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第29届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第6套(共6套)答案及评分标准


第 29 届复赛模拟赛题 第六套 答案及评分标准
第一题(20 分) Andy Riley 画了《找死的兔子》 ,该书中的兔子精通各种物理原理,从而成功自杀。一个轻质的跷 跷板,长度为 l ? 1.000m ,支点在中间,高 0.200m ,兔子从一定高度 h ? 2.000m 做自由落体运动,与 跷跷板发生完全非弹性碰撞,之后落地时与地面发生完全非弹性碰撞,问兔子是否可能自杀成功?如 果可能兔子与石头的质量比 m / M 应当为多少? g ? 9.80m / s 2

【解】 : 画出物理情景

h

v

θ

ω

ω

v ? 2 g (h ? 2h0 ) ? 5.6m / s (式中 h0 ? 0.2m )

(2 分)

在支点看来角动量守恒
l L1 ? mv cos ? ? I? 2

(5 分)

式中 ? 满足 sin ? ?

h0 2h0 ? 1 l 2
第 29 届复赛模拟赛题 第六套

1

I 表示质点看来的转动惯量 mvl cos? 2mv cos ? 1 ∴? ? ? I=(M +m)( )2 2I (M ? m)l 2

(其实拿质点写角动量是一样的) (5 分)

1 1 由能量守恒, I ? ' 2 ? I ? 2 ? (M ? m) grc 2sin ? 2 2 ml l (m ? M ) 式中 rC ? ? = l 是质心到支点的距离 M ? m 2 (M ? m)

∴ ? ' 2? ?2 ? 2

2h0 (m ? M ) 2 g 2I l l 2

由运动学关联 v ? ? '

其中 v 为抛射速度

?v sin ? t ? l cos ? ? 由运动学知 ? 1 v cos ? t ? gt 2 ? ?l sin ? ? 2 ?
gl cos2 ? ? 3.207m / s sin ?
m ?k M

(4 分)

得 v' ?

(2 分)

? ' ? 6.415rad / s ,记
由 ? ' 2? ?2 ?
?

4h0 4 g (M ? m)l (M ? m)l 2 l

4m2 v 2 cos2 ? 16h0 g (k ? 1) ? ( M ? m)2 l 2 (k ? 1)l 2

?

4k 2 2 g (h ? 2h0 )cos2 ? 16h0 g (k ? 1) ? (k ? 1)2 l 2 (k ? 1)l 2
(2 分)

∴ k ? 1.402

第二题(20 分) Andy Riley 画了《找死的兔子》 ,该书中的人们精通各种物理原理,从而帮助兔子成功自杀。 巨石的质量为 1 ? 105 kg ,巨石下有 10 根圆木,人们拉着巨石缓缓移动。圆木的质量可以忽略,所 有地方均不滑动。由于压力巨大,圆木的直径被压扁了 0.2%(假设地面没有形变) ,圆木滚动之后被 压扁的地方又恢复了原状。假设圆木如图顺时针滚动的时候作用力集中在 A、B 两点。重力加速度取 g ? 9.8N / kg (1) 原始人至少需要多大的拉力才能将巨石拉动? (2) 各处摩擦系数至少达到多少才能保证不滑动?

第 29 届复赛模拟赛题 第六套

2

A
f

N

?

N

f
B
【解】 : 由合外力等于 0,重力可以忽略,两个作用点支持力、摩擦力各自等大。 由于力矩为 0,所以两边支持力与摩擦力的合力过圆心。 (5 分) 摩擦角至少为 ? 。 cos? ? 1 ? 0.2% 解得 ? ? 3.6? 得到 f ? mg tan ? ? 6.2 ? 104 N 摩擦角大于等于 ? ,所以 ? ? tan ? ? 0.063 (5 分) (5 分) (5 分)

第三题(20 分) 空间中有沿着 z 轴的静磁场,磁场强度和到 z 轴的距离成正比 B(r ) ? B0
r 。一个带电为 q ,质量 r0

为 m 的粒子,在 x ? y 平面内绕着 z 轴在洛仑兹里作用下做圆周运动,半径为 r0 。 (1) 写出粒子速度大小 v0 应当满足的式子 (2) 粒子在做圆周运动的时候收到一个径向扰动,略微偏离了原来的轨道,求解粒子之后的运动。 【解】 : rBq (1) v0 ? 0 0 (2 分) m (2)取极坐标 ? ,? 考虑角动量的变化
?L ? M ?t ? ? ? qvr B(r )?t ? qB0

?
r0

??? ?

qB0 ?? 3 3r0

可见 m? 2? ?

qB0 3 ? 是常数 3r0

(6 分)

qB0 m qB B q qB 得到 mr0 2 (1 ? x)2 ? ? 0 r03 (1 ? x)3 ? mr0 2 0 ? 0 r03 3r0 m 3r0

有扰动的时候,令 ? ? r0 (1 ? x) , ?0 ?

