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湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(五)


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湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(五)
姓名: 班级 : 分数 :

一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 )
a 1. 数列 { a n } 满足: 1 ? 1, a 2 ? 3 , a n ? 2 ? | a n ? 1 | ? a n ( n ? N ) . { a n } 前 n 项的和为 S n , 且 记
*

则 S 100 ?


3 2 2

2.在△ ABC 中,已知 ? B 的平分线交 AC 于 K.若 BC=2,CK=1, BK ? 面积为 .
n

,则△ ABC 的

3.设 n ? 100 ,则使得 ( a ? b ) 的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数 n 为 . 4.在小于 20 的正整数中,每次不重复地取出 3 个数,使它们的和能被 3 整除,不同的取法 种数为 .
2 2 2 5.若 x , y , z 均为正实数,且 x ? y ? z ? 1 ,则 S ?

( z ? 1) 2 xyz

2

的最小值为



6.设椭圆

x

2

? y

2

4

? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F 2 , M 为椭圆上异于长轴端点的一点,

? F1 M F2 ? 2? ,△ M F1 F 2 的内心为 I,则 | MI | cos ? ?



7 . 对 于 一 切 x ? [ ? 2 , ] , 不 等 式 ax ? x ? x ? 1 ? 0 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围
3 2

1

2

为 . 8. 将总和为 200 的 10 个数放置在给定的一个圆周上, 且任意三个相邻的数之和不小于 58. 所 有满足上述要求的 10 个数中最大数的最大值为 . 二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分) 9.已知数列 { a n } 中, a 1 ? 1, a 2 ? (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)求证:对一切 n ? N ,有 ? a k ?
*
2 k ?1 n

1 4

,且 a n ? 1 ?

( n ? 1) a n n ? an

( n ? 2 ,3 , 4 , ? ) .

7 6



第 1 页 共 6 页

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10.设 P ? x ? 6 x ? 11 x ? 3 x ? 31 ,求使 P 为完全平方数的整数 x 的值.
4 3 2

11.已知直线 y ? x 与椭圆 C:

x

2

?

y

2

? 1 交于 A , B 两点,过椭圆 C 的右焦点 F 、倾斜角

16

11

为 ? 的直线 l 交弦 AB 于点 P ,交椭圆 C 于点 M , N . (1)用 ? 表示四边形 MANB 的面积; (2)求四边形 MANB 的面积取到最大值时直线 l 的方程.

第 2 页 共 6 页

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湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(五) 详细解答
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1.数列 { a n } 满足: a 1 ? 1, a 2 ? 3 ,且 a n ? 2 ? | a n ? 1 | ? a n ( n ? N ) .记 { a n } 前 n 项的
*

和为 S n ,则 S 100 ?

89


3 2 2

2. 在△ ABC 中, 已知 ? B 的平分线交 AC 于 K. BC=2, =1,BK ? 若 CK

, 则△ ABC

的面积为

15 16

7



3. n ? 100 , 设 则使得 ( a ? b ) 的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数 n
n



98 . 4.在小于 20 的正整数中,每次不重复地取出 3 个数,使它们的和能被 3 整除,不同的 取法种数为 327 .
2 2 2 5 . 若 x, y, z 均 为 正 实 数 , 且 x ? y ? z ? 1 , 则 S ?

( z ? 1) 2xyz

2

的最小值为

3?2 2


x
2

6.设椭圆

? y

2

4

? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F 2 , M 为椭圆上异于长轴端点的一点,
2?

? F1 M F2 ? 2? ,△ M F1 F 2 的内心为 I,则 | MI | cos ? ?

3



7.对于一切 x ? [ ? 2 , ] ,不等式 ax ? x ? x ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为
3 2

1

2

? 10 ? a ? ? 1



8.将总和为 200 的 10 个数放置在给定的一个圆周上,且任意三个相邻的数之和不小 于 58.所有满足上述要求的 10 个数中最大数的最大值为 26 .

二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分) 9.已知数列 { a n } 中, a 1 ? 1, a 2 ?
a n ?1 ? ( n ? 1) a n n ? an

1 4

,且

( n ? 2 ,3 , 4 , ? ) .

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(1)求数列 { a n } 的通项公式;

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(2)求证:对一切 n ? N ,有 ? a k ?
*
2 k ?1

n

7 6



解 (1)由已知,对 n ? 2 有

1 a n ?1

?

n ? an ( n ? 1) a n
? 1 n ( n ? 1)

?

n ( n ? 1) a n

?

1 n ?1



两边同除以 n,得

1 na n ? 1

?

1 ( n ? 1) a n 1 n ?1 ? 1 n





1 na n ? 1

?

1 ( n ? 1) a n

? ?(

),

……………………4 分

于是, ? ?
k ?2

n ?1

?

1

?

? ka k ? 1
? 1 a2 ?

n ?1 ? 1? 1 ? 1 ? ? ? ? (1 ? ), ? ? ?? ? ( k ? 1) a k ? k ? n ?1 k ?2 ? k ? 1

1



1 ( n ? 1) a n 1

? ? (1 ?

1 n ?1 1

), n ? 2 ,

所以

1 a2

( n ? 1) a n

? (1 ?

n ?1

) ?

3n ? 2 n ?1
*

,an ?

1 3n ? 2

,n ? 2 .

又 n ? 1 时也成立,故 a n ? (2)当 k ? 2 ,有
ak ?
2

1 3n ? 2

,n ? N .

