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变量间的相互关系


2.3 变量间的相互关系
问题提出 1. 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量,如果当一个变量的 取值一定时,另一个变量的取值被惟一确定,则这两个变量之间的关系就是一个函数关系. 2. 在中学校园里,有这样一种说法:“如果你的数学成绩好,那么你的物理学习就不会有什 么大问题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系,我们把数 学成绩和物理成绩看成是两个变量,那么这两个变量之间的关系是函数关系吗? 3. 这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之 间的关系,有必要从理论上作些探讨,如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计,将有 着非常重要的现实意义. 知识探究(一) :变量之间的相关关系 思考 1:考察下列问题中两个变量之间的关系,想一想这些问题中两个变量之间的关系是函 数关系吗? (1)商品销售收入与广告支出经费; (2)粮食产量与施肥量; (3)人体内的脂肪含量与年龄. 思考 2:“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平就越高,那么学生的学业成 绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗? 你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗? 思考 3:上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系,称之为相关关系,那么相关关系的 含义如何? 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系. 思考 4:函数关系与相关关系之间的区别与联系. 函数关系中的两个变量间是一种确定性关系;相关关系是一种非确定性关系. 函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系. 3. 函数关系与相关关系之间有着密切联系,在一定条件下可以互相转化. 例 1 在下列两个变量的关系中,哪些是相关关系? ①正方形边长与面积之间的关系; ②作文水平与课外阅读量之间的关系; ③人的身高与年龄之间的关系; ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.

练习 1. 已知下列变量,它们之间的关系是函数关系的有 ① ,是相关关系的有 ②③ . ①已知二次函数 y=ax2+bx+c,其中 a、c 是已知常数,取 b 为自变量,因变量是这个函数的 判别式△=b2-4ac; ②光照时间和果树亩产量; ③每亩施用肥料量和粮食产量.

知识探究(二) :散点图 【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据:

年龄 脂肪 年龄 脂肪

23 9.5 53 29.6

27 17.8 54 30.2

39 21.2 56 31.4

41 25.9 57 30.8

45 27.5 58 33.5

49 26.3 60 35.2

50 28.2 61 34.6

其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数. 思考 1:观察上表中的数据,大体上看,随着年龄的增加,人体脂肪含量怎样变化? 思考 2:以 x 轴表示年龄,y 轴表示脂肪含量,你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图 形吗? 思考 3:上图叫做散点图,你能描述一下散点图的含义吗? 在平面直角坐标系中,表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形,称为散点图.
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

年龄

思考 4:观察散点图的大致趋势,人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系? 思考 5:在上面的散点图中,这些点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种 相关关系,我们将它称为正相关.一般地,如果两个变量成正相关,那么这两个变量的变化 趋势如何? 思考 6:如果两个变量成负相关,从整体上看这两个变量的变化趋势如何?其散点图有什么 特点? 一个变量随另一个变量的变大而变小,散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域 思考 7:你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗? 例 2 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据:

房屋面积 m2 销售价格 (万元)
售价 35 30 25 20 15 10 5 0

61 12.2

70 15.3

115 24.8

110 21.6

80

135

105 22

18.4 29.2

画出数据对应的散点图,并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关.

50

100

面积 150

练习 2. 今有一组试验数据如下表所示:现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满 足的规律,其中最接近的一个是( C )

x y
A. y=log2x

1.99 1.5

3.0 4.04

4.0 7.5
B. y=2x

5.1 12

6.12 18.01
C. y=(x2-1)/2 D. y=2x-2

问题提出 1. 两个变量之间的相关关系的含义如何?成正相关和负相关的两个相关变量的散点图分别 有什么特点? 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系. 正相关的散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域, 负相关的散点图中的点散布在从左 上角到右下角的区域 2. 观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本数据的散点图,这两个相关变量成正相关.我们 需要进一步考虑的问题是, 当人的年龄增加时, 体内脂肪含量到底是以什么方式增加呢?对 此,我们从理论上作些研究. 知识探究(三) :回归直线 思考 1:一组样本数据的平均数是样本数据的中心,那么散点图中样本点的中心如何确定? 它一定是散点图中的点吗?
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0

