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2014佛山一模(文数)【含答案--全WORD--精心排版】


佛山市普通高中 2014 届高三教学质量检测(一) 数学文试题
一、选择题: A. ? 0, ?? ? B. ?0,1? 1.已知函数 y ? ln x 的定义域 A , B ? x 0 ? x ? 1 ,则 A C. ? 0,1?

?

?

B?(

) D. ?0,1? )

>
2.已知 a, b ? R , i 为虚数单位,若 a ? 1 ? bi ?

A. 2 B. 3 C. 4 3.设函数 y ? 2sin 2 x ? 1 的最小正周期为 T ,最大值为 A ,则( A. T ? ? , A ? 1 B. T ? 2? , A ? 1

2i ,则实数 a ? b ? ( 1? i D. 5
) C. T ? ? , A ? 2 )

D. T ? 2? , A ? 2

4.已知 a ? 1 , b ? (0, 2) ,且 a b ? 1 ,则向量 a 与 b 夹角的大小为( A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

5.给定命题 p :若 x ? R ,则 x ?

1 ? 2 ;命题 q :若 x ? 0 ,则 x 2 ? 0 . x

则下列各命题中,假命题的是( ) A. p ? q B. ? ?p ? ? q C. ? ?p ? ? q D. ? ?p ? ? ? ?q ?
图1

6.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图 1 所示,其中俯视图是中心角 为 60 ? 的扇形,则该几何体的体积为( ) A.

? 3

B.

2? 3

C. ?

D. 2?

7.若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下: f (1) = -2 f (1.375) = -0.260
3 2

f (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162

f (1.25) = -0.984 f (1.40625) = -0.054 D. 1.5 )
开始 输入n

那么方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个最接近的近似根为( ) A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 8.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 7 ,则输出的 s 的值为( A. 22 B. 16 C. 15 D. 11 9.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点, 则该椭圆的离心率为( )

i=1,S=1 i<n?
是 否

1 A. 3
2

1 B. 2

3 C. 3
2

2 D. 2
a , b

10.将 n 个正整数 1 、 2 、 3 、…、 n ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数表. 对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数 a 、 b ( a ? b )的比值

S=S+i 1 i=i+1

输出S 结束

称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当 n ? 2 时,数表的所有可能的 “特征值”最大值为( ) A.

3 2

B.

4 3

C. 2

D. 3

二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(9~13 题) 11.一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本. 已知乙层中每个个体被抽 到的概率都为

1 ,则总体中的个体数为 9

.

1

? x 2 ? 2 x, x ? 0 12.已知函数 f ? x ? ? ? 2 . 若 f ? a ? ? 3 ,则 a 的取值范围是 ?? x ? 2 x, x ? 0

.

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.若实数 x、 y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,且直线 y ? k ( x ? 1) 将可行域分成面积相等的两部分,则 k 的值为______. ?x ? 1 ?
(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线 C1 : ? cos ? ? 1与 C2 : ? ? 4cos? 的交点分别为 A 、 B ,则 AB ? .
B O C

15.(几何证明选讲) 如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC ,已知

AD ? 3 , AC ? 3 3 ,圆 O 的半径为 5 ,则圆心 O 到 AC 的距离为



A

D

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? (Ⅰ ) 求 cos B 的值; (Ⅱ )设函数 f ( x) ? sin ? 2x ? B ? ,求 f ?

?? ? ? 的值. ?6?

3 b,B ?C . 2

17.(本题满分 12 分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有 10 名同学,现测得排球队 10 人的身高(单位: cm ) 分别是: 162 、170 、171 、182 、163 、158 、179 、168 、183 、168 , 篮球队 10 人的身高(单位: cm )分别是:170 、 159 、 162 、 173 、 181 、 165 、 176 、 168 、 178 、 179 . (Ⅰ ) 请把两队身高数据记录在如图 4 所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算); (Ⅱ ) 现从两队所有身高超过 178 cm 的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率 是多少? 排球队 篮球队

图4

2

18. (本题满分 14 分)如图 5 , 矩形 ABCD 中,AB ? 12 ,AD ? 6 ,E 、F 分别为 CD 、AB 边上的点, 且 DE ? 3 ,

BF ? 4 ,将 ?BCE 沿 BE 折起至 ?PBE 位置(如图 6 所示),连结 AP 、 PF ,其中 PF ? 2 5 . (Ⅰ ) 求证: PF ? 平面 ABED ; (Ⅱ ) 在线段 PA 上是否存在点 Q 使得 FQ // 平面 PBE ?若存在,求出点 Q 的位置;若不存在,请说明理由. (Ⅲ ) 求点 A 到平面 PBE 的距离.
D E

.

