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高二数学选修1-2第一章《统计案例》学案


高二数学选修 1-2 第一章《统计案例》学案

1.1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
课标转述:①通过对典型案例(如“人的体重与身高的关系”等)的探究,了解回归的基本思想、方法及初步应用 ②通过对现行案例(如“质量控制” “新药是否有效”等)的探究,了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方 法及初步应用。 ③通过对典型案例(如“昆虫分类”等)的

探究,了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用。 ④通过对典型案例(如“肺癌与吸烟有关吗”等)的探究,了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用。 学习目标:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 学习重、难点:了解线性回归模型与函数模型的差异,了解判断刻画模型拟合效果的方法-相关指数和残差分析. 学习过程: 一、复习准备: 1. 提问: “名师出高徒”这句彦语的意思是什么?有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗?这两者之间是否有 关?

确定关系
2. 两个变量间的关系{ ? 相关 不确定关系 ? ?不相关 复习:函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的一种常用方法, 其步骤:

?

?

?

? ,其中 3.最小二乘法:线性回归模型 y ? bx ? a

?? b

?? a

二、学习新知: 1.例题分析:
1

① 例 1 从某大学中随机选取 8 名女大学生,其身高和体重数据如下表所示: 编 号 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59

身高/cm 体重/kg

求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm 的女大学生的体重. 解:由于问题中要求根据身高预报体重,因此选取身高为自变量 x,体重为因变量 y,做散点图: y 70 65 60 55 50 45 40 150 155 160 165 170 175 180 x

? 来刻画。 由图可知,样本点呈条状分布,身高和体重有比较好的线性相关关系,可以用线性回归模型 y ? bx ? a

? 由最小二乘法计算: b ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?? ,a

y ? bx

2

1 n 1 n 其中 x ? ? xi , y ? ? yi n i ?1 n i ?1

? ? ?85.712 经计算得: b ? 0.849, a
于是得线性回归方程得:

y ? 0.849 x ? 85.712

所以,对于身高为 172cm 得女大学生,由回归方程可以预报其体重为

? ? 0.849 ?172 ? 85.712 ? 60.316(kg ) y

问题①

b ? 0.849 得意义是什么?

2

问题②身高为 172cm 的女大学生的体重一定是 60.316kg 吗?如果不是,你能解释以下原因么?

2.随机误差和残差 ⑴引入线性回归模型:Y=bx+a+e 解释变量 x ,预报变量 y,随机误差 e

产生随机误差的项 e 的原因是什么?

练习反馈 研究某灌溉渠道水的流速 y 与水深 x 之间的关系,测得一组数据如下: 水深 xm 流速 ym/s 1.40 1.70 1.50 1.79 1.60 1.88 1.70 1.95 1.80 2.03 1.90 2.10 2.00 2.16 2.10 2.21

(1)求 y 对 x 的回归直线方程; (2)预测水深为 1.95m 时水的流速是多少?

三、课后小结:

四、课后作业: p9 习题 1.1 第 1 题

3

高二数学选修 1-2 第一章《统计案例》学案

1.1.2 回归分析的基本思想及其初步应用
课标转述:①通过对典型案例(如“肺癌与吸烟有关吗”等)的探究,了解独立性检验的基本思想、方法及初步
应用。 ②通过对现行案例(如“质量控制” “新药是否有效”等)的探究,了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方 法及初步应用。 ③通过对典型案例(如“昆虫分类”等)的探究,了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用。 ④通过对典型案例(如“人的体重与身高的关系”等)的探究,了解回归的基本思想、方法及初步应用

学习目标:1、会建立回归模型,进而学习相关指数(相关指数 R2、残差分析) 2、会求上述的相关指数: 3、从实际问题发现已有知识不足,激发好奇心、求知欲,培养勇于求知的良好个性品质。 学习重、难点:残差分析,相关指数 R2 的计算、建立回归模型的步骤。 学习过程: 一、复习准备: 1.由例 1 知,预报变量(体重)的值受解释变量(身高)或随机误差的影响. 2.为了刻画预报变量(体重)的变化在多大程度上与解释变量(身高)有关?在多大程度上与随机 误差有关?我们引入了评价回归效果的两个统计量:残差、相关指数 R2. 二、自主学习: 1. 残差: (1)残差的定义

(2)残差的作用

2.绘残差图 编号 身高
4

1

2

3

4

5

6

7

8

体重 残差 画残差图

0

1

2

3

4

5

6

7

8

从残差图看:⑴那些点为可疑点? 发现可疑点该如何办?

