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排列组合解题技巧12法


排列组合解题技巧 12 法 首先,谈谈排列组合综合问题的一般解题规律: 1)使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定, 可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”,需要分步来完成这件事时就用“分步计数原 理”;那么,怎样确定是分类,还是分步骤?“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所 给的事件,而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件,所以准确理解两个原理强调 完成一件事情的几类办法互不干扰,相互独立,彼此间交集为空集,并集为全集,不论哪类 办法都能将事情单独完成,分步计数原理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能 完成这件事,步与步之间互不影响,即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。 2)排列与组合定义相近,它们的区别在于是否与顺序有关。 3)复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等手段使问题直观化,从而寻求 解题途径,由于结果的正确性难于检验,因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。 4)按元素的性质进行分类,按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方 法,要注意“至少、至多”等限制词的意义。 5)处理排列、组合综合问题,一般思想是先选元素(组合),后排列,按元素的性质进行“分 类”和按事件的过程“分步”,始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法,通过解题训 练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能,保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次 清楚,不重不漏。 6)在解决排列组合综合问题时,必须深刻理解排列组合的概念,能熟练地对问题进行分类, 牢记排列数与组合数公式与组合数性质,容易产生的错误是重复和遗漏计数。 总之,解决排列组合问题的基本规律,即:分类相加,分步相乘,排组分清,加乘明确;有 序排列,无序组合;正难则反,间接排除等。 其次,我们在抓住问题的本质特征和规律,灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时, 还要注意讲究一些解题策略和方法技巧,使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常 用的解题方法和策略。 一.特殊元素(位置)的“优先安排法”:对于特殊元素(位置)的排列组合问题,一般先 考虑特殊,再考虑其他。 例 1、 用 0,2,3,4,5,五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( )。 A. 24 个 B.30 个 C.40 个 D.60 个 [分析]由于该三位数为偶数,故末尾数字必为偶数,又因为 0 不能排首位,故 0 就是其中的 “特殊”元素,应该优先安排,按 0 排在末尾和 0 不排在末尾分两类:1)0 排末尾时,有 A42 个, 0 不排在末尾时, 2) 则有 C21 A31A31 个, 由分数计数原理, 共有偶数 A42 + C21 A31A31=30 个,选 B。 二.总体淘汰法:对于含否定的问题,还可以从总体中把不合要求的除去。如例 1 中,也可 用此法解答:五个数字组成三位数的全排列有 A53 个, 排好后发现 0 不能排首位, 而且数字 3, 5 也不能排末位,这两种排法要排除,故有 A53--3A42+ C21A31=30 个偶数。 三.合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题,按元素的性质进行分类,按事情发 生的连续过程分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。 四.相邻问题用捆绑法:在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先整体考虑,将相邻的 元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再考虑大元素内部各元素间顺 序的解题策略就是捆绑法. 例 2、有 8 本不同的书;其中数学书 3 本,外语书 2 本,其它学科书 3 本.若将这些书排成 一列放在书架上,让数学书排在一起,外语书也恰好排在一起的排法共有( )种.(结果用数 值表示)

