an ? an?1 ? 4 n?1 (n ? 2)

????8 分

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? a n ? 2 ? 4 ? 4 2 ? ? ? 4 n ?1 ?
(3)? bn ? 2n ? 10, S n ?

4n ? 2 3

????10 分

n(b1 ? bn ) ? n(n ? 9) 2
????12 分

? bn ? sn ? 2n(n ? 5)(n ? 9)
而b1 S1 ? 64, b2 S 2 ? 84, b3 S 3 ? 72, b4 S 4 ? 40 5 ? n ? 9时, bn S n ? 0 10 ? n ? 13时, bn S n ? b13 S13 ? 832 ? 103 n ? 14时, bn S n ? b14 S14 ? 1260 ? 103
故 10 不是数列 {bn S n } 中的项
3

????16 分

O 坐标 C

101.解 (Ⅰ)以 O 为原点,OA 所在直线为 y 轴建立直角 系如图,依题意可设抛物线方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,且 (4,2).

? 22 ? 2 p ? 4 ? p ?

1 . 2
(Ⅱ)设 P( y 2 ,y)(0 ? y ? 2) 是曲线段 OC

故曲线段 DC 的方程为 y 2 ? x(0 ? x ? 4,y ? 0) .

上 的 任 意 一 点 , 则 在 矩 形 PQBN 中 , | PQ| ? 2 ? y,| PN | ? 4 ? y 2 . ? 工 业 区 面 积

S ?| PQ | ?PN |? (2 ? y)(4 ? y 2 ) ? ? y3 ? 2 y 2 ? 4 y ? 8 . 又

S ? ? ?3 y 2 ? 4 y ? 4

, 令

S' ? 0 得

2 2 2 2 y1 ? ,y1 ? ?2 .? 0 ? y ? 2, y ? .当 y ? (0, ) 时, S ? ? 0 ,S 是 y 的增函数;当 y ?( , 2) 时, ? 3 3 3 3 2 8 32 S'? 0 ,S 是 y 的减函数. ? y ? 时,S 取到极大值,此时 | PQ| ? 2 ? y ? | PN | ? 4 ? y 2 ? 3 9 3 32 8 32 256 km ,宽 故S ? ? ? ? 9.5 . ? y ? 0 时 S ? 8 ,? Smax ? 9.5( km2 ) . 答:当矩形的长为 9 3 9 27 8 2 为 km 时,园区面积最大,约为 9.5km . 3
102.解: (Ⅰ)因为各组的频率和等于 1,故低于 50 分的频率为: f1 ? 1 ? (0.015? 2 ? 0.03 ? 0.025? 0.005) ?10 ? 0.1 ????????????3 分

所以低于 50 分的人数为 60 ? 0.1 ? 6 (人)????????????????.5 分 (Ⅱ)依题意,成绩 60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组(低于 50 分的为第一组) , 频率和为 (0.015 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 0.75 所以,抽样学生成绩的合格率是 75 %????????????????????8 分. 于是,可以估计这次考试物理学科及格率约为 75 %??????????????9 分. (Ⅲ) “成绩低于 50 分”及“[50,60)”的人数分别是 6,9。所以从成绩不及格的学生中选两人,他们 成绩至少有一个不低于 50 分的概率为:

P ? 1?

6?5 6 ? 15 ? 14 7

?????????????????14 分

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103. (1)证明:由直四棱柱,得 BB1 // DD1 , 且BB1 ? DD1 , …………………(3 分)

所以 BB1D1D 是平行四边形,所以 B1D1 // BD

而 BD ? 平面A BD , B1D1 ? 平面A BD ,所以 B1 D1 // 面 A1 BD ………(4 分) 1 1 (2)证明:因为 BB1 ? 面ABCD,AC ? 面ABCD , 所以 BB1 ? AC ……(6 分) 又因为 BD ? AC ,且 BD ? BB1 ? B ,所以 AC ? 面BB1D 而 MD ? 面BB1D ,所以 MD ? AC ……… ……(8 分)

…………………………(9 分)

(3)当点 M 为棱 BB1 的中点时,平面 DMC1 ? 平面 CC1 D1 D …………………(10 分) 取 DC 的中点 N, D1C1的中点N1 ,连结 NN1 交 DC1 于 O ,连结 OM . 因为 N 是 DC 中点,BD=BC,所以 BN ? DC ;又因为 DC 是面 ABCD 与面 DCC1D1 的交线,而面 ABCD⊥面 DCC1D1 , 所以 BN ? 面DCC1D1 ……………(12 分) 又可证得, O 是 NN1 的中点,所以 BM∥ON 且 BM=ON,即 BMON 是平行四边形,所以 BN∥OM,所以 OM ? 平面 CC1 D1 D , D1 A1 O B1 M N1 C1

D A

N

C

B

因为 OM ?面 DMC1,所以平面 DMC1 ? 平面 CC1 D1 D ………………………(14 分)

x2 y2 104.解: (1)根据题意设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) a b 点 A 为 ( x1 , y1 ) B 点为 ( x2 , y 2 ) T 点为 ( x0 , y0 )

? x1 2 y1 2 ? 2 ? 2 ?1 1 1 ?a b ? 2 ( x 2 ? x1 )( x 2 ? x1 ) ? 2 ( y 2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) ? 0 则? 2 2 b ? x2 ? y 2 ? 1 a ? a2 b2 ? y y ? y1 1 1 1 y 2 ? y1 ? 2 x0 ? 2 ? 2 y 0 ? 2 ?1 ,又 0 ? , 2 x2 ? x1 x0 3 x2 ? x1 a b 1 1 2 ? 2 ? 2 x0 ? 2 ( x0 ) ? 1 ? a 2 ? 3b 2 即 a ? 3b a b 3 c 2 3 ? c ? 2b ?????????????(10 分) e? ? a 3 (2)设 M ( x1 , y1 ), P 为 ( x, y ) ,则 N (? x1 ,? y1 )

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又 k PN

? x1 2 y1 2 ? 2 ? 2 ?1 1 1 ? b ? 2 ( x ? x1 )( x ? x1 ) ? 2 ( y ? y1 )( y ? y1 ) ? 0 则?a 2 2 a b ?x ? y ?1 ?a2 b2 ? 1 1 y ? y1 y ? y1 1 1 1 ,即 2 ? 2 ? k PM ? k PN ,? k PM ? ? 2? ? 2 3b b 3k PN a b x ? x1 x ? x1 1 1 2 ?( , ] ? k PM ? [ ,1] ?????????? 3 2 3

? (16 分)

105.解(Ⅰ)? f (x) 定义域为 ?0,???

