当前位置:首页 >> 数学 >>

圆锥曲线技巧、方法、题型


解析几何
一、 关于最值的那些事儿: 关于最值的那些事儿:
:四道题。四种题型。 (一) 四道题。四种题型。 :四道题 x2 y2 1:已知椭圆 C: + = 1 内有一点 A(2,1),F 是椭圆 C 的左焦点,P 为椭圆 C 上 25 16 5 的动点,求|PA|+ |PF|的最小值。 3

2: 已知椭圆

x2

y2 + = 1 内有一点 A(2,1),F 为椭圆的左焦点,P 是椭圆上动点,求| 25 16

PA|+|PF|的最大值与最小值。

x2 y2 + = 1 外一点 A(5,6),l 为椭圆的左准线,P 为椭圆上动点,点 P 到 25 16 3 l 的距离为 d,求|PA|+ d 的最小值。 5
3:已知椭圆

4:定长为 d( d ≥

2b 2 x2 y2 )的线段 AB 的两个端点分别在椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 上移动, a a b

求 AB 的中点 M 到椭圆右准线 的最短距离。

:五道题。五种方法。 (二) 五道题。五种方法。
1: 已知抛物线 y 2 = 4 x , 定点 A(3,1), 是抛物线的焦点 , F 在抛物线上求一点 P,使|AP|+|PF| 取最小值 ,并求的最小值 。

2: 椭圆

x2 y2 + = 1 的切线 与两坐标轴分别交于 A,B 两点 ,求三角形 OAB 的最小面积 。 a2 b2

的等轴双曲线系 x 2 ? y 2 = λ 3: 过动直线 x+2y=p 与定直线 2x-y=a 的交点 (其中 p ∈ (0,3a ] ) 中 , 当 p 为何值时, λ 达到最大值与最小值?

共 9 页第 1 页

4:已知椭圆

x2 y 2 + = 1 和直线 l:x-y+9=0 ,在 l 上取一点 M ,经过点 M 且以椭圆的焦 12 3

点 F1 , F2 为焦点作椭圆 ,求 M 在何处时所作椭圆的长轴最短,并求此椭圆方程 。

5:过椭圆 2 x + y = 2 的焦点的直线交椭圆 A,B 两点 ,求 ?AOB 面积的最大值 。
2 2

(三)乱七八糟的: 乱七八糟的:
1:设 P(x,y)为曲线 log 2 x + log 2 y = 1 上任意一点,若 x 2 + y 2 ? 2( x + y ) 之值最小,则 P 点 坐标为 。

2:平面内有一定线段 AB,其长度为 4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,O 为 AB 中点,求|OP|的 最小值。

3:已知定点 A(a,0) ,其中 0 < a < 3 ,它到椭圆 求 a 的值。

x2 y2 + = 1 上的点的距离的最小值为 1, 9 4

4.已知抛物线 y 2 = 4 x 的顶点 O,点 A(5,0) ,倾斜角为

π
4

的直线 l 与线段 OA 相交但不过

O,A 两点,且交抛物线与 M,N 两点,求△AMN 面积最大的直线 l 的方程,并求△AMN 的最 大面积。

共 9 页第 2 页

5:若点(x,y)在椭圆 4( x ? 2) 2 + y 2 = 4 上,则 A. 1 B. –1 C. ?
2 3 3

y 的最小值为( x



D. 以上都不对

6:P 是椭圆

x2 y2 + = 1 上的点,F1,F2 是焦点,设 k=|PF1||PF2|,则 k 的最大值与最小值之 4 3

差为( ) A. 1

B.2

C. 3

D. 4

7:已知 A、B、C 三点在曲线 y = x ( x ≥ 0) 上,其横坐标依次为 1,m,4(1<m<4),当三角 形 ABC 的面积最大时,m 的值为( A. 3 B.
9 4

) C.
5 2

D.

3 2

(最值问题最考验基本功,而且很多存在性和定值问题都属于最值问题)

二:向量&几何 向量&
(一)常识: 常识:
①给出 OA + OB 与 AB 相交,等于已知 OA + OB 过 AB 的中点; ②给出 PM + PN = 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点;

r

r 1 uuu uuur AB + AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线; 2 ⑤给出 MA ? MB = 0 ,等于已知 MA ⊥ MB ,即 ∠AMB 是直角,给出 MA ? MB = m < 0 ,等于
④在 ?ABC 中,给出 AD = 已知 ∠AMB 是钝角, 给出 MA ? MB = m > 0 ,等于已知 ∠AMB 是锐角;

?在 ?ABC 中,给出 OA + OB + OC = 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心;

uuur

(

)

