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(8)三角函数、解三角形(教师版)


(8)三角函数、解三角形(教师版)

二,2010 年广东省各地模拟试题
1.(惠州市 2010 届高三第三次调研理科) 已知 f ( x) ? cos(? x ?

?
3

),( ? ? 0) 的图像与 y ? 1

的图像的两相邻交点间的距离为 ? , 要得到 y ? f ( x) 的图像, 只须把 y ? sin ? x 的图像 ( ) B. 向右平移

5 ? 个单位 12 11 C. 向左平移 ? 个单位 12
A.向左平移 【答案】A 【解析】 把 y ? sin 2 x 的图像向左平移

5 ? 个单位 12 11 D. 向右平移 ? 个单位 12

? 个单位, 可得到 y ? cos 2 x 的图像, 再把 y ? cos 2 x 4 ? ? 5? 的图像向向左平移 个单位,即可得到 y ? cos(2 x ? ) 的图像,共向左平移 3 12 6
个单位。 )

2. (惠州市 2010 届高三第三次调研文科) cos2 6000 等于( A. ? 【答案】D 【解析】 cos 600 ? cos120 ? ?
2 0 0

3 2

B.

3 2

C. ?

3 2

D.

1 2

1 1 ? .∴选 D。 2 2
B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

3. (2010 年揭阳市高考一模试题理科) 设函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) ,x ? R , 则 f ( x) 是 ( ) A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 【答案】B 【解析】 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) ? ? cos 2 x ,可知答案选 B. 4. (2010 年揭阳市高考一模试题文科)已知 sin( A. ?

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

7 9
?
2 ??) ?

B.

7 9

1 ? ? ) ? ,则 cos(? ? 2? ) 的值为 2 3 2 2 C. D? 9 3

?

【答案】B 【解析】由 sin( 选 B.

1 7 1 2 得 cos ? ? , cos(? ? 2? ) ? ? cos 2? ? ?(2 cos ? ? 1) ? , 3 9 3

5. (2010 年揭阳市高考一模试题文科)如图,设 A、B 两点在河 的两岸,一测量者在 A 的 同侧,在所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50m,∠ ACB=45°, ∠CAB=105°后,就可以计算出 A、B 两点的距离为 A. 50 2 m 【答案】A B. 50 3 m C. 25 2 m D. 25 2 m 2

【解析】由正弦定理得

AC ? sin ?ACB 50 ? AB AC ? AB ? ? 1 ? sin ?ACB sin ?B sin ?B 2

2 2

? 50 2 ,选 A

6. (佛山市顺德区)在 ?ABC中, " sin A ? A.充分不必要条件 C.充要条件

3 ? "是" ?A ? " 的( A 2 3
B.必要不充分条件

)

D.既不充分也不必要条件

7. (2010年3月广州市高三一模数学文科试题)已知 sin ? ? A. ?

24 25

B. ?

7 25

3 ,则 cos 2 ? 的值为( C ) 5 7 24 C. D. 25 25

b, c 分别为角 8 . (2010 年 3 月深圳市高三年级第一次调研考试文科 ) 在 ?ABC 中, a , A, B, C 所对边,若 a ? 2b cos C ,则此三角形一定是(

C )

A.等腰直角三角形 C.等腰三角形

B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

9. (江门市 2010 届高三数学理科 3 月质量检测试题) 函数 f ( x) ? cos2x ? 2 3 sin x ? cos x

的最小正周期是
2 2 2

. ?


10. (2010 年 3 月广州市高三一模数学文科试题)在△ ABC 中,三边 a 、 b 、 c 所对的角

C, 分别为 A 、B 、 若 a ? b ? c ? 2ab ? 0 , 则角 C 的大小为

3? (或 135 ) 4

三,2010 年全国各地高考真题
1.(2010 上海文数)若△ ABC 满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC ( ) (A)一定是锐角三角形. (B)一定是直角三角形. (C)一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 解析:由 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13 由余弦定理得 cosc ?

5 2 ? 112 ? 132 ? 0 ,所以角 C 为钝角 2 ? 5 ? 11

2. (2010 全国卷 2 理数) 为了得到函数 y ? sin(2 x ? 的图像( )

?
3

) 的图像, 只需把函数 y ? sin(2 x ?