? f / (x) ? 1 ? f ( ) ? ?e e

1 - lnx x2

2分

/ 2 又 ? k ? f ( ) ? 2e

1 e

4分

? 函数 y ? f (x) 的在 x ?

1 处的切线方程为: e
5分 6分

1 y ? e ? 2e 2 ( x ? ) ,即 y ? 2e 2 x ? 3e e
(Ⅱ)令 f / ( x) ? 0 得 x ? e

? 当 x ? (0, e) 时, f / ( x) ? 0 , f (x) 在 (0, e) 上为增函数
当 x ? (e,??) 时, f / ( x) ? 0 ,在 (e,??) 上为减函数 8分 10 分

? f max ( x) ? f (e) ?

1 e

(Ⅲ)? a ? 0 ,由(2)知:

F (x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e,??) 上单调递减.

? F (x) 在 ?a,2a? 上的最小值 f min ( x) ? min{F (a), F (2a)}
? F ( a ) ? F ( 2a ) ? 1 a ln 2 2
12 分 14 分 16 分

? 当 0 ? a ? 2 时, F (a) ? F (2a) ? 0, f min ( x) ? F (a) ? ln a
当 2 ? a 时 F (a) ? F (2a) ? 0 , f min ( x) ? F ( 2a ) ?

1 ln 2a 2

106.解: (Ⅰ) f ? x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 = 2sin(2 x ?

π ) ? 2 .???? 4 分 6 π π π π π 由 ? ? 2k π ≤ 2 x ? ≤ ? 2k π ,得 ? ? k π ≤ x ≤ ? k π . 2 6 2 3 6
第 105 页 共 147 页

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∴函数 f ? x ? 的单调增区间为 [? (Ⅱ)由 f

π π ? k π , ? k π ] ? k ? Z ? .???? 7 分 3 6

?? ? ? 3 ,得 2sin(2? ? 6 ) ? 2 ? 3 .

π

π 1 )? . ???????????????? 10 分 6 2 π π π 5π ? 2k2 π ? k1 , k2 ? Z ? , ∴ 2? ? ? ? 2k1π ,或 2? ? ? 6 6 6 6 π 即 ? ? k1π 或 ? ? ? k 2 π ? k1 , k2 ? Z ? . 3 π ∵ ? ? ? 0, π ? ,∴ ? ? . ????????????????? 14 分 3
∴ sin(2? ? 107.解: (Ⅰ)n≥2 时, f (n) ? Sn ? Sn?1 ? 2n ?1 . n=1 时, f (1) ? S1 ? 3 ,适合上式, ∴ f (n) ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ? n ?N *? . (Ⅱ) a1 ? f ?1? ? 3 , an?1 ? 2an ? 1 ? n ?N *? . 即 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) . ∴数列 ? an ? 1 ? 是首项为 4、公比为 2 的等比数列. ??????? 10 分 ??????? 5 分 ??????? 8 分 ??????? 4 分

an ?1 ? (a1 ?1) ? 2n?1 ? 2n?1 ,∴ an ? 2n?1 ?1 ? n?N *? .?????? 12 分
Tn= (22 ? 23 ? ? ? 2n?1 ) ? n = 2n ? 2 ? 4 ? n . 108.解: (Ⅰ)在 Rt△ABC 中,AB=1, ∠BAC=60° ,∴BC= 3 ,AC=2. 在 Rt△ACD 中,AC=2,∠CAD=60° , ∴CD=2 3 ,AD=4. ∴SABCD=
1 1 AB ? BC ? AC ? CD 2 2

??????? 14 分

1 1 5 ? ? 1? 3 ? ? 2 ? 2 3 ? 3 .?????? 3 分 2 2 2 1 5 5 则 V= ? 3?2 ? 3. 3 2 3

??????
P

5分

(Ⅱ)∵PA=CA,F 为 PC 的中点, ∴AF⊥PC. ?????? 7 分 ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,
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B

E F A M D

C

高中数学

∴CD⊥平面 PAC.∴CD⊥PC. ∵E 为 PD 中点,F 为 PC 中点, ∴EF∥CD.则 EF⊥PC. ??? 9 分 ∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面 AEF.?? 10 分 (Ⅲ)证法一: 取 AD 中点 M,连 EM,CM.则 EM∥PA. ∵EM ? 平面 PAB,PA ? 平面 PAB, ∴EM∥平面 PAB. ??? 12 分 在 Rt△ACD 中,∠CAD=60° ,AC=AM=2, ∴∠ACM=60° .而∠BAC=60° ,∴MC∥AB. ∵MC ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB, ∴MC∥平面 PAB. ??? 14 分 ∵EM∩MC=M, ∴平面 EMC∥平面 PAB. ∵EC ? 平面 EMC, ∴EC∥平面 PAB. ??? 15 分 证法二: 延长 DC、AB,设它们交于点 N,连 PN. ∵∠NAC=∠DAC=60° ,AC⊥CD, ∴C 为 ND 的中点. ??12 分 ∵E 为 PD 中点,∴EC∥PN.??14 分 ∵EC ? 平面 PAB,PN ? 平面 PAB, N ∴EC∥平面 PAB. ??? 15 分

P

E F A D

B C

1 109.解: (Ⅰ) y ? g (t ) ? f (t ) ? (80 ? 2t ) ? (20 ? | t ? 10 |) ? (40 ? t )(40? | t ? 10 |) ?? 4 分 2
?(30 ? t )(40 ? t ), (0≤t ? 10), =? ?(40 ? t )(50 ? t ), (10≤t ≤20).

???????? 8 分

(Ⅱ)当 0≤t<10 时,y 的取值范围是[1200,1225], 在 t=5 时,y 取得最大值为 1225; 当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1200], 在 t=20 时,y 取得最小值为 600. (答)总之,第 5 天,日销售额 y 取得最大为 1225 元; 第 20 天,日销售额 y 取得最小为 600 元. 110.解: (Ⅰ) x ? 100 ?

