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第二章 2.2 2.2.1 等差数列及其通项公式


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2.2 等差数列

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2.2.1 等差数列的概念及通
项公式

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预习目标
实例 ― ― → 等差数列的概念 ― ― → 通项公式 ― ― → 解决等差数列通项问题
应用 理解 掌握

重点难点 重点:等差数列的通项公式及运用. 难点:等差数列的概念.

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新知初探·思维启动
1.等差数列的定义
如果一个数列从第______ 2 项起,每一项与它 同一个常数 ,那么这 的前一项的差等于______________

常数 叫做 个数列就叫做等差数列,这个________
d 表示. 等差数列的公差,通常用字母______

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想一想
1.等差数列都是递增数列吗? 提示:不一定,只有d>0,才是递增数列. 做一做 1.下列数列是等差数列的是________.

(1)1,2,3,4,6,7,8

(2)1,1,2,3,4,?

(3)a,a,a,a,a,? 答案:(3)

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2.等差数列的递推公式与通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,填 表: 递推公式 通项公式

an-an-1 =d(n≥2) an=______________ a1+(n-1)d __________

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做一做
2. 等差数列 {an} 中, a1 = 3 , a2 = 6 ,则 a7 = ________. 解 析 : ∵ d = a2 - a1 = 3 , ∴ an = 3 + (n - 1)×3=3n, ∴a7=3×7=21. 答案:21

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3.等差中项

A 在由三个数a,A,b组成的等差数列中,____
叫做a与b的等差中项.这三个数满足关系式 a+b=_______. 2A 想一想 2.任何两个实数都有等差中项吗?

提示:都有等差中项.

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典题例证·技法归纳
题型探究 题型一
例1

等差数列的定义及其应用

判断下列数列是否是等差数列.

(1)an=4n-3;(2)an=n2+n.

【解】
3)=4,

(1)an+ 1 - an= [4(n+ 1) - 3] - (4n-

∴数列{an}是公差为4的等差数列.
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(2)由an=n2+n, 得a1=2,a2=6,a3=12, ∴a2-a1≠a3-a2.

由此可知数列{an}不是等差数列.
【名师点评】 定义法判断或证明数列 {an} 是等差数列的步骤: (1)作差an+1-an,将差变形;

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(2) 当 an + 1 - an 是一个与 n 无关的常数时,数 列 {an} 是等差数列;当 an + 1 - an 不是常数, 是与 n 有关的代数式时,数列 {an} 不是等差 数列.

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变式训练
2an 1.已知数列{an}满足 a1=2,an+1= ,则 an+2 1 数列{ }是否为等差数列?说明理由. an
?1 ? 解:数列? ?是等差数列, ?an ?

理由如下: 2an ∵a1=2,an+1= , an+2

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an+2 1 1 ∴ = = + , 2 a 2 an an+ 1 n 1 1 1 1 ∴ - = (常数). an+ 1 an 2
?1 ? 1 1 1 ∴?a ?是以 = 为首项, 公差为 的等差数列. ? n? a1 2 2

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题型二
例2

等差数列基本量的计算

在等差数列{an}中,

(1)已知a4=10,a10=4,求a7和d; (2)已知a2=12,an=-20,d=-2,求n.
【解】 (1)∵a4=10,a10=4, a10-a4 -6 ∴d= = =-1, 6 10-4

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∴an=a4+(n-4)×(-1)=-n+14,
∴a7=-7+14=7.

(2)∵a2=12,d=-2,
∴a1=a2-d=12-(-2)=14,

∴an=14-2(n-1)=16-2n=-20,
∴n=18.

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【名师点评】

在等差数列 {an} 中,首项 a1

与公差 d 是两个最基本的元素;有关等差数

列的问题 , 如果条件与结论间的联系不明显 ,
则均可化成有关 a1 、 d的关系列方程组求解 , 但是要注意公式的变形及整体计算,以减少 计算量.

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变式训练 2.已知等差数列{an}中,a10=29,a21=62,

试判断91是否为此数列中的项. 解:设等差数列的公差为 d, ? ?a10=a1+9d=29 则有? , ? ?a21=a1+20d=62 解得 a1=2,d=3, ∴an=2+(n-1)×3=3n-1. 92 * 令 an=3n-1=91,得 n= ?N . 3 ∴91 不是此数列中的项.
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题型三
例3 v

等差中项及运用

(本题满分12分)已知等差数列{an}中,

a5+a6+a7=15,a5· a6· a7=45,求数列{an}的
通项公式. 【思路点拨】显然 a6 是 a5 和 a7 的等差中项, 可利用等差中项的定义求解a5和a7,进而求 an.