⑵如何判断模型拟合程度?

3. 相关指数 R2 R2=
n

? )2 R2 越大,意味着残差平方和 ? ( yi ? y
i ?1 n

,即模型的拟合效果 ,即模型的拟合效果 ”或者 ”

; .。

? )2 R2 越小,意味着残差平方和 ? ( yi ? y
i ?1

例如例 1,R2≈ “

表明“

预报时需要注意下列问题: 1. 2. 3.
5

4. 三.、例题解析: 例 2 关于 x 与 Y 有如下数据:
x

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

y

为了对 x 、 Y 两个变量进行统计分析,现有以下两种线性模型: y ? 6.5x ? 17.5 , y ? 7 x ? 17 ,试比 较哪一个模型拟合的效果更好.

四、课堂小结: 从这节课你学到了什么?请自己尝试总结如下: 1. 2.

五.课后作业 p8 练习

高二数学选修 1-2 第一章《统计案例》学案

1.1.3 回归分析的基本思想及其初步应用
课标转述:①通过对典型案例(如“肺癌与吸烟有关吗”等)的探究,了解独立性检验的基本思想、方法及初步应 用。
6

②通过对现行案例(如“质量控制” “新药是否有效”等)的探究,了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方 法及初步应用。 ③通过对典型案例(如“昆虫分类”等)的探究,了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用。 ④通过对典型案例(如“人的体重与身高的关系”等)的探究,了解回归的基本思想、方法及初步应用 学习要求:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 学习重点:通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型,了解在解决实际问题的过程中 寻找更好的模型的方法. 学习难点:了解常用函数的图象特点,选择不同的模型建模,并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 学习过程: 一、复习准备: 1. 给出例 2:一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 有关,现收集了 7 组观测数据列于下表中,试建立 y 与 x 之间的回归 方程. 温度 x / C 产卵数 y / 个 21 7 23 11 25 21 27 24 29 66 32 115 35 325

(学生描述步骤,教师演示) ( 第1步 解:根据收集的数据, (第 2 步 ;) ;)

2. 讨论:观察右图中的散点图,发现样本点并没有分布在某个带状区域内,即两个变量不呈线性相关关系,所以 不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.那么选用什么类型的模型呢? 二、学习新知: 1. 探究非线性回归方程的确定: ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域,可以选线性回归模型来建模;如果散点图中的点分布在一个曲 线状带形区域,就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线 y= C1eC2 x 的周围(其中 c1 , c2 是待定的参数) , 故可用指数函数模型来拟合这两个变量.
7

③ 在上式两边取对数,得 ln y ? c2 x ? ln c1 ,再令 z ? ln y ,

则 z ? c2 x ? ln c1 , 而
7

z 与 x 间的关系如下:
X z 21 1.946 23 2.398 25 3.045 27 3.178 29 4.190 32 4.745 35 5.784
z

6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 x 30 40

观察 z 与 x 的散点图,可以发现变换后样本点分布在一条直 用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 a ? ?3.843, b ? 0.272 , z 与 x 间的线性回

线的附近, 因此可以









z ? 0.272 x ? 3.843 ,因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为 y ? e0.272 x ?3.843 .
⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题,可按“作散点图 ?建模 ? 确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换,将非线性回归问题转化成线性回归问题. 2. 小结:用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤.

提问:在例 3 中,观察散点图,我们选择用指数函数模型来拟合红铃虫的产卵数 y 和温度 x 间的 关系,还可用其它函数模型来拟合吗?并求出回归方程.

