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高中数学复习学(教)案(第8讲)函数的奇偶性周期性


题目 第二章函数 函数的奇偶性与周期性 高考要求 了解函数奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法 掌握 函数的奇偶性的定义及图象特征, 并能判断和证明函数的奇偶性, 能利用函 数的奇偶性解决问题 知识点归纳 1 函数的奇偶性的定义; 2 奇偶函数的性质: (1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图
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象关于原点对称; 3 f ( x ) 为偶函数 ? f ( x) ? f (| x |)
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4 若奇函数 f ( x ) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0
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5 判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整 理,但必须注意使定义域不受影响; 6 牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性; 7 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:
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f ( x) ? f ( ? x) ? 0 ,

f ( x) ? ?1 f (? x)

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8 设 f ( x ) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:
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奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇

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1 判断函数的奇偶性,必须按照函数的奇偶性定义进行,为了便于判断,常
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应用定义的等价形式:f(?x)= ?f(x)?f(?x) ? f(x)=0; 2 讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称,要重视这一 点; 3 若奇函数的定义域包含 0,则 f(0)=0,因此, “f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非 充分非必要条件; 4 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,因此根据图象 的对称性可以判断函数的奇偶性 5 若存在常数 T,使得 f(x+T)=f(x)对 f(x)定义域内任意 x 恒成立,则称 T 为 函数 f(x)的周期, 一般所说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定义域
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一定是无限集 对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x) 这两个等式上, 要明确对定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), f(-x)=-f(x) 的实质是:函数的定义域关于原点对称 这是函数具备奇偶性的必要条件 稍 加推广,可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充要条件是对定义域内 的任意 x,都有 f(x+a)=f(a-x)成立 函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对 称性的反映 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用 根据已知条件,调 动相关知识,选择恰当的方法解决问题,是对学生能力的较高要求 (5)函数的周期性
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定义: 若 T 为非零常数, 对于定义域内的任一 x, 使 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立 则 f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期
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例: (1 )若函数 f ( x) 在 R 上是奇函数,且在 ?? 1 , 0? 上是增函数,且

f ( x ? 2) ? ? f ( x)
则① f ( x) 关于 ③ f ( x) 在(1,2)是 对称;② f ( x) 的周期为 函数(增、减) ;
x



f ( x) = 2 ,则 f (log1 ) ? ④ 若x ? ( 0, 1 )时,
18 2

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(2)设 f ( x) 是定义在 (??,??) 上,以 2 为周期的周期函数,且

f ( x) 为 偶 函 数 , 在 区 间 [2 , 3] 上 , f ( x) = ? 2( x ? 3) 2 ? 4 , 则

f ( x) = x ? [0,2]时,
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题型讲解 1 对函数单调性和奇偶性定义的理解 例 4 下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图 象一定通过原点; ③偶函数的图象关于 y 轴对称; ④既是奇函数又是偶函数 的函数一定是 f(x)=0(x∈R),其中正确命题的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4 分析:偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定相交,因此③正确,① 错误 奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此②不正确 若 y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得 f(x)=0,但不一定 x
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∈R,如例 1 中的(3),故④错误,选 A 说明:既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为 零 2 复合函数的性质 复合函数 y=f[g(x)]是由函数 u=g(x)和 y=f(u)构成的,因变量 y
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通过中间变量 u 与自变量 x 建立起函数关系, 函数 u=g(x)的值域是 y=f(u)定义域的子集
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复合函数的性质由构成它的函数性质所决定,具备如下规律: (1)单调性规律 如果函数 u=g(x)在区间[m,n]上是单调函数,且函数 y=f(u)在区间 [g(m),g(n)] (或[g(n),g(m)])上也是单调函数,那么 若 u=g(x),y=f(u)增减性相同,则复合函数 y=f[g(x)]为增函数;若 u=g(x),y= f(u)增减性不同,则 y=f[g(x)]为减函数 (2)奇偶性规律 若函数 g(x), f(x), f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的, 则 u=g(x), y=f(u)都是奇函数时,y=f[g(x)]是奇函数;u=g(x),y=f(u)都是偶函数, 或者一奇一偶时,y= f[g(x)]是偶函数 例 6 甲、乙两地相距 Skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c km/h,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分 组成:可变部分与速度 v(km/h)的平方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a元 (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km/h)的函数, 并指出这个函 数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶 分析:(1)难度不大,抓住关系式:全程运输成本=单位时间运输成本 ×全程运输时间,而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决
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故所求函数及其定义域为

但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过 ckm/h, 所以(2)的解决需 要

论函数的增减性来解决

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由于 v 1 v 2 >0,v 2 -v 1 >0,并且



S > 0 , 所 以



则当 v=c 时,y 取最小值

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说明: 此题是 1997 年全国高考试题 由于限制汽车行驶速度不得超过 c, 因而求最值的方法也就不完全是常用的方法, 再加上字母的抽象性, 使难度 有所增大 例 1 判断下列各函数的奇偶性:
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(1) f ( x) ? ( x ? 1)

1? x lg(1 ? x 2 ) ; (2) f ( x) ? 2 ; 1? x | x ? 2 | ?2
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2 ? ( x ? 0) ?x ? x (3) f ( x) ? ? 2 ( x ? 0) ? ?? x ? x

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解: (1)由 奇非偶函数 (2)由 ?

