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第4讲 函数的奇偶性与周期性


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函数的奇偶性与周期性

1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)= f(x),那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有

f(-x)=- f(x),那么函数 f(x)是奇函数 图象特点 关于 y 轴对称

奇函数 2.周期性

关于原点对称

(1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何 值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小 正数就叫做 f(x)的最小正周期.

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数 f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数. (2)若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称. (3)若函数 y=f(x+b)是奇函数,则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称. x (4)若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=2. ?x-2??x+a? ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) )

(5)函数 f(x)在定义域上满足 f(x+a)=-f(x), 则 f(x)是周期为 2a(a>0)的周期函数. ( (6)函数 f(x)为 R 上的奇函数,且 f(x+2)=f(x),则 f(2 014)=0. 1 2.(2013· 山东)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(-1)等于 x A.-2 B.0 C .1 D.2 ( ) ( (

3. 已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是 1 A.- 3 1 B. 3 1 C. 2 1 D.- 2

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4.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(2 015)等 于 A.-2 B.2 C.-98 D.98 ( )

5.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________.

题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 9-x2+ x2-9; (2)f(x)=(x+1) 4-x2 (3)f(x)= . |x+3|-3 1-x ; 1+x

思维升华

(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤:

(2)在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇 函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
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判断下列函数的奇偶性: lg?1-x2? (1)f(x)= ; |x-2|-2 x +2?x>0? ? ? (2)f(x)=?0?x=0? . 2 ? ?-x -2?x<0?
2

题型二 函数周期性的应用 例2 (1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当- 1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 015)等于 A.335 B.336 C.1 678 D.2 012 ( )

1 (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 并且 f(x+2)=- , 当 2≤x≤3 时, f(x)=x, 则 f(105.5) f?x? =________. (1)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4) 等于 A.-1 B.1 C.-2 D.2 ) ( )

5 - ?等于 ( (2)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f? ? 2? 1 A.- 2 1 B.- 4 1 C. 4 1 D. 2

题型三 函数性质的综合应用 例3 设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间.

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1? (1)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f? ?3?的 x 的取值范围是 1 2? A.? ?3,3? 1 2? C.? ?2,3? 1 2? B.? ?3,3? 1 2? D.? ?2,3? ) ( )

(2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0,2]上是增函数, 则( A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

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