???????? 11 分 ???????? 14 分 ???????? 15 分

?12 ? 17 ? 17 ? 8 ? 8 ? 12 ? 100 ; 7 ?6 ? 9 ? 8 ? 4 ? 4 ? 1 ? 6 y ? 100 ? ? 100 ; 7 994 250 2 2 ? S数学 = =142 ,? S物理 = , 7 7
从而 S数学 ? S物理 ,所以物理成绩更稳定。
2 2

4分

8分

(Ⅱ)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系,

第 107 页 共 147 页

高中数学

? ?b ?

497 ? ? 0.5, a ? 100 ? 0.5 ?100 ? 50 , 994

11 分 13 分

? 线性回归方程为 y ? 0.5x ? 50 。当 y ? 115 时, x ? 130 。
111、解:设 AB ? c,AC ? b,BC ? a (1) ?

? bc cos A ? 9 4 3 4 ? tan A ? , sin A ? , cos A ? , bc ? 15 , 5 5 3 ?bc sin A ? 12

?bc ? 15 ?b ? 3 sin B b 3 ? ? cos A ? ? ,由 ? b 3 ? ? ,用余弦定理得 a ? 4 ? sin C c 5 ?c ? 5 ?c 5 ? 12 1 ? (2 x ? y ) (2) 2S △ ABC ? 3x ? 4 y ? 5 z ? 12 ? x ? y ? z ? 5 5
?3 x ? 4 y ? 12, ? x ? 0, 由线性规划得 0 ? t ? 8 设 t ? 2x ? y , ? ? y ? 0, ?


12 ? x? y?z ?4 5

x2 y 2 112.解: (Ⅰ)设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,则: a b
?a ? 2 2 ?a ? 2 2 x2 y 2 ? 2 ? ? ? 1。 4 分 ,从而: ? ,故 b ? 2 ,所以椭圆的标准方程为 ?a 8 4 ?c ? 2 ? ? ?4 ?c

m ? m2 ? (Ⅱ)设 M (?4, m) ,则圆 K 方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? ? ? ?4 2? 4 ? 2 2 2 2 与圆 O : x ? y ? 8 联立消去 x , y 得 PQ 的方程为 4 x ? my ? 8 ? 0 ,
2

2

6分

过定点 E ? ?2,0? 。

9分

? x12 ? 2 y12 ? 8 ? (Ⅲ)解法一:设 G ? x1, y1 ? , H ? x2 , y2 ? ,则 ? 2 ,???① 2 ? x2 ? 2 y2 ? 8 ? ??? ? ??? ? ? x ? ?8 ? 3x2 ? EG ? 3HE ,?? x1 ? 2, y1 ? ? 3? ?2 ? x2 , ? y2 ? ,即: ? 1 ? y1 ? ?3 y2 8 ? ? x2 ? ? 3 ? 代入①解得: ? (舍去正值) , ?y ? ? 2 ? 2 3 ? ? kPQ ? 1 ,所以 PQ : x ? y ? 2 ? 0 ,
从而圆心 O ? 0,0? 到直线 PQ 的距离 d ? 从而 PQ ? 2 R2 ? d 2 ? 6 。
第 108 页 共 147 页

12 分

1 ? 2, 2
15 分

高中数学

解法二:过点 G , H 分别作直线 l 的垂线,垂足分别为 G?, H ? ,设 PQ 的倾斜角为 ? ,则:

GE 2 EH 2 ,从而 GG? ? 2GE, HH ? ? 2HE , 11 分 ?e? , ?e? GG? 2 HH ? 2 ??? ? ???? ? GG? ? HH ? 2 由 EG ? 3HE 得: EG ? 3HE ,? cos ? ? ,故 ? ? , ? 4 GE ? EH 2 由此直线 PQ 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,以下同解法一。 15 分

x2 y 2 ? ?1 联 立 成 方 程 组 消 去 x 得 : 解 法 三 : 将 PQ : 4 x ? my ? 8 ? 0 与 椭 圆 方 程 8 4 ? m2 ? 32 ? y 2 ? 16my ? 64 ? 0 ,设 G ? x1, y1 ? , H ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? m16?m32 , y1 y2 ? ? m26432 11 分 2 ? ??? ? ???? ? FG ? 3HF ,?? x1 ? 2, y1 ? ? 3? ?2 ? x2 , ? y2 ? ,所以 y1 ? ?3 y2 代入韦达定理得:
8m 64 2 ,3 y2 ? 2 , m ? 32 m ? 32 消去 y2 得: m2 ? 16 ,? m ? ?4 ,由图得: m ? 4 , y2 ? ?
2

13 分 15 分

所以 PQ : x ? y ? 2 ? 0 ,以下同解法一。

1 2 1 x ? x ,其定义域是 (0, ??) 2 2 1 1 (2 x ? 1)( x ? 2) F '( x) ? ? 2 ? x ? ? ? x 2 2x 1 令 F '( x) ? 0 ,得 x ? 2 , x ? ? (舍去) 。 2
113.解: (Ⅰ) F ( x) ? ln x ? 2 x ? 当 0 ? x ? 2 时, F '( x) ? 0 ,函数单调递增; 当 x ? 2 时, F '( x) ? 0 ,函数单调递减; 即函数 F ( x) 的单调区间为 (0, 2) , (2, ??) 。 (Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 F '( x) ? ?

3分

6分 8分 10 分

(2 x ? 1)(ax ? 1) , 2x

当 a ? 0 时, F '( x) ? 0 , F ( x) 单调递增, F ( x) ? 0 不可能恒成立, 当 a ? 0 时,令 F '( x) ? 0 ,得 x ? 当0 ? x ? 当x?

1 1 , x ? ? (舍去) 。 a 2

1 时, F '( x) ? 0 ,函数单调递增; a
13 分

1 时, F '( x) ? 0 ,函数单调递减; a 1 1 故 F ( x) 在 (0, ??) 上的最大值是 F ( ) ,依题意 F ( ) ? 0 恒成立, a a 1 1 即 ln ? ? 1 ? 0 , a a

第 109 页 共 147 页

高中数学

又 g (a ) ? ln 故 ln

1 1 ? ? 1 单调递减,且 g (1) ? 0 , a a

1 1 ? ? 1 ? 0 成立的充要条件是 a ? 1 , a a
16 分

所以 a 的取值范围是 [1, ??) 。 114.解 (1)由表中数据,知 T ? 12 , ? ? 由 t ? 3, y ? 2 ,得 b ? 2 所以, A ? 0.5, b ? 2 振幅 A=

2? ? ? T 6

由 t ? 0, y ? 2.5 得 A ? b ? 2.5

1 ? 1 ,∴y= cos t ? 2 ………………….8 分 2 2 6 1 ? ? (2)由题意知,当 y ? 2 时,才可对冲浪者开放 ∴ cos t ? 2 >2, cos t >0 6 2 6
∴– 2k? ?