? ? ? MA MB ? ⑥给出 λ ? + ? = MP ,等于已知 MP 是 ∠AMB 的平分线。 ? MA MB ? ? ? ⑦在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB + AD ) ? ( AB ? AD ) = 0 ,等于已知 ABCD 是菱形; uuu uuur uuu uuur r r ⑧在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB + AD |=| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是矩形;
⑨在 ?ABC 中,给出 OA = OB = OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形外接圆的 圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; ⑩给出 AP + AQ = λ BP + BQ ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线;
2 2 2

(

)

(二)例题
1:如图,点 F(a,0) (a>0) ,点 P 在 y 轴上运动,M 在 x 轴上,N 为动点, 且 PM

? PF = 0, PN + PM = 0.

(1)求点 N 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F(a,0)的直线 l(不与 x 轴垂直)与曲线 C 交于 A、B 两点, 设点 K(-a,0) KA 与 KB 的夹角为θ,求证:0<θ< ,

π
2

.

共 9 页第 3 页

2:已知椭圆

4 x2 y 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,离心率 e = ,直线 2 a b 5

y = x + 4 经过椭圆的左焦点 F1 .
(1)求该椭圆的方程; (2)若该椭圆上有一点 P 满足: PF1 ? PF2 = 0 ,求 ?F1PF2 的面积.

3:在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 M (1, ?3), N (5,1) ,若动点 C 满足

uuur uuuu r 2 NC = t NM . 且点 C 的轨迹与抛物线 y = 4 x 交于 A, B 两点.
(1)求证: OA ⊥ OB ;
2 (2)在 x 轴上是否存在一点 P ( m, 0)( m ≠ 0) ,使得过点 P 的直线 l 交抛物线 y = 4 x 于

uuu r

uuu r

D, E 两点,并以线段 DE 为直径的圆都过原点。若存在,请求出 m 的值及圆心 M 的轨迹
方程;若不存在,请说明理由.

三:中点在圆锥曲线中(其他例子见2011广东卷模拟1—8) 中点在圆锥曲线中
1: 求中心在原点,一个焦点为 F(0,5 2 ),且截直线 3x-y-2=0 所得弦的中点为 M( 方程__________。

1 , y ) 的椭圆 2

共 9 页第 4 页

2:椭圆 x2+4y2=16 的一条弦的中点是(3,1),求此弦所在直线的方程_________________。 3:已知直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B,以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OAPB,求 点 P 的轨迹方程。

4:过点 A(0,-2)的直线与抛物线 y2=4x 相交于两点 P、Q,求以 OP、OQ 为邻边的平行四边形 第四个顶点 M 的轨迹方程.

5:已知双曲线方程 4x2-y2=4,是否存在被点 M(1,1)平分的弦?若存在,求出弦所在的直线 方程;若不存在,请说明理由。 错解: 错解:设存在被点 M 平分的弦 AB, 且 A(x1,y1), B(x2,y2),直线 AB 的方程是:y-1=k(x-1), 则由中点坐标公式得:x1+x2=2 由?

? y ? 1 = k ( x ? 1) ?4 x ? y = 4
2 2

消去 y 得: (4-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-5=0

2k 2 ? 2k x1 + x 2 = ? =2 4?k2

求得:k=4

直线 AB 的方程是: y ? 1 = 4( x ? 1)

即 y=4x-3

所以存在被点 M(1,1)平分的弦 AB,它所在的直线方程是 y=4x-3。 【错在哪里???????????】

四:点关于直线对称
1:已知椭圆 C:3x2+4y2=12,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 l:y=4x+m,椭圆 C 上 有不同两点关于这条直线对称.

2:已知双曲线 x2-

y2 =1,双曲线存在关于直线 l:y=k x+4 的对称点,求 k 的取值范围. 3
共 9 页第 5 页

3:k 为何值时,抛物线 y2=x 上总存在两点关于直线 l:y=k(x-1)+1 对称.

抛物线中定值问题(为节约纸张。请在金榜一号上题。抛物线的定值可以解决 90%抛物线的题。 ) 五:
1: : (定值“0” ) 已知抛物线 y2=2px 的焦点为 F,准线为 l,过焦点 F 的弦与抛物线交于 A、B 两点,过 A、B 分别作 AP⊥l,BQ⊥l,M 为 PQ 的中点,求证:MF⊥AB。 l y P A 略证:过 F 作 FN⊥AB 交准线 l 于 N,连结 AN、BN, 则 Rt△APM≌Rt△AMF,∴|PN|=|FN|,同理,|QN|=|FN|, M 从而|QN|=|PN|,于是有,M 与 N 重合,故 MF⊥AB O F x 说明:F 点在以 PQ 为直径的圆上,故∠PFQ 为直角。 Q B 2:已知 A、B 是抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 上的两点,且 OA⊥OB, : ①求证:A、B 这两点的 XAXB 为定值,YAYB 也是定值; ②求证:直线 AB 过定点;③求线段 AB 中点 M 的轨迹方程。 证明:①设 A、B 坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) ,则 y1 = 2 px1 y 2 = 2 px 2 ,
2 2

