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2014-2015学年辽宁省大连二十中高二(下)期末数学试卷(理科)


2014-2015 学年辽宁省大连二十中高二(下)期末数学试卷(理 科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知 i 是虚数单位,则 A. 1﹣2i =( ) C. 2+i
2

B. 2﹣i

D. 1+2i

2.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x

﹣2x﹣3≤0},则 A∩(?RB)=( ) A. (1,4) B. (3,4) C. (1,3) D. (1,2)∪ (3,4) 3.“若 x,y∈R 且 x +y =0,则 x,y 全为 0”的否命题是( 2 2 A. 若 x,y∈R 且 x +y ≠0,则 x,y 全不为 0 2 2 B. 若 x,y∈R 且 x +y ≠0,则 x,y 不全为 0 2 2 C. 若 x,y∈R 且 x,y 全为 0,则 x +y =0 2 2 D. 若 x,y∈R 且 xy≠0,则 x +y ≠0
2 2 2



4.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(4,σ ) ,若 P(ξ>8)=0.4,则 P(ξ<0)=( A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7



5.某考察团对全国 10 大城市进行职工人均工资水平 x(千元)与居民人均消费水平 y(千 元)统计调查发现,y 与 x 具有相关关系,回归方程为 =0.66x+1.562.若某城市居民人均 消费水平为 7.675(千元) ,估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( A. 83% B. 72% C. 67% D. 66% 6.根据历年气象统计资料,宜都三月份吹东风的概率为 又下雨的概率为 A.
x



,下雨的概率为 )

,既吹东风

.则在吹东风的条件下下雨的概率为( B. C.

D.

7.设函数 f(x)=xe ,则( ) A. x=1 为 f(x)的极大值点 C. x=﹣1 为 f(x)的极大值点

B. x=1 为 f(x)的极小值点 D. x=﹣1 为 f(x)的极小值点

8.已知 p:x≥k,q: (x+1) (2﹣x)<0,如果 p 是 q 的充分不必要条件,则 k 的取值范围 是( )

A. [2,+∞) 1] 9. (x +2) ( A. ﹣3
2

B. (2,+∞)

C. [1,+∞)

D. (﹣∞,﹣

) 的展开式的常数项是( B. ﹣2

5

) C. 2 D. 3

10.现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张,要 求取出的这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为( ) A. 232 B. 252 C. 472 D. 484 11.观察下列各式:5 =3125,5 =15625,5 =78125,…,则 5 A. 3125 B. 5625 C. 0625
5 6 7 2011

的末四位数字为( D. 8125
2



12.已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=|x ﹣2x+ |.若 函数 y=f (x) ﹣a 在区间[﹣3, 4]上有 10 个零点 (互不相同) , 则实数 a 的取值范围是 ( A. [0, ) B. (0,1) C. (0, ) D. (0,1] )

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 1+3x) (其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中,x 与 x 的系数相等,则 n= 14.若曲线 y=e
﹣x

n

5

6

. .

上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标为

15.如图,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率





16.设定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,且当 x∈(﹣2,0]时,f(x)=log2 (2﹣x)+2,则 f(2014.5)= .

三、解答题(17 题 10,其余每题 12 分) 17.已知 a 为实数,函数 f(x)=(x +1) (x+a) .若 f′(﹣1)=0,求函数 y=f(x)在[﹣ , 1]上的最大值.
2

18.已知 f(x)=ln(e +a)是定义域为 R 的奇函数,g(x)=λf(x) . (1)求实数 a 的值; (2)若 g(x)≤xlog2x 在 x∈[2,3]上恒成立,求 λ 的取值范围. 19.已知某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研 究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人, 先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分为 5 组:[50,60) ,[60,70) ,[70, 80) ,[80,90) ,[90,100)分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

x

(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁 以下组”工人的概率. (2) 规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”, 请你根据已知条件完成 2×2 列联表, 并判断是否能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“生产能手与工人所在的年龄组有 关”?(相关系数 k= ,k>2.706 时有 99%的把握具有相关性)

20.求证:1﹣ + ﹣ +…+



=

+

+…+

,n∈N .