?

……1.4 分 ∴在规定时间内有 6 个小时可供游泳爱好者运动即上午 9 00 至下午 15 00……….15 分 115.(1) 解
x 当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? a ?
x 由条件可知, a ?

6 2 ? 12 k? ? 3 ? t ? 12 k? ? 3 , 即有 由 0 ? t ? 24 ,故可令 k ? 0,1,2 ,得 0 ? t ? 3 或 9 ? t ? 15 或 21 ? t ? 24

2

?

?

t ? 2k? ?

?

,

1 . ax

…………….2 分

1 ? 2 ,即 a 2 x ? 2 ? a x ? 1 ? 0 解得 a x ? 1? 2 …………6 分 ax
…………..8 分

∵ a ? 0,? x ? loga (1 ? 2 )
x
t 2t (2)当 t ? ?1,2?时, a (a ?

1 1 ) ? m( a t ? t ) ? 0 2t a a

……………10 分

? 1) ? ?(a 4t ? 1) ? a ? 1, t ? ?1,2? ? a 2t ? 1 ? 0,? m ? ?(a 2t ? 1)
即 m(a
2t

………………13

? t ? ?1,2?,? a 2t ? 1? a 2 ? 1, a 4 ? 1 ? ?(a 2t ? 1) ? ? 1 ? a 4 ,?1 ? a 2 故 m 的取值范围是 ? 1 ? a 2 ,?? …………….16 分 116.证明: (1)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1D , DB 的中点,则



?

?

?

? ?

?

? ? D1 B ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // 平面ABC1D1 EF ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // D1 B
(2)

D1 A1 E B1

C1

? ? ? ? AB, B1C ? 平面ABC1 D1 ? ? AB ? BC1 ? B ??
B1C ? 平面ABC1D1 ? ?? BD1 ? 平面ABC1D1 ?
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B1C ? AB B1C ? BC1

D F A B

C

高中数学

B1C ? BD1 ? ? EF // BD1 ? ? EF ? B1C
(3)?CF ? 平面BDD1B1

? 且 C F? B F 2 ?CF ? 平面EFB1 1 ? EF ? BD1 ? 3 , B1F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 2
B1 E ? B1 D12 ? D1E 2 ? 12 ? (2 2) 2 ? 3
∴ EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2 即 ?EFB1 ? 90?

1 1 1 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF = ? ? EF ? B1 F ? CF 3 3 2

1 1 ? ? 3? 6 ? 2 ?1 3 2 117.解(1)数列 ?an ? 是公差为 d ( d ? 0) 的等差数列
=

f ( x) ? x 2 ,且 a1 ? f (d ? 1), a5 ? f (2d ? 1) ? (d ? 1) 2 ? 4d ? (2d ? 1) 2
?d ? 2

a1 ? 1

? an ? 2n ? 1 ………………….4 分

数列 ?bn ? 是公比为 q 的(q∈R)的等比数列

f ( x) ? x 2 ,且, b1 ? f (q ? 2) , b3 ? f (q) ? q 2 ? q 2 (q ? 2) 2
q?3

b1 ? 1
(2)

bn ? 3n?1 ………………….8 分

c c1 c2 ? ? ? ? n ? an?1 b1 b2 bn
c1 ? a2 b1

n ?1

c1 ? 3 , S1 ? 3 ………………….10 分

n?2

cn ? a n?1 ? a n ? 2 nbn

cn ? 2n ? 3n?1 ………………….12 分 S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 32 ? ?2 ? n ? 3n?1

? 2(1? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? ?n ? 3n?1 ) ? 1

第 111 页 共 147 页

高中数学

设 x ? 1 ? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? ? ? n ? 3n?1

3? x ?

1? 31 ? 2 ? 32 ? ? ? (n ? 1) ? 3n?1 ? n ? 3n

2 x ? n ? 3n ? (3n?1 ? 3n?2 ? ?30 )
? n ? 3n ? 3n ? 1 2

1 3 ? S n ? (n ? ) ? 3 n ? ………………….14 分 2 2 1 3 n ? 综上 S n ? ( n ? ) ? 3 ? , n ? N ………………….16 分 2 2
118. (1)在△ADE 中,y2=x2+AE2-2x· cos60° y2=x2+AE2-x· AE· AE,① ? 又 S△ADE=

1 3 2 1 S△ABC= a = x· sin60° x· AE· ? AE=2.② 2 2 2

2 ②代入①得 y2=x2+ ( ) -2(y>0), ∴y= x ?

2 x

2

4 ? 2 (1≤x≤2).6 分 x2

(2)如果 DE 是水管 y= x ?
2

4 ? 2 ≥ 2?2 ? 2 ? 2 , x2

4 ,即 x= 2 时“=”成立,故 DE∥BC,且 DE= 2 . x2 4 如果 DE 是参观线路,记 f(x)=x2+ 2 ,可知 x
当且仅当 x2= 函数在[1, 2 ]上递减,在[ 2 ,2]上递增, 故 f(x)
max=f(1)=f(2)=5.

∴y max= 5 ? 2 ? 3 .

即 DE 为 AB 中线或 AC 中线时,DE 最长.。。。。。。8 分 。。。。。 119.(I)证明:依题意知: CD ? AD.又 ? 面PAD ? 面ABCD

? DC ? 平面PAD.

又DC ? 面PCD

? 平面PAD ? 平面PCD.

(II)由(I)知 PA ? 平面 ABCD ∴平面 PAB⊥平面 ABCD. 在 PB 上取一点 M,作 MN⊥AB,则 MN⊥平面 ABCD, 设 MN=h 则 VM ? ABC ?