?
6

)

? 个长度单位 4 ? (C)向左平移 个长度单位 2
(A)向左平移

? 个长度单位 4 ? (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移

【答案】B 【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.

x? 【解析】 y ? sin(2 y ? sin(2 x ?

?
6

) sin 2( x ? =

?
6

) 的图像向右平移

? ? 个长度单位得到 y ? sin(2 x ? ) 的图像,故选 B. 3 4
( ) (B)最小正周期为 2π 的偶函数 (D)最小正周期为π 的偶函数

) , y ? sin(2 x ? ) = ? sin 2( x ? ) , 所 以 将 12 3 6

?

?

?

3.(2010 陕西文数)函数 f (x)=2sinxcosx 是 (A)最小正周期为 2π 的奇函数 (C)最小正周期为π 的奇函数 解析:本题考查三角函数的性质 f (x)=2sinxcosx=sin2x,周期为π 的奇函数 4.(2010 全国卷 2 文数)已知 sin ? ? (A) ?

2 ,则 cos( x ? 2? ) ? ( 3

)

1 1 5 5 (B) ? (C) (D) 9 9 3 3 1 9

【解析】B:本题考查了二倍角公式及诱导公式,∵ SINA=2/3,

cos(? ? 2? ) ? ? cos 2? ? ?(1 ? 2sin 2 ? ) ? ?


5.(2010 重庆文数)下列函数中,周期为 ? ,且在 [ (A) y ? sin(2 x ? (C) y ? sin( x ?

? ?

?
2 )

, ] 上为减函数的是( 4 2

)

)

(B) y ? cos(2 x ? (D) y ? cos( x ?

?
)

?

?
2

2

)

解析:C、D 中函数周期为 2 ? ,所以错误 当 x ?[

2

? ?

? ? ? 3? ? , ] 时, 2 x ? ? ?? , ? ,函数 y ? sin(2 x ? ) 为减函数 4 2 2 2 ? 2 ?
?
2 ) 为增函数,所以选 A

而函数 y ? cos(2 x ?

6.(2010 重庆理数) 已知函数 y ? sin ?? x ? ? ? (? ? 0, ? ? 所示,则( A. D. )

?
2

) 的部分图象如题(6)图

? ? =1 ? =

? ? =2 ? = -

6

B.

? =1

? =- ? 6

C.

? ? =2 ? =

6

6

? T ? ? ?? ? 2 由五点作图法知 2 ? 解析:

?
3

?? ?

?
2

,? = -

? 6

7.(2010 四川理数)将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动

? 个单位长度,再 10

把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是 (A) y ? sin(2 x ?

?
10

) )

(B) y ? sin(2 x ?

?
5

)

(C) y ? sin( x ?

) 20 ? 解析:将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度,所得函数图象的解 10 ? 析式为 y=sin(x- ) 10 10
再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是

1 2

?

(D) y ? sin( x ?

1 2

?

1 ? y ? sin( x ? ) . 2 10
答案:C 8.(2010 天津文数)

? ? 5? ? 为了得到这个 右图是函数y ? Asin (? x +?)(x ? R)在区间 ?- , ? 上的图象, ? 6 6 ?
函数的图象,只要将 y ? sin x(x ? R) 的图象上所有的点

(A)向左平移 原来的

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到 3 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长 3

1 倍,纵坐标不变 2

(B) 向左平移

到原来的 2 倍,纵坐标不变

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 6 ? (D) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6
(C) 向左平移 【答案】A

【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识,属于中等题。

? , 6 ? ? ? 0)可得 ? 的一个值为 ,故图像中函数的一个表达式是 y=sin(2x+ ),即 y=sin2(x+ ), 3 3 6 ? 所以只需将 y=sinx(x∈R)的图像上所有的点向左平移 个单位长度,再把所得各点的横 6 1 坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变。 2 【温馨提示】根据图像求函数的表达式时,一般先求周期、振幅,最后求 ? 。三角函数图像 1 进行平移变换时注意提取 x 的系数,进行周期变换时,需要将 x 的系数变为原来的 ?
由图像可知函数的周期为 ? ,振幅为 1,所以函数的表达式可以是 y=sin(2x+ ? ).代入(9.(2010 天津理数)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ? b ? 3bc ,
2 2

sin C ? 2 3 sin B ,则 A=(
(A) 30
0

) (C) 120
0

(B) 60

0

(D) 150

0

【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用,属于中等题。 由由正弦定理得

c 2 3b ? ? c ? 2 3b , 2R 2R
所以 cosA=

b2 +c2 -a 2 ? 3bc ? c 2 ? 3bc ? 2 3bc 3 ? = ,所以 A=300 ? 2bc 2bc 2bc 2

【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边 运算。 10.(2010 福建文数)2.计算 1 ? 2sin 22.5 的结果等于( )