∵OA⊥OB,∴ x1 x 2 + y1 y 2 = 0 即 x1 x 2 = ? y1 y 2 , ∴ y1 y 2 = 2 px1 ? 2 px 2 = 4 p 2 x1 x 2 = ?4 p 2 y1 y 2 ,
2 2 2 2 ∴ y1 y 2 = ?4 p 为定值; x1 x 2 = ? y1 y 2 = 4 p 也是定值。

②∵ y1 ? y 2 = ( y1 ? y 2 )( y1 + y 2 ) = 2 px1 ? 2 px 2 = 2 p ( x1 ? x 2 ) ,
2 2

又 x1 ≠ x 2 ,∴

y 2 ? y1 2p = , x 2 ? x1 y1 + y 2
y 2p 2p ( x ? x1 ) = (x ? 1 ) y1 + y 2 y1 + y 2 2p
2

∴AB 的方程为: y ? y1 =
2

∴y=

y1 y y 2p 2p 2p 4p2 x? + y1 = x? 1 2 = x? y1 + y 2 y1 + y 2 y1 + y 2 y1 + y 2 y1 + y 2 y1 + y 2

=

2p ( x ? 2 p ) ∴直线 AB 过定点(2p,0). y1 + y2
2 2 2 2

③∵ y1 = 2 px1 , y 2 = 2 px 2 ,∴ y1 + y 2 = 2 p ( x1 + x 2 ) , 即 ( y1 + y 2 ) 2 ? 2 y1 y 2 = 2 p ( x1 + x 2 ) , 设 M ( x,y ) 则 y1 + y 2 = 2 y, x1 + x 2 = 2 x , 又 ∵OA⊥OB, y1 y 2 = ? x1 x 2 = ?

y1 y 2 ∴ y1 y 2 = ?4 p 2 4 p2

2

2

∴ 4 y 2 ? 8 p 2 = 4 px ? y 2 = px ? 2 p 2 ? y 2 = p ( x ? 2 p ) (点差法)

y 2 ? y1 2p = ,设 M(x,y) ,又直线 AB 过定点(2p,0) ,有 x 2 ? x1 y1 + y 2

共 9 页第 6 页

y 2p = ? y 2 = p( x ? 2 p) 。 x ? 2p 2y

3:已知 AB 是过抛物线 y = 2 px( p > 0) 的焦点的弦,求证:
2

①A、B 这两点的横坐标之积为定值,纵坐标之积也是定值; ②以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切; ③

1 1 + 为定值。 | FA | | FB |

yQ C
N

A
M

证明:①②易由上题得出; ③设 A、B 坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) ,则

D

OP F B 图 8--28

x

| FA |= x1 +

p p , | FB |= x 2 + ;所以, 2 2

1 1 + = | FA | | FB |

1 x1 + p 2

+

1 x2 + p 2

=

x1 + x 2 + p x1 + x 2 + p 2 + = 2 p p p p ( x1 + x 2 + p ) x1 x 2 + ( x1 + x 2 ) + 2 2 4

说明:① | AB |= x1 + x 2 + p ; ②设|FA|=m, |FB|=n,由△BFP∽△BAQ 得,

| FP | | FB | p?n n = ? = ; | AQ | | AB | m?n m+n

? mp + np = 2nm ?

1 1 2 + = ; m n p

③∵

| FB | n = ,∴由定比分点坐标公式,可得 | AB | m

p = 2

(n ?

p n p ) + (m ? ) 2 m 2 ? mp + np = 2nm ? 1 + 1 = 2 ; n m n p 1+ m

六、圆锥曲线综合:定值(定直线、定点)问题与存在性问题 圆锥曲线综合:定值(定直线 定点)问题与存在性问题 综合
1:已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y = kx + m 与椭圆 C 相交于 A ,B 两点( A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为 直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

共 9 页第 7 页

2:已知椭圆 C 的离心率 e =

3 ,长轴的左右端点分别为 A1 ( ?2 , 0 ) , A 2 ( 2 , 0 ) 。 (Ⅰ)求 2

椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 x = my + 1 与椭圆 C 交于 P、Q 两点,直线 A1 P 与 A 2 Q 交于点
S。试问:当 m 变化时,点 S 是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明 你的结论;若不是,请说明理由。