判断模型的好坏.如何判断? 1.用残差

2.用 R2

8

三、巩固练习: 为了研究某种细菌随时间 x 变化,繁殖的个数,收集数据如下: 天数 x/天 繁殖个数 y/个 1 6 2 12 3 25 4 49 5 95 6 190

(1)用天数作解释变量,繁殖个数作预报变量,作出这些数据的散点图;

? =e0.69 x ?1.112 .) (2)试求出预报变量对解释变量的回归方程.(答案:所求非线性回归方程为 y

三. 课堂小结: (残差分析的步骤、作用)

四、课后练习: 练习:教材 P9 第 3 题

9

高二数学选修 1-2 第一章《统计案例》学案

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
课标转述:①通过对典型案例(如“肺癌与吸烟有关吗”等)的探究,了解独立性检验的基本思想、方法及初步应 用。 ②通过对现行案例(如“质量控制” “新药是否有效”等)的探究,了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方 法及初步应用。 ③通过对典型案例(如“昆虫分类”等)的探究,了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用。 ④通过对典型案例(如“人的体重与身高的关系”等)的探究,了解回归的基本思想、方法及初步应用 学习目标:通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题,并借助样本数据的列联表、柱形图和条 形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高,让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要 性. 学习重点:理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 学习难点:了解独立性检验的基本思想、了解随机变量 K 2 的含义. 学习过程: 【自主探究】 1. 与列联表相关的概念: ① 分类变量:

② 列联表:

由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异.怎么才能直观的判断“吸烟”和“患肺癌” 有没有关系呢? 2. 等高条形图的概念:

注意事项:

3. 独立性检验的基本思想: 问题 1.某医疗机构为了了解患肺癌与吸烟是否有关,进行了一次抽样调查,共调查了 9965 个成年人,其中吸烟者 2148 人,不吸烟者 7817 人,调查结果是:吸烟的 2148 人中 49 人患肺癌, 2099 人不患肺癌;不吸烟的 7817 人中 42 人患肺癌, 7775 人不患肺癌。 根据这些数据能否断定:患肺癌与吸烟有关

10

列联表

上例的解决步骤 第一步:提出假设检验问题 第二步:选择检验的指标 H 0 :吸烟与患肺癌没有关系

K2 ?

n(ad ? bc)2 ,求观测值 k≈56.632(它越小,原假设“H 0 :吸 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大;它越大,备择假设“H 1 :吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大. 第三步:k 与 6.635 比较,若 k≥6.635,则 H 0 不成立;反之,H 0 成立。由于 56.635>6.635 所以 H 0 不成立,则吸烟与患肺癌有关系。 ① 独立性检验的必要性(为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论?) :列联表中的数据是样本数据,它只是总 体的代表,具有随机性,故需要用独立性检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体. ② 独立性检验的步骤(略)及原理(与反证法类似) : 反证法 在 A 不成立的前提下进行推理 推出矛盾,意味着结论 A 成立 没有找到矛盾, 不能对 A 下任何结 论,即反证法不成功 问题 2.假设有两个分类变量 X 和 Y,其样本频数列联表(2×2 列联表)为: 假设检验

y1 x1 x2
总计 a c a+c

y2
b d b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d

我们也可以通过直接计算或者观察等高条形图可以发现

a c 和 相差很大, 就判断两个分类变量之间有关系, a?b c?d

不足之处:不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率,而独立性检验可以弥补这个不足. 独立性检验的具体做法是: 1.根据实际问题的需要确定容许推断”两个分类变量有关系”犯错误概率的上界 ? ,然后查表确定临界值 k0

P(K 2 ? k0 )
k0

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.84

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.83

2.求随机变量的观测值 k
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3.若 k ? k0 ,就推断“X 和 Y 有关系” ,这种推断犯错误的概率不超过 ? ;否则就认为在犯错误的概率不超过 ? 的 前提下不能推断“X 和 Y 有关系”,或者在样本数据中没有足够证据支持结论“X 和 Y 有关系”. 【例题分析】 例 1 在某医院,因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中,有 214 人秃顶;而另外 772 名不是因为患心脏病而住 院的男性病人中有 175 名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系?你所得的结论在 什么范围内有效?

注意

【练习反馈】 练习 1.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取 300 名学生,得到 如下列联表: 喜欢数学课程 男 女 总 计 37 35 72 不喜欢数学课程 85 143 228 总 计 122 178 300

由表中数据计算得到 K 2 的观察值 k ? 4.513 . 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有关系?为 什么?

