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等比数列求和课件讲课2邵毓敏


人教版中等职业教育教材 数学(基础模块)下册

第六章第三节(第2课时)

等比数列的前n项和
数学系 邵毓敏

一、复习回顾
抢答:下列数列是等差数列吗?是等比数列吗? 不等差也不等比 (1) 1, 2, 4, 6, 8, 10 ?? 等差不等比 (2) 0, 1, 2, 3, 4 ?? 既等差也等比 (3) 3, 3, 3, 3, 3 ?? 等差不等比 (4) 0, 0, 0, 0, 0 ?? 等比不等差 (5) 81, 27, 9, 3, 1 ?? 不等差也不等比 (6)16, 8, 4, 2, 0, -2 ?? (7) 1, -1, 1, -1, 1, -1 ?? 等比不等差 (8)2, 4, 8, 16, 32 ?? 等比不等差

二、创设情境 呈现问题
王总:好,我有两个方案. 方案一:在一个月中,我每天给你10万; 方案二:在一个月中,我第一天给你一万, 以后每天比前一天多给你一万元.

李总:最近资
金周转不灵, 请王总帮忙!

二、创设情境 呈现问题
王总:无论哪种方案,在这一个 多钱!我可赚大了,
月中,按下列方法还钱就行;第一 我要是订了两个月, 天1分;第二天2分;第三天4 三个月那该多好啊! 分……后一天还钱数是前一天的2 倍.

李总:哈哈!这么

李总:王总,
你不是开玩笑 吧!我们签合 同!

想一想: 果真如此吗? 如果你是李总, 你会签合同吗?

二、创设情境 呈现问题
贷款钱数:方案一:

问题转化

建立模型

T '30 ? 10 ? 10??? =300 10 (万元) ?? ? ? ?? ?
30个

方案二

T30

?1?? 30 ? ? 30 ? 465 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 30 ? 万元 ?
2

? 万元? .

还款钱数:S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 229 ? 分 ? ? ?

三、观察分析 探索规律
问题:如何求还款钱数S30?T30和S30哪个大?

S30 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ,
2 3 29

① ②

2S30 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 .
2 3 29 30

由 ①?② ,得 ?1 ? 2 ? S30 ? 1 ? 2 ,
30

即S30 ? 2 ?(分) 1 .
30

错位相减法

? 1073741823 ? 分 ? ? 1073.74 ? 万元 ? .

S30 ? 1073.74 ? 万元 ? ? 465(万元) T30 ?

王总:这是
我做的最成功 的一笔生意!

要冷静哦!

三、观察分析 探索规律
2是公比! 2是什么?

S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 229 ,
2S30 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 .
2 3 29 30

类 比

从特殊到一般 乘公比q!

qSn ? qa1 ? qa2 ? qa3 ? ? qan ?1 ? qan


Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? an ?1 ? an



a2 ? qa1 , a3 ? qa2 ,?, an ? qan?1. 转 化

qSn ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ? an ? an q



二、观察分析 探索规律 2 3 29 S30 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 , ① 2是公比!
模 仿
2 3 29 30

乘公比错位相减

2S30 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 . ②

特 殊

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? an ?1 ? an 乘公比q!
a1 ? an q 由 ①?② ,得 Sn ? (q ? 1) 1? q
思考: 1、当

① ②

qSn ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ? an ? an q
q ? 1 时, S n

一 般

乘公比错位相减

??

2、 由通项公式 an

? a1q

n ?1

,你还能得出

Sn ? ?

四、归纳总结 应用规律
等比数列前n项和公式
? na1 ? Sn ? ? a ? a q a1 ?1 ? q n ? 1 n ? ? 1? q ? 1? q

两者不能兼容, 体会分类讨论 的必要性.

? q ? 1? ? q ? 1?
从已知条件中, 你得到什么信 息?

1 1 1 求等比数列 ,,, 的前8项的和. ? 例1 2 4 8
1? ?1? 1 ?1 ? ? ? 2? ?2? 1 1 解:因为a1 ? , q ? 4 ? , n ? 8, 所以S8 ? ? 1 2 1 2 1? 2 2
8

? ? ? 255 ?? . 256

四、归纳总结 应用规律
等比数列前n项和公式
? na1 ? Sn ? ? a ? a q a1 ?1 ? q n ? 1 n ? ? 1? q ? 1? q

知三求一

? q ? 1? ? q ? 1?

?1? a1 ?1 ? ? ? ? ? ?2? ? ? .解得a ? 8 解:根据等比数列前n项和公式及已知条件得:15= ? 1 1 1? 2

1 例2 在等比数列 {an }中,已知 q ? , S4 ? 15.求a1 2 ? ?
4

五、讲述经典 感叹数学
第1格: 第2格: 第3格: 第4格: …… 第63格: 第64格: 1

2 22

23
2 62

2 63

几袋麦子! 我满足你!

经过计算,得到麦粒总数是

1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 263 ? 264 ? 1(粒).
=18446744073709551615(粒) 已知麦子每千粒约为40克,则折合约为 737869762948382064克≈7378.7亿吨竟 然是当时全世界2000年内生产粮食的总

(西 萨)

和!

(国 王)

五、讲述经典 感叹数学
2012是世界末日吗?
让我们来看看印度教主神梵天的预言:在印度北部的圣庙里, 一块铜板上插着三根宝石针.梵天在创造世界的时候,在其中 一根针上从下到上穿好了由大到小的64片金片,这就是所谓梵 塔.不论白天黑夜,总有一个僧人在按照下面的法则,在三根 针上移动这些金片:一次只移动一片,不管在哪根针上,小片 必须在大片上面.当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到 另外一根针上时,这一天就是世界末日!不管这个传说是否可 信,如果考虑把64片金片,由一根针上移到另一根针上,并且 始终保持上小下大的顺序,一共需要移动多少次?
4 3 2 1

A

B

目标柱C

A 从下到上: 第1片 移动次数:

B 第2片 第3片

目标柱C 第4片 …… 第64片

1

2

22

23 ?? 263

梵塔的秘密: 不管把哪一片移到另一根针上,移 动的次数都要比移动下面一片增加一倍.

至少需要移动的次数= 1 ? 21 ? 22 ? ? ? 263 ? 264 ?1 =18446744073709551615 (次) 假如每秒钟移动一次,一年大约有31536000秒, 计算表明,移完这些金片至少需要5800多亿年!

练习巩固

熟悉公式

1.根据下列各组条件,求相应等比数列 {an } 的前n项和 S n :

(1)a1 ? 3, q ? 2, an ? 96;

(2)a1 ? 1, q ? ?3, n ? 81;
(3)a1 ? ?2, q ? 1, n ? 10;

小结
今天你学了什么?

它如何得到?

它又有何用?

小 结
当q ? 1时,
1、等比数列前n项和:

a1 ? an q Sn ? 1? q

a1 (1 ? q n ) Sn ? 1? q

S 当q ? 1时, n ? na1.
2、注意根据已知条件,选择适当的公式. 3、学会建立等比数列的数学模型,来解决 实际问题. 本节课你学习到了新知 识,要努力哦!

乘 公 比 错 位 相 减 法

布置作业

巩固新知

作业:

A组 B组

1、2 (必做) 1 (选做)

课外阅读:教材第28页“耗子穿墙”,巩固拓展.


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