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2017衡水二中高三数学阶段性综合检测(二)


2017 衡水二中高三数学阶段性综合检测(二)
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

评卷人

得分 一、选择题

1.已知复数 z ?

5i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 在复平面内对应的点位于( 2i ? 1
D. 第一象限 )



A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 2.某程序框图输如图所示,则输出的值是(

A. 21

B. 22

C. 23

D. 24 )

3.已知函数 f(x)= lgx ,0<a<b,且 f(a)>f(b),则(

A. ab>1 B. ab<1 C. ab=1 D. (a-1)(b-1)>0 4.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为(



A. 24 ? 8 2 ? 8 5 C. 20 ? 8 5 ? 4 2

B. 20 ? 8 2 ? 4 5 D. 20 ? 4 2 ? 4 5

5.已知等差数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,且 a1 ? a5 ? ?14 , S9 ? ?27 ,则使得 Sn 取最小 值时的 n 为 ( A. 1 C. 7 ) B. 6 D. 6 或 7
试卷第 1 页,总 5 页

6.一光源 P 在桌面 A 的正上方,半径为 2 的球与桌面相切,且 PA 与球相切,小球在 光源 P 的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆,如图所示,形成一个空间几何体,且 正视图是 Rt ?PAB ,其中 PA ? 6 ,则该椭圆的短轴长为( )

A. 6

B. 8

C. 4 3

D. 3

7.已知集合 A ? {x | x ? ?1或 x ? 5} , B ? {x | a ? x ? a ? 4},且 B ? A ,则实数 a 的取值范围为( A. C. ) B. D.
2

? ??, ?5? ? ?5, ???

? ??, ?5? ??5, ???
? ??, ?5? ? ?5, ???

? ??, ?5 ??? 5, ?? ?

8.已知点 A(5,0),抛物线 C:y =2px(0<p<5)的准线为 l,点 P 在 C 上,作 PH?l 于 H, 且|PH|=|PA|,?APH=120?,则 p=( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2 9.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ? ?

? 1 1? , ? ,则 a ? b 的值等于 ( ) ? 2 3?
1 .则该几 2

A. -14

B. 14

C. -10

D. 10

10.如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 何体的俯视图可以是( )

11. 设 f ? x ? 为定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? 0 时, f ? x ? 单调递减, 若 x1 ? x2 ? 0 ,

f ? x1 ? ? f ? x2 ?
的值为( ) A. 恒为正值 B. 恒等于零 C. 恒为负值 D. 无法确定正负

12. 定义域为 R 的函数 f (x) ? ?

?lg | x ? 2 |, x ? 2 2 , 若关于 x 的方程 f (x) ? bf(x) ? c ? 0 1, x ? 2 ?

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恰有 5 个不同的实数解 x1 , 则 fx x2 , x3 , x4 , x5 , ( 1x ? A. 4 lg 2 C. 2 lg 2 B. 3lg 2 D. lg 2

2

?3 x x? 4 x) 5?

的值等于 (



评卷人

得分 二、填空题
4

13.若不等式 < + 对? ∈ (0, +∞)恒成立,则实数的取值范围是__________.

? x ? 0, ? 14 .设 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y , 若目标函数为 z ? 3x ? 2 y ,则 z 的最大值 ? 2 x ? y ? 1, ?
为 .

x?0
15.二元一次方程组 {

y?0 x? y?4?0

表示的平面区域内,使得 x+2y 取最小值的整点坐

标为___. 16.已知直线 = + 1与曲线 = ln( + )相切,则的值为 评卷人 得分 三、解答题

.

17.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点 E 是 BC 边的中点,将 △ABD 沿 BD 折起, 使平面 ABD⊥平面 BCD, 连接 AE, AC, DE, 得到如图 2 所示的几何体. (Ⅰ)求证:AB⊥平面 ADC; (Ⅱ)若 AD=2,直线 CA 与平面 ABD 所成角的正弦值为 弦值.