1 1 小量近似有 ? ? ?0 ((1 ? x)?2 ? (1 ? x) ? (1 ? x)?2 ) ? ?0 (1 ? x) 3 3

(2 分)

带入径向牛顿第二定律:

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3

m( ? ? ?? 2 ) ? ?q?? B

(2 分)

得到
x ? ?2?02 x (等式两边消去 m , r0 )

(4 分)

类比简谐振动得到: 径向做频率为 2?0 的简谐振动 (4 分) (用能量守恒精确到 2 阶,同样给分)

切向几乎保持原角速度转动(偏差为一阶小量) 。

第四题(20 分) 找一个理想的电容 C ,直接接到一个内阻可以忽略的电压为 U 的电池上,会迅速充电,很显然充
1 电完成的时候,电容器储存能量为 CU 2 ,而电源做功为 CU ,多出的能量,在没有电阻的情况下会 2

以其它的方式耗散掉(例如电磁辐射等) 。 如图所示电路中,电源电动势为 ? ,电阻为 R ,电容为 C 。开始电容不带电。开关闭合后,电容 会迅速充电,然后再慢慢达到平衡。 (1) 计算从闭合开关到电荷分布稳定过程中,电阻上发热为多少? (2) 画出电阻上求过的电量和电阻两端电压的图像, 并计算当电阻上发热量累计达到最大发热量一 半时,各电容器上电压为多少。

i1 i2

i1 ? i2 i1

【解】 : (1)迅速充电之后三个电容器上的电压均为 这时候电源通过电量 Q0 ?
1 ? ? ,电容器储能 E0 ? 3 ? C ( )2 3 2 3

C? 2 C? ,电源做功 W0 ? ? Q0 ? 3 3 稳定之后三个电容器的电压均为 ? ,但中间的电容器正负极反向
1 电容器储能 E0 ' ? 3 ? C? 2 2

这时候电源通过电量 Q0 ' ? 3C? ,电源做功 W0 ' ? ? Q0 ' ? 3C? 2
4 电阻发热 ? ? W0 '? W0 ? ( E0 '? E0 ) ? C? 2 3

(8 分)

(2)过一个电阻的电流为 i1 (t ) ,电量为 Q1 (t ) 过中间的电容的电流为 i2 (t ) ,从迅速充电结束之后开始,流过的电量为 Q2 (t ) 这样中间电容器左极板比右极板电势高 U 2 ? 右方方电容器上极板比下极板电势高 U1 ?
Q2 ? ? (因为开始突然充上了电) C 3

Q1 ? Q2 ? ? C 3

(2 分)

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4

对上面的圈写基尔霍夫方程有:
i1 R ? U 2 ? U1

对电源回路写基尔霍夫方程有:
2i1 R ? U 2 ? U

(2 分)

两方程消去 Q2 得到
Q 2 i1 R ? ? ? 1 3 3C

得到一个线性函数,

2? 3

i1 R

2C? Q1

(5 分)
2? 3

这个函数下方面积就是左边电阻上的发热。 可见当发热量达到总热量一半的时候, i1 R ? 由此可以计算出 上下两个电容上的电压为 ? (1 ?
2 2 2 ) ,中间电容器电压为 ? (1 ? ) 3 3

(3 分)

第五题(20 分) 在那个很遥远的年代,在生活很美好的时候,有人出选择题:把一根均匀的筷子竖直插入圆柱形 装水的烧杯中,从侧面观察烧杯,看到的应当是哪一幅图?经过若干次错误和面壁思考,我们的终于 发现答案是 D。现在的问题是,筷子到底变粗了多少倍?