1 1 1 h S ?ABC ? h ? ? ? 2 ? 1 ? h ? 3 3 2 3
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高中数学

1 1 (1 ? 2) 1 S ?ABC ? PA ? ? ? 1? 1 ? 3 3 2 2 1 h h 1 要使 VPDCMA : VMACB ? 2 : 1, 即( ? ) : ? 2 : 1, 解得 h ? 2 3 3 2 VP ? ABCD ?
即 M 为 PB 的中点. (III)以 A 为原点,AD、AB、AP 所在直线为 x,y,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A(0,0,0) B(0,2,0) , , C(1,1,0) D(1,0,0) , ,

P(0,0,1) M(0,1, ,

1 ) 2

由(I)知平面 PAD ? 平面PCD, 作AQ ? PD ,则

AQ ? 平面PDC, 则AQ 为平面PCD 的法向量。
又? ?PAD 为等腰 Rt ?

1 1 ? Q为PD 的中点 , 即Q ( ,0, ) 2 2 1 1 1 1 因为 AQ ? AM ? ( ,0, )( 0,1, ) ? ? 0, 所以 AQ不垂直 AM 2 2 2 4
所以 AM 与平面 PCD 不平行. 120.解: (1)由 f ( t ) ? 0得(an?1 ? an ) ? t (an ? an?1 )(n ? 2)
/

?

a n?1 ? a n ? t ,?{a n?1 ? a n } 是首项为 t 2 ? t ,公比为 t 的等比数列 a n ? a n?1

当 t ? 1 时, an?1 ? an ? t n?1 ? t n , ? an ? t n (t ? 1) 所以 an ? t n (t ? 1) (2)由 bn ? g / (an ) 得: bn ?

2an 2t n 1 1 1 ? ,? ? (t n ? n ) 2 2n bn 2 1 ? an 1 ? t t

?

1 1 n 1 ? (2 ? n ) (作差证明) bn 2 2

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? [(2 ? 22 ? ... ? 2n ) ? ( ? 2 ? ... ? n )] b1 b2 bn 2 2 2 2
? 1 1 ? 2n ? (1 ? 2? n ) ? 2n ? ? 2 1 ? 2? n ? 2n ? 2 2 2 2
? 1 1 1 1 ? t ? 2 时,不等式 ? ? ... ? ? 2n ? 2 2 对任意 n ? N * 都成立. 121.解: 2 b1 b2 bn n

n

综上所述当

第 113 页 共 147 页

高中数学

(1)设 M 、 N 两点的横坐标分别为 x1 、 x2 ,

? f ?( x ) ? 1 ?

t , x2

? 切线 PM 的方程为: y ? ( x1 ?

t t ) ? (1 ? 2 )(x ? x1 ) , x1 x1

又? 切线 PM 过点 P(1,0) , ? 有 0 ? ( x1 ? 即 x1 ? 2tx1 ? t ? 0 ,
2

t t ) ? (1 ? 2 )(1 ? x1 ) , x1 x1

??????????????????(1)
2

同理,由切线 PN 也过点 P(1,0) ,得 x2 ? 2tx2 ? t ? 0 .????(2)
2 由(1)(2) 、 ,可得 x1 , x 2 是方程 x ? 2tx ? t ? 0 的两根,

?x ? x2 ? ?2t , ?? 1 ?x1 ? x2 ? ?t .

??????( * )

MN ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ?

t 2 t t ) ] ? x2 ? ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 [1 ? (1 ? x1 x2 x1 x2 t 2 ) ], x1 x2

? [(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ][1 ? (1 ?
把( * )式代入,得 MN ?

20t 2 ? 20t ,

因此,函数 g (t ) 的表达式为 g (t ) ?

20t 2 ? 20t (t ? 0) .
x1 ?

??????6 分

(2)当点 M 、 N 与 A 共线时, k MA ? k NA ,?

t t ? 1 x2 ? ?1 x1 x2 = , x1 ? 0 x2 ? 0



x1 ? t ? x1
2

x1

2



x2 ? t ? x2
2

x2

2

,化简,得 ( x2 ? x1 )[t ( x2 ? x1 ) ? x1 x2 ] ? 0 , 把(*)式代入(3) ,解得 t ?

? x1 ? x2 ,? t ( x2 ? x1 ) ? x2 x1 .?(3)

1 . 2

? 存在 t ,使得点 M 、 N 与 A 三点共线,且 t ?
(3)易知 g (t ) 在区间 [2 , n ?

1 . 2

????10 分

64 ] 上为增函数, n

? g (2) ? g (ai ) ? g (n ?

64 ) (i ? 1,2,?, m ? 1) , n

则 m ? g (2) ? g (a1 ) ? g (a 2 ) ? ? ? g (a m ) ? m ? g (n ?

64 ). n

第 114 页 共 147 页

高中数学

依题意,不等式 m ? g (2) ? g ( n ?

64 ) 对一切的正整数 n 恒成立, n

m 20 ? 2 2 ? 20 ? 2 ? 20(n ?

64 2 64 ) ? 20(n ? ) , n n

即m ?

1 64 64 . [(n ? ) 2 ? (n ? )] 对一切的正整数 n 恒成立, 6 n n

?n ?

1 64 64 1 2 136 64 ? 16 , ? [(n ? ) 2 ? (n ? )] ? , [16 ? 16] ? n 6 n n 6 3 136 . 3

?m ?

由于 m 为正整数,? m ? 6 . 又当 m ? 6 时,存在 a1 ? a2 ? ? ? am ? 2 , am?1 ? 16,对所有的 n 满足条件. 因此, m 的最大值为 6 . 2 2 122. (1) 由(x-12) +y =144-a(a<144), 可知圆心 M 的坐标为(12,0), ???????????16 分

π 1 依题意,∠ABM=∠BAM= ,kAB= , 设 MA、MB 的斜率 k. 4 3 则 AB ? (1, ), MA ? (1, k ) 且 cos AB, MA ? 解得 k AC =2, k BD =- 1 . 2

??? ?

1 ???? 3

??? ???? ?

2 , 2

∴所求 BD 方程为 x+2y-12=0,AC 方程为 2x-y-24=0. 1 (2) 设 MB、MA 的倾斜角分别为θ 1,θ 2,则 tanθ 1=2,tanθ 2=- , 2 设圆半径为 r,则 A(12+
2

2 5 5 5 2 5 , , r, r) r, r ) B(12- 5 5 5 5

再设抛物线方程为 y =2px (p>0),由于 A,B 两点在抛物线上,

?( 5 r ) =2p(12- 2 5 r ) ? 5 5 ∴? 2 5 5 ?( 5 r ) =2p(12+ 5 r ) ?
2 2

∴ r=4 5 ,p=2.