1? x ? 0 ,得定义域为 [?1,1) ,关于原点不对称,∴ f ( x) 为非 1? x
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?1 ? x 2 ? 0 ? 得定义域为 (?1,0) (0,1) , 2 ? ?| x ? 2 | ?2 ? 0

∴ f ( x) ?

lg(1 ? x 2 ) lg(1 ? x 2 ) ? ? , x2 ?( x 2 ? 2) ? 2

∵ f ( ? x) ? ?

lg[1 ? (? x)2 ] lg(1 ? x 2 ) ? f ( x) ? ? ( ? x) 2 x2
2

∴ f ( x ) 为偶函数
2

(3)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? ?(? x) ? x ? ?( x ? x) ? ? f ( x) , 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? (? x) ? x ? ?(? x ? x) ? ? f ( x) ,
2 2

综上所述,对任意的 x ? (??, ??) ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,∴ f ( x ) 为奇函 数
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例 2 已知函数 f ( x ) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,
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(1)求证: f ( x ) 是奇函数; (2)若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (12)

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解 :( 1 ) 显 然 f ( x ) 的 定 义 域 是 R , 它 关 于 原 点 对 称 在
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f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 中,


y ? ?x

, 得

f( 0 ?) f ( 0 )

x ? (

) f? , (x令 )x ? y ? 0 , 得

f( 0 ? ) f ? ( 0f, )
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∴ f (0) ? 0 ,∴ f ( x) ? f (? x) ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x ) 是奇函 数
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(2)由 f (?3) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 及 f ( x ) 是奇函数, 得 f (12) ? 2 f (6) ? 4 f (3) ? ?4 f (?3) ? ?4a
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例 3 ( 1 ) 已 知 f ( x ) 是 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? (0, ??) 时 ,
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f ( x)? x(? 13

x, )
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3 ? ? x(1 ? x ), x ? 0 则 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? ? 3 ? ? x(1 ? x ), x ? 0

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x? R, (2) ( 《高考 A 计划》 考点 3 “智能训练第 4 题” ) 已知 f ( x ) 是偶函数,
当 x ? 0 时 , f ( x ) 为 增 函 数 , 若 x1 ? 0, x2 ? 0 , 且 | x1 |?| x2 | , 则 ( B )

A f (? x1 ) ? f (? x2 )
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B f (? x1 ) ? f (? x2 )
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C ? f ( x1 ) ? f (? x2 )
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D ? f ( x1 ) ? f (? x2 )
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例 4 设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1, x ? R
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2

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(1)讨论 f ( x ) 的奇偶性; (2)求 f ( x ) 的最小值

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2 解: (1)当 a ? 0 时, f (? x) ? (? x )? | ? x | ?1 ? f ( x) ,此时 f ( x ) 为偶函

数;
2 2 当 a ? 0 时, f (a) ? a ? 1 , f (?a) ? a ? 2 | a | ?1,

∴ f (?a) ? f (a), f (?a) ? ? f (a), 此时函数 f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函数
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2 2 (2)①当 x ? a 时,函数 f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?

1 2

3 , 4

若a ?

1 , 则函数 f ( x ) 在 (??, a ] 上单调递减, ∴函数 f ( x ) 在 (??, a ] 上的 2

最小值为 f (a) ? a2 ? 1 ; 若 a?

1 1 3 , 函 数 f ( x ) 在 (??, a ] 上 的 最 小 值 为 f ( ) ? ? a , 且 2 2 4
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1 f ( )? f (a ) 2
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3 , 4 1 1 3 若 a ? ? , 则 函 数 f ( x ) 在 [ a, ??) 上 的 最 小 值 为 f (? ) ? ? a , 且 2 2 4 1 f (? ) ? f (a ); 2 1 若 a ? ? ,则函数 f ( x ) 在 [ a, ??) 上单调递增,∴函数 f ( x ) 在 [ a, ??) 上 2
2 2 ②当 x ? a 时,函数 f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?

1 2

的最小值 f (a) ? a ? 1
2

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综上,当 a ? ?

1 3 1 1 时,函数 f ( x ) 的最小值是 ? a ,当 ? ? a ? 时,函 2 2 2 4
2

数 f ( x ) 的最小值是 a ? 1 , 当a ?