*

21.甲、 乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对者对本队赢得一分, 答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 ,

且各人回答正确与否相互之间没有影响.用 ξ 表示甲队的总得分. (Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列和数学期望; (Ⅱ)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件,用 B 表示“甲队总得分大于乙 队总得分”这一事件,求 P(AB) . 22.已知函数 f(x)=x﹣ln(x+a)的最小值为 0,其中 a>0. (1)求 a 的值; 2 (2)若对任意的 x∈[0,+∞) ,有 f(x)≤kx 成立,求实数 k 的最小值.

2014-2015 学年辽宁省大连二十中高二(下)期末数学试 卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知 i 是虚数单位,则 A. 1﹣2i =( ) C. 2+i D. 1+2i

B. 2﹣i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:由题意,可对复数代数式分子与分母都乘以 1+i,再由进行计算即可得到答案. 解答: 解: 故选 D 点评:本题考查复数代数形式的乘除运算, 解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭, 复数 的四则运算是复数考查的重要内容,要熟练掌握. 2.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x ﹣2x﹣3≤0},则 A∩(?RB)=( ) A. (1,4) B. (3,4) C. (1,3) D. (1,2)∪ (3,4) 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:由题意,可先解一元二次不等式,化简集合 B,再求出 B 的补集,再由交的运算规 则解出 A∩(?RB)即可得出正确选项 2 解答: 解:由题意 B={x|x ﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3},故?RB={x|x<﹣1 或 x>3}, 又集合 A={x|1<x<4}, ∴A∩(?RB)=(3,4) 故选 B 点评:本题考查交、并、补的混合运算,属于集合中的基本计算题,熟练掌握运算规则是解 解题的关键 3.“若 x,y∈R 且 x +y =0,则 x,y 全为 0”的否命题是( 2 2 A. 若 x,y∈R 且 x +y ≠0,则 x,y 全不为 0 2 2 B. 若 x,y∈R 且 x +y ≠0,则 x,y 不全为 0 2 2 C. 若 x,y∈R 且 x,y 全为 0,则 x +y =0 2 2 D. 若 x,y∈R 且 xy≠0,则 x +y ≠0 考点:四种命题. 专题:计算题.
2 2 2



分析:否定“若 x,y∈R 且 x +y =0,则 x,y 全为 0”的题设,得到否命题的题设,再否定“若 2 2 x,y∈R 且 x +y =0,则 x,y 全为 0”的结论,得到否命题的结论.由此能够得到命题“若 x, 2 2 y∈R 且 x +y =0,则 x,y 全为 0”的否命题. 2 2 解答: 解:先否定“若 x,y∈R 且 x +y =0,则 x,y 全为 0”的题设, 2 2 得到否命题的题设“若 x,y∈R 且 x +y ≠0”, 2 2 再否定“若 x,y∈R 且 x +y =0,则 x,y 全为 0”的结论, 得到否命题的结论“则 x,y 不全为 0”. 由此得到命题“若 x,y∈R 且 x +y =0,则 x,y 全为 0”的否命题是: 2 2 若 x,y∈R 且 x +y ≠0,则 x,y 不全为 0. 故选 B. 点评:本题考查四种命题的互换,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意全为 0 和否定形式是不全为 0. 4.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(4,σ ) ,若 P(ξ>8)=0.4,则 P(ξ<0)=( A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
2 2 2