C D

P C F
图6

E B

A
图5

.F

B

A

19.(本题满分 14 分)如图 7 ,椭圆 C 的两个焦点分别为 F 1 ? ?1,0 ? 、 F 2 ?1,0? ,且 F2 到直线 x ? 3 y ? 9 ? 0 的距 离等于椭圆的短轴长. (Ⅰ ) 求椭圆 C 的方程;(Ⅱ ) 若圆 P 的圆心为 P ? 0, t ? ( t ? 0 ),且经过 F1 、 F2 , Q 是椭圆 C 上的动点且在圆 P 外,过 Q 作圆 P 的切线,切点为 M ,当 QM 的最大值为

3 2 时,求 t 的值. 2 y

F1 O

.

. F

2

x

图 7

3

20.(本题满分 14 分)数列 ?an ? 、?bn ? 的每一项都是正数,a1 ? 8 , b1 ? 16 ,且 a n 、bn 、an ?1 成等差数列,bn 、an ?1 、

bn ?1 成等比数列, n ? 1,2,3,.....
(Ⅲ )记

(Ⅰ )求 a 2 、 b2 的值; (Ⅱ )求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式;

1 1 1 1 1 1 ? ? ,证明:对一切正整数 n ,有 ? ? ? cn an an ?1 c1 c2 c3

?

1 3 ? . cn 8

21.(本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x x ? a ? ln x . (Ⅰ )若 a ? 1 ,求 f ? x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程; (Ⅱ )求函数 f ? x ? 的极值点.

1 2

4

2014 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一) 数学试题(文科)参考答案和评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 C 5 D 6 D 7 C 8 B 9 D 10 A

二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 180 12. (??,1] 13. ? 3 14. 2 3 15. 2 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分)

3 2 b a 2 ? c2 ? b2 3 3 ? 4 2 ? 【解析】(Ⅰ )因为 B ? C ,所以 c ? b ,…2 分,又 a ? ,…5 分 b ,所以 cos B ? 2ac 4 2 3b

13 , ………7 分 4 ? ? 3 3 1 13 3 ? 13 ?? ? ?? ? 所以 f ? ? ? sin ? ? B ? ? sin cos B ? cos sin B ……10 分, ? . ……12 分 ? ? ? ? 3 3 2 4 2 4 8 ?6? ?3 ?
(Ⅱ )由(Ⅰ )得 sin B ? 1 ? cos B ?
2

17.(本题满分 12 分) 【解析】(Ⅰ )茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ……………………………5 分 (Ⅱ ) 两队所有身高超过 178 cm 的同学恰有 5 人,其中 3 人来自 排球队 排球队,记为 a , b, c , 2 人来自篮球队,记为 A, B ,则从 5 人中抽 取 3 名同学的基本事件为: abc , abA , abB , acA , acB , aAB , bcA , bcB , bAB , cAB 共 10 个;……………………………9 分 其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有: abA , abB , acA , acB , bcA , bcB 共 6 个,………………11 分 所以,恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是

篮球队

3 2 18
9 1 0 17 8 8 3 2 16 8 15

1
0 3 6 8 9

2 5 8
9

6 3 ? .…………12 分 10 5

18.(本题满分 14 分) 【解析】(Ⅰ )连结 EF ,由翻折不变性可知, PB ? BC ? 6 , PE ? CE ? 9 ,
2 2 2 在 ?PBF 中, PF ? BF ? 20 ? 16 ? 36 ? PB ,所以 PF ? BF ………2 分

在图 1 中,易得 EF ? 6 ? ?12 ? 3 ? 4 ? ? 61 ,
2 2

P Q

在 ?PEF 中, EF ? PF ? 61 ? 20 ? 81 ? PE , 所以 PF ? EF ………………………………………4 分 A 又 BF EF ? F , BF ? 平面 ABED , EF ? 平面 ABED , 所以 PF ? 平面 ABED .…………………6 分 (Ⅱ ) 当 Q 为 PA 的三等分点(靠近 P )时, FQ // 平面 PBE . 证明如下:
2 2 2