1 3 ,函数 f ( x ) 的最小值是 a ? 2 4

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例 4 已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的周期函数,周期 T ? 5 ,函数
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y ? f ( x)(? 1 ? x ? 1)是奇函数 又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,在
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[1, 4] 上是二次函数,且在 x ? 2 时函数取得最小值 ?5

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① 证 明 : f (1) ? f (4) ? 0 ; ② 求 y ? f ( x), x ?[1, 4] 的 解 析 式 ; ③ 求
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y ? f ( x) 在 [4,9] 上的解析式

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解:∵ f ( x ) 是以 5 为周期的周期函数,∴ f (4) ? f (4 ? 5) ? f (?1) , 又∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (1) ? ? f (?1) ? ? f (4) , ∴ f (1) ? f (4) ? 0
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②当 x ? [1, 4] 时,由题意可设 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? 5 (a ? 0) , 由 f (1) ? f (4) ? 0 得 a(1 ? 2)2 ? 5 ? a(4 ? 2)2 ? 5 ? 0 ,∴ a ? 2 , ∴ f ( x) ? 2( x ? 2)2 ? 5(1 ? x ? 4)
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③∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (0) ? 0 , 又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,∴可设 f ( x) ? kx(0? x ? 1) ,而
2 f (1) ? 2(1 ? 2) ? 5 ??, 3

∴ k ? ?3 ,∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x ,

x 故 ?1 ? x ? 1 时 , 从 而 当 ?1 ? x ? 0 时 , f ( x)? ? f (? x) ? ?3 , f ( x)? ? 3x
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4? x?6




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?1 x ?

5 ?, 1 ?

∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? ?3( x ? 5) ? ?3x ? 15 当

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6? x?9


2


2

1? x

?5

, ?4

∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2] ? 5 ? 2( x ? 7) ? 5 ∴ f ( x) ? ?

??3x ? 15,
2

4? x?6
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?2( x ? 7) ? 5,

6? x?9

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学生练习 1 函数 f(x)=x2/(x2+bx+1)是偶函数,则 b=
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2 函数 F(x)=(1+2/(2x?1))f(x)(x≠0) 是偶函数,且 f(x) 不恒等于零,则 f(x) ( A ) (A) 是 奇 函 数 (B) 是 偶 函 数 (C) 既是 奇 函 数 , 又 是 偶函 数 (D)非奇非偶函数
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3 已知函数 f(x)=x2+lg(x+ x 2 ? 1 ),若 f(a)=M,则 f(?a)等于 (
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A



(A)2a2?M
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(B)M?2a2

(C)2M?a2

(D)a2?2M

5 若对正常数 m 和任意实数 x,等式 f ( x ? m) ?
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1 ? f ( x) 成立,则下列说法 1 ? f ( x)

正确的是 ( A B
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)

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函数 f ( x ) 是周期函数,最小正周期为 2m 函数 f ( x ) 是奇函数,但不是周期函数

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C 函数 f ( x ) 是周期函数,最小正周期为 4 m
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D 函数 f ( x ) 是偶函数,但不是周期函数
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(利用周期函数的定义证明 答案:C)
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4 已知 f(x) 是奇函数,且当 x?(0,1)时,f(x)=ln(1/(1+x)),那么当 x?(?1,0)时,
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f(x)= ln(1?x) 5 试将函数 y=2x 表示为一个奇函数与一个偶函数之和 6 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=(1?cosx+sinx)/(1+cosx+sinx) (非奇非偶函数) ;(2)f(x)=x/(ax?1)+x/2 (a>0 且 a≠1)(偶函数)
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(3)f(x)= ?

2 ? ? x ( x ? 1) x ? 0 (偶函数)说明奇偶性的对称条件和分段函数 2 ? ? x ( x ? 1 ) x ? 0 ?
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奇偶性的判别方法 7 已知 f(x),g(x)都是奇函数,f(x)>0 的解集是(a2,b),g(x)>0 的解集是(a2/2,b/2), 则 f(x)g(x)>0 的解集是 8 定义在区间(??,+?)的奇函数 f(x)为增函数,偶函数 g(x)在区间[0,+?)上的 图象与 f(x)的图象重合,设 a>b>0,给出下列不等式①f(b)?f(?a)>g(a)?g(?b); ②f(b)?f(?a)<g(a)?g(?b); ③ f(a)?f(?b)>g(b)?g(?a); ④ f(a)?f(?b)<g(b)?g(?a) 其中正确不等式的序号是
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9 (1)已知函数 f(x)的周期为 4,且等式 f(2+x)=f(2?x)对一切 x?R 恒成立, 求证 f(x)为偶函数; x (2)设奇函数 f(x)的定义域为 R, 且 f(x+4)=f(x),当 x?[4,6]时, f(x)=2 +1, 求 f(x)在区间[?2,0]上的表达式 (?(2?x+4+1) (?2?x?0))
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