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古典概率与几何概率


高一数学秋季班讲义

古典概型与 古典概型与几何概型
【知识要点】 知识要点】
1.古典概率模型试验的两个共同特点: (1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)等可能性:每个事件出现的可能性相等. 2.古典概率的计算方法: 如果一次试验中的结果有 n 个, 而且所有结果出现的可能性相等, 每个基本事件的概率 是

1 m ,如果事件 A 包含的基本事件有 m 个,那么事件 A 的概率为 P ( A) = ,即: n n

P( A) =

A包含的基本事件的个数 基本事件的总数

3.几何概率的特点: (1)试验的结果是无限不可数的; (2)每个结果的出现时等可能性的. 5.几何概率模型中,事件 A 的概率的计算公式是:

P( A) =

构成事件A的区域的长度(面积或体积) 试验的全部结果构成的长度(面积或体积)

6.均匀随机数及其产生 均匀随机数: 就是在一定能范围内随机产生的书, 并且在这个范围内得到的每一个数的机会 相等.由于计算机具有高速度和大容量的特点.我们往往用计算机模拟那些庞大 而复杂的试验,称为随机模拟或数字模拟. 均匀随机数的产生方法: (1)用函数型计算器产生均匀随机数的方法:按一次 上的均匀随机数;若需要多个,则要重复按键; (2)用计算机产生均匀随机数的方法:每调用一次 rand () 函数,就产生一个 [0,1] 上的均 匀随机数;若要产生 a ~ b 上的均匀随机数,就是用变换 rand () ? (b ? a ) + a 即可. 7.复杂事件的古典概率模型 对于求解较复杂的古典概型的概率问题, 可以利用分类讨论的办法求出总体包含的基本 事件的个数及事件包含的基本事件的个数, 然后将所求事件转化成彼此互斥的事件的和, 活 着先去求对立事件的概率, 进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所 求事件的概率. 8.常见的几种几何概型的概率求法: ( 1) 设线段 l 是 线段 L 的 一部 分,向 线段 L 上 任投一点 ,点落 在线段 l 上 的概率 为 和 键,产生一个 0 ~ 1

P=

l的长度 L的长度

(2)设平面区域 g 是平面区域 G 的一部分,向区域 G 上任投一点,点落在区域 g 上的概
1

高一数学秋季班讲义 g的面积 G的面积

率为 P =

(3)设空间区域 v 是空间区域 V 的一部分,向区域 V 上任投一点,点落在区域 v 上的概率 为P =

v的体积 V 的体积

【典型例题】 典型例题】 例 1 在 20 件产品中有 15 件正品, 5 件次品,从中任取 3 件,求:
(1)恰有一件次品的概率; (2)至少有一件次品的概率.

例 2 某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规规定:答对第一、二、三个问题分 别得 100 分、 100 分、 200 分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率 分别是 0.8 、 0.7 、 0.6 ,且各题答对与否相互之间没有影响. (1)求这名同学得 300 分的概率; (2)求这名同学至少得 300 分的概率.

例 3 设有 n 个人,每个人都等可能地被分配到 N 个房间中任意一间去住 (n ≤ N ) .求下列事 件的概率: (1)指定的 n 个房间内各有一个人住; (2)恰好有 n 个房间,其中各住一个人; (3)某指定的一个房间中恰有 m 个人 ( m ≤ n) .

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例 4 甲、 乙二人约定在点到点之间在某地见面, 先到者等一个小时后若未等到后来者即可离 去,设二人在这段时间内的各时刻到达时等可能的,且二人之间互不影响.求二人能会面的 概率.

例 5 广告法对插播广告时间有规定.某人对某台的电视节目作了时间的统计后得出结论:他 任意时间打开电视看该台节目,看不到广告的概率为

9 ,求该台每小时约有几分钟广告? 10

例 6 已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) = ax 2 ? 4bx + 1 . (1) 设集合 P = {1, 2,3} ,Q = {?1,1, 2,3, 4} , 分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和

b ,求函数 y = f ( x) 在区间 [1, +∞) 上是增函数的概率;

?x + y ? 8 ≤ 0 ? (2)设点 (a, b) 是区域 ? x>0 内的随机点,求函数 y = f ( x) 在区间 [1, +∞ ) 上是增 ? y>0 ?
函数的概率.

3

高一数学秋季班讲义 【课堂练习】 课堂练习】 1.在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30mm ,从中任取一根,取到长度超过 30mm 的纤
维的概率是( A. ). B.

12 12 C. D.以上都不对 40 30 2.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的, 2 个是不合格的,从中任取一个恰好为合格的铁
). B.

30 40

钉的概率是( A.

1 4 1 C. D. 4 5 10 3.如图所示, a、b、c、d 是四处处于断开状态的开关,任意将其中两个闭合,则电路被接
通的概率是( A. 1 ). C.

1 5

1 B. 2

1 4

D. 0

4.从三棱锥的六条棱中任意选取两条,则这两条棱 所在直线是一对异面直线的概率是( ).

1 1 1 1 B. C. D. 20 15 5 6 5.设 a、b 分别是甲、乙各抛掷一枚骰子得到的点数,已知乙所得的点数为 2 ,则方程
A.

x 2 + ax + b = 0 有两个不等实根的概率是(
A.

).

2 3

B.

1 3

C.