D

E F B

C

2 2 AP , AF ? AB ,所以 FQ // BP …………………………………………………………8 分 3 3 又 FQ ? 平面 PBE , PB ? 平面 PBE ,所以 FQ // 平面 PBE .…………………………………………10 分 (Ⅲ ) 由(Ⅰ )知 PF ? 平面 ABED ,所以 PF 为三棱锥 P ? ABE 的高. ………………………………11 分 设点 A 到平面 PBE 的距离为 h ,由等体积法得 VA? PBE ? VP? ABE , ……………………………………12 分 1 1 1 1 即 ? S ?PBE h ? ? S ?ABE ? PF ,又 S ?PBE ? ? 6 ? 9 ? 27 , S ?ABE ? ?12 ? 6 ? 36 , 2 2 3 3 8 5 S ? PF 36 ? 2 5 8 5 所以 h ? ?ABE ,即点 A 到平面 PBE 的距离为 .………………………14 分 ? ? 3 S?PBE 27 3
因为 AQ ? 19.(本题满分 14 分)

x2 y 2 【解析】(Ⅰ )设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ), a b
5

依题意, 2b ?

1? 9 ? 4 ,所以 b ? 2 …………2 分 2

又 c ? 1 ,所以 a ? b ? c ? 5 ,所以椭圆 C 的方程为
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 . ……………………………………5 分 5 4

x2 y 2 2 ? ? 1 ),…………………6 分,圆 P 的方程为 x 2 ? ? y ? t ? ? t 2 ? 1 , ……………7 分 (Ⅱ ) 设 Q ? x, y ? (其中 5 4 1 2 2 2 2 2 2 2 因为 PM ? QM ,所以 QM ? PQ ? t ? 1 ? x ? ? y ? t ? ? t ? 1 ? ? ? y ? 4t ? ? 4 ? 4t ………9 分 4 1 3 2 当 ?4t ? ?2 即 t ? 时,当 y ? ?2 时, QM 取得最大值,且 QM max ? 4t ? 3 ? , 2 2 3 1 1 解得 t ? ? (舍去). …………11 分,当 ?4t ? ?2 ,即 0 ? t ? 时,当 y ? ?4t 时, QM 取最大值, 8 2 2 1 1 2 3 2 2 2 且 QM max ? 4 ? 4t ? ,解得 t ? ,又 0 ? t ? ,所以 t ? .………………………………13 分 8 2 4 2 2 3 2 综上,当 t ? 时, QM 的最大值为 .…………………………………………………………14 分 4 2
20.(本题满分 14 分)
2 a2 ? 36 .…………2 分 b1 (Ⅱ )因为 a n 、 bn 、 an ?1 成等差数列,所以 2bn ? an ? an?1 …① . ………………………………………3 分

2 【解析】(Ⅰ )由 2b1 ? a1 ? a2 ,可得 a2 ? 2b1 ? a1 ? 24 .……1 分,由 a2 ? b1b2 ,可得 b2 ?

2 因为 bn 、 an ?1 、 bn ?1 成等比数列,所以 an ?1 ? bn bn ?1 ,

因为数列 ?an ? 、 ?bn ? 的每一项都是正数,所以 an?1 ? bnbn?1 …② . 于是当 n ? 2 时, an ? bn?1bn …③ . 将② 、③ 代入① 式,可得 2 bn ? bn?1 ? bn?1 ,因此数列
2

…………………………………4 分

…………………………………………………………………5 分

? b ? 是首项为 4,公差为 2 的等差数列,
n

所以 bn ? b1 ? ? n ? 1? d ? 2n ? 2 ,于是 bn ? 4 ? n ? 1? . …………………………………………………6 分 则 an ? bn ?1bn ? 4n 2 ? 4 ? n ? 1? ? 4n ? n ? 1? . ……………………………………………………………7 分
2

当 n ? 1 时, a1 ? 8 ,满足该式子,所以对一切正整数 n ,都有 an ? 4n ? n ? 1? .…………………………10 分 (Ⅲ )方法一: 于是

1 1 1?1 1 ? 1 1 1 1?1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ? .……………………12 分 an 4n ? 4n 4 ? n n ? 1 ? cn an an ?1 4 ? n n ? 2 ?

