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21.1.1.2排列与排列数公式


排列 与 排列数公式

四、几种特殊的排列 1.优先排列 例5 6人排一排,甲不在头,也不在尾,有几种排法?

解法一: 特殊位置 (头和尾) A A ? 480
2 2 44 P5 P4 5 4

1 解法二: 特殊元素 (甲) A41A55 ? 480 P4 P5

解法三: 间接法

A

6 6 P6 6

? 2 P ? 480 A
5 5 55

2.集团排列(捆绑法)
例 6 已知 4 男3女排成一排,①男一起;②女一起; ③男一起,女一起,分别有几种排法?
4 (1)第一步:排男生有44 P4

A

第二步:把男生捆绑在 一起后看作一个整体, P44 4 有 A4
4 ?共有P44 ? A444 ? 576 A P4

② A33A55 ? 720 P3 P5
2 A4 A3 A2 ③ P44 P33 P22 ? 288

3.间隔排列 例 7 已知 4 男3女排成一排,①男不一起;②女不一起;
③男不一起,女不一起,分别有几种排法? (1)第一步:排女生有33 P3 A3
第二步:女生之间加上 两端共有 4个空位排男生,即 A P
33 4 ? 共有PA3?A444 ? 144 P 3

4 4 4 4

② P P ? 1440 A A
4 3 4 3 4 5 4 5

③ P P ? 144
3 4 3 4 A3 A4 3 4

例8 已知 4 男 4 女排成一排,男不一起且女不一起, 有几种排法?

解: ? ?? ?? ?? 或 ? ?? ?? ?? ? ?
4 3 1 A44P43 P21 ? 1152 P4 A4 A2

4.有序排列
例9 已知5 人比赛跑步,甲比乙快,有几种情形?
5 A5 / 2 ? 60 解:甲比乙快和甲比乙慢的情形一样多, P5

例10 a , b , c , d , e , f ,按 a , b , c 顺序的排列有几种?

P666 A6 解: 3 ? 120 P333 A
例11 书架上有 6 本书,插入 3 本,要求不改变原顺序, 有几种插法?
9 9 A9 P9 解: 6 ? 9 ? 8 ? 7 ? 504 P666 A

综合练习 2. 七人站成一排照相
(1) 有几种站法? (2) 若甲必须站在中间,有几种站法? (3) 若甲不能站两端,有几种站法? (4) 若甲、乙必须相邻,有几种站法?

解: P777 ? 5040 (1) A 7
A66 ? 720 (2) 先将其余6人排好,再将甲插在中间即可。P66
1 6 A51A66 ? 3600 (3) P5 P6

A66 P22 ? 1440 (4) 先合后分。P6 A2

5. 从 1, 2,?,9 中取出5 个,组成无重复数字的五位数。规定 奇数数字必须排在奇数位号,求这样的五位数的个数。

解:奇数位上只能放奇数,而偶数位上皆可。
3 2 2 A3 A5 P6 ? 2520 个 ? 共有 P

4

7

9. 穿有 1 ~ 8 号运动衣的 8 位运动员排成一排,其中 4 号运动员 必须排在号码比他大的运动员左边,共有几种排法?

解:设有 x 种排法,
把 4 号分别与 5, 6, 7 , 8 号运动员互换位置,仍然分别得到 x 种排法。

? 5 x ? A88 ? 8! ? x ? 8064 P88

10. 2 名教师, 名学生排二排照相,前排 3 人,后排 4 人。 5 (1) 共有几种排法? (2) 两教师在前排? (3) 两教师相邻且在前排? (4) 教师甲在前排,乙在后排?

解:本题关键在于将两排对应到一排。
A (1) P ? 5040
7 7 77
2 5 A32A55 ? 720 (2) P3 P5

1 A22 A22 2 5 A (3) 将 2 教师作为一个整体,先合后分,P21P2AP5544 ? 480

1 1 A1 A A3P414P55 ? 1440 (4) P3 55

12. 10 个同学排一队行走,要求 4 女相邻,且既不走前面, 又不走后面,问有几种排法?

解:P511P66 P44 ? 86400 A A6 A 4
5 6 4

(6个人中间5个空)

13. 用1, 2,?, 7 排成无重复数字的七位数。 (1) 偶数不相邻,有几种排法? (2) 偶数一定在奇数位上? (3) 奇数位上一定是奇数,偶数位上一定是偶数?

解: 间隔排列。P P (1)

4 3 4 3 A4 A5 4 5

(2) 先在 4 个奇数位上排偶数。A433A4444 P4 P
(3) A444A33 P P3

14. 3 人坐8 个位置,要求每人两旁都为空位,有几种?
解:由题意,有 5 个空位。

只要在 5 个空位之间的 4 个间隔插入 3 人即可。
3 ? 有 A443 ? 24 种。 P

15. 9 个座位坐 6 人,要求 3 个空位各不相邻,有几种?

解:先将 6 人排好,再将 3 个空位插入 7 个间隔中即可。
A 6 A3 ? 3个空位是相同的,? 共有 P66 P77 / 3! ? 25200 个。

16. 有 8 名划船手共划一条船参加比赛,其中 2 人只能左, 人 3 只能右。现要使两边各有 4 人,分别负责不同岗位,问: 有多少种安排方式?

解:有 3 人能左能右,在其中选一人到右边。
1 4 4 A1 P44 P44 ? 1728 P33 A A4


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