6 ,求二面角 E-AD-C 的余 3

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18.选修 4-4:坐标系与参数方程 自极点 O 任意作一条射线与直线 ? cos? ? 3 相交于点 M ,在射线 OM 上取点 P ,使 得 OM ? OP ? 12 ,求动点 P 的极坐标方程,并把它化为直角坐标方程. 19.已知函数() = 3 ? + 4,当 = 2时,函数()取得极值? 3. (Ⅰ)求函数()的解析式; (Ⅱ)若方程() = 有 3 个不等的实数解,求实数的取值范围.
* 20. 已知等差数列 ?an ? 满足 ? a1 ? a2 ? ? ? a2 ? a3 ? ? ... ? ? an ? an ?1 ? ? 2n ? n ? 1? n ? N

4

?

?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和 Sn . n ?1 ? ?2 ?

21. 如图, 四边形 ABCD 中, ?BCD 为正三角形, AD ? AB ? 2 , BD ? 2 3 ,

AC 与 BD 中心 O 点,将 ?ACD 沿边 AC 折起,使 D 点至 P 点,已知 PO 与平面 ABCD 所成的角为 60 ? .

(1)求证:平面 PAC ? 平面 PDB ; (2)求已知二面角 A ? PB ? D 的余弦值. ? 22.对于? ∈ ,若数列{}满足+1 ? > 1,则称这个数列为“K 数列”. 2 (Ⅰ)已知数列:1,m+1,m 是“K 数列”,求实数 的取值范围; (Ⅱ)是否存在首项为-1 的等差数列{}为“K 数列”,且其前 n 项和满足
? < 2 2 ? ( ∈ )?若存在,求出{}的通项公式;若不存在,请说明理由; 1

(Ⅲ)已知各项均为正整数的等比数列{}是“K 数列”,数列{2 }不是“K 数 列”,若 =
+1 ,试判断数列{}是否为“K 数列”,并说明理由. +1

1

x?a 3 , g ? x ? ? x ? kx ,其中 a , k ? R . x2 ? 1 1 (1)若 f ? x ? 的一个极值点为 ,求 f ? x ? 的单调区间与极小值; 2
23.已知函数 f ? x ? ? (2)当 a ? 0 时, ?x1 ? 0,2 , x2 ? 1,2 , f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,且 g ? x ? 在 1, 2 上 有极值,求 k 的取值范围. 24.已知函数 f ? x ? ?

? ?

? ?

? ?

1 3 x ? ax 2 ? bx ( a , b ? R ) , f ? ? 0? ? f ? 2 ? . ? ?1 3

(1)求曲线 y ? f ? x ? 在点 3, f ? 3? 处的切线方程;

?

?

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(2)若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 4x , x ? ?3, 2 ,求 g ? x ? 的单调区间和最小值.

?

?

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参考答案 1.A 【解析】由题得 z ?

5i 5i(2i ? 1 ) 5 ? ?2 ? i ? ? ? ? 2 ? i ,所以复数 z 在复平面内对 2i ? 1 ? 2i ?1( ? 2i ? 1) ?5

应的点的坐标为(2,-1) ,位于第四象限,故选 A 2.C 【解析】程序在执行过程中, 的值依次为: = 2, = 1; = 5, = 11; = 11, = 33; = 23, = 79 ,程序结束,输出 = 23 .故选 C. 点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关 概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止 条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项. 3.B 【解析】由题意得 0 ? a ? 1 b ??lga lgb ? lgab ? 0,0 ? ab ? 1 ,选 B. 4.C 【解析】该几何体的直观图如图所示:

S?PAD ? S?PBC ? S ?PDC ?

1 ?2 2 ?4 ? 4 2 2 S?PAB ? 1 ?4?2 ? 4 2

1 ?4?2 5 ? 4 5 , 2

故表面积为 4 ? 4 ? 2 ? 4 2 ? 4 5 ? 4 ? 20 ? 8 2 ? 4 5 ,故选 C 点睛:(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特征,可 以根据条件构建几何模型,在几何模型中进行判断;(2)解决本类题目的技巧:三棱柱、四 棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型,有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用 反例对概念类的命题进行辨析. 5.B 【解析】 试题分析:由等差数列

{an } 的 性 质 , 可 得 a1 ? a5 ? 2a3 ? ?14 ? a3 ? ?7 , 又

S9 ?

