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10.3组合


§10.3 组合
教学目标: 1、理解组合的概念,正确区分排列、组合问题; 2、掌握组合数的计算公式; 3、通过学习组合知识,让学生掌握类比的学习方法,并提高学生分析问题和 解决问题的能力; 教学内容:组合的概念及组合数的计算方法 教学重点:组合的概念、组合数 教学难点:解组合的应用题 教学方法:排列与组合结合法 教学过程设计 一、知识回顾 1、排列的概念 一般地,从 n 个不同的元素中取出 m (m ? n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 2、排列数概念 一般地, 从 n 个不同的元素中每次取出 m (m ? n) 个元素的所有排列的个数, 称为从 n
m 个不同元素中取出 m 个不同元素的排列数,记作 An 。 m 3、排列数计算公式: An ? n(n ?1)(n ? 2) n An ? n!

(n ? m ?1)(m ? n)

m An ?

n! ? n ? m ?!

二、学习新课 课题引入:通过上节课研究排列的问题出发,对比引出另一种与排列不同的计数方法,即组 合。 【问题 1】从甲、乙、丙 3 名同学中选出 1 名班长,一名副班长,共有多少种不同的选法? (若把问题改为从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名担任班委,共有多少种不同的方法?该问 题与原问题有何区别?)
2 解:原问题是上节课学习的排列数的问题,排列数为 A3 ,对应的排列为:

甲 乙 乙 甲 甲 丙 丙 甲 丙 乙 乙 丙 变化后的问题对应的可能情况为: 甲 乙 甲 丙 丙 乙 分析:与排列不同的是,这个问题是从 3 个不同的元素中取出 2 个,而取出的这两个元素是
1

一个组合, 没有顺序。 这就是本节课研究的另外一个计数问题, 组合问题 (引出组合的概念) 组合 一般地,从 n 个不同的元素中取出 m (m ? n) 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个组合。 分析:对比排列和组合的定义,同样是从 n 个不同的元素中取出 m (m ? n) 个元素,而排 列是把取出的 m 个元素按照一定的顺序排成一列,也就是说排列与元素的顺序有关,而组 合单单是把取出的 m 个元素并成一组,与元素的顺序无关。 组合数 同样地类似于排列,我们研究从 n 个不同的元素中取出 m (m ? n) 个元素的组合共有
m 多少个,这类计数问题叫做组合问题,相应的组合数记为 Cn 。

【问题 2】从 3 个不同的元素 a, b, c 中每次取出 2 个,共有多少种不同的排列?(若改为从 3 个不同的元素 a, b, c 中每次取出 2 个,共有多少种不同的组合?)
2 解:原问题为从三个不同的元素中每次取出两个元素的排列问题,排列数为 A3 ,对应的排

列为:

ab

ba

ac
bc

ca
cb

2 变化后的问题为从三个不同的元素中取出两个元素的组合问题,组合数为 C3 ,对应的

组合为:

ab

ac
bc
总结:通过问题 1 与问题 2 可以看出,给出一个问题,如果与顺序有关,则是排列问题,若 果与顺序无关,则是组合问题。 通过例题讲解区分排列与组合问题。 【例 1】判断下面问题是排列问题,还是组合问题? (1) 从 6 个风景点中选出 2 个安排游览,有多少种不同的方法? (2) 从 6 个风景点中选出 2 个,并确定这 2 个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?
2 解: (1)选出的 2 个风景点, 不必明确游览顺序, 这是一个组合问题, 对应的组合数为 C6 (先

标记在后面,一会再求解) 。
2 (2)选出的 2 个风景点,必须明确游览顺序,这是一个排列问题,对应的排列数为 A6 (学 2 生求解排列数 A6 ,复习巩固上节课排列数的计算公式) 。

课堂练习:书 213 页课后练习题 1
2

(1)8 名同学聚会,每两人握手一次,共握手多少次?
2 解:与顺序无关,因此是组合问题,组合数为 C8 (先标记在后面,一会再求解) 。

(2)6 名同学约定元旦互送贺卡一张,共寄多少张?
2 解: 甲→乙贺卡与乙→甲贺卡代表的意义不一样, 因此有顺序性, 是排列问题, 排列数为 A6

(学生计算,使学生熟练掌握排列数的计算公式) (3)某铁路沿线有 5 个站,需要准备多少种车票?有多少种不同的票价? 解:第一个问题车票种数:南通→南京与南京→南通为两种不同的车票,有顺序性,是排列
2 问题,排列数为 A5 (学生求解) ;