3: 已知椭圆的焦点在 x 轴上, 它的一个顶点恰好是抛物线 x = 4 y 的焦点, 离心率 e =
2

2 , 5

过椭圆的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线 l ,交椭圆于 A 、 B 两点。 (I)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 M (m, 0) 是线段 OF 上的一个动点,且 ( MA + MB ) ⊥ AB ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)设点 C 是点 A 关于 x 轴的对称点,在 x 轴上是否存在一个定点 N ,使得 C 、 B 、 N 三点共线?若存在,求出定点 N 的坐标,若不存在,请说明理由。

uuur uuur

uuu r

4:已知椭圆

x2 + y 2 = 1 的左焦点为 F,O 为坐标原点。 2

(Ⅰ)求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 且不与坐标轴垂直交椭圆于 A、B 两点,线段:AB 的垂直平分线与 x 轴交于 点 G,求点 G 横坐标的取值范围.

共 9 页第 8 页

5:一条双曲线

x2 ? y 2 = 1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P ( x1 , y1 ) , Q( x1 , ? y1 ) 是双曲线 2

上不同的两个动点。 (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式; (2)过点 H(0, h)(h>1)的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1 ⊥ l2 ,求 h 的值。

y 6:已知直线 l 过椭圆 E: x 2 + 2 y 2 = 2 的右焦点 F ,且与 E 相交 P

uuu 1 uuu uuur r r 于 P, Q 两点.①设 OR = (OP + OQ ) ( O 为原点) ,求点 R 的 2
轨迹方程;②若直线 l 的倾斜角为 600 ,求

o Q

F

x

1 1 的值. + | PF | | QF |

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左焦点 F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB,若点 M a 2 b2 在 x 轴上,且使得 MF 为 ?AMB 的一条内角平分线,则称点 M 为该椭圆的“左特征点”. x2 (1)求椭圆 + y 2 = 1 的“左特征点”M 的坐标; 5 x2 y2 (2)试根据(1)中的结论猜测:椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的“左特征点”M 是一个怎 a b
7:过椭圆 样的点?并证明你的结论.

共 9 页第 9 页


相关文章:
圆锥曲线题型的解题技巧总结(2014 精品)
圆锥曲线题型的解题技巧总结(2014 精品)_数学_高中教育_教育专区。精品 实用三大曲线―概念、方法题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义 :(1)第一定义 中...
解圆锥曲线问题常用方法与常规题型归纳
圆锥曲线问题常用方法与常规题型归纳_育儿理论经验_幼儿教育_教育专区。圆锥曲线...技巧性强,但运算较易,考虑一般关系: “设直线 l:Ax+By+C=0 与椭圆 x 2...
圆锥曲线解题技巧和方法综合(全)
圆锥曲线解题技巧方法综合(全)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型:(1)中点弦问题具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(...
圆锥曲线解题技巧和方法综合
圆锥曲线解题技巧方法综合_高二数学_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型:(1)中点弦问题具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法...
圆锥曲线解题方法技巧总结(附答案)
圆锥曲线解题方法技巧总结大纲教学目标 个性化教学目标 上课时间 2014-1-3 圆锥曲线知识点及题型回顾整理 培养学生分析能力和逻辑思维能力. 圆锥曲线知识点的综合应用...
圆锥曲线(做题技巧),含答案
圆锥曲线(做题技巧),含答案_数学_高中教育_教育专区。一.椭圆 1.椭圆方程的第...【方法规律技巧】 1.涉及直线与椭圆的基本题型有: (1)位置关系的判断 (2)...
圆锥曲线必掌握的题型和方法
圆锥曲线必掌握的题型方法_数学_高中教育_教育专区。总结了圆锥曲线一些常考题型方法。很全面。圆锥曲线必掌握的题型方法一、定义 1.椭圆:⑴ 2.双曲线:⑴...
高考圆锥曲线解题技巧总结
4、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第...圆锥曲线解题技巧与练习... 10页 免费 圆锥曲线题型的解题技巧... 10页 免费...
圆锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结圆锥曲线
概念、方法题型、易误点 圆锥曲线概念、方法题型、易误点及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义 圆锥曲线的两个定义: 1.圆锥曲线的两个定义 (1)第一定义 ...
更多相关标签:
圆锥曲线题型及方法 | 圆锥曲线七大题型 | 圆锥曲线题型总结 | 圆锥曲线大题题型归纳 | 圆锥曲线经典题型 | 圆锥曲线题型 | 高中数学圆锥曲线题型 | 圆锥曲线题型归纳 |