9(a1 ? a9 ) a ? a3 ? ?27 d? 5 ?2 ? a ? a ? ? 6 ? a ? ? 3 1 9 5 2 5?3 ,所以 ,所以数列

{an } 的 通 项 公 式 为 an ? a3 ? (n ? 3)d
an ? 0 ? 2n ? 13 ? 0 ,解得
所以使得

? ?7 ? (n ? 3) ? 2 ? 2n ? 13 , 令

n?

13 2 ,所以数列的前六项为负数,从第七项开始为正数,

S n 取最小值时的 n 为 6 ,故选 B.

考点:等差数列的性质. 6.C 【解析】解:看左视图,左视图为高为 6 的等腰三角形,如图所示,图中 OP ? 4 ,
答案第 1 页,总 11 页

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?OPM ? 30? ,??CPD ? 60? ,又 PC ? PD ,
故△PCD 为等边三角形, ?CD ? 4 3 , 即椭圆的短轴长为 4 3 . 本题选择 C 选项.

7.D 【解析】由题意知,要使 B ? A,需有a ? 4 ? ?1 或 a ? 5 ,解之得 a ? ?5 或 a ? 5 ,故选 D. 8.B

【解析】 设 P ? x1 , y1 ? ,故 P 做 PD ? OA ,则由 PH ? PA , ?APH ? 120 ,
?



?APD ? 30?









线













PH ? x1 ?

AD 1 10 p p p ? ,则 x1 ? , ,? PA ? x1 ? , AD ? 5 ? x1 , sin?APD ? ? 3 6 2 2 AP 2

则 PD ? AD tan?APD ? 3 ?

? 10 p ? 5 p ?? ? 10 p ? ? ? ,则 P ? ? , 3 ? ? ? ? ,将 P 代入抛物 ? 3 6? ? 3 6 ?? ?3 6

线方程,解得 p ? 2 ? p 的值 2 ,故选 B. 9.C

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【 解 析 】 由 题 意 可 知 ?

1 1 , 是 方 程 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的 两 个 根 , 所 以 2 3

1 1 b 1 1 2 ? ? ? ? ,? ? ? , 2 3 a 2 3 a
所以 a ? ?12, b ? ?2,? a ? b ? ?10 ,故选 C. 10.C 【解析】试题分析:由该几何体的正视图、俯视图,得该几何体为一个柱体,且高为 1,则

底面面积为

,结合选项,得只有选项 C 的面积为

;故选 C.

考点:1.三视图;2.几何体的体积. 11.C 【解析】? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? 单调递减, ? f ? x ? 在 R 上 单 调 递 减 , 若

x1 ? x2 ? 0





x1 ? ? x2



? f ? x1 ? ? f ? ?x2 ? ? ? f ? x2 ? , f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 , ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 的值恒为负值,故
选 C. 12.B 【解析】 试题分析:当 x ? 2 时, f ? x ? ? 1 ,则由 f (x) ? bf(x) ? c ? 0 ,所以 x1 ? 2, c ? ?b ? 1 ,当
2 2 x ? 2 时, f ? x ? ? log( x ? 2) , 由f ( x ) ? b f ( x ) c ?0 ?

得 [lg( x ? 2)] ? blg( x ? 2) ? c ? 0 ,

解得

lg( x ? 2) ? 1 ? x2 ? 12 或 lg( x ? 2) ? b ? x3 ? 2 ?10b ,当 x ? 2 时, f ? x ? ? log(2 ? x) ,


f 2 (x) ? bf(x) ? c ? 0 得 [log(2 ? x)] ? b log(2 ? x) ? c ? 0 ,解得 log(2 ? x ) ? 1? x4 ? ? 8


log(2 ? x) ? b ? x3 ? 2 ?10b ,所以 f (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? f (10) ? lg 10 ? 2 ? 3lg 2 ,
故选 B. 考点:函数的综合应用. 【方法点晴】本题主要考查了函数的综合应用问题,其中解答中涉及到对数函数的性质,一 元二次函数的图象与性质, 对数的运算及指数幂的化简等知识点的综合考查, 着重考查了学 生分析问题和解答问题的能力, 以及推理与运算能力, 本题的解得中按照题设条件分别根据 三种情况分类讨论求出关于 x 的方程 f (x) ? bf(x) ? c ? 0 的 5 个不同的实数解,即可求解
2

f (x1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? x5 ) 的值.