得抛物线方程为 y =4x。 123. (I)解:由 S n?1 ? 2?S n ? 1 得

2

S 2 ? 2?S1 ? 1 ? 2?a1 ? 1 ? 2? ? 1, S3 ? 2?S 2 ? 1 ? 4?2 ? 2? ? 1 ,

第 115 页 共 147 页

高中数学

? a3 ? S3 ? S 2 ? 4?2 ,? a3 ? 4, ? ? 0,?? ? 1.
(II)由 S n?1 ? 2S n ? 1整理得S n?1 ? 1 ? 2(S n ? 1) , ∴数列{ S n ? 1 }是以 S1+1=2 为首项,以 2 为公比的等比数列,

? S n ? 1 ? 2 ? 2 n?1 ,? S n ? 2 n ? 1, ? an ? S n ? S n?1 ? 2 n?1 (n ? 2),
? 当 n=1 时 a1=1 满足 an ? 2 n?1 ,? an ? 2 n?1.
(III) Tn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n?2 ? n ? 2 n?1 , ①

2Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ? ? (n ? 2) ? 2n?2 ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n ,②
①-②得 ? Tn ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?2 ? 2n?1 ? n ? 2n , 则 Tn ? n ? 2 n ? 2 n ? 1 .

Tn n ? 2n ? 2n ? 1 3 ? ? Sn ? ? (2 n ? 1) ? (n ? 3) ? 2 n?1 ? . 2 2 2
? 当 n=1 时,

T1 T 1 1 ? S1 ? ? ? 0,当n ? 2时, 2 ? S 2 ? ? ? 0. 2 2 2 2
Tn T ? S n ? 0, n ? S n . 2 2

即当 n=1 或 2 时,

当 n>2 时,

Tn T ? S n ? 0, n ? S n . 2 2

124. 解: (1)由条件知 f (2) ? 4a ? 2b ? c ? 2 恒成立 又∵取 x=2 时, f (2) ? 4a ? 2b ? c ? ∴ f (2) ? 2 .

1 (2 ? 2) 2 ? 2 与恒成立, 8

(2)∵ ?

?4a ? 2b ? c ? 2 ?4a ? 2b ? c ? 0
2

∴ 4a ? c ? 2b ? 1, ∴ b ?

1 , 2

c ? 1 ? 4a .

又 f ( x) ? x 恒成立,即 ax ? (b ? 1) x ? c ? 0 恒成立.
2 ∴ a ? 0, ? ? ( ? 1) ? 4a (1 ? 4a ) ? 0 ,

1 2

第 116 页 共 147 页

高中数学

1 1 1 ,b ? ,c ? , 8 2 2 1 2 1 1 ∴ f ( x) ? x ? x ? . 8 2 2
解出: a ? (3)由分析条件知道,只要 f (x) 图象(在 y 轴右侧)总在直线 y ? 是直线的斜率

m 1 x ? 上方即可,也就 2 4

m 小于直线与抛物线相切时的斜率位置,于是: 2

? ?y ? ? ? ?y ? ? ?

1 2 1 1 x ? x? 8 2 2 m 1 x? 2 4
2 ). 2
1 2 1 m 1 1 x ? ( ? ) x ? ? 在x ? [0,?? ) 必须恒成立, 8 2 2 2 4

∴ m ? (??,1 ? 解法 2: g ( x) ?

即 x 2 ? 4(1 ? m) x ? 2 ? 0在x ? [0,??) 恒成立. ①△<0,即 [4(1-m)] -8<0,解得: 1 ?
2

2 2 ; ? m ? 1? 2 2

?? ? 0 ? ② ?? 2(1 ? m) ? 0 ? f ( 0) ? 2 ? 0 ?
总之, m ? (??,1 ?

解出: m ? 1?

2 . 2

2 ). 2
3 2 2

125. 解: (I) f ( x) ? ax ? 3x , f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 3x(ax ? 2).

? x ? 1是f ( x) 的一个极值点,? f ?(1) ? 0,? a ? 2 ;
2 (II)①当 a=0 时, f ( x) ? ?3x 在区间(-1,0)上是增函数,? a ? 0 符合题意;

②当 a ? 0时, f ?( x) ? 3ax ( x ?

2 2 ), 令f ?( x) ? 0得 : x1 ? 0, x 2 ? ; a a

当 a>0 时,对任意 x ? (?1,0), f ?( x) ? 0,? a ? 0 符合题意; 当 a<0 时,当 x ? ( ,0)时f ?( x) ? 0,? 综上所述, a ? ?2. (III) a ? 0, g ( x) ? ax ? (3a ? 3) x ? 6x, x ? [0,2].
3 2

2 a

2 ? ?1,? ?2 ? a ? 0 符合题意; a

第 117 页 共 147 页

高中数学

g ?( x) ? 3ax2 ? 2(3a ? 3) x ? 6 ? 3[ax2 ? 2(a ? 1) x ? 2],
令 g ?( x) ? 0,即ax2 ? 2(a ? 1) x ? 2 ? 0(*),显然有? ? 4a 2 ? 4 ? 0. 设方程(*)的两个根为 x1 , x2 ,由(*)式得 x1 x 2 ? ?

2 ? 0 ,不妨设 x1 ? 0 ? x2 . a

当 0 ? x2 ? 2 时, g ( x2 ) 为极小值,所以 g (x) 在[0,2]上的最大值只能为 g (0) 或 g (2) ; 当 x2 ? 2 时,由于 g (x) 在[0,2]上是单调递减函数,所以最大值为 g (0) ,所以在[0,2]上的 最大值只能为 g (0) 或 g (2) , 又已知 g (x) 在 x=0 处取得最大值,所以 g (0) ? g (2),

6 6 , 又因为 a ? 0, 所以 a ? (0, ]. 5 5 1.解: (1)由题意得 2b cos B ? a cos C ? c cos A ①
即 0 ? 20 a ? 24, 解得 a ? 又由正弦定理得: b ? 2R sin B, a ? 2R sin A, c ? 2R sin C (其中 2R 为△ABC 外接圆得半径) 带入①可得 2 sin B cos B ? sin A cos C ? sin C cos A 化为 2 sin B cos B ? sin( A ? C ) 因为 A+C= ? -B 可得 2 sin B cos B ? sin B 即 cos B ?

