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浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件(理) 第6章6.6 数列的综合应用


1.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c, a,b成等比数列,且a ? 3b ? c ? 10,则a的值 为? A. 4 C. ?2

?
B. 2 D. ?4

?a ? c ? 2b ? 解析:依题意有 ?bc ? a 2 , ?a ? 3b ? c ? 10 ? ?a ? ?4 ? 解得 ?b ? 2 .故选D.

?c ? 8 ?

2.公差不为零的等差数列?an ?的前n项和为S n . 若a4是a3与a7的等比中项,S8 ? 32,则S10等于

? ?

A. 18 C. 60

B. 24 D. 90

2 解析:由a4 ? a3a7,

得 ? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ?,
2

得2a1 ? 3d ? 0. 56 再由S8 ? 8a1 ? d ? 32,得2a1 ? 7 d ? 8, 2 90 解得d ? 2,a1 ? ?3,所以S10 ? 10a1 ? d ? 60. 2 故选C.

3.将等差数列1, 4, 7,10, ?中的各项,按如下方 式分组(按原来的次序,每组中的项数成等比 数列): ?1?, ? 4, 7 ?, ?10,13,16,19 ?,(22, 25, 28,31, 34,37, 40, 43), ?.则2011在第几组中? ? A.第9组 C.第11组 B.第10组 D.第12组

?

解析: 2011是等差数列中的第671项,等比数列 1, 2, 4,8, ?, 2n ?1的前n项和为S n ? 2n ? 1,所以S9 ? 511,S10 ? 1023,所以2011在第10组. 选B.

4.设x ? R,记不超过x的最大整数为? x ?,令 ? x? 5 ?1 5 ?1 5 ?1 ? x ? ? x ?,则{ }, [ ], 2 2 2 A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

? ?

5 ?1 5 ?1 5 ?1 可分别求得{ }? , [ ] ? 1. 2 2 2 则由等比数列的性质易得三者构成等比数列, 故选B.

  5.(2010 ? 浙江调研)已知等差数列?an ?的前n项 和Sn满足:S n ? n 2 ? 2n ? a (n ? N* ),则实数a ? .

解析:a1 ? S1 ? 3 ? a,a2 ? S 2 ? S1 ? 5,a3 ? S3 因为?an ? 是等差数列,所以2a2 ? a1 ? a3, 所以10 ? 10 ? a,所以a ? 0. ? S 2 ? 7,

数列的综合应用通常有三种类型. 1.数列知识范围内的综合应用 数列知识范围内的综合应用的主要题型是等 差、等比数列以及递推数列之间的综合问题. 解此类题型时,要紧扣等差、等比数列的定 义和性质,作出合理的分析并灵活地选择公 式或性质,找出解题的切入点和思路.

2.数列的实际应用问题解数列实际问题常用 的数学模型有:

?1? 构造等差、等比数列的模型,然后利用数
列的通项公式和求和公式求解;

? 2 ? 通过归纳得到结论,再用数列知识求解.

运用数列知识解决实际应用问题时,应在认 真审题的基础上,认准问题的哪一部分是数 列问题,是哪种数列(等差数列、等比数列) 问题,在a1,d (或q ),n,an,S n中哪些量是已 知的,哪些量是待求的,特别是认准项数n 为多少. 总之,充分运用" 观察--归纳--猜想 "的手段, 建立等差(等比)数列或递推数列的模型,再综 合利用其他相关知识来解决问题.

3.数列与其他分支知识的综合应用 该类题型主要为数列与函数、方程、不等式、 三角函数、解析几何等知识的综合.解此类 综合题时,首先要认真审题,弄清题意,分 析出涉及那些数学分支内容,在每个分支中 各是什么问题;其次,要精心分解,把整个 大题分解成若干个小题或步骤,使它们分别 成为各自分支中的基本问题;最后,分别求 解这些小题或步骤,从而得到整个问题的结 论.