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13.( ? ∞,4) 【解析】解:∵ > 0 ∴ + ≥ 4,当 = ,即 = 2时取等号; ∴ + 的最小值为4; ∴ < 4,故本题正确答案是 (?∞,4). 14. 5 【解析】
4 4 4

? x ? 0, ? 试题分析:画出不等式组: ? x ? y , ,所表示的平面区域,如图,由图可知:当直线 ? 2 x ? y ? 1, ?
z ? 3x ? 2 y 经过点 A ?1,1? 时, z 取得最大值, zmax ? 3 ? 2 ? 5 ,综上所述,故答案为 5 .

考点:1、可行域的画法;2、最优解的求法. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函 数最值的一般步骤是“一画、二移、三求” : (1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线) ; (2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或 最后通过的顶点就是最优解) ; (3)将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15.(-1,-2)

【解析】 作可行域如图,则可行域内的整点为 ? ?1, ?1? , ? ?1, ?2? , ? ?2, ?1? ,使得 x ? 2 y 取得最小 值的整点为 ? ?1, ?2? ,故答案为 ? ?1, ?2? ,故答案为 ? ?1, ?2? . 16.2 【解析】试题分析:已知直线与曲线相切,则该直线是该曲线的切线,求曲线的切线,先求 导数′ =
1

+

,由题意

1

+

= 1,解得 = 1 ? ,则切点的坐标是(1 ? , 2 ? ),切点既在直线
答案第 4 页,总 11 页

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上,又在曲线上,故ln(1 ? + ) = 2 ? ,解得 = 2. 考点:1.曲线的切线的求法;2.常见函数的求导. 17. (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)

6 . 3

【解析】试题分析: (1)有平面 ABD ? 平面 BCD ,证得 DC ? AB ,再根据线面垂直的 判定定理,即可作出证明; (Ⅱ)现证得 ?CAD 为直线 CA 与平面 ABD 所成的角,在 ?CAD 中,得到 sin?CAD 的 值,即可求解 AB ,建立空间直角坐标系 O ? xyz ,利用空间向量即可求解二面角的大小. 试题分析: (Ⅰ)证明:因为平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD, 又 DC⊥BD 所以 DC⊥平面 ABD,所以 DC⊥AB, 又 AD⊥AB ,所以 AB⊥平面 ADC (Ⅱ)因 CD⊥平面 ABD,所以∠CAD 为直线 CA 与平面 ABD 所成的角, CD⊥平面 ABD 所以 CD⊥AD 则 sin? CAD ?

CD ? AC

CD AD ? CD
2 2

?

CD 4 ? CD
所以
2

?

6 3

则 CD ? 2 2 ,依题意得 ? ABD∽?DCB

AB CD ? , AD BD



AB 2 2 ,所以 AB ? 2 ? 2 22 ? AB 2

取 BD 的中点 O,连结 AO,EO,因为 AB ? AD ? 2 ,∴AO⊥BD,平面 ABD⊥平面 BCD,∴AO⊥ 平面 BCD 如图所示建立空间直角坐标系 o ? xyz ,

? ? ? ??? ? 由(1)可知 AB⊥平面 ADC,则平面 ADC 的法向量 AB ? ? 2, 0, ? 2 ? , ???? ??? ? ? 设平面 ADE 的法向量 n ? ? x, y, z ? , DE ? ? 2, 2, 0 ? , DA ? ? 2, 0, 2 ? ,
则 A 0, 0, 2 , B

?

?

?

2, 0, 0 , C ? 2, 2 2, 0 , D ? 2, 0, 0 , E 0, 2, 0 ,

?