1 1 1 1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ?1 1 ?? ? 1 ? ? ? L ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ??? ? ? c1 c2 c3 cn 4 ?? 3 ? ? 2 4 ? n ? 1 n ? 1 n n ? 2 ?? ? ? ? ? 1? 1 1 1 ? 3 ? ?1 ? ? ? ? ? . ……………………………………………………………………14 分 4 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 8 1 1 1 1 1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .……………………12 分 cn an an ?1 4n ? n ? 1? 4 ? n ? 1?? n ? 2 ? 2n ? n ? 2 ? 4 ? n n ? 2 ?

方法二: 于是

1 1 1 1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ?1 1 ?? ? 1 ? ? ? L ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ??? ? ? c1 c2 c3 cn 4 ?? 3 ? ? 2 4 ? n ? 1 n ? 1 n n ? 2 ?? ? ? ? ? 1? 1 1 1 ? 3 ? ?1 ? ? ? ………………………………………………………………14 分 ?? . 4 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 8 21.(本题满分 14 分) 【解析】 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? .……………………………………………………………………………1 分
(Ⅰ )若 a ? 1 ,则 f ? x ? ? x ? x ? 1? ? ln x ,此时 f ?1? ? 2 .

1 2

1 5 5 ,所以 f ? ?1? ? ,所以切线方程为 y ? 2 ? ? x ? 1? ,即 5 x ? 2 y ? 1 ? 0 .……3 分 2x 2 2 1 (Ⅱ )由于 f ? x ? ? x x ? a ? ln x , x ? ? 0, ?? ? . 2
因为 f ? ? x ? ? 2 x ? 1 ?
6

⑴ 当 a ? 0 时, f ? x ? ? x2 ? ax ? ln x , f ? ? x ? ? 2 x ? a ? 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ?

1 2

1 4 x 2 ? 2ax ? 1 ? , 2x 2x

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 ? 0 , x2 ? ? 0 (舍去) ,………………………………5 分 4 4 且当 x ? ? 0, x1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x1 , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,
所以 f ? x ? 在 ? 0, x1 ? 上单调递减,在 ? x1 , ??? 上单调递增, f ? x ? 的极小值点为 x ?

?a ? a 2 ? 4 .……6 分 4

1 ? 2 x ? ax ? ln x, x ? ?a ? ? 2 ⑵ 当 a ? 0 时, f ? x ? ? ? . ?? x 2 ? ax ? 1 ln x,0 ? x ? ?a ? 2 ?
① 当 x ? ?a 时, f ? ? x ? ? 若 若

4 x 2 ? 2ax ? 1 ?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 ? ?a (舍去). ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? 2x 4 4

2 ?a ? a 2 ? 4 ? ?a ,即 a ? ? ,则 f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? ?a, ?? ? 上单调递增; 2 4

2 ?a ? a 2 ? 4 ? 0 , 则当 x ? ? ?a, x1 ? 时,f ? ? x ? ? 0 ; ? ?a , 即? ? a 当 x ? ? x1 , ?? ? 时,f ? ? x ? ? 0 , 所以 f ? x ? 2 4 在区间 ? ?a, x1 ? 上是单调递减,在 ? x1 , ??? 上单调递增. ……………………………………9 分
1 ?4 x 2 ? 2ax ? 1 ? . 2x 2x 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 ?4 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 ,记 ? ? 4a 2 ? 16 ,
② 当 0 ? x ? ? a 时, f ? ? x ? ? ?2 x ? a ? 若 ? ? 0 ,即 ?2 ? a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? 0, ?a ? 上单调递减;

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 , x4 ? 且 0 ? x3 ? x4 ? ?a , 4 4 当 x ? ? 0, x3 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x3 , x4 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x4 , ?a ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,
若 ? ? 0 ,即 a ? ?2 时,则由 f ? ? x ? ? 0 得 x3 ?

所以 f ? x ? 在区间 ? 0, x3 ? 上单调递减,在 ? x3 , x4 ? 上单调递增;在 ? x4 , ?a ? 上单调递减. ………………12 分 综上所述,当 a ? ?2 时, f ? x ? 的极小值点为 x ? 当 ?2 ? a ? ? 当a ? ?

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 和 x ? ?a ,极大值点为 x ? ; 4 4

2 时, f ? x ? 的极小值点为 x ? ?a ; 2

2 ?a ? a 2 ? 4 时, f ? x ? 的极小值点为 x ? .……………………………………………………14 分 2 4

7


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