1 ,由于 B 为△ABC 得内角,可得 B= 60 ? 2
2

(2)设 y= 2 sin A ? cos(A ? C) = 1 ? cos 2 A ? cos( A ? = 1 ? cos 2 A ? cos( 2 A ? = 1 ? cos 2 A ? = 3 sin( 2 A ? ∵0 ? A ? ∴? ∴?

2 ? ? A) 3

2 ?) 3

1 3 cos 2 A ? sin 2 A 2 2

?
3

) ?1

?
3

2? 3

? 2A ?

?
3

??

3 ? ? sin(2 A ? ) ? 1 2 3

1 ? y ? 3 ?1 2 2. 解: (1) {an } 为等差数列,∵ a3 ? a4 ? a2 ? a5 ? 22,又 a3 ? a4 ? 117,
可得 ?
第 118 页 共 147 页

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∴ a3 , a4 是方程 n2 ? 22x ? 117 ? 0 的两个根 又公差 d ? 0 ,∴ a3 ? a4 ,∴ a3 ? 9 , a4 ? 13 ??????????? ∴ ? 2分

?a1 ? 1 ∴ an ? 4n ? 3 ???????????? 4 分 d ?4 ? n(n ? 1) ? 4 ? 2n 2 ? n ????????????? 5 分 (2)由(1)知, S n ? n ? 1 ? 2 Sn 2n 2 ? n ? ∴ bn ? n?c n?c 1 6 15 ∴ b1 ? , b2 ? , b3 ? ???????????????? 7 分 1? c 2?c 3?c ∵ {bn } 是等差数列,∴ 2b2 ? b1 ? b3 ,∴ 2c 2 ? c ? 0 ?????????? 8 分 1 ∴ c ? ? ( c ? 0 舍去) ????????????????????? 9 分 2 2n 2 ? n ? 2n ???????????????????? 11 分 (3)由(2)得 bn ? 1 n? 2 2 2Tn ? 3bn?1 ? 2(n ? n) ? 3(2n ? 2) ? 2(n ? 1)2 ? 4 ? 4 , n ? 1 时取等号 ? 13 分 64bn 64 ? 2n 64n 64 ? ? 2 ? ? 4 , n ? 3 时取等号 15 分 (n ? 9)bn ?1 (n ? 9) ? 2(n ? 1) n ? 10n ? 9 n ? 9 ? 10 n 64bn (1)、(2)式中等号不可能同时取到,所以 2Tn ? 3bn ?1 ? ?16 分 (n ? 9)bn ?1
∴? 3.解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? ∴
a a ? 2bx , f ? ? 2? ? ? 4b , f ? 2? ? a ln 2 ? 4b . x 2

? a1 ? 2d ? 9 ?a1 ? 3d ? 13

a ? 4b ? ?3 ,且 a ln 2 ? 4b ? ?6 ? 2 ln 2 ? 2 . 2

???????? 2 分 ???????? 4 分

解得 a=2,b=1.

(Ⅱ) f ? x ? ? 2ln x ? x2 ,令 h ? x ? ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x2 ? m ,
2 2(1 ? x 2 ) ? 2x ? ,令 h? ? x ? ? 0 ,得 x=1(x=-1 舍去) . x x 1 1 在 [ , e] 内,当 x∈ [ , 1) 时, h? ? x ? ? 0 ,∴h(x)是增函数; e e

则 h? ? x ? ?

当 x∈ (1, e] 时, h? ? x ? ? 0 ,∴h(x)是减函数.

???????? 7 分

? 1 ?h( e ) ≤ 0, 1 则方程 h ? x ? ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根的充要条件是 ? ??10 分 ? ?h(1) ? 0, e ?h(e) ≤ 0. ? ? ?

即 1 ? m≤ e 2 ? 2 .

???????? 12 分

第 119 页 共 147 页

高中数学

(Ⅲ) g ? x ? ? 2ln x ? x ? nx , g ? ? x ? ?
2

2 ? 2x ? n . x
① ② ③ ④

?2ln x1 ? x12 ? nx1 ? 0, ? 2 ?2ln x2 ? x2 ? nx2 ? 0, ? 假设结论成立,则有 ? x ? x ? 2 x , 1 2 0 ? 2 ? ? 2 x ? n ? 0. 0 ? x0 ?

①-②,得 2 ln

x1 ? ( x12 ? x2 2 ) ? n( x1 ? x2 ) ? 0 . x2

x1 x2 ∴n?2 ? 2 x0 . x1 ? x2 2 ? 2 x0 , 由④得 n ? x0 ln x x1 ln 1 x2 2 x2 1 ∴ . ? ? .即 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x0
ln
x 2 1 ?2 x1 x2 即 ln ? .⑤ x1 x2 ?1 x2

???????? 14 分

令t ?

x1 2t ? 2 , u(t ) ? ln t ? (0<t<1), t ?1 x2
(t ? 1) 2 >0.∴ u (t ) 在 0<t<1 上增函数. t (t ? 1)2

则 u ?(t ) ?

u (t ) ? u (1) ? 0 ,∴⑤式不成立,与假设矛盾.

∴ g ? ? x0 ? ? 0 .

????????????? 16 分

4. 解(1) 因为 A 点的坐标为 3 , 4 ,根据三角函数定义可知 5 5

? ?

y x ? 3 , y ? 4 , r ?1 ,所以 sin ? ? ? 4 . 5 5 r 5
(2)因为 ?AOB ? π , ?COA ? ? , 所以 ?COB ? ? ? π . 3 3 由余弦定理得 BC 2 ? OC 2 ? OB 2 ? 2OC ? OB cos ?BOC

?4 分

? 1 ? 1 ? 2cos ? ? π ? 2 ? 2cos ? ? π . 3 3
因为 0 ? ? ? π ,所以 π ? ? ? π ? 5π ,所以 ? 3 ? cos(? ? π ) ? 1 . 2 3 3 6 2 3 2 于是 1 ? 2 ? 2cos(? ? π ) ? 2 ? 3 , 即 1 ? BC 2 ? 2 ? 3 ,亦即 1 ? BC ? 2 ? 3 . 3 故 BC 的取值范围是 ?1, ? ?

?

?

?

?