2

2



考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:概率与统计. 2 分析:随机变量 ξ 服从正态分布 N(4,σ ) ,得到曲线关于 x=4 对称,根据曲线的对称性得 到小于 0 的概率和大于 8 的概率是相等的,从而得到所求. 解答: 解:随机变量 ξ 服从正态分布 N(4,σ ) , ∴曲线关于 x=4 对称, ∴P(ξ<0)=P(ξ>8)=0.4, 故选 B. 点评:本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义, 考查概率的性质, 是一个基础题, 这种题目可以出现在选择或填空中,是一个送分题目. 5.某考察团对全国 10 大城市进行职工人均工资水平 x(千元)与居民人均消费水平 y(千 元)统计调查发现,y 与 x 具有相关关系,回归方程为 =0.66x+1.562.若某城市居民人均 消费水平为 7.675(千元) ,估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( A. 83% B. 72% C. 67% D. 66% 考点:线性回归方程. 专题:阅读型. 分析:把 y=7.675 代入回归直线方程求得 x,再求 的值. 解答: 解:当居民人均消费水平为 7.675 时, 则 7.675=0.66x+1.562,即职工人均工资水平 x≈9.262, ∴人均消费额占人均工资收入的百分比为 ×100%≈83%. )
2

故选:A. 点评:本题考查了回归直线方程的应用,熟练掌握回归直线方程变量的含义是解题的关键.

6.根据历年气象统计资料,宜都三月份吹东风的概率为 又下雨的概率为 A. .则在吹东风的条件下下雨的概率为( B. C.

,下雨的概率为 )

,既吹东风

D.

考点:条件概率与独立事件. 专题:概率与统计. 分析:利用条件概率的计算公式即可得出. 解答: 解:设事件 A 表示宜都三月份吹东风,事件 B 表示三月份下雨.

根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率 P(B|A)=

= .

故选 B. 点评:正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键. 7.设函数 f(x)=xe ,则( ) A. x=1 为 f(x)的极大值点 C. x=﹣1 为 f(x)的极大值点 考点:利用导数研究函数的极值. 专题:导数的概念及应用. 分析:由题意,可先求出 f′(x)=(x+1)e ,利用导数研究出函数的单调性,即可得出 x= ﹣1 为 f(x)的极小值点 x x 解答: 解:由于 f(x)=xe ,可得 f′(x)=(x+1)e , x 令 f′(x)=(x+1)e =0 可得 x=﹣1 x 令 f′(x)=(x+1)e >0 可得 x>﹣1,即函数在(﹣1,+∞)上是增函数 x 令 f′(x)=(x+1)e <0 可得 x<﹣1,即函数在(﹣∞,﹣1)上是减函数 所以 x=﹣1 为 f(x)的极小值点 故选:D 点评:本题考查利用导数研究函数的极值,解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步 骤,本题是基础题, 8.已知 p:x≥k,q: (x+1) (2﹣x)<0,如果 p 是 q 的充分不必要条件,则 k 的取值范围 是( ) A. [2,+∞) B. (2,+∞) C. [1,+∞) D. (﹣∞,﹣ 1] 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:求出不等式的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 解答: 解:由: (x+1) (2﹣x)<0<0 得 x>2 或 x<﹣1,即 q:x>2 或 x<﹣1,
x x

B. x=1 为 f(x)的极小值点 D. x=﹣1 为 f(x)的极小值点

∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴k>2, 故选:B. 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据不等式的解法, 求出不等式的等价条 件是解决本题的关键. 9. (x +2) ( A. ﹣3
2

) 的展开式的常数项是( B. ﹣2

5

) C. 2 D. 3

考点:二项式定理的应用. 专题:计算题. 分析:(x +2) (
2

) 的展开式的常数项是第一个因式取 x ,第二个因式取
5

5

2

;第一

个因式取 2,第二个因式取(﹣1) ,故可得结论. 解答: 解:第一个因式取 x ,第二个因式取
5 2

,可得
5

=5;

第一个因式取 2,第二个因式取(﹣1) ,可得 2×(﹣1) =﹣2 ∴(x +2) (
2

) 的展开式的常数项是 5+(﹣2)=3

5

故选 D. 点评:本题考查二项式定理的运用,解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径. 10.现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张,要 求取出的这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为( ) A. 232 B. 252 C. 472 D. 484 考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:排列组合. 分析:不考虑特殊情况,共有 红色卡片,共有 种取法,其中每一种卡片各取三张,有 种取法,两种