俯视图如下,筷子距离轴心 R / 2 ,水折射率为 n ? 1.33 ,玻璃厚度不记,人从如图方向很远的地 方观察。

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5

R
R h? 2 R h? i 2

?

x

视线方向

【解】 : 远处看需出射沿“ ? ”方向光线 如左图,由折射定律 n sin i ? sin ? 令筷子到圆心的距离为 h 另入射角为 i , 由正弦定理 (4 分)

h R ? sin i sin( π ? ? ? i) 2
视线位置 x ? R sin ? 整理的得到
1?

(4 分)

(2 分)

x2 x2 x x x ? ? ? ? 1 R2 n2 R 2 R nR nh

对于 h ? R / 2 解得 ? ? 40.7976o (4 分) o i ? 29.3433 令 h ? h ? ?h , x ? x ? ?x 带入上式,计算数值得到 ?x ? 1.23?h 即放大率为 1.23 (6 分)

第六题(22 分) 月亮离地球越来越远了,以后看到的月亮就越来越小了。其原因在于地球现在的自转角速度比月 亮公转的角速度快,受到潮汐的影响,一部分地球自转的动能转化成了地月体系的平动动能和势能, 我们假设这个转化的效率为 50%。这个过程将不断进行,直到月球公转周期和地球自转周期相等,或 者月亮飞离地球(月亮总是用一个面冲着地球) 。我们想关心的问题是月球的命运到底如何?月亮是 否会飞离地球?如果不飞离地球,最后地球上的人看到的月亮大小是现在的多少倍? 当前地球的自转周期为 1 天,月亮公转周期为 27.32 天,月亮半径为 1.738 ? 103 m ,月球质量为
7.350 ? 1022 kg ,当前地月距离为 3.84 ? 108 m ,地球质量为 5.98 ? 1024 kg ,地球半径为 6.37 ? 106 m 。将
3 地球和月亮均视为均匀球体,球体绕过球心的轴定轴转动的转动惯量为 I ? mr 2 ,其中 m 为质量, r 5

球的半径,刚体定轴转动的角动量为 L ? I ? 。

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6

【解】 : 基本假设是,质心不受外力,两星球的质心角动量在系统质心和守恒 2? 2? , 月 球 自 转 和 公 转 的 角 速 度 为 ?0 = ,初态地月距离 初 态 地 球 自 转 角 速 度 ?e ? 1天 27.32天
r0 ? 3.84 ?108 m

写两体问题的牛顿第二定律有: G(M e ? M m ) (2 分) ?0 2 r0 ? r0 2 (用 M e , M m 表示地球和月球质量,用其他方式写出等效方程同样给分) 地球和月亮绕着其质心转动的角动量为 Mm Me MeMm )2 ? ?0 M m (r0 )2 ? ?0 r02 ?0 M e (r0 Mm ? Me Mm ? Me Me ? Mm 末态地球和月球达到共同的公转和自转角速度 ? ' G( M e ? M m ) ?0 '2 r0 ' ? r0 '2 初态角动量
L ? ?e
1 2 ? MmMe MmMe 2 2 2 2 ? ?e M e re 2 ? ?0 M m rm 2 ? ?0 3 M e re 2 ? ?0 M m rm 2 ? ?0 r02 [G(M e ? M m )]3 Mm ? Me Mm ? Me 5 5 5 5

(4 分)

(4 分) 等于末态角动量
1 2 ? MmMe MmMe 2 2 2 2 ? ? ' M e re 2 ? ? ' M m rm 2 ? ? ' 3 [G(M e ? M m )] 3 L ? ? ' M e re 2 ? ? ' M m rm 2 ? ? ' r '2 5 5 5 5 Mm ? Me Mm ? Me

(4 分) 带入数值,解得:
2? 52.46 2 , r ' ? r0 ? ( ) 3 ? 1.545r0 52.46天 27.32 可见月亮大小变为(视角的平方) r ?re 2 (2 分) (0 ) ? 0.41 r '? re

?'?