?4 分 ??4 分

2? 3? . ? ?
第 120 页 共 147 页

?14 分

高中数学

2 . 2 2 7 | 2k | 2 1 ( x ? 2). 5 分 设 l1 的方程为 y ? k ( x ? 2),? ? ,? k 2 ? . ? l1 的方程为 y ? ? 7 2 7 k2 ?1 x2 y 2 a2 (II)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) ,半焦距为 c,则 ? 2. ? 椭圆与圆 O 恰有两个不同的公 a b c 共点,则 a ? 1 或 b ? 1. ????????7 分 4 y2 1 23 ?1 ; 当 b ?1 时 , 当 a ? 1 时 , c ? , b2 ? a 2 c ? ,? 所 求 椭 圆 方 程 为 x 2 ? ? 3 2 4 2 2 2 b2 ? c 2 ? , ? c ? , ? a ? b ? c 2 ? 2 c 1 . 2 x ????????11分 ?所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1. 2 (III)设切点为 N,则由题意得,在 Rt ?MON 中, MO ? 2, ON ? 1 ,则 ?NMO ? 30? ,
5.解: (I)? PQ 为圆周的 ,??POQ ?

1 4

?

. ? O 点到直线 l1 的距离为

N 点的坐标为 (?
2

1 3 , ) ,????????12分 2 2
l P M A N

若椭圆为

x ? y 2 ? 1. 其焦点 F1,F2 2

y Q

l2 l1

1 3 3 分别为点 A,B 故 S ?NF1F2 ? ? 2 ? , ? 2 2 2 1 1 4 y2 ? 1 ,其焦点为 F1 (? ,0), F2 ( ,0) , 若椭圆为 x 2 ? 3 2 2
此时 S ?NF1F2 ?

O

B

x

1 3 3 ? 1? ? 2 2 4
? 2 cos x ? 2 sin x ? 8 5

????????16分

8 5 ? 4 即 cos( x ? ) ? 4 5
6、 (I)? a ? b ?

? ?

?

?

4

?x?

?

4 ? ? 7 2 (II) sin 2 x ? cos(2 x ? ) ? 2 cos ( x ? ) ? 1 ? 2 4 25 ? ? 4 又? tan( x ? ) ? ? cot( x ? ) ? ? 4 4 3 7.解: (1)由函数 f ( x) 是偶函数可知: f ( x) ? f (? x) ?log4 (4x ? 1) ? kx ? log4 (4? x ? 1) ? kx

? sin( x ?

?

2 )?

?0 ? x ? 3 5

?
4

?

?
4

4

? tan( x ?

?

)?

3 4

4x ? 1 1 ? ?2kx 即 x ? ?2kx 对一切 x ? R 恒成立 ? k ? ? ?x 2 4 ?1 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点 (2)函数 1 4 x x 即方程 log 4 (4 ? 1) ? x ? log 4 (a ? 2 ? a) 有且只有一个实根 2 3 log 4

第 121 页 共 147 页

高中数学

1 4 ? a ? 2 x ? a 有且只有一个实根 x 2 3 4 2 令 t ? 2x ? 0 ,则方程 ( a ? 1)t ? at ? 1 ? 0 有且只有一个正根 3 3 ① a ? 1 ? t ? ? ,不合题意; 4 3 ② ? ? 0 ? a ? 或 ?3 4 3 1 1 若 a ? ? t ? ? ,不合题意;若 a ? ?3 ? t ? 4 2 2 ?1 ? 0 ? a ?1 ③一个正根与一个负根,即 a ?1
x 化简得:方程 2 ?

综上:实数 a 的取值范围是 ??3? ? (1, ??) 8. (I)因 f / ( x) ? 而函数 f ( x ) ?

a( x 2 ? b) ? ax(2 x) ( x 2 ? b) 2

…………… 2 分

ax 在 x ? 1 处取得极值 2 x ?b
2

? f / (1) ? 0 所以 ? ? f (1) ? 2
所以 f ( x ) ? 验证(略)

?

?a(1 ? b) ? 2a ? 0 ? ? a ?1 ? b ? 2 ?

?a ? 4 ? ? ?b ? 1
……………… 4 分 ……………… 6 分

4x 1? x2

为所求

(II)由(I)知, f ( x) 在 [0,1] 上为增函数,在 [1, ??] 上为减函数, (1)若 0 ? m ? n ? 1 ,则 ?

? f (m) ? m ,无解.……………… 8 分 ? f (n) ? n

(2)若 1 ? m ? n ,则 ?

? f ( m) ? n ,无解.……………… 10 分 ? f ( n) ? m ?0 ? m ? 1 8 ? 1 ,所以 ? ,解得 m ? 0 . 5 ? f (m) ? m

(3)若 0 ? m ? 1 ? n ,则 n ? 2 ,而 f (2) ?

综合知,满足条件的区间为 [0, 2] .……………… 12 分

4( x 2 ? 1) ? 8 x 2 ?4( x 2 ? 1) ? (Ⅲ) f ( x) ? ( x 2 ? 1)2 (1 ? x 2 )2
/

由条件知,过 f (x) 的图形上一点 P 的切线 l 的斜率 k 为:
第 122 页 共 147 页

高中数学

k ? f / ( x0 ) ?

4(1 ? x0 )
2

(1 ? x0 ) 2
2

? 4?
?

? 1 ? x0 ? 2
2

(1 ? x0 ) 2
2

? 4[ 1 1 ? x0
2

2 (1 ? x0 )
2 2

1 1 ? x0
2

]

………………15 分

令t ?

,则 t ? (0 , 1]

1 1 1 t ) ? 8(t ? ) 2 ? 2 4 2 1 2 1 根据二次函数 k ? 8(t ? ) ? 的图象性质知: 4 2 1 1 当 t ? 时, t min ? ? 4 2
2 此时 , k ? 8(t ?

当 t ? 1 时, t max ? 4 所以,直线 l 的斜率 k 的取值范围是 [?

1 ,4] . 2

…………… 18 分

x1 x ? log 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ? x1 1 ? x2 1 9.解:(1) ∵x1+x2=1,∴yM= = = ; 4分 2 2 2 i i i n?i (2) ∵对任意 x?(0,1)都有 f(x)+f(1-x)=1∴f( )+f(1- )=1,即 f( )+f( )=1 n n n n 1 ? log 2
而 Sn=

? f ( n ) =f( n )+f( n )+…+f(
i ?1

n ?1

i

1

2

n ?1 ), n

又 Sn=

? f ( n ) =f(
i ?1

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