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2014年全国卷2理科数学试题及答案


2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ)
第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.设集合 M={0,1,2} ,N= ?x | x2 ? 3x ? 2≤0? ,则 M ? N =( A. {1} 【答案】D 【解析】 B. {2} C. {0,1} ) D. {

1,2}

把 M={0,1,2}中的数,代入不等式 x 2 - 3x + 2 ≤0, 经检验 x=1,2 满足。所以选 D.

2.设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 ? ( A. - 5 【答案】B 【解析】 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i



? z1 = 2 + i, z1与z2关于虚轴对称, ∴ z2 = -2 + i, ∴ z1 z2 = -1 - 4 = -5, 故选B.
3.设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a ? b = ( A. 1 【答案】A 【解析】 B. 2 C. 3

) D. 5

?| a + b |= 10, | a - b |= 6,, ∴ a + b + 2ab = 10, a + b - 2ab = 6, 联立方程解得 ab = 1, 故选A.
4.钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=( ) D. 1

2

2

2

2

2

A. 5 【答案】B 【解】

B.

5

C. 2

1 1 1 2 ac sin B = ? 2 ? 1? sin B = ∴ sin B = , 2 2 2 2 π 3π π ∴ B = , 或 .当B = 时,经计算ΔABC为等腰直角三角形,不 符合题意,舍去。 4 4 4 3π ∴ B = ,使用余弦定理, b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B, 解得b = 5.故选B. 4 ? S ΔABC =
5.某地区空气质量监测资料表明, 一天的空气质量为优良的概率是 0.75, 连续两为优良的概率是 0.6, 已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 【答案】 【解析】 A

设某天空气质量优良, 则随后一个空气质量也 优良的概率为 p, 则据题有0.6 = 0.75? p, 解得p = 0.8, 故选A.

6.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件 由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的 比值为( ) A.

17 27
C

B. 5

9

C. 10

27

D.

1 3

【答案】 【解析】

? 加工前的零件半径为 3,高6, ∴体积v1 = 9π ? 6 = 54π. ? 加工后的零件,左半部 为小圆柱,半径 2,高4,右半部为大圆柱,半 径为3,高为2. ∴体积v2 = 4 π ? 4 + 9π ? 2 = 34π. ∴削掉部分的体积与原体 积之比= 54π - 34π 10 = .故选C. 54π 27


7.执行右图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= ( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】 C 【解析】

x = 2, t = 2, 变量变化情况如下: M S K 1 2 2 故选C.
8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 【解析】 D

3 5 7

1 2 3

? f ( x) = ax - ln(x + 1),∴ f ′( x) = a -

1 . x+1 ∴ f (0) = 0, 且f ′(0) = 2.联立解得a = 3.故选D.

? x ? y ? 7≤0 ? 9.设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1≤0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 5≥0 ?
A. 10 【答案】 【解析】 B. 8 B C. 3 D. 2



画出区域,可知区域为 三角形,经比较斜率, 可知目标函数 z = 2 x - y在两条直线x - 3 y + 1 = 0与x + y - 7 = 0的交点(5,2)处, 取得最大值z = 8.故选B.
10.设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为( ) A.

3 3 4
D

B.

9 3 8

C.

63 32

D. 9

4

【答案】 【解析】

设点A、B分别在第一和第四象限 ,AF = 2m, BF = 2n,则由抛物线的定义和 直角三角形知识可得, 3 3 3 3 2m = 2 ? + 3m,2n = 2 ? - 3n,解得m = (2 + 3 ), n = (2 - 3 ),∴ m + n = 6. 4 4 2 2 1 3 9 ∴ S ΔOAB = ? ? (m + n) = .故选D. 2 4 4

11.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( )

A. 1

10

B. 2

5

C.

30 10

D.

2 2
【答案】 【解析】 C

如图,分别以 C1 B1,C1 A1,C1C为X , Y , Z轴,建立坐标系。令 AC = BC = C1C = 2, 则 A(0,2,2), B(2,0,2), M (1,1,0), N (0,1,0).∴ BM = ( - 1,1, - 2), AN = (0, - 1, - 2)。 cosθ = BM ? AN | BM | ? | AN | = 0 - 1+ 4 30 = .故选C. 10 6 5

2 12.设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范 m 2

围是( A.



? ??, ?6? ? ? 6, ??

B.

? ??, ?4? ? ? 4, ??

C.

? ??, ?2? ? ? 2, ??