是关于x的方程x 2 ? ? 3k ? 2k ? x ? 3k ? 2k ? 0的两 个根,且a2 k ?1 ? a2 k (k ? 1, 2,3, ?).

例题1:已知数列?an ?中的相邻两项a2 k ?1,a2 k

?1? 求a1,a3,a5,a7 及a2 n (n ? 4)(不必证明); ? 2 ? 求数列?an ?的前2n项和S2 n .

2 k k 解析: 1 方程 x ? 3 k ? 2 x ? 3 k ? 2 ? 0的两 ?? ? ?

个根为x1 ? 3k,x2 ? 2 .
k

当k ? 1时,x1 ? 3,x2 ? 2,所以a1 ? 2; 当k ? 2时,x1 ? 6,x2 ? 4,所以a3 ? 4; 当k ? 3时,x1 ? 9,x2 ? 8,所以a5 ? 8; 当k ? 4时,x1 ? 12,x2 ? 16,所以a7 ? 12. 因为当n ? 4时, 2 ? 3n,所以a2 n ? 2 (n ? 4).
n n

? 2 ? S2n ? a1 ? a2 ??? a2 n
? (3 ? 6 ??? 3n) ? (2 ? 2 ??? 2 )
2 n

3n 2 ? 3n n ?1 ? ? 2 ? 2. 2

点评:本题是混合运算问题,考查等差、等 比数列的通项公式和前n项和公式以及等差、 等比数列的性质.解题的关键是将原数列分 解成两个基本数列后再进行比较和求和.

拓展训练:等差数列?an ?的各项均为正数,a1 ? 3,前n项和为Sn, ?bn ? 是等比数列,b1 ? 1,且 b2 S2 ? 64,b3 S3 ? 960.

?1? 求an和bn;

1 1 1 3 ? 2 ?比较 ? ??? 与 的大小. S1 S2 Sn 4

解析: ?1? 设等差数列?an ?的公差为d,等比数 列?bn ?的公比为q. ?q[3 ? ?3 ? d ?] ? 64 ? 由题意得 ? 2 , 3 ? ?3 ? 1? q [3 ? 3 ? ? d ] ? 960 ? ? 2 ?q? 6 ? d ? ? 64 ?d ? 2 即? 2 ,解得 ? . ?q ??3 ? d ? ? 320 ?q ? 8 所以an ? 3 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1,bn ? 8n ?1.

n? n ? 1? ? 2 ? n ? n ? 2 ?, ? 2 ?因为Sn ? 3n ? 2 1 1 1 1 1 所以 ? ? ( ? ), S n n? n ? 2 ? 2 n n ? 2 1 1 1 1 1 1 从而 ? ??? ? ? ??? S1 S 2 S n 1? 3 2 ? 4 n? n ? 2 ? 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )] 2 3 2 4 n n?2 1 3 1 1 3 ? ( ? ? )? . 2 2 n ?1 n ? 2 4

例题2:已知数列?an ?的前n项和为S n,a1 ? 1, 且3an ?1 ? 2 S n ? 3(n为正整数).

?1? 求数列?an ?的通项公式; ? 2 ? 记S ? a1 ? a2 ??? an ??.若对任意正整数n,
kS ? S n 恒成立,求实数k的最大值.

解析: ?1?因为3an?1 ? 2Sn ? 3, 所以当n ? 2时, 3an ? 2Sn ?1 ? 3. 由① ? ②,得3an ?1 ? 3an ? 2an ? 0, an ?1 1 所以 ? (n ? 2). an 3

① ②

1 又因为a1 ? 1,3a2 ? 2a1 ? 3,解得a2 ? , 3 1 所以数列?an ? 是首项为1,公比为q ? 的等比数列. 3 1 n ?1 n ?1 所以an ? a1q ? ( ) (n为正整数). 3

a1 1 3 ? ? , ? 2 ?由?1? 知,S ? 1? q 1? 1 2 3 1 1 ? ? ?n a1 ?1 ? q n ? 3 1 n 3 Sn ? ? ? [1 ? ( ) ]. 1 1? q 2 3 1? 3 由题意可知, 3 3 1 n 对于任意的正整数n,恒有 k ? [1 ? ( ) ]. 2 2 3