种取法,由此可得结论. 种取法, 其中每一种卡片各取三张, 有

解答: 解: 由题意, 不考虑特殊情况, 共有 种取法,两种红色卡片,共有 故所求的取法共有 ﹣ ﹣ 种取法,

=560﹣16﹣72=472

故选 C. 点评:本题考查组合知识,考查排除法求解计数问题,属于中档题. 11.观察下列各式:5 =3125,5 =15625,5 =78125,…,则 5 A. 3125 B. 5625 C. 0625
5 6 7 2011

的末四位数字为( D. 8125



考点:归纳推理. 专题:计算题. 分析:根据所给的以 5 为底的幂的形式,在写出后面的几项,观察出这些幂的形式是有一 定的规律的每四个数字是一个周期,用 2011 除以 4 看出余数,得到结果. 5 6 7 解答: 解:∵5 =3125,5 =15625,5 =78125, 8 9 10 11 5 =390625,5 =1953125,5 =9765625,5 =48828125… 可以看出这些幂的最后 4 位是以 4 为周期变化的, ∵2011÷4=502…3, 2011 7 ∴5 的末四位数字与 5 的后四位数相同,是 8125, 故选 D. 点评:本题考查归纳推理,考查幂的周期性,这种题目的解法一般是看出式子的变化规律, 根据规律做出要求的结果. 12.已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=|x ﹣2x+ |.若 函数 y=f (x) ﹣a 在区间[﹣3, 4]上有 10 个零点 (互不相同) , 则实数 a 的取值范围是 ( A. [0, ) B. (0,1) C. (0, ) D. (0,1] )
2

考点:函数的零点与方程根的关系;函数的周期性;函数零点的判定定理. 专题:函数的性质及应用. 分析:作出函数 y=f(x)在区间[﹣3,4]上图象,利用数形结合即可得到结论. 解答: 解:由 y=f(x)﹣a=0 得 f(x)=a, 作出函数 f(x)在[﹣3,4]上的图象如图: ∵f(0)=f(1)=f(2)= , ∴当 a= 时,方程 f(x)= 在[﹣3,4]上有 8 个根, 当 a=0 时,方程 f(x)=0 在[﹣3,4]上有 5 个根, 则要使函数 y=f(x)﹣a 在区间[﹣3,4]上有 10 个零点, 即方程 f(x)=a 在区间[﹣3,4]上有 10 个根, 则 0<a< , 故选:C

点评:本题主要考查函数零点的应用, 利用函数的周期性作出函数的图象, 利用数形结合是 解决本题的关键. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) n 5 6 1+3x) (其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中,x 与 x 的系数相等,则 n= 7 . 考点:二项式定理的应用. 专题:计算题;概率与统计. 5 6 分析:先写出展开式的通项,再利用 x 与 x 的系数相等,建立方程,即可求得 n 的值. 解答: 解:展开式的通项为 Tr+1= ∵x 与 x 的系数相等,∴ 解得 n=7 故答案为:7. 点评:本题考查二项式定理的运用,考查学生的计算能力,属于基础题. 14. 若曲线 y=e
﹣x

5

6

上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0, 则点 P 的坐标为 (﹣ln2, 2) .

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的概念及应用. 分析:先设 P(x,y) ,对函数求导,由在在点 P 处的切线与直线 2x+y+1=0 平行,求出 x, 最后求出 y. 解答: 解:设 P(x,y) ,则 y=e , ﹣x ∵y′=﹣e ,在点 P 处的切线与直线 2x+y+1=0 平行, ﹣x 令﹣e =﹣2,解得 x=﹣ln2, ﹣x ∴y=e =2,故 P(﹣ln2,2) . 故答案为: (﹣ln2,2) . 点评:本题考查了导数的几何意义,即点 P 处的切线的斜率是该点出的导数值,以及切点 在曲线上和切线上的应用. 15.如图,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为
﹣x



考点:几何概型;定积分在求面积中的应用. 专题:综合题;概率与统计.