……………………8 分

1 (3k ? 2 )
2

?

1 ( 3 k ? 4 )( 3 k ? 1)

?

1

3 3k ? 4

(

1

?

1 3k ? 1

) ,………………12 分

所以 n ? 2 时,有

?

n

ak ? 1 ?
2

k ?1

?a
k ?2

n

2 k

?1?

1? 1 1 1 1 1 1 ? ?( 2 ? 5 ) ? ( 5 ? 8 ) ? ? ? ( 3n ? 4 ? 3n ? 1)? 3? ?

?1?

1?1 1 ? 1 7 ? . ? ? ? ?1? 3 ? 2 3n ? 1 ? 6 6
2

又 n ? 1 时, a 1 ? 1 ?
*

7 6
n

.
7 6

故对一切 n ? N ,有 ? a k ?
2 k ?1



……………………16 分

10.设 P ? x ? 6 x ? 11 x ? 3 x ? 31 ,求使 P 为完全平方数的整数 x 的值.
4 3 2

第 4 页 共 6 页

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2 2

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解 P ? ( x ? 3 x ? 1) ? 3 ( x ? 10 ) . 所以,当 x ? 10 时, P ? 131 是完全平方数.
2

……………………5 分

下证没有其它整数 x 满足要求. (1)当 x ? 10 时,有 P ? ( x ? 3 x ? 1) ,
2 2

又 P ? ( x ? 3 x ) ? 2 x ? 3 x ? 31 ? 0 ,所以 P ? ( x ? 3 x ) ,
2 2 2 2 2

从而 ( x ? 3 x ) ? P ? ( x ? 3 x ? 1) .
2 2 2 2

又 x ? Z ,所以此时 P 不是完全平方数.
2 2 2

……………………10 分

(2)当 x ? 10 时,有 P ? ( x ? 3 x ? 1) .令 P ? y , y ? Z , 则 | y |? | x ? 3 x ? 1 | ,即 | y | ? 1 ? | x ? 3 x ? 1 | ,
2 2

所以 y ? 2 | y | ? 1 ? ( x ? 3 x ? 1) ,
2 2 2



? 3 ( x ? 10 ) ? 2 | x ? 3 x ? 1 | ? 1 ? 0 .
2

解此不等式,得 x 的整数值为 ? 2 , ? 1, 0 , ? 3 , ? 4 , ? 5 , ? 6 ,但它们对应的 P 均不是完全平 方数. 综上所述,使 P 为完全平方数的整数 x 的值为 10.

……………………20 分

11.已知直线 y ? x 与椭圆 C:

x

2

?

y

2

? 1 交于 A , B 两点,过椭圆 C 的右焦点 F 、倾

16

11

斜角为 ? 的直线 l 交弦 AB 于点 P ,交椭圆 C 于点 M , N . (1)用 ? 表示四边形 MANB 的面积; (2)求四边形 MANB 的面积取到最大值时直线 l 的方程. 解 (1)直线 MN 的倾斜角为 ? ,记 ? MFO ? ? ,则 ? ? ? ? ? ,
| MN | ? a 2 ab
2 2 2 2

? c cos

?

? a

2 ab
2 2

2 2

? c cos

?



而 AB 与 MN 所成的角为
S MANB ? 1 2
2 2

?
4

? ? ,则四边形 MANB 面积

| AB | ? | MN | sin(

?
4

??) ?

2 | OA | ? ab

2

?

sin ? ? cos ? a
2

? c cos
2

2

?

.…………5 分

而 a ? 16 , b ? 11 , c ? 5 ,A 点坐标为 ?
2

? 4 33 4 33 , ? 9 9 ?

? 4 66 ? ,且 | OA |? , ? 9 ?

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从而, S MANB ?
352 9 33 ?

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? 352 9 33 ? sin ? ? cos ? 16 ? 5 cos
2

sin ? ? cos ? 16 ? 5 cos
2

?

?



其中 0 ? ? ? arctan

4 33 4 33 ? 9 5

或 arctan

4 33 4 33 ? 9 5
? ?

? ? ? ? .……………10 分

(2) f (? ) ? 记

sin ? ? cos ? 16 ? 5 cs o
2

?

, f (? ) 只可能在 ? ? ? arctan 而

? , ? ? 时才 ? 4 33 ? 9 5 ? 4 33

可能取到最大值.对 f (? ) 求导数得到:
f ? (? ) ? (cos ? ? sin ? )( 16 ? 5 cos
2

? ) ? (sin ? ? cos ? )( 10 cos ? sin ? )
2

(16 ? 5 cos

?)

2



令 f ? (? ) ? 0 ,则有
(1 ? tan ? )( 16 tan ? ? 11 ) ? (tan ? ? 1)( 10 tan ? ) ? 0 .
2

……………………15 分

化简得到 所以 而

16 tan ? ? 6 tan ? ? 21 tan ? ? 11 ? 0 .
3 2

( 2 tan ? ? 1)( 8 tan ? ? tan ? ? 11 ) ? 0 .
2

8 tan ? ? tan ? ? 11 ? 0 无实根,则 tan ? ? ?
2

1 2



经检验 tan ? ? ?

1 2

,符合 ? ? ? arctan
?

?

? ,? ? . ? 4 33 ? 9 5 ? 4 33

故所求直线 l 的方程为: y ? ?

1 2

x?

5 2



……………………20 分

第 6 页 共 6 页

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