?

?

?

? ???? n ? DE ? 0 2x ? 2 y ? 0 则 { ? ??? ,即 { ,令 x ? 1 ,得 y ? ?1 , z ? ?1 ? n ? DA ? 0 2x ? 2z ? 0
所以 n ? ?1, ?1, ?1? , 所以 cos ? AB , n ?? 为锐二面角, 所以二面角 E ? AD ? C 的余弦值为
2

?

??? ?

?

2? 2 6 , 由图可知二面角 E ? AD ? C ? 3 2? 3

6 . 3

18. ? ? 4? cos? , x ? y ? 4 x ? 0 .
2 2

答案第 5 页,总 11 页

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【解析】
' M ? , ? .根据已知条件等式, 试题分析: 设 P ? ? ,? ? , 可得 ?? ? 12 , 代入可得 ? ? 4cos? ,
'

?

?

方程两边可同时乘 ? ,得 ? ? 4? cos? .? x ? y ? 4 x ? 0 .
2 2 2

试题解析:设 P ? ? ,? ? , M ? , ? .
'

?

?

? OM ? OP ? 12 , ?? ' ? 12 .
又 ? cos? ? 3 ,?
'

12

?

? cos ? ? 3 .

则动点 P 的极坐标方程为 ? ? 4cos? .???(5 分)

? 极点在此曲线上,? 方程两边可同时乘 ? ,得 ? 2 ? 4? cos? .

? x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 . ???(10 分)
考点:相关点法求点的极坐标方程. 19. (1)() = 3 3 ? 4 + 4; (2)? 3 < <
1 4 28 3


1 ′(2) = 12 ? = 3 ? 4?{ (2) = 8 ? 2 + 4 = ? 3 = 4

【解析】试题分析: (1)求导得′() = 32 ? ? {
1

() = 3 3 ? 4 + 4; (2)由′() = 0 ? = 2或 = ?2,再利用单调性求得:当 = ?2时, ()有极大值 3 ,当 = 2时,()有极小值? 3 ? ()的图大致象.由图可知:? 3 < < 3 .
试题解析: (1)′() = 32 ? ,由题意:{ 式为() = 3 3 ? 4 + 4. (2)由(1)可得′() = 2 ? 4 = ( ? 2)( + 2),令′() = 0,得 = 2或 = ?2, ∴当 < ?2时, ′() > 0, 当?2 < < 2时, ′() < 0, 当 > 2时, ′() > 0, 因此, 当 = ?2时,
1 1 ′(2) = 12 ? = 3 ,∴所求的解析 4, 解得{ (2) = 8 ? 2 + 4 = ? 3 = 4 28 4 4 28

()有极大值 3 ,当 = 2时,()有极小值? 3,∴函数() = 3 3 ? 4 + 4的图象大致如图.
由图可知:? 3 < < 3 .
4 28

28

4

1

答案第 6 页,总 11 页

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考点:1、函数的解析式;2、函数的单调性;3、函数与方程. 【方法点晴】本题考查函数的解析式、函数的单调性和函数与方程,涉及数形结合思想、函 数与方程思想和转化化归思想,以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、综合程 度高, 属于较难题型. 第二小题首先由′() = 0 ? = 2或 = ?2, 再利用导数工具求得() 有的极值,从而可以做出()的图大致象,再利用数形结合思想可求得:? 3 < < 3 . 20. (Ⅰ) an ? 2n ? 1; (Ⅱ) S n ? 6 ?
4 28

4n ? 6 . 2n

【解析】试题分析: (1)根据数列的递推公式求出公差 d,即可求出数列{an}的通项公式, (2)根据错位相减法即可求出前 n 项和. 试题解析: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由已知得 {

a1 ? a2 ? 4, ? a1 ? a2 ? ? ? a2 ? a3 ? ? 12,

即{

a1 ? ? a1 ? d ? ? 4, a1 ? a2 ? 4, a1 ? 1, 所以 { 解得 { a2 ? a3 ? 8, d ? 2, ? a1 ? d ? ? ? a1 ? 2d ? ? 8,

