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高中数学竞赛辅导02-集合


竞赛辅导(二)集合
(上一节练习)

思考4

数学思想 方法

思考(1)

课外思考 P

2014-8-28

高中数学竞赛辅导

1

(接上一节练习)

竞赛辅导(二)集合

/>
y?3 1.设全集 I ? {( x, y) x, y ? R} ,集合 M ? {( x , y ) ? 1} , x?2 N ? {( x, y) y ? x ? 1} ,那么 CI M CI N 等于( B )
(A) ? (B){(2,3)} (C)(2,3) (D) {( x, y) y ? x ? 1} 2.(教程 P9 )已知 A ? { x x 2 ? 4 x ? 3 ? 0, x ? R} ,
B ? { x 21? x ? a ≤ 0, 且x 2 ? 2(a ? 7) x ? 5 ≤ 0, x ? R} .

若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是

3.( 教程 P9 )已知集合 M= ( x , y ) y ? 2 x ? x 2 , ? 0, 3 ? ? ? N= ?( x, y ) y ? k ( x ? 1)? ,当 M
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?

?4 ≤ a.≤ -1

?

N ? ? 时, k 的取值范围是_____.
2

?

3 ?

高中数学竞赛辅导 2详细答案

1. B M 表示直线 y ? x ? 1 上除去点(2,3)的部分, C I M 表示点(2,3)和除去直线 y ? x ? 1 的部分, C I N 表示直线 y ? x ? 1 上的点集, 所以, CI M CI N 表示的点集仅有点(2,3),即 {(2, 3)} . 2. ?4 ≤ a ≤ ?1 . 依题意可得 A ? { x 1 ? x ? 3} , 设 f ( x ) ? 21? x ? a , g( x) ? x 2 ? 2(a ? 7) x ? 5 要使 A ? B ,只需 f ( x ) , g ( x ) 在 (1,3)上的图象均在 x 轴的下方,则 f (1) ≤ 0 , f (3) ≤ 0 , g (1) ≤ 0 , g(3) ≤ 0 ,由此可解得结果. 3.数形结合
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思考 4.(教程 P5 例 6)已知

A ? ( x , y ) x ? y ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0, x , y ? R ,
2 2

B ? ?( x, y ) xy ? ?10, x, y ? R? . ⑴请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的 距离中 “距离”的认识,给集合 A 与 B 的距离定义; ⑵依据⑴中的定义求出 A 与 B 的距离.
解: (1)设 d ? min P1 P2
P1 ? A , P2 ?B

?

?

(即集合 A 中的点与集合 B 中的点的距离的最小值), 则称 d 为 A 与 B 的距离.
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练习

(2)答案

数形结合分析

4

⑵∵ A 中点的集合为圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1, 圆心为 M (?2, ?2) ,令 P( x, y ) 是双曲线上的任一点,则

MP ? ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 = x 2 ? y2 ? 4( x ? y) ? 8
= ( x ? y)2 ? 2 xy ? 4( x ? y) +8= ( x ? y)2 ? 4( x ? y) ? 28 令 t ? x ? y ,则 MP = t 2 ? 4t ? 28 ? (t ? 2)2 ? 24
2

2

? xy ? ?10 当 t ? ? 2 时 ,即 ? 有解 ? x ? y ? ?2 ∴ MP min ? 2 6
∴ d ? 2 6 ?1

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如图, P 是双曲线上的任一点, Q 为圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 上 任一点,圆心为 M .

显然, PQ ? M Q ≥ MP Q 、M 三点共线时取等号) (当 P 、
∴ d ? MP min ? 1
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练习:设 n ? N 且 n ≥15, A, B 都是{1,2,3,…, n }真 子集, A B ? ? ,且 A B ={1,2,3,…, n }. 证明: A 或者 B 中必有两个不同数的和为完全平方数 .
证明:由题设,{1,2,3,?, n }的任何元素必属于且只属 于它的真子集 A, B 之一. 假设结论不真,则存在如题设的{1,2,3,?, n }的真 子集 A, B , 使得无论是 A 还是 B 中的任两个不同的数的和都不 是完全平方数. 不妨设 1∈ A ,则 3 ? A ,否则 1+3= 2 2 ,与假设矛盾, 所以 3∈ B .同样 6 ? B , 所以 6∈ A , 这时 10 ? A , , 即 10∈ B . 因 n ≥15,而 15 或者在 A 中,或者在 B 中,但当 15∈ A 时, 因 1∈ A ,1+15= 4 2 ,矛盾;当 15∈ B 时,因 10∈ B ,于是有 10+15= 5 2 ,仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立.
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数学思维策略和方法谈
数学问题的形式千变万化,结构错综复杂,寻找正确有效 的解题途径,意味着寻找一条摆脱困境,绕过障碍的途径.
数学思维优秀者之所以能有效的解题,无论是其推理论 证方法之美妙,还是其计算方法之灵巧,都在于有意识或无意 识地利用了各种转化. 匈牙利著名的数学家罗莎· 彼得在他的名著《无穷的玩艺》 中,通过一个十分生动而有趣的笑话,充分体现了转化——这 一数学家们的思维特点: 有人一群人提出了这样一个问题:“假设在你面前有煤气 灶、水龙头、水壶和火柴,你想烧开水,应当怎样去做?” 对此某人回答:“在壶中灌上水,点燃煤气,再把壶放到煤 气灶上。”提问者肯定了这一回答,但是,他又追问道: “如果其他的条件都没有变化,只是水壶中已经有了足够多 的水,那么你又应该怎么做?”这时,“灵活”的人可能说: “点燃煤气再把壶放到煤气灶上。”但是,这一回答却未能 2014-8-28 8 高中数学竞赛辅导 继续 使提问者感到

满意。因为,提问者认为更为恰当的回答是:“只有物理 学家才会这样做,而数学家会倒去壶中的水,并声称他已 经后一问题转化成先前的已经得到解决的问题了。” “把水倒掉!”——这是一种多么简洁而夸张的回答, 然而它又恰恰体现了数学家的眼光和策略。 罗莎指出,这种转化的策略和方法 对数学家来说是十 分典型的。这就是说:“他们往往不是对问题实行正面的 攻击,而是不断地将它变形,转化问题的形式,从侧面或 反面寻找突破口,直到把它转化成已经能够得到解决的问 题。

从今天开始,我们将陆陆续续地通过一些 数学问题来体会解决问题中运用的数学思维 的策略和方法.
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思考

数学思维的策略和方法(一)探索法 1.探索常从熟悉的地方开始 思考 1.(2004 年全国联赛题)如图设点 O 在 △ ABC 内部,且 有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 , 则 △ ABC 的面积与 △ AOC 的面积 A 的比为( ) 3 5 D (A)2 (B) (C) 3 (D) 2 3

C

O
B

E

C

思考 2.(2003 年北京市竞赛题) y 是正整数,且满足 xy ? x ? y ? 71 , 已知 x 、 x 2 y ? xy 2 ? 880 ,则 x 2 ? y 2 ? ___. 146
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练习

练习: 1.已知 x ? (0, ) ,则 M ? 3 ?3 2 (A) 2 (B)3 (C) 4

?

sin2 x

cos2 x

的整数部分是 (

B)

(D)6 2? x 2.(2003 年北京市竞赛题 )已知函数 f ( x ) ? , 1? x 1 1 1 ) ?n 记 f (1) ? f(2) ? ? f(1000) ? m , f ( ) ? f ( ) ? ? f( 2 3 1000 2998.5 则 m ? n ? ____

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