解:把 3 本数学书“捆绑”在一起看成一本大书,2 本外语书也“捆绑”在一起看成一本大 书,与其它 3 本书一起看作 5 个元素,共有 A55 种排法;又 3 本数学书有 A33 种排法,2 本 外语书有 A22 种排法;根据分步计数原理共有排法 A55 A33 A22=1440(种). 注:运用捆绑法解决排列组合问题时,一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题. 五.不相邻问题用“插空法”:不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其它元素将它们 隔开.解决此类问题可以先将其它元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙 及两端位置,故称插空法. 例 3、用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数,要求 1 与 2 相邻,2 与 4 相 邻,5 与 6 相邻,而 7 与 8 不相邻。这样的八位数共有( )个.(用数字作答) 解:由于要求 1 与 2 相邻,2 与 4 相邻,可将 1、2、4 这三个数字捆绑在一起形成一个大元 素,这个大元素的内部中间只能排 2,两边排 1 和 4,因此大元素内部共有 A22 种排法,再把 5 与 6 也捆绑成一个大元素,其内部也有 A22 种排法,与数字 3 共计三个元素,先将这三个 元素排好,共有 A33 种排法,再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选 两个,把要求不相邻的数字 7 和 8 插入即可,共有 A42 种插法,所以符合条件的八位数共有 A22 A22 A33 A42=288(种). 注:运用“插空法”解决不相邻问题时,要注意欲插入的位置是否包含两端位置. 六.顺序固定用“除法”:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其 他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。 例 4、6 个人排队,甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种? 分析:不考虑附加条件,排队方法有 A66 种,而其中甲、乙、丙的 A33 种排法中只有一种符 合条件。故符合条件的排法有 A66 ÷A33 =120 种。(或 A63 种) 例 5、4 个男生和 3 个女生,高矮不相等,现在将他们排成一行,要求从左到右女生从矮到高 排列,有多少种排法。 解:先在 7 个位置中任取 4 个给男生,有 A74 种排法,余下的 3 个位置给女生,只有一种排 法,故有 A74 种排法。(也可以是 A77 ÷A33 种) 七.分排问题用“直排法”:把几个元素排成若干排的问题,可采用统一排成一排的排法来 处理。 例 6、7 个人坐两排座位,第一排 3 个人,第二排坐 4 个人,则不同的坐法有多少种? 分析:7 个人可以在前两排随意就坐,再无其它条件,故两排可看作一排来处理,不同的坐法 共有 A77 种。 八.逐个试验法:题中附加条件增多,直接解决困难时,用试验逐步寻找规律。 例 7.将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的方格中,每方格填 1 个,方格标号与所填 数字均不相同的填法种数有() A.6 B.9 C.11 D.23 解:第一方格内可填 2 或 3 或 4,如第一填 2,则第二方格可填 1 或 3 或 4,若第二方格内填 1,则后两方格只有一种方法;若第二方格填 3 或 4,后两方格也只有一种填法。一共有 9 种 填法,故选 B 九、构造模型 “隔板法”: 对于较复杂的排列问题,可通过设计另一情景,构造一个隔板 模型来解决问题。 例 8、方程 a+b+c+d=12 有多少组正整数解? 分析:建立隔板模型:将 12 个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的 11 个间隙中任意 插入 3 块隔板,把球分成 4 堆,每一种分法所得 4 堆球的各堆球的数目,对应为 a、b、c、d 的一组正整解,故原方程的正整数解的组数共有 C113 . 又如方程 a+b+c+d=12 非负整数解的个数,可用此法解。

十.排除法:对于含“至多”或“至少”的排列组合问题,若直接解答多需进行复杂讨论,可 以考虑“总体去杂”,即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉,从而计算出符合条件的 排列组合数的方法. 例 9、从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台, 则不同的取法共有( )种. A.140 种 B.80 种 C.70 种 D.35 种 解:在被取出的 3 台中,不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意,因此符合题意的抽取 方法有 C93-C43-C53=70(种),故选 C. 注:这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题. 十一.逐步探索法:对于情况复杂,不易发现其规律的问题需要认真分析,探索出其规律 例 10、从 1 到 100 的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于 100,则不同的取 法种数有多少种。 解:两个数相加中以较小的数为被加数,1+100>100,1 为被加数时有 1 种,2 为被加数有 2 种,?,49 为被加数的有 49 种,50 为被加数的有 50 种,但 51 为被加数有 49 种,52 为被 加数有 48 种,?,99 为被捕加数的只有 1 种,故不同的取法有(1+2+3+?+50)+(49+48+? +1)=2500 种 十二.一一对应法: 例 11.在 100 名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场失败要退出比赛)最后产生一名冠军, 要比赛几场? 解:要产生一名冠军,要淘汰冠军以外的所有选手,即要淘汰 99 名选手,要淘汰一名就要进 行一场,故比赛 99 场。

排列组合之七大解题技巧

发布时间:2011-03-05

来源:公务员

排列组合问题是历年江苏公务员考试行测的必考题型,并且随着近年江苏公务员考试越来越 热门,考试中这部分题型的难度也在逐渐的加大,解题方法也趋于多样化。解答排列组合问 题,必须认真审题,明确是属于排列问题还是组合问题,或者属于排列与组合的混合问题; 同时要抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析,还要注意讲究一些策略和 方法技巧。

一、排列和组合的概念

排列:从 n 个不同元素中,任取 m 个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一 列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。

组合:从 n 个不同元素种取出 m 个元素拼成一组,称为从 n 个不同元素取出 m 个元素的一 个组合。

二、七大解题技巧

1.特殊优先法

特殊元素,优先处理;特殊位置,优先考虑。对于有附加条件的排列组合问题,一般采用:先 考虑满足特殊的元素和位置,再考虑其它元素和位置。

例:从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、 乙两名志愿者都不能从事翻译工作,则不同的选派方案共有( )

(a) 280 种 (b)240 种 (c)180 种 (d)96 种

正确答案:【b】

解析:由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,所以翻译工作就是"特殊"位置,因此翻 译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有 c(4,1)=4 种不同的选法,再从其余的 5 人中任选 3 人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有 a(5,3)=10 种不同的选法,所以不同的选派方 案共有 c(4,1)×a(5,3)=240 种,所以选 b。