1 n 解得:k ? 1 ? ( ) . 3 1 n 因为数列{1 ? ( ) }单调递增, 3 2 所以当n ? 1时,数列中的最小项为 , 3 2 2 所以必有k ? ,即实数k的最大值为 . 3 3

拓展训练:设函数f ? x ?的定义域为R,当x ? 0时, f ? x ? ? 1,且对任意的实数x,y ? R,有f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ?.

?1? 求f ? 0 ?的值,判断并证明函数f ? x ?的单调性;
1 ? 2 ? 若数列?an ? 满足a1 ? f ? 0 ?,且f ? an?1 ? ? f ??2 ? an ? (n ? N* ).

①求数列?an ?的通项公式; 1 1 1 12 ②当a ? 1时,不等式 ? ??? ? an ?1 an ? 2 a2 n 35

? log a ?1 x ? log a x ? 1? 对不小于2的正整数恒成立,
求x的取值范围.

分析: ?1? 令x,y取适当值代入f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ?, 可求得f ? 0 ?的值,借助定义法证明函数的单调性.

? 2 ?中的①要借助?1?的结论,找到an?1与an之间的递
推关系式,从而求得an;②中要使不等式恒成立, 1 1 1 先求出 ? ??? 的最小值,即可求出x的 an ?1 an ? 2 a2 n 取值范围.

解析: ?1? 令x ? ?1,y ? 0,得f ? ?1? ? f ? ?1? f ? 0 ?. 因为f ? ?1? ? 1,所以f ? 0 ? ? 1. 若x ? 0,则f ? x ? x ? ? f ? 0 ? ? f ? x ? f ? ? x ?, 1 故f ? x ? ? ? ? 0,1?,故当x ? R时,f ? x ? ? 0. f ?? x ? 任取x1 ? x2, f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1 ? ? f ? x1 ? f ? x2 ? x1 ?.

因为x2 ? x1 ? 0,所以0 ? f ? x2 ? x1 ? ? 1, 所以f ? x2 ? ? f ? x1 ?,故f ? x ? 在R上是减函数.

? 2 ? ①因为a1 ? f ? 0 ? ? 1,
由f ? x ?的单调性知an ?1 ? an ? 2, 1 1 1 ②设bn ? ? ??? , an ?1 an ? 2 a2 n 则bn ?1 ? 1 an ? 2 ? 1 an ? 3 ??? 1 a2 n ? 2 , 1 f ? an ?1 ? ? ? f ? 2 ? an ?. f ??2 ? an ?

故 ?an ? 是等差数列,所以an ? 2n ? 1.

bn ?1 ? bn ?

1 a2 n ?1

?

1 a2 n ? 2

1 ? an ?1

1 1 1 ? ? ? 4n ? 1 4n ? 3 2n ? 1 1 ? ? 0, ? 4n ? 1?? 4n ? 3?? 2n ? 1? 所以数列?bn ? 是递增数列. 当n ? 2时, ? bn ?min 1 1 1 1 12 ? b2 ? ? ? ? ? , a3 a4 5 7 35

12 12 所以 ? ? log a ?1 x ? log a x ? 1? 恒成立, 35 35 即 log a ?1 x ? log a x ? 1 ? 1,得 log a ?1 x ? log a x, 而a ? 1,如图,得x ? 1.

故x的取值范围是(1, ? ?).

点评:本题考查函数的单调性、数列的递推 公式以及数列的递增性,把函数的单调性与 数列的通项公式有机地结合起来是解题的关 键.