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【解】 设 a5=a6-d,a7=a6+d, 则由 a5+a6+a7=15,得 3a6=15, ∴a6=5. 4分

2分

? ?a5+a7=10 由已知可得? , ?a5· a7=9 ? ? ? ?a5=1 ?a5=9 解得? 或? . ? ? ?a7=9 ?a7=1

6分

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当 a5=1 时,d=4, 从而 a1=-15, 8分

an=-15+(n-1)×4=4n-19. 当 a5=9 时,d=-4,从而 a1=25. ∴an=25+(n-1)×(-4)=-4n+29. 11 分 12 分

名师微博 注意有两种情况.

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【名师点评】 在等差数列{an}中,由定义有 an + 1 - an= an- an- 1(n≥2, n∈ N*) ,即 an= an+ 1+an-1 ,从而由等差中项的定义知,等差 2 数列从第 2 项起的每一项都是它前一项与后 一项的等差中项.

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变式训练

3.求出下列等差数列中的未知项:
(1)3,a,5;(2)3,b,c,-9.
解:(1)由于三个数 3,a,5 成等差数列,则 a 3+5 = =4. 2

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(2)由于四个数 3,b,c,-9 成等差数列,由

? ? 等差中项的概念可知? b-9 ? ?c= 2 ,
3+c b= , 2
? ?b=-1, ? ? ?c=-5.

所以

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备选例题
1 .已知等差数列 {an} 中, a2 = 6 , a5 = 15 , 若bn=a2n,则b15等于( A.30 C.90 B.45 D.186 )

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解析:选 C.设数列{an}的公差为 d,
? ? ?a2=a1+d=6 ?a1=3 由? ?? , ? ? ?a5=a1+4d=15 ? d= 3

∴an=3+3(n-1)=3n,bn=a2n=6n, 所以 b15=6×15=90.

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? ?1,n=1 2.试判断数列{cn},cn=? 是否 ?2n-5,n≥2 ?

为等差数列.

解:∵c2-c1=-1-1=-2, cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5 =2(n≥2).

∴ cn + 1 - cn(n≥1) 不等于同一个常数,不符
合等差数列的定义. ∴{cn}不是等差数列.

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3.已知单调递增等差数列{an}的前三项之和
为21,前三项之积为231,求数列{an}的通项 公式.
? ?a1+a2+a3=21, 解:法一:由题意可得? ? ?a1a2a3=231, ? ?3a1+3d=21, 则? ?a1? a1+d??a1+2d?=231, ?

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? ? ?a1=3, ?a1=11, 解得? 或? ? ? ?d=4, ?d=-4.

因为数列{an}为单调递增数列,因此舍去 a1= 11,d=-4. 从而等差数列{an}的通项公式为 an=4n-1. 法二:由于数列为等差数列, 因此可设前三项为 a-d,a,a+d,
? ?a-d+a+a+d=21, 则? ??a-d? a?a+d?=231, ?

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? ? ?3a=21, ?a=7, 即? 2 2 解得? 2 ?a? a -d ?=231, ? ? ?d =16.

由于数列为单调递增数列,因此 d=4. 从而等差数列{an}的通项公式为 an=4n-1.

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方法感悟
方法技巧
1.等差数列的通项公式可以解决以下三类 问题 (1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,可求 出第四个量; (2)已知数列{an}的通项公式,可以求出等差 数列{an}中的任一项,也可以判断某一个数 是否是该数列中的项;

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(3)若已知{an}的通项公式是关于n的一次函
数或常数函数,则可判断{an}是等差数列. 2.判断一个数列是否为等差数列的常用方法 方法 符号语言 an-an-1=d(常数) (n≥2且n∈N*) 2an=an-1+an+1 (n≥2且n∈N*) an=kn+b (k,b为常数,n∈N*) 结论 {an} 是等 差数 列

定义法 等差中 项法 通项公 式法

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失误防范 理解等差数列的定义应注意 (1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的

两层含义:其一,第1项前面没有项,无法与
后续条件中“与前一项的差”相吻合;其二,定 义中包括首项这一基本量,且必须从第2项 起保证使数列中各项均与其前面一项作差.

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(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”
这一运算要求,它的含义也有两个:其一是

强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;
其二是强调这两项必须相邻. (3)注意定义中的“同一个常数”这一要求, 否则这个数列不能称为等差数列.

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