1 之间的概率为( ). 2 2 1 2 1 2 A. B. C. D. 3 π 2 3 7. ABCD 为长方形, AB = 2 , BC = 1 , O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 中随机抽取 ). 一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为(
6.在区间 [ ?1,1] 上随机抽取一个数 x , cos 的值介于 0 到

πx

1 2

D.

5 12

π

A.

4

B. 1 ?

π

π

C.

4

8
m 为( n 3 C. 10

D. 1 ?

π

8

8.从长度分别为的五条线段中,任取三条的不同取法共有 n 种,在这些取法中,以取出的三 条线段作为边可组成的钝角三角形的个数为 m ,则 A. ).

1 10

B.

1 5

D.

2 5
).

9.在面积为 S 的 ?ABC 内部任取一点 P ,则 ?PBC 的面积大于 A.

S 的概率是( 2
D.

1 4

B.

1 2

C.

3 4

2 3

10.某人午觉醒来,发觉表停了,他打开收音机,想听电台报时,假定电台每小时报时一次, 则他等待的时间短于 10 分钟的概率是( ). A.

1 6

B.

1 5

C.

1 3

D.

2 5

2 2 11.若连续掷两次骰子得到的点数 m、n 分别作为点的 P 坐标,则点 P 落在圆 x + y = 25

4

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外的概率是( ). B.

5 A. 36
1 3

7 12
2 3

C.

5 12

D.

1 3
).

12.将一根长为 6 米的绳子剪成两段,则两断绳子的长度都大于 2 米的概率是(

A.

B.

C.

1 2

D.

2 2

13.先后抛投两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、、 4 5、 ) 2 3、、 6 ,骰子朝上 的面的点数分别为 X 、Y ,则 log 2 X Y = 1 的概率为( A. ).

5 1 1 C. D. 36 12 2 uuu r uuu r uuur 14.已知 k ∈ Z , AB = ( k ,1) , AC = (2, 4) ,若 AB ≤ 10 ,则 ?ABC 是直角三角形的概
B. ). B.

1 6

率为( A.

1 7

2 7

C.

3 7

D.

4 7

15.在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区 域, E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向中随机投入一点,则落入 E 中的概率为 . 16.将两枚骰子各抛掷一次,则事件“两数之和大于 4 ”的概率为 . 17.将两枚骰子各抛掷一次,观察向上的点数,问: (1)共有多少种不同的结果?(2)两数之和是 3 的倍数的结果有多少种? (3)两数之和是 3 的概率是多少?

18.同时抛掷 4 枚均匀硬币,求: (1)恰有 2 枚“正面向上”的概率;

(2)至少有 2 枚“正面向上”的概率.

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19.把一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为 a ,第二次投出的点数记为 b ,给定方程 组?

?ax + by = 3 .(1)试求方程组只有一解的概率; ? x + 2y = 2

(2)求方程组只有正数解 ( x > 0, y > 0) 的概率.

20.已知函数 f ( x ) = ax 2 ? 2bx + a , a, b ∈ R). ( (1)若 a 从集合 {1, 2,3, 4} 中任取一个元素, b 从集合 {0,1, 2,3} 中任取一个元素,求方程

f ( x) = 0 恰有两个不同的实根的概率;
(2)若 b 从区间 (0, 2) 中任取一个数, a 从区间 (0, 3) 任取一个数,求方程 f ( x ) = 0 没有实 根的概率.

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21.假设你家里订了一份报纸,送报人可能在早上 6 : 30 — 7 : 30 之间把报纸送到你家,你父 亲离开家去上班的时间在早上 7 : 00 — 8 : 00 之间,问你父亲在离开家前得到报纸的概率是 多少?

【课后作业】 课后作业】
1.抛两颗骰子,事件“点数之和为 6 ”的概率为( A. ). C.

1 11

B.

1 9

5 36

D.

1 6
) .

随机抽取 3 个不同的数, 则这 3 个数的和为偶数的概率为 ( 2.从 1, 2,L 9 这 9 个数中,

A.

5 9

B.

4 9

C.

11 21

D.

10 21

3.如图所示, 在一个边长为 a、b ( a > b > 0) 的矩形内画 一个梯形,梯形的上、下底分别为

a a 与 ,高为 b .向矩 3 2

形内随机投一点,则该点落在梯形内的概率是 ( ). A.

7 10

B.

5 7

C.

5 12

D.

5 8

4.已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着, 现需要一只卡口灯泡使用,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则他到第 3 次才取得卡口 灯泡的概率为( ). A.

21 40

B.

17 40

C.

3 10

D.

7 120

5.在区间 (0,1) 中随机抽取两个数,求下列事件的概率:

(1)两个数中较小的小于

1 3 ; (2)两数之和小于 . 2 2

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6.将甲、 乙两颗均匀的骰子 (骰子是一种正方体玩具, 在正方体个面上标有点数 1, 2,3, 4, 5, 6 ) 各抛投一次, a, b 分别表示抛甲、乙两骰子所得点数.

? x>0 ? (1)若把点 P ( a, b) 落在不等式组 ? y > 0 表示的平面区域内记为事件 A1 ,求事件 A1 的 ? ?x + y ≤ 4
概率; (2)若把点 P ( a, b) 落在直线 x + y = 7 上记为事件 A2 ,求事件 A2 的概率.

7.甲、 乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头, 它们在一昼夜内任何时刻到达码 头时等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出 的概率; (2)如果甲船的停泊时间为 4 小时,乙船的停泊时间是 2 小时,求它们中的任何一条船不 需要等待码头空出的概率.

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