例题3:某市2003年共有1万辆燃油型公交车, 有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交 车,随后电力型公交车每年的投入比上一年 增加50%,试问:

?1? 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车? ? 2 ? 到哪一年底,电力型公交车的数量开始超
1 过该市公交车总量的 ? 3

解析: ?1? 该市逐年投入的电力型公交车的数 量组成等比数列?an ?,其中a1 ? 128,q ? 1.5, 则在2010年应该投入的电力型公交车为a7 ? a1 ? q 6 ? 128 ? 1.56 ? 1458(辆).

? 2 ? 记Sn ? a1 ? a2 ??? an,依据题意得,
Sn 1 ? . 10000 ? S n 3

128?1 ? 1.5n ? 于是S n ? ? 5000(辆), 1 ? 1.5 657 n 即1.5 ? ,则有n ? 7.5,因此n ? 8. 32 所以,到2011年底,电力型公交车的数量开 1 始超过该市公交车总量的 . 3

点评:与等比数列联系较大的是 " 增长率 " " 递减率 "的概念,在经济上要涉及利润、 成本、效益的增减问题;在人口数量的研 究中也要研究增长率问题;金融问题更要 涉及利率的问题,这都与等比数列有关.

拓展训练:某产品具有一定的时效性,在这 个时效期内,由市场调查可知,在不做广告 宣传且每件获利a元的前提下,可卖出b件; 若做广告宣传,广告费为n千元比广告费为n b ?1千元时多卖出 n (n ? N* )件. 2 ?1? 试写出销售量Sn与n的函数关系式;

? 2 ?当a ? 10,b ? 4000时,厂家应生产多少件
这种产品,做几千元的广告,才能获利最大?

解析: ?1? 设S0表示广告费为0元时的销售量. b b 由题意知Sn ? S n ?1 ? n ,S n ?1 ? S n ? 2 ? n ?1 , ?, 2 2 b b S 2 ? S1 ? 2 ,S1 ? S0 ? , 2 2 b b b 将上述各式相加得,Sn ? b ? ? 2 ??? n 2 2 2 1 b[1 ? ? ?n ? 1] 1 2 ? ? b ? (2 ? n ). 1 2 1? 2

? 2 ?当a ? 10,b ? 4000时,设获利为Tn元.
1 由题意知Tn ? 10Sn ? 1000n ? 40000 ? (2 ? n ) ? 2 1000n. 欲使Tn最大, ?Tn ? Tn ?1 ?n ? 5 则? ,代入解得 ? . ?n ? 5 ?Tn ? Tn ?1 所以n ? 5,此时S5 ? 7875. 即厂家应生产7875件这种产品,作5千元的广告, 才能获利最大.

备选题:各项均为正数的数列?an ?,a1 ? a, a2 ? b,且对满足m ? n ? p ? q的正整数m,n, a p ? aq am ? an p,q都有 ? . ?1 ? am ??1 ? an ? ?1 ? a p ??1 ? aq ? 1 4 ?1?当a ? ,b ? 时,求通项an; 2 5 ? 2 ? 证明:对任意a,存在与a有关的常数?, 使得对于每个正整数n,都有 1

?

? an ? ?.

a p ? aq am ? an 解析: ? 得, ?1?由 ?1 ? am ??1 ? an ? ?1 ? a p ??1 ? aq ? a1 ? an a2 ? an ?1 ? . ?1 ? a1 ??1 ? an ? ?1 ? a2 ??1 ? an ?1 ? 1 4 将a1 ? ,a2 ? 代入上式化简得, 2 5 2an ?1 ? 1 an ? . an ?1 ? 2

1 ? an 1 1 ? an ?1 所以 ? ? , 1 ? an 3 1 ? an ?1 1 ? an 故数列{ }为等比数列, 1 ? an 1 ? an 1 3 ?1 从而 ? n ,即an ? n . 1 ? an 3 3 ?1
n