D. ? ??, ?1? ? ?4, ? ? 【答案】 【解析】 C

? f ( x) = 3 sin

πx |m| 的极值为± 3,即[ f ( x0 )]2 = 3, | x0 |≤ , m 2 m2 m2 2 ∴ x0 + [ f ( x0 )]2 ≥ + 3, ∴ + 3 < m 2 , 解得 | m |> 2.故选C. 4 4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生必须做答.第 22 题 ~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题 13. ? x ? a ? 的展开式中, x 7 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写答案)
10

【答案】 【解析】

1 2

1 1 3 7 3 3 3 ? C10 x a = 15x 7 ∴ C10 a = 15, a = .故a = . 2 2

14.函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为_________. 【答案】 【解析】 1

? f ( x) = sin(x + 2φ) - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) ? cosφ + cos(x + φ) ? sin φ - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) ? cosφ - cos(x + φ) ? sin φ = sin x ≤ 1.∴ 最大值为 1.
15. 已 知 偶 函 数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单 调 递 减 , f ? 2? ? 0 . 若 f ? x ?1? ? 0 , 则 x 的 取 值 范 围 是 __________. 【答案】 【解析】

(-∞ , -1 ) ∪ (3, +∞ )

? 偶函数y = f ( x)在[0,+ ∞)上单增,且f (2) = 0 ∴ f ( x) > 0的解集为| x |> 2. ∴ f ( x - 1) > 0的解集为| x - 1 |> 2,解得x ∈ (-∞, - 1) ∪ (3, + ∞) . 故解集为| x - 1 |> 2,解得x ∈ (-∞ , - 1) ∪ (3, +∞ ) .

16.设点 M( x0 ,1) ,若在圆 O: x 2 ? y 2 ? 1上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范围是 ________. 【答案】 【解析】

[-1,1]

在坐标系中画出圆 O和直线y = 1,其中M(x0 ,1)在直线上 . 由圆的切线相等及三角 形外角知识,可得 x 0 ∈[-1,1].故x 0 ∈[-1,1].
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 . (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

【答案】 【解析】 (1)

(1) 无

(2) 无

? a1 = 1, an+1 = 3an + 1.n ∈ N * . 1 1 1 = 3an + 1+ = 3(an + ). 2 2 2 1 1 3 ∴{an + }是首项为a1 + = , 公比为3的等比数列。 2 2 2 ∴ a n+1 +
(2)

1 3n 3n - 1 1 2 由(1)知,an + = ,∴ an = , = n . 2 2 2 an 3 - 1 1 1 2 1 = 1, 当n > 1时, = n < n-1 . a1 an 3 - 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 3n 3 1 3 ∴ + + + ?+ < 1+ 1 + 2 + ?+ n-1 = = ( 1- n ) < . 1 2 a1 a2 a3 an 3 3 3 3 2 13 1 1 1 1 3 所以, + + + ?+ < ,n ∈ N * (证毕) . a1 a2 a3 an 2
18. (本小题满分 12 分)

如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.

【答案】 (1) 无 (2) 无 【解析】 (1) 设 AC 的中点为 G, 连接 EG。在三角形 PBD 中,中位线 EG//PB,且 EG 在平面 AEC 上,所以 PB// 平面 AEC. (2)设 CD=m, 分别以 AD,AB,AP 为 X,Y,Z 轴建立坐标系,则

3 1 ,0, ), C ( 3 , m,0). 2 2 3 1 ∴ AD = ( 3 ,0,0), AE = ( ,0, ), AC = ( 3 , m,0). 2 2 A(0,0,0), D( 3 ,0,0), E ( 设平面ADE法向量为n1 = ( x1 , y1 , z1 ), 则n1 AD = 0, n1 AE = 0, 解得一个n1 = (0,1,0). 同理设平面ACE法向量为n2 = ( x2 , y2 , z 2 ),则n2 AC = 0, n2 AE = 0, 解得一个n2 = (m,- 3 ,- 3m). π | n2 ? n2 | ? cos =| cos< n2 , n2 >|= = 3 | n2 | ? | n2 | 3 m 2 + 3 + 3m 2 EF 1 设F为AD的中点,则PA // EF , 且PA = = , EF ⊥ 面ACD, 2 2 1 1 1 3 1 3 即为三棱锥E - ACD的高.∴VE - ACD = ? S ΔACD ? EF = ? ? ? 3 ? = . 3 3 2 2 2 8 3 所以,三棱锥E - ACD的体积为 。 8 = 1 3 , 解得m = . 2 2

19. (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情 况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

b?

?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t
i ?1

n

i

?t

?

2

? ? ? y ? bt ,a

【答案】 【解析】 (1)

(1)

y = 0.5t + 2.3.

(2) 约 6800 元

?t =

1 + 2 + ?+ 7 2.9 + 3.3+ 3.6 + 4.4 + 4.8 + 5.2 + 5.9 = 4, y = = 4.3 7 7 设回归方程为y = bt + a, 代入公式,经计算得 3 *14+ 2 + 0.7 + 0 + 0.5 + 1.8 + 4.8 14 1 = = , (9 + 4 + 1) * 2 14* 2 2 1 a = y - bt = 4.3 - * 4 = 2.3 2 所以,y关于t的回归方程为y = 0.5t + 2.3. b=
1 > 0,∴ 2007 年至2013 年该区人均纯收入稳步 增长,预计到 2015 年, 2 该区人均纯收入 y = 0.5 ? 9 + 2.3 = 6.8(千元) 所以,预计到 2015 年,该区人均纯收入约 6千8百元左右。

?b =

20. (本小题满分 12 分)
2 x2 y 设F 1 , F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线

a

b

MF1 与 C 的另一个交点为 N.
(Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率;

4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F 1 N ,求 a,b.