(x , y )

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

思考 2:在各种各样的散点图中,有些散点图中的点是杂乱分布的,有些散点图中的点的分 布有一定的规律性,年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点? 这些点大致分布在一条直线附近.
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

思考 3:对一组具有线性相关关系的样本数据,你认为其回归直线是一条还是几条? 思考 4:在样本数据的散点图中,能否用直尺准确画出回归直线?借助计算机怎样画出回归 直线? 知识探究(四) :回归方程 在直角坐标系中,任何一条直线都有相应的方程,回归直线的方程称为回归方程.对一组具 有线性相关关系的样本数据,如果能够求出它的回归方程,那么我们就可以比较具体、清楚 地了解两个相关变量的内在联系,并根据回归方程对总体进行估计.

思考 1:回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系? 整体上最接近 思考 2:对于求回归直线方程,你有哪些想法?

思考 3:对一组具有线性相关关系的样本数据:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),设其回归 方程为 y ? bx ? a 可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度?
?

可 以 用| y i ? y i | 或( y i ? y i ) 2 , 其 中 y i ? bxi ? a .
? ?

?

y

( xi , yi )
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 )
yi ? yi

x

思考 4:为了从整体上反映 n 个样本数据与回归直线的接近程度,你认为选用哪个数量关系 来刻画比较合适?
?i )2 Q ? ?(yi ? y
i ?1 n

? ( y1 ? bx1 ? a)2 ? ( y2 ? bx2 ? a)2 ?
n

? ( yn ? bxn ? a)2
n i i i i

思考 5:根据有关数学原理分析,当 b ?

? ( x ? x )( y ? y ) ? x y ? nx y
i ?1

i i 时,总体偏差 为最小,这样就得到了回归方程,这种求回归方程的方法 i ?1 叫做最小二乘法.回归方程中,a,b 的几何意义分别是什么?

? )2 Q ? ? (y ? y

n

? (x ? x )
i ?1 i

n

?

2

i ?1 n

?x
i ?1

, a ? y ? bx

2

i

? nx

2

思考 6:利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程 为 y ? 0.577 x ? 0.48 , 由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回 归值.若某人 37 岁,则其体内脂肪含量的百分比约为多少? 20.9% 练习 3.F 表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的 生产能耗 Y(吨标准煤)的几组对照数据

x
y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,崩最小二乘法求出 Y 关于 x 的线性回归方程 Y=bx+a; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性 同归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 解: (1)如图

(2) 由对照数据, 计算得:

? X iYi ? 66.5
i ?1

4

?X
i ?1

4

2 i

? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? 86

X ? 4.5

? ? 66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 ? 66.5 ? 63 ? 0.7 ; b 86 ? 4 ? 4.52 86 ? 81
所求的回归方程为 (3)

? ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35 ? ? Y ? bX a

y ? 0.7 x ? 0.35 y ? 100 ? 0.7 ? 0.35 ? 70.35 吨,

x ? 100 ,

预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90 ? 70.35 ? 19.65 (吨) 课堂小结 1. 求样本数据的线性回归方程,可按下列步骤进行: 第一步,计算平均数 x,y; 第二步,求和

? x y ,? x
i ?1 i i i ?1
n i ?1

n

n

2 i



第三步,计算 b ?

? ( xi ? x )( yi ? y ) ?(x
i ?1
?

n

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

i

? x)

2

?x
i ?1

,a ? y ? b x;

2 i

第四步,写出回归方程

y ? bx ? a .

2. 回归方程被样本数据惟一确定,各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体,不同 的样本数据对应不同的回归直线,所以回归直线也具有随机性. 3. 对于任意一组样本数据,利用上述公式都可以求得“回归方程”,如果这组数据不具有线 性相关关系,即不存在回归直线,那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此,对一组 样本数据,应先作散点图,在具有线性相关关系的前提下再求回归方程. 课后作业 《习案》作业:二十三. 、二十四.


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