第二个问题票价问题:南通→南京与南京→南通车票的票价是一样的,没有顺序性,是
2 组合问题,组合数为 C5 (标记在后面,一会再求解) 。

(4)平面内有 10 个点,以其中 2 个点为端点的线段(有向线段)共有多少条?
2 解: 线段 AB 与线段 BA 为两条相同的线段, 因此没有顺序性, 是组合问题, 组合数为 C10 (标

记在后面,一会再求解) ; 有向线段(有方向的线段,即:有向线段 AB 与有向线段 BA 是两条不同的线段) ,因此
2 有顺序性,是排列问题,排列数为 A10 (学生计算) 。

组合数计算公式 思考:排列数有相应的计算公式,那上面标记的组合数该如何计算呢? 回到问题 2,从三个不同的元素 a, b, c 中每次取出 2 个的排列与组合的关系如图:

A32 : ab

ba

A22
?

ab

C32

ac
bc

ca
cb

ac
bc

2 从图中关系可以看出组合共有 C3 个; 2 将每一个组合中的元素进行全排列,均有 A2 =2 个排列; 2 因此,从 3 个不同的元素中取出 2 个元素的排列数 A3 ,可以分成以下两个步骤来完成: 2 第一步:从 3 个不同的元素中取出 2 个元素的组合数为 C3 ; 2 第二步:对每一个组合中的 2 个不同的元素进行全排列,其排列数为 A2 。

根据分步乘法原理,得
2 2 2 A3 ? C3 ? A2

从而有

C32 =
3

A32 2 A2

(从特殊回到一般)一般地,从 n 个不同的元素中取出 m 个不同元素的排列数也可以按以 上两个步骤来完成,即
m m m An ? Cn ? Am
m An n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m ? 1) 由此得到组合数计算公式: C ? m ? Am m! m n

由于 An ?
m

n! ,所以组合数公式还可以表示为 ? n ? m ?!
m Cn ?

n! (其中, n, m ? N ? , m ? n ) m !(n ? m)!

由于计算需要,规定
7 【例 2】计算 C10

0 Cn ?1

7 解:由组合公式得 C10 ?

7 A10 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? ? 120 7 A7 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1

课堂练习 通过组合公式的推导及例题 2 的讲解, 请学生将之前标记过的组合数在练习本上求解 (并请 4 名同学上黑板演示求解过程,同时检查其他同学掌握程度)
2 1、 C6 ? 2 A6 6?5 ? ? 15 2 A2 2 ?1

A82 8 ? 7 2、 C ? 2 ? ? 28 A2 2 ?1
2 8 2 3、 C5 ?

A52 5 ? 4 ? ? 10 2 A2 2 ?1
2 A10 10 ? 9 ? ? 45 2 A2 2 ?1

2 4、 C10 ?

习题讲解,提出计算组合数需要注意 3 点: 1、 公式不要列错; 2、 项不要列错; 3、 计算不要马虎。 【例 3】一批产品 20 件,其中有 2 件次品,其余均为正品,从 20 件产品中任意抽取 3 件进 行检验,问: 分析:通过画图进行图形结合法,如图

4

(1)共有多少种不同的抽法? 分析:从 20 件产品中任意抽取 3 件,没有特殊要求,因此不用考虑特殊情况,不同的抽法 等于组合数。
3 解: C20 ? 3 A20 20 ?19 ?18 ? 1140 3 A3 3 ? 2 ?1

(2)恰有一件次品的不同抽法有多少种? 分析:抽取的 3 件产品中恰有一件次品可以分两步来完成:
1 第一步:从 2 件次品中任意抽取 1 件,有 C2 种不同的抽法; 2 第二步:从 18 件正品中任意抽取 2 件,有 C18 种不同的抽法。

根据分步乘法原理,所有的抽法种数为
1 2 解: C2 ? C18 ? 2 1 A18 A2 2 18 ?17 ? ? ? ? 306 1 2 A1 A2 1 2 ?1

(3)全是正品的不同抽法有多少种? 分析:抽取的 3 件产品全是正品,即从 18 件正品中任意抽取 3 件,不同的抽法为
3 A18 18 ?17 ?16 解: C ? 3 ? ? 816 A3 3 ? 2 ?1 3 18

三、课堂小结: 1、组合的概念; 2、组合数的概念; 3、组合数的计算公式; 4、区分排列问题与组合问题; 5、根据组合公式求解组合应用题。 四、课后作业 书 213 页 练习 2、3、4、5;

5


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