分析:求出正方形 OABC 的面积,阴影部分由函数 y=x 与 y= 算可得阴影部分的面积,进而由几何概型公式计算可得答案. 解答: 解:根据题意,正方形 OABC 的面积为 1×1=1, 而阴影部分由函数 y=x 与 y= 围成,其面积为 (

围成,由定积分公式,计

﹣x)dx=(



= ,

则正方形 OABC 中任取一点 P,点 P 取自阴影部分的概率为 . 故答案为: . 点评:本题考查几何概型的计算, 涉及定积分在求面积中的应用, 关键是正确计算出阴影部 分的面积. 16.设定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,且当 x∈(﹣2,0]时,f(x)=log2 (2﹣x)+2,则 f(2014.5)= log27+1 . 考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:由已知中函数 f (x) 满足 f (x+2) =﹣f (x) , 可得函数的周期为 4, 进而可得 f (2014.5) =f(﹣1.5) ,代入可得答案. 解答: 解:∵函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) , ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=﹣f(x+2)=f(x) , ∴函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数, 又∵2014.5÷4=503…2.5, ∴f(2014.5)=f(2.5)=f(﹣1.5) , ∵当 x∈(﹣2,0]时,f(x)=log2(2﹣x)+2, ∴f(﹣1.5)=log2(2+1.5)+2=log2 +2=log27+1, 故答案为:log27+1 点评:本题考查的知识点是函数的周期性,函数求值,对数的运算性质,是函数图象和性质 的简单综合应用,难度中档. 三、解答题(17 题 10,其余每题 12 分) 17.已知 a 为实数,函数 f(x)=(x +1) (x+a) .若 f′(﹣1)=0,求函数 y=f(x)在[﹣ , 1]上的最大值. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:导数的概念及应用. 分析:先求出 a 的值,得到函数 f(x)的单调区间,从而求出区间上的最大值. 解答: 解:∵f′(﹣1)=0,∴3﹣2a+1=0,即 a=2, ∴f′(x)=3x +4x+1=3(x+ ) (x+1) .
2 2

由 f′(x)>0,得 x<﹣1 或 x>﹣ ; 由 f′(x)<0,得﹣1<x<﹣ . 因此,函数 f(x)在[﹣ ,1]上的单调递增区间为[﹣ ,﹣1],[﹣ ,1], 单调递减区间为[﹣1,﹣ ]. ∴f(x)在 x=﹣1 处取得极大值为 f(﹣1)=2; 又∵f(1)=6, ∴f(x)在[﹣ ,1]上的最大值为 f(1)=6 点评:本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,是一道基础题. 18.已知 f(x)=ln(e +a)是定义域为 R 的奇函数,g(x)=λf(x) . (1)求实数 a 的值; (2)若 g(x)≤xlog2x 在 x∈[2,3]上恒成立,求 λ 的取值范围. 考点:对数函数图象与性质的综合应用;函数奇偶性的判断. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)令 f(0)=0,解得 a=0,可得函数 f(x)=ln(e )=x,经检验满足条件,故 所求实数 a 的值为 0. (2)根据 f(x)=x,g(x)=λx,可得 λ≤log2x 在 x∈[2,3]上恒成立,求出函数 y=log2x 在 x∈[2,3]上的最小值为 log22=1,可得 λ 的取值范围. x 解答: 解: (1)函数 f(x)=ln(e +a)是定义域为 R 的奇函数, x 令 f(0)=0,即 ln(1+a)=0,解得 a=0,故函数 f(x)=ln(e )=x. …(4 分) 显然有 f(﹣x)=﹣f(x) ,函数 f(x)=x 是奇函数,满足条件,所求实数 a 的值为 0.…(6 分) (2)f(x)=x,g(x)=λx,则 λx≤xlog2x 在 x∈[2,3]上恒成立,即 λ≤log2x 在 x∈[2,3]上 恒成立,…(8 分) ∵函数 y=log2x 在 x∈[2,3]上的最小值为 log22=1,…(11 分) ∴λ≤1,即 λ 的取值范围为(﹣∞,1].…(12 分) 点评:本题主要考查函数的奇偶性,对数函数的图象和性质,属于中档题. 19.已知某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研 究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人, 先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分为 5 组:[50,60) ,[60,70) ,[70, 80) ,[80,90) ,[90,100)分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
x x