所以 an ? 2n ? 1.

an 2n ? 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? n ?1 ,所以 Sn ? 1 ? 1 ? 2 ??? n ? 2 ? n ?1 ,① n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 Sn ? ? 2 ? 3 ???? n ?1 ? n ,② ……8 分 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2n ? 1 2n ? 3 ① ? ② 得: S n ? 1 ? 1 ? ? 2 ??? n ? 2 ? n ? 3 ? 2 2 2 2 2 2n 4n ? 6 所以 S n ? 6 ? . 2n
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 点睛:用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负 数的情形;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下 一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为 参数,应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解. 21. (1)见解析(2)

21 7

【解析】试题分析: (1)可证得 AC ? 平面 PBD ,由面面垂直的判定定理得平面 PAC ? 平 面 PDB . (2)过 P 作 DB 的垂线,垂足为 H ,则 PH 垂直平面 ABCD , ?PHO ? 60? ,以 OB 为

x 后, OC 为 y 轴,过 O 垂直于平面 ABC 向上的直线为 z 轴建立如图所示空间直角坐标
系,即可求得二面角 A ? PB ? D 的余弦值. 试题解析: (1)易知 O 为 BD 的中点,则 AC ? BD , 又 PO ? 平面 PBD ,所以 AC ? 平面 PBD , ? AC ? 平面 PAC , ? 平面 PAC ? 平面 PDB .
答案第 7 页,总 11 页

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(2)过 P 作 DB 的垂线,垂足为 H ,则 PH 垂直平面 ABCD , ?PHO ? 60? , 以 OB 为 x 后, OC 为 y 轴,过 O 垂直于平面 ABC 向上的直线为 z 轴建立如图所示空间 直角坐标系,则 A ? 0, ?1,0? , B

?

? 3 3? 3, 0, 0 , P ? ? , 0, ?, ? 2 2? ? ?

?

易知平面 PBD 的法向量为 n ? ? 0,1,0? ,

?

??? ? AB ?

?

??? ? ? 3 3? 3,1, 0 , AP ? ? ? ? 2 ,1, 2 ? ?, ? ?

?

设平面 ABP 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

?

? ? ??? ? ? ??? n ? AB ? 3x ? y ? 0 n ? AB ? 则由 { ? ??? ,取 n ? 1, ? 3, 3 , ? 得 { ? ??? ? 3 3 n ? AP n ? AP ? ? x? y? z ?0 2 2

?

?

3 21 ? ? , cos m, n ? ? 7 7
二面角 A ? PB ? D 的余弦值为

21 . 7

点睛:1.面面垂直的证明方法:①定义法;②面面垂直的判断定理;③向量法:证明两个平 面的法向量垂直.解题时要由已知相性质,由求证想判定,即分析法和综合法相结合寻找证 明思路,关键在于对题目中的条件的 思考和分析,掌握做此类题的一般技巧和方法,以 及如何巧妙进行垂直之间的转化.2.利用向量法求解空间角,可以避免利用定义法作角、证 角、求角中的“一作、二证、三计算”的繁琐过程,利用法向量求解空间角的关键在于“四 破”.第一破“建系关”,第二破“求坐标关”;第三破“求法向量关”;第四破“应用公 式关”,熟记线面成的角与二面角的公式,即可求出空间角. 22. (Ⅰ)> 2; (Ⅱ)见解析; (Ⅲ)见解析. 2 【解析】试题分析: (Ⅰ)由题意得(+ 1) ? 1 > 1和 ? (+ 1) > 1,即可求解实数 的取 值范围; (Ⅱ)设公差为,则 > 1,得? +
(?1)
2 ? < 2 2 ? 对 ∈ 均成立,即( ? 1) < ,即 1