3n ? 1 可验证,an ? n 满足题设条件. 3 ?1

am ? an 的值仅与m ? ? 2 ? 证明:由题设, ?1 ? am ??1 ? an ? n有关,记为bm ? n, a1 ? an a ? an 则bn ?1 ? ? . ?1 ? a1 ??1 ? an ? ?1 ? a ??1 ? an ? a?x 考查函数f ? x ? ? ? x ? 0 ?, ?1 ? a ??1 ? x ? 则在定义域上有

? 1 a ?1 ?1 ? a ? ?1 f ? x? ? g ?a? ? ? a ?1 . ?2 ? a 0 ? a ?1 ?1 ? a ? 故对n ? N*,bn ?1 ? g ? a ? 恒成立. 2an 又b2 n ? ? g ? a ?, 2 ?1 ? an ?

1 注意到0 ? g ? a ? ? ,解上式得, 2 1 ? g?a? ? 1 ? 2g?a? g?a? ? g?a? 1 ? g?a? ? 1 ? 2g?a? 1 ? g?a? ? 1 ? 2g?a? ? an ? , g?a? 1 ? g?a? ? 1 ? 2g?a? 1 取? ? ,即有 ? an ? ?. g?a? ?

点评:求数列的通项时,注意将未知数列转 化为等差、等比数列.

1.等价转化和分类讨论的思想方法在本节中有 重要体现,复杂的数列问题总是要转化为等差、 等比数列或常见的特殊数列问题来解决. 2.数列综合题的解题步骤是:

?1? 审题----弄清题意,分析涉及哪些数学内容,
在每个数学内容中,各是什么问题.

? 2 ? 分解----把整个大题分解成几个小题或几个
"步骤 ",每个小题或每个小"步骤 " 分别是数列问 题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等等.

? 3? 求解----分别求解这些小题或小"步骤 ",
从而得到整个问题的答案. 3.解决数列的应用问题必须准确探索问题 所涉及的数列的类型:

?1? 如果问题所涉及的数列是特殊数列(如等
差数列、等比数列,或与等差、等比有关 的数列等等),应首先确定数列的通项公式.

? 2 ? 如果问题所涉及的数列不是某种特殊数列,
一般应考虑先建立数列的递推关系(即an与an ?1 的关系).

? 3? 解决数列的应用问题必须准确计算项数,
例如与" 年数 " 有关的问题,必须确定起算的 年份,而且应准确定义an是表示 " 第n年 " 还是 " n年后".

例题:设数列?an ? 是正数组成的等比数列, lgSn ? lgSn? 2 Sn是其前n项和,证明 ? lg Sn?1. 2

错解:因为S n ? S n ? 2 ? S

2 n ?1

a1 ?1 ? q n ? a1 ?1 ? q n ? 2? a12 ?1 ? q n ?1 ?2 ? ? ? 2 1? q 1? q ?1 ? q ? a n ?1 n n?2 ? 2q ? q ? q ? 2 ? ?1 ? q ? ?a12 ? q n 2 2 n ? q ? 1 ? ? a ? 1 q ? 0. 2 ? ?1 ? q ?
2 1

(因为a1 ? 0,q ? 0),所以Sn ? Sn? 2 ? S .
2 n ?1 2 由对数函数的单调性知 lg( Sn ? Sn? 2 ) ? lg Sn ?1,

lgSn ? lgSn? 2 进而得 ? lg Sn?1. 2
错解分析:上述过程中所用的求和公式,都 是当q ? 1时才成立的,没有考虑q ? 1时的情况, 因此证明过程不完整.

正解:需补上q ? 1时的情况. 事实上,当q ? 1时,Sn ? na1, Sn ? Sn ? 2 ? S
2 n ?1

? na1 ? ? n ? 2 ? a1 ? ? ?? n ? 1? a1 ? ? ?
2

2 ?a12 ? 0(因为a1 ? 0),所以Sn ? Sn ? 2 ? Sn ?1,

lgSn ? lgSn ? 2 所以 ? lg Sn ?1. 2


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