2.科学分类法

问题中既有元素的限制,又有排列的问题,一般是先元素(即组合)后排列。

对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行科学分类,以便 有条不紊地进行解答,避免重复或遗漏现象发生。同时明确分类后的各种情况符合加法原理, 要做相加运算。

例:某单位邀请 10 为教师中的 6 为参加一个会议,其中甲,乙两位不能同时参加,则邀请 的不同方法有()种。

a.84 b.98 c.112 d.140

正确答案【d】

解析:按要求:甲、乙不能同时参加分成以下几类:

a.甲参加,乙不参加,那么从剩下的 8 位教师中选出 5 位,有 c(8,5)=56 种;

b.乙参加,甲不参加,同(a)有 56 种;

c.甲、乙都不参加,那么从剩下的 8 位教师中选出 6 位,有 c(8,6)=28 种。

故共有 56+56+28=140 种。

3.间接法

即部分符合条件排除法,采用正难则反,等价转换的策略。为求完成某件事的方法种数,如果 我们分步考虑时,会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复,就要考虑用分类法,分类法是 解决复杂问题的有效手段,而当正面分类情况种数较多时,则就考虑用间接法计数.

例:从 6 名男生,5 名女生中任选 4 人参加竞赛,要求男女至少各 1 名,有多少种不同的选 法?

a.240 b.310 c.720 d.1080

正确答案【b】

解析:此题从正面考虑的话情况比较多,如果采用间接法,男女至少各一人的反面就是分别 只选男生或者女生,这样就可以变化成 c(11,4)-c(6,4)-c(5,4)=310。

4.捆绑法

所谓捆绑法,指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先整体考虑,将相邻元素视作一 个整体参与排序,然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。注意:其首要特点是相邻, 其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。

例:5 个男生和 3 个女生排成一排,3 个女生必须排在一起,有多少种不同排法?

a.240 b.320 c.450 d.480

正确答案【b】

解析:采用捆绑法,把 3 个女生视为一个元素,与 5 个男生进行排列,共有 a(6, 6)=6x5x4x3x2 种, 然后 3 个女生内部再进行排列, a(3, 有 3)=6 种, 两次是分步完成的, 应采用乘法,所以排法共有:a(6,6) ×a(3,3) =320(种)。

5.插空法

所谓插空法,指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时,先将其它元素排好,再将指定 的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。

注意:a.首要特点是不邻,其次是插空法一般应用在排序问题中。

b.将要求不相邻元素插入排好元素时,要注释是否能够插入两端位置。

c.对于捆绑法和插空法的区别,可简单记为"相邻问题捆绑法,不邻问题插空法"。

例:若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队,要求甲和乙两个人必须不站在一起,且甲和乙不 能站在两端,则有多少排队方法?

a.9 b.12 c.15 d.20

正确答案【b】

解析:先排好丙、丁、戊三个人,然后将甲、乙插到丙、丁、戊所形成的两个空中,因为甲、 乙不站两端,所以只有两个空可选,方法总数为 a(3,3)×a(2,2)=12 种。

6.插板法

所谓插板法,指在解决若干相同元素分组,要求每组至少一个元素时,采用将比所需分组数 目少 1 的板插入元素之间形成分组的解题策略。

注意:其首要特点是元素相同,其次是每组至少含有一个元素,一般用于组合问题中。

例:将 8 个完全相同的球放到 3 个不同的盒子中,要求每个盒子至少放一个球,一共有多少 种方法?

a.24 b.28 c.32 d.48

正确答案【b】

解析: 解决这道问题只需要将 8 个球分成三组, 然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。 因此问题只需要把 8 个球分成三组即可,于是可以将 8 个球排成一排,然后用两个板插到 8

个球所形成的空里,即可顺利的把 8 个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子 中,第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中,第二个板后面的球放到第三个盒子中 去。因为每个盒子至少放一个球,因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端,于是 其放板的方法数是 c(8,2)=28 种。(注:板也是无区别的)

7.选"一"法,类似除法

对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用 总的排列数除以这几个元素的全排列数。 这里的"选一"是说:和所求"相似"的排列方法有很 多,我们只取其中的一种。

例:五人排队甲在乙前面的排法有几种?

a.60 b.120 c.150 d.180

正确答案【a】

解析:五个人的安排方式有 5!=120 种,其中包括甲在乙前面和甲在乙后面两种情形(这里 没有提到甲乙相邻不相邻,可以不去考虑),题目要求之前甲在乙前面一种情况,所以答案是 a(5,5)÷a(2,2)=60 种。

以上方法是解决排列组合问题经常用的,注意理解掌握。最后,行测中数量关系的题目部分 难度比较大,答题耗时比较多,希望考试调整好答题的心态和答题顺序,在备考过程中掌握 好技巧和方法,提高答题的效率


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