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河北饶阳中学高三数学正弦定理和余弦定理学案


河北饶阳中学高三数学教案

主备人:丁馈钦

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第三章第 7 讲正弦定理和余弦定理[来源:
考纲要求:掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角度量问题 教学目标:1.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形;2.在解答题中对正弦定理、余弦定理、 面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点

进行综合考查 教学方法:讲练结合 基础知识梳理: 1. 正弦定理: a b c = = =2R,其中 R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形: sin A sin B sin C

a+b+c 1. 在△ABC 中,若 A=60° ,a= 3,则 =________. sin A+sin B+sin C 2.已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角的余弦值为________. 3 5 3. 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos A= ,cos B= ,b=3,则 c=________. 5 13 4.在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为________. 5. 已知圆的半径为 4,a、b、c 为该圆的内接三角形的三边,若 abc=16 2,则三角形的面积为 A.2 2 教学过程: 题型一 利用正弦定理解三角形 例 1 在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° .求角 A、C 和边 c. B.8 2 C. 2 D. 2 2

a (1)a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C;(2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;(3)sin A= ,sin 2R b c B= ,sin C= 等形式,以解决不同的三角形问题. 2R 2R 2. 余弦定理:a =b +c -2bccos_A,b =a +c -2accos_B,c =a +b -2abcos_C.余弦定理可 b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 以变形:cos A= ,cos B= ,cos C= . 2bc 2ac 2ab 1 1 1 abc 1 3. S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)· r(r 是三角形内切圆的半径),并可由此计 2 2 2 4R 2 算 R、r. 4. 在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 A 为钝角或直角
2 2 2 2 2 2 2 2 2

图形 关系式 解的个 数 [难点正本 疑点清源] 1. 在三角形中, 大角对大边, 大边对大角; 大角的正弦值也较大, 正弦值较大的角也较大, 即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. 2. 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 课前自测: a=bsin A
zzstep.com]

题型二 利用余弦定理求解三角形 cos B b 例 2 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 =- . cos C 2a+c
[来源: 中国教育 出版网

bsin A<a<b 两解

a≥b 一解

a> b 一解

(1)求角 B 的大小;(2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积.

一解

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河北饶阳中学高三数学教案

主备人:丁馈钦

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含边的式子,然后求解. 题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用 例 3 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acos C+ 3asin C-b-c=0. (1)求 A;
[ 来源:中国教育 出版 网 zzs tep.com]

解后反思:

(2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 本节思想方法总结:

学生应注意的问题:

布置作业:限时训练

高考真题再现 典例:(2012· 辽宁)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值.

考点分析: 本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理,考查转化能力和运算求解能力. 解题策略: 根据三角形内角和定理可直接求得 B;利用正弦定理或余弦定理转化到只含角或只
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