(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁 以下组”工人的概率. (2) 规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”, 请你根据已知条件完成 2×2 列联表, 并判断是否能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“生产能手与工人所在的年龄组有 关”?(相关系数 k= ,k>2.706 时有 99%的把握具有相关性)

考点:独立性检验的应用;频率分布直方图. 专题:概率与统计. 分析: (1)由分层抽样的特点可得样本中有 25 周岁以上、下组工人人数,再由所对应的 频率可得样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上、下组工人的人数分别为 3,2,由古典概型的概率公式可得答案; (2)由频率分布直方图可得“25 周岁以上组”中的生产能手的人数,以及“25 周岁以下组”中 2 的生产能手的人数,据此可得 2×2 列联表,可得 k ≈1.79,由 1.79<2.706,可得结论. 解答: 解: (1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名,25 周岁以下组工人 40 名, 所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上组工人有 60×0.05=3(人) , 记为 A1,A2,A3.25 周岁以下组工人有 40×0.05=2(人) ,记为 B1,B2. 从中随机抽取 2 名工人,所有可能的结果共有 10 种,即: (A1,A2) , (A1,A3) , (A2,A3) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,B1) , (A3,B2) , (B1,B2) . 其中,至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种,是: (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,B1) , (A3,B2) , (B1,B2) . 故所求概率 P= .

(2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“25 周岁以上组”中的生产能手有 60×0.25=15(人) ,“25 周岁以下组”中的生产能手有 40×0.375=15(人) ,据此可得 2×2 列联 表如下: 生产能手 非生产能手 总计 25 周岁以上组 15 45 60 25 周岁以下组 15 25 40 总计 30 70 100 所以得:k= = ≈1.79.

因为 1.79<2.706,所以不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“生产能手与工人所在 的年龄组有关”. 点评:本题考查独立性检验,涉及频率分布直方图,以及古典概型的概率公式,属中档题 20.求证:1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = + +…+ ,n∈N .
*

考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:1﹣ + ﹣ +…+ 此能证明 1﹣ + ﹣ +…+ 解答: 证明:1﹣ + ﹣ +…+ =1+ + + +…+ =1+ + + +…+ = + +…+ . ﹣ = + +…+ ,n∈N .
*

﹣ ﹣

=1+ + + +…+ = ﹣ ) + ) + +…+

+

﹣2( + + + +…+
*

) ,由

,n∈N .

+ +

﹣2( + + + +…+ ﹣(1+ + + +…+

∴1﹣ + ﹣ +…+

点评:本题考查数列前 n 项和与差的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意等价转化思 想的合理运用. 21.甲、 乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对者对本队赢得一分, 答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 ,

且各人回答正确与否相互之间没有影响.用 ξ 表示甲队的总得分. (Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列和数学期望; (Ⅱ)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件,用 B 表示“甲队总得分大于乙 队总得分”这一事件,求 P(AB) . 考点:离散型随机变量及其分布列;互斥事件的概率加法公式. 专题:计算题. 分析: (1)由题意甲队中每人答对的概率均为 ,故可看作独立重复试验,故 , (2)AB 为“甲、乙两个队总得分之和等于 3”和“甲队总得分大于乙队总得分”同时满足,有 两种情况:“甲得(2 分)乙得(1 分)”和“甲得(3 分)乙得 0 分”这两个事件互斥,分别求 概率,再取和即可.