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

3 2

【解析】原式= cos 45 =

2 ,故选 B. 2

【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值 11.(2010 全国卷 1 文数) cos 300? ? ( (A) ? )

3 2

(B)-

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】 cos 300? ? cos ? 360? ? 60? ? ? cos 60? ?

1 2
)

12.(2010 全国卷 1 理数)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ? (

A.

1? k2 k

B. -

1? k2 k

C.

k 1? k
2

D. -

k 1? k2

13(2010 湖北文数)函数 f(x)= A.

? 2
【答案】D

x ? 3 sin( ? ), x ? R 的最小正周期为( 2 4
C.2 ? D.4 ?

)

B.x

【解析】由 T=|

2? |=4π ,故 D 正确. 1 2

14.(2010 湖北理数)在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B =( A -

)

2 2 3

B

2 2 6 C - D 3 3

6 3

3. 【答案】D 【解析】根据正弦定理
3 a b 15 10 可得 解得 sin B ? ,又因为 b ? a ,则 ? ? 3 sin A sin B sin 60 sin B 6 ,故 D 正确. B ? A ,故 B 为锐角,所以 cos B ? 1 ? sin 2 B ? 3

15.(2010 福建理数) 计算sin43 cos13 -sin13 cos 43 的值等于(



A.

1 2

B.

3 3

C.

2 2

D.

3 2

【答案】A 【解析】原式= sin (43 -13 )= sin 30 =

1 ,故选 A。 2

【命题意图】 本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数, 考查基础 知识,属保分题。 16. (2010 浙江理数) 函数 f ( x) ? sin(2 x ? 解析: f ?x ? ?

?
4

) ? 2 2 sin 2 x 的最小正周期是______________

2 ? ?? sin? 2 x ? ? ? 2 故最小正周期为π ,本题主要考察了三角恒等变换及 2 4? ?

相关公式,属中档题

tan(? ? 2a ) ? ? 17. (2010 全国卷 2 理数) 已知 a 是第二象限的角,

4 n t a? , 则a 3



【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程,考查考生 的计算能力. 【 解 析 】 由 tan(? ? 2a ) ? ?

4 4 2 ta? n 4 2? ? ? ,解得 得 tan 2a ? ? , 又 t a n a 2 3 3 1 ? t a n? 3 1 1 tan ? ?? 或 ta ?n? ,又 2 a 是第二象限的角,所以 tan ? ? ? . 2 2
2

18.(2010 浙江文数)函数 f ( x) ? sin (2 x ? 答案:

?

4

) 的最小正周期是

? 2
2? ,则 a= 3


19.(2010 北京文数)在 ?ABC 中。若 b ? 1 , c ? 3 , ?c ? 答案:1

20. (2010 广东理数) 11.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边, 若 a=1,b= 3 , A+C=2B,则 sinC= .

11. 1. 解: 由 A+C=2B 及 A+ B+ C=180°知, B =60°. 由正弦定理知, 即 sin A ?

1 3 , ? sin A sin 60

1 .由 a ? b 知, A ? B ? 60 ,则 A ? 30 , 2

C ? 180 ? A ? B ? 180 ? 30 ? 60 ? 90 , sin C ? sin 90 ? 1
21. ( 2010 全 国 卷 1 文 数 ) (14) 已 知

? 为 第 二 象 限 的 角 , sin a ?

tan 2? ? . 24 14. ? 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的 7
正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为 ? 为第二象限的角,又 sin ? ? 所 tan(2? ) ?

3 ,则 5

2 tan ? 24 ?? 2 1 ? tan ? 7

3 4 sin ? 3 ?? , , 所以 cos ? ? ? , tan ? ? 5 5 cos ? 4


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