可得到结论; (Ⅲ)设数列{}的公比为,因为{}的每一项均为正整数,且+1 ? > 0,得到1 > 0, 且 > 1,得到“2 ? 1 ”和“2 2 ? 2 1”为最小项,又由又因为{2 }不是“K 数列”, 且 “2 2 ? 2 1 ”为最小项,得出1 ( ? 1) ≤ 2,所以1 = 1, = 3或1 = 2, = 2,分类讨论即 可得到结论. 试题解析: (Ⅰ)由题意得(+ 1) ? 1 > 1, 2 ? (+ 1) > 1,②
答案第 8 页,总 11 页
1 1 1 1 1

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解①得 > 1; 解②得 < ?1或> 2 所以> 2,故实数 的取值范围是> 2. (Ⅱ)假设存在等差数列{}符合要求,设公差为,则 > 1, 由 1 = ?1,得 = ? + 由题意,得? +
(?1)
2 1

(?1)
2



? < 2 2 ? 对 ∈ 均成立,

即( ? 1) < . 当 = 1时,d ∈ ; 当 > 1时, < ?1, 因为
1 =1 + ?1 ?1

> 1,

所以 ≤ 1,与 > 1矛盾, 故这样的等差数列{}不存在. (Ⅲ)设数列{}的公比为,则 = 1 ?1, 因为{}的每一项均为正整数,且+1 ? = ? = ( ? 1) > 1 > 0, 所以1 > 0,且 > 1. 因为+1 ? = ( ? ?1 ) > ? ?1, 所以在{ ? ?1 }中,“2 ? 1 ”为最小项. 同理,在{ ? ?1 }中,“ 2 ? 1 ”为最小项.
2 2 2 2 1 1 1 1

由{}为“K 数列”,只需2 ? 1 > 1, 即 1 ( ? 1) > 1, 又 因 为 { } 不 是 “K 数 列 ” , 且 “ 2 ? 1 ” 为 最 小 项 , 所 以 2 ? 1 ≤ 1 , 即
2 2 2 2 2 1 1 1 1 1

1 ( ? 1) ≤ 2, 由数列{}的每一项均为正整数,可得 1 ( ? 1) = 2, 所以1 = 1, = 3或a1 = 2, q = 2.
当a1 = 1, q = 3时,an = 3n?1, 则bn = 令cn = bn+1 ? bn (n ∈ N? ),则cn =
2n+3 2n+1 3n+1 n+2 3n 3n n+1 3n n+1

, = 3n ?
2n+1

?

(n+1)(n+2)



又3n+1 ? (n+2)(n+3) ? 3n ? (n+1)(n+2) = n+2 ? (n+1)(n+3) > 0, 所以{cn }为递增数列,即 cn > cn?1 > cn?2 > ? > c1 , 所以bn+1 ? bn > bn ? bn?1 > bn?1 ? bn?2 > ? > b2 ? b1 . 因为b2 ? b1 = 3 ? 2 = 2 > 1, 所以对任意的n ∈ N?,都有bn+1 ? bn > 1, 即数列{cn }为“K 数列”. 当a1 = 2, q = 2时,an = 2n ,则bn = 所以数列{bn }不是“K 数列”.
答案第 9 页,总 11 页
2n+1 n+1 3 3

4n2 +8n+6

.因为b2 ? b1 = ≤ 1,
3

2

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综上:当an = 3n?1时,数列{bn }为“K 数列”, 当an = 2n 时,数列{bn }不是“K 数列” . 23. (1)见解析(2) ? 4,12? 【解析】试题分析: (1)求导,由题意 f ? ? 间与极值的一般步骤求解即可; (2)当 a ? 0 时, f ? x ? ? 而得到 f ? x ? ? ?0, ? . 2
2 又 g? ? x ? ? 3x ? k , x ? 1, 2 ,分类讨论,可得 k ? 3 或 k ? 12 时, g ? x ? 在 1, 2 上无极

3 ?1? ? ? 0 ,可得 a ? ? 4 ,下来按照求函数的单调区 ?2?

x 1 ,求导,酒红色的单调性可得? f ? x ?max ? f ?1? ? ,进 x ?1 2
2

? 1? ? ?

? ?

? ?

值. 若 3 ? k ? 12 ,通过讨论 g ? x ? 的单调性,可得 g ? x ?min ? g ? ?