解答: 解: (Ⅰ)解法一:由题意知,ξ 的可能取值为 0,1,2,3,且 , , 所以 ξ 的分布列为 , .

ξ 的数学期望为



解法二:根据题设可知,



因此 ξ 的分布列为

, k=0, 1, 2, 3.

因为

,所以



(Ⅱ)解法一:用 C 表示“甲得(2 分)乙得(1 分)”这一事件,用 D 表示“甲得(3 分)乙 得 0 分”这一事件,所以 AB=C∪D,且 C,D 互斥,又 = , 由互斥事件的概率公式得 . ,

解法二:用 Ak 表示“甲队得 k 分”这一事件,用 Bk 表示“乙队得 k 分”这一事件,k=0,1,2, 3. 由于事件 A3B0,A2B1 为互斥事件,故有 P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1) . 由题设可知,事件 A3 与 B0 独立,事件 A2 与 B1 独立,因此 P(AB)=P(A3B0)+P(A2B1) =P(A3)P(B0)+P(A2)P(B1) = .

点评:本题考查独立重复试验、二项分布、期望、及互斥事件、独立事件的概率问题,同时 考查利用概率知识分析问题解决问题的能力.在求解过程中,注意 P(AB)=P(A)P(B) 只有在 A 和 B 独立时才成立. 22.已知函数 f(x)=x﹣ln(x+a)的最小值为 0,其中 a>0. (1)求 a 的值; 2 (2)若对任意的 x∈[0,+∞) ,有 f(x)≤kx 成立,求实数 k 的最小值.

考点:函数恒成立问题;利用导数研究函数的极值. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)对 f(x)进行求导,已知 f(x)的最小值为 0,可得极小值也为 0,得 f′(0) =0,从而求出 a 的值; 2 2 (2)由题意任意的 x∈[0,+∞) ,有 f(x)≤kx 成立,可以令 g(x)=f(x)﹣x ,求出 g (x)的最大值小于 0 即可,可以利用导数研究 g(x)的最值; 解答: 解: (1)f′(x)=1﹣ = , (x+a>0)

令 f′(x)=0,可得 x=1﹣a>﹣a, 令 f′(x)>0,x>1﹣a;f(x)为增函数; f′(x)<0,﹣a<x<1﹣a,f(x)为减函数; ∴x=1﹣a 时,函数取得极小值也是最小值, ∵函数 f(x)=x﹣ln(x+a)的最小值为 0, ∴f(1﹣a)=1﹣a=0,得 a=1; (2)当 k≤0 时,取 x=1,有 f(1)=1﹣ln2>0,故 k≤0 不合题意; 当 k>0 时,令 g(x)=f(x)﹣kx ,即 g(x)=x﹣ln(x+1)﹣kx , 求导函数可得 g′(x)= 令 g′(x)=0,可得 x1=0,x2= 当 k≥ 时, 减, ∴g(x)≤g(0)=0, ∴对任意的 x∈[0,+∞) ,有 f(x)≤kx 成立; 当 0<k< 时,x2= g(x)在(0, g(x)在( >0, )上 g′(x)>0,g(x)为增函数; ,+∞)上 g′(x)<0,g(x)为减函数; )使得 g(x0)≥g(0)=0,
2 2 2 2 2

, >﹣1,

,g′(x)<0,在(0,+∞)上恒成立,g(x)在[0,+∞)上单调递

因此存在 x0∈(0,

可得 x0﹣ln(x0+1)≥kx0 ,即 f(x0)≥kx0 ,与题矛盾; ∴综上:k≥ 时,对任意的 x∈[0,+∞) ,有 f(x)≤kx 成立, ∴实数 k 的最小值为: ; 点评:此题考查函数的恒成立问题,第二问构造新函数,将问题转化为 g(x)的最大值小 于等于 0,即可,这种转化的思想在高考中经常会体现,我们要认真体会;
2


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