(4 分)

第七题(20 分) 如图一个轻质绝热的可以自由滑动的活塞,下方封有体积为 V0 的水蒸气(初始状态没有液态水) , 大气压为 P0 ? 1atm ,水蒸气的温度为 T1 ? 0.98T0 ,其中 T0 为 P0 压强下水的沸点, T0 ? 373.15K 。由于 没有扰动,虽然水蒸气温度低于沸点,但是并不液化,这样的水蒸气被称为过冷蒸汽。这时给蒸汽扰 动,水蒸气就会迅速液化。已知 T0 温度下水的汽化热为 L ? 2256.6852kJ / kg ,水蒸气和水的定压比热 近似为不变量,分别为 2.1kJ ? kg ?1 ? K ?1 和 4.2kJ ? kg ?1 ? K ?1 。 (1) 估算在 T1 ? 0.98T0 ,保持压强为 P0 时候水的汽化热。
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7

(2) 设气缸是绝热的,问当气体受到扰动液化,最后达到平衡的时候,气体体积 V1 为多少。 (认为液体密度原大于气体)

P0
T1 ? 0.98T0

【解】 : (1) 构造如下的等压循环, ?m 的水温度为 0.98T0 ,等压汽化,再升温到 T0 ,最后等温等压液化, 然后降温到 0.98T0 。由于初末态完全相同,循环做功等于 0,所以有总吸热等于 0
0.98T0气 Q2 T0 气

Q1

Q3 T 0液

0.98T0



?Q1 ? L0.98T0 ?m ? ?Q2 ? C p气 ?m ?T ? ?Q3 ? ? LT0 ?m ?Q ? ?C ?m ?T p液 ? 4

?T ? 0.02T0

0.02T0 =2272.36kJ / kg ? L0.98T0 ? LT0 ? (C p液体 ? C p气体)

(2) 假设有 ?n 质量的气体液化,由等压放热平衡:
?n ? L0.98T0 ? (n ? ?n) ? C p气 ? ?T ? ?n ? C p液 ? ?T

解得

C p气 ?T C p气?T ?n =6.95 ? 10?3 ? ? n L0.98T0 ? C p气?T ? C p液 ?T LT0
V 1 n ? ?n T0 ? ? 1.013 V0 n 0.98T0

由此

即体积会膨胀 1.3%

第八题(18 分) 质子的静质量记为 E0 ,一个质子以 3E0 的总能量沿着 x 轴的方向撞向另一个静止的质子。假设碰 撞之后仍然是两个质子,速度方向在 x ? y 平面内。 以 px 为横轴,以 p y 为纵轴,画出质子可能的出射状态。

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(以下不是考题:如果撞击后的产物是两个质子加一个 ? 介子,求出射质子动量的可能状态。 ? 介 子的静质量为 0.138E0 ) 【解】 : (1)入射质子动量 P
2 由只能关系 E0 ? ( pc)2 ? (3E0 )2

p1 θ p

p2

∴ Pc ? 2 2E0 画出动量守恒对应矢量图
P1 sin ? ? Py , P1 cos? ? Px

由余弦定理 P2 ? P12 ? P1Px ? P22 将 P12 ? Px2 ? Py2 代入 P2 ? Px2 ? 2P1Px ? P22 写出 2 个出射质子的动量一能量关系
2 2 E12 ? E0 ? (P1c)2 ? E0 ? (Px c)2 ? (Py c)2

2 2 2 E2 ? E0 ? (P2 c)2 ? E0 ? (Pc)2 ? (Px c)2 ? (Py c) 2 ? 2P1Px c2

由能量守恒, E1 ? E2 ? 4E0
2 2 E2 ? 4E0 ? E1 ? E2 ? 16E0 ? E12 ? 8E0 E1 化简有

2 2 2 9E0 ? 4 2Px cE0 ? 16E0 ? E0 ? 8E0 E1

2 8E0 E1 ? 8E0 ? 4 2Px cE0

2E1 ? 2E0 ? 2Px c
4E12 ? (2E0 ? 2Px c)2
2 2 4[ E0 ? (Px c)2 ? (Py c)2 ] ? 4 E0 ? 4 2Px ( E0 ? 4Px c) 2

2(Px c)2 ? 4 2(Px c) E0 ? 4(Py c)2 ? 0
x?

Py c Px c ,y? ∴ 2( x ? 2)2 ? 4 y 2 ? 4 E0 E0

( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 如右图 2

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Py/(E0/c)

1 2

2 2

Px/(E0/c) -1

(正常的做法是现在质心系写,显然是一个圆,然后换回地面系,用洛仑兹变换,拉长了 ? ,于是就 是椭圆了,整个过程基本口算。不是考题部分:口算的实心椭圆)

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