? k? 2 3 3 1 ? ? k 2 ? ,或 ? ? 9 2 ? 3?

g ? x?max ? max?8 ? 2k ,1? k? ? 0 ,可得 k 的取值范围.
试题解析:(1) f ? ? x ? ?

? x 2 ? 2ax ? 1

?

x2 ? 1

?

2



3 x? 3 1 ? ? ? f ?? ? ? 0, ?a ? ? , ? f ? x? ? 2 4 . 4 x ?1 ?2?
1 , x2 ? ?2 , 2 1 1 令 f ? ? x ? ? 0 得 ?2 ? x ? ;令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? ?2 或 x ? . 2 2
令 f ? ? x ? ? 0 得 x1 ?

1? ? ?1 ? ? f ? x ? 的单调递增区间为 ? ?2, ? ,单调递减区间为 ? ??,2? , ? , ?? ? . 2? ? ?2 ?

? f ? x ? 的极小值为 f ? ?2 ? ? ? .
? x2 ? 1 x ? (2)当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2 , f ? x? ? , 2 x ?1 x2 ? 1

1 4

?

?

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?1, 2 , ? f ? x ? 在 ?1, 2 上递减; 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 0,1? , ? f ? x ? 在 0,1? 上递增.

?

?

?

?

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? f ? x ?max ? f ?1? ?

1 2 ? 1? , ? f ? 0? ? 0 , f ? 2 ? ? , ? f ? x ? ? ?0, ? . 2 5 ? 2?

g? ? x ? ? 3x2 ? k , x ??1, 2? ,
(i)若 k ? 3 ,则 g? ? x ? ? 0 , ? g ? x ? 在 1, 2 上递增, ? g ? x ? 在 1, 2 上无极值. (ii)若 k ? 12 ,则 g? ? x ? ? 0 , ? g ? x ? 在 1, 2 上递减, ? g ? x ? 在 1, 2 上无极值. (iii)若 3 ? k ? 12 , g ? x ? 在 ?1,

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? k ? k? 上递减,在 ? ? ? 3 , 2 ? 上递增, 3? ? ? ?

? k? 2 3 3 1 ? g ? x ?min ? g ? ? ? k 2 ? ,或 g ? x ?max ? max ?8 ? 2k ,1 ? k? ? 0 , ? ? 3? 9 2 ? ?

? 3 ? k ? 12 , ? 4 ? k ? 12 .
综上, k 的取值范围为 ? 4,12? . 点睛:本题考查导数在研究函数性质时的综合应用,属难题.解题时要认真研究题意,进而 通过分类讨论研究其性质以达到解决问题的目的 24. (1) 4 x ? y ? 9 ? 0 (2)最小值为 ?9 . 【解析】 (1)先求导数,再借助导数的几何意义求解; (2)先求导数,再借助导数与函数的 单调性之间的关系求解: 【试题分析】 (1) (1)因为 f ? ? x ? ? x ? 2ax ? b ,
2

由 f ? ? 0? ? f ? ? 2? ? 1 即 {

b ?1 a ?1 ,得 { , 4 ? 4a ? b ? 1 b ?1
1 3 x ? x 2 ? x ,即有 f ? 3? ? 3 , f ? ?3? ? 4 3

则 f ? x ? 的解析式为 f ? x ? ?

所以所求切线方程为 4 x ? y ? 9 ? 0 . (2)∵ g ? x ? ?
2

1 3 x ? x 2 ? 3 x ,∴ g? ? x ? ? x2 ? 2x ? 3 , 3

由 g? ? x ? ? x ? 2x ? 3 ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? 3 ,
2 由 g? ? x ? ? x ? 2x ? 3 ? 0 ,得 ?1 ? x ? 3 ,∵ x ? ?3, 2 ,

?

?

∴ g ? x ? 的单调增区间为 ?3, ?1 ,减区间为 ? ?1, 2 , ∵ g ? ?3? ? ?9 ? g ? 2 ? ? ?

?

?

?

22 ,∴ g ? x ? 的最小值为 ?9 . 3
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