【答案】 【解析】 (1)

(1)

1 2

(2) a = 7, b = 2 7

MF 3 b 2 1 3 ?由题知, 1 = ∴ ? = , 且a 2 = b 2 + c 2 .联立整理得: 2e 2 + 3e - 2 = 0, F1 F2 4 a 2c 4 1 1 解得e = .∴ C的离心率为 . 2 2
(2)

由三角形中位线知识可 知,MF2 = 2 ? 2,即

b2 = 4. a 设F1 N = m,由题可知MF1 = 4m.由两直角三角形相似, 可得 3 M , N两点横坐标分别为 c,- c.由焦半径公式可得: 2 3 c MF1 = a + ec, NF1 = a + e(- c),且MF1 : NF1 = 4 : 1, e = , 2 a a 2 = b 2 + c 2 .联立解得a = 7, b = 2 7 . 所以,a = 7, b = 2 7

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? = e x ? e ? x ? 2 x (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142 ?

2 ? 1.4143,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)

【答案】 【解析】 (1)

(1)

f ( x)在R上单增

(2) 2

? f ( x) = e x - e- x - 2 x,x ∈ R ∴ f ′( x) = e x + e- x - 2 = e x + 所以,f ( x)在R上单增 .
(2)

1 1 -2 ≥ 2 e x ? x - 2 = 0. x e e

g ( x) = f (2 x) - 4bf ( x) = e 2 x - e -2 x - 4 x - 4b(e x - e - x - 2 x) > 0, x > 0. 令h( x) = e 2 x - e -2 x - 4 x - 4b(e x - e - x - 2 x), x > 0, 则h(0) = 0. h′( x) = 2e 2 x + 2e -2 x - 4 - 4b(e x + e - x - 2), ∴?x∈ (0,m),m > 0,使h′( x) ≥ 0. 即2e 2 x + 2e -2 x - 4 - 4b(e x + e - x - 2) ≥ 0 即e 2 x + e -2 x - 2 - 2b(e x + e - x - 2) ≥ 0. 同理,令m( x) = e 2 x + e -2 x - 2 - 2b(e x + e - x - 2),x ∈ (0,m),m > 0, 则m(0) = 0. m′( x) = 2e 2 x - 2e -2 x - 2b(e x - e - x ), ∴?x∈ (0,t ),t > 0,使m( x) ≥ 0. 即2e 2 x - 2e -2 x - 2b(e x - e - x ) ≥ 0,即(e x + e - x )(e x e - x ) - b (e x - e - x ) ≥ 0且e x - e - x > 0, 即e x + e - x ≥ b,即e x + e - x > 2 e x ? e - x = 2 ≥ b,所以b的最大值为2
(3)

设x = ln 2 > 0, 则f (ln 2 ) > 0,即f (ln 2 ) = 2 解得 ln 2 <

1 2 - 2 ln 2 = - ln 2 > 0. 2 2

2 .由(2)知,f (2 x) > 8 f ( x),令x = ln 2 > 0, 则f (2 ln 2 ) > 8 f (ln 2 ), 2 1 1 即f (ln 2) > 8 f (ln 2 ),即2 - - 2 ln 2 > ( 8 2- 2 ln 2 ), 解得 2 2 3 2 1 2 1 2 6 ln 2 > 4 2 - ,即ln 2 > 2 - .所以 2 - < ln 2 < . 2 3 4 3 4 2
请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,同按所做的第一题计分,做答时请写清题 号. 22.(本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 如图,P 是 O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与 O 相交 于点 B, C, PC=2PA, D 为 PC 的中点, AD 的延长线交 O 于点 E.证明: (Ⅰ)BE=EC; (Ⅱ)AD ? DE=2 PB 2

【答案】 【解析】 (1)

(1) 无

(2)无

? PC = 2 PA, PD = DC, ∴ PA = PD,Δ PAD为等腰三角形。 连接AB, 则∠PAB = ∠DEB = β ,∠BCE = ∠BAE =α . ?∠PAB+ ∠BCE = ∠PAB+ ∠BAD = ∠PAD = ∠PDA = ∠DEB + ∠DBE ∴β + α = β + ∠DBE,即α = ∠DBE,即∠BCE = ∠DBE,所以BE = EC.
(2)

? AD ? DE = BD ? DC, PA2 = PB ? PC, PD = DC = PA, ∴BD ? DC = (PA- PB)PA= PB ? PC - PB? PA = PB( ? PC - PA) PB ? PA = PB ? 2 PB = PB2

23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点, x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为

? ? 2cos ? ,

? ?. ? ?? ?0, ?
? 2?
(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方 程,确定 D 的坐标.

所以 D 点坐标为 (1 ?

3 1 3 1 , ) 或 (1 ? ,? ) 。 2 2 2 2

24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? = x ? 1 ? x ? a (a ? 0)

a

(Ⅰ)证明: f ? x ? ≥ 2; (Ⅱ)若 f ? 3? ? 5 ,求 a 的取值范围.


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