【课堂小结】 1. 2.

【课后作业】 某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响,随机进行调查并得到如下的列联表:请问有多大把握认为 “高中生学习状况与生理健康有关”?
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高二数学选修 1-2 第二章《推理与证明》学案

课题:2.1.1 合情推理(1)
课标转述: 1、 结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并 认识合情推理在数学发现中的作用。 2、 结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本方法,并能运用他们进 行一些简单推理。 3、 通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异

学习目标: 1、通过自学课本,理解归纳推理的含义; 2、能利用归纳进行简单的推理; 3、总结归纳推理在数学发现中的作用。 学习重点:归纳推理的概念并能利用归纳进行简单的推理 学习过程: 新课引入: 自学三个事例了解归纳推理的含义 1、 哥德巴赫猜想: 观察 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97,猜测:任一偶数(除去 2,它本身是一素数)可以表示成两个素数之和. 1742 年写信 提出,欧拉及以后的数学家无人能解,成为数学史上举世闻名的猜想. 1973 年,我国数学家陈景润,证明了充分大 的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和,数学上把它称为“1+2”. 2、费马猜想:法国业余数学家之王—费马(1601-1665)在 1640 年通过对 F0 ? 22 ? 1 ? 3 , F1 ? 22 ? 1 ? 5 ,
0 1

F2 ? 22 ? 1 ? 17 , F3 ? 22 ? 1 ? 257 , F4 ? 22 ? 1 ? 65 537 的观察,发现其结果都是素数,于是提出猜想:对所有的
自 然 数 n , 任 何 形 如 Fn ? 22 ? 1 的 数 都 是 素 数 .
5
n

2

3

4

后 来 瑞 士 数 学 家 欧 拉 , 发 现

F5 ? 22 ? 1 ? 4 294 967 297 ? 641? 6 700 417 不是素数,推翻费马猜想.
3、四色猜想:1852 年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现 了一种有趣的现象: “每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜色 .” ,四色猜想成了 世界数学界关注的问题.1976 年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用 1200 个小时,作了 100 亿逻辑判断,完成证明.
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问题 1:根据实例讨论归纳推理的概念: (小组讨论)

与课本对比小组讨论成果: (课本上的概念)

问题 2:归纳练习(自己完成后小组对改答案) 1、由铜、铁、铝、金、银能导电,能归纳出什么结论? 2、由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和 1800,能归纳出什么结论? 3、观察等式:1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,??你能得出怎样的结论?

问题 3:根据课本知识归纳总结 1、统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理?

2、归纳推理有何作用?

3、归纳推理的结果是否正确? 问题 4:例题解析: 例、已知数列 ?an ? 的第 1 项 a1 ? 1, 且 an ?1 ?
an (n ? 1, 2, ) ,试归纳出通项公式. 1 ? an

(分析思路:试值 n=1,2,3,4 → 猜想 a n →如何证明:将递推公式变形,再构造新数列)

例题小结: (你从例题中得到哪些知识) 问题 5:巩固练习: 1、由数列 1,10,100,1000,??猜测该数列的第 n 项可能是( ) 。 A.10n; B.10n-1; C.10n+1; D.11n. 2、观察下图中各正方形图案,每条边上有 n(n≥2)个圆圈,每个图案中的总数是 s, 按此规律推出 s 与 n 的关系式为 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ n=3 , s=8 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ n=4 , s=12 ○ ○ ○ ○

○ ○ ○ ○ n=2 , s=4
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3、教材 P30 1、2 题. 4、已知 f (1) ? 0, af (n) ? bf (n ? 1) ? 1, n ? 2, a ? 0, b ? 0 ,推测 f (n) 的表达式.

思考:证得某命题在 n=n 0 时成立;又假设在 n=k 时命题成立,再证明 n=k+1 时命题也成立. 由这两步,可以 归纳出什么结论? (提示:结合今天所学知识,类比循环思想,可以小组讨论)

四、本节小结: (从知识与方法,例题与练习方面总结)

五、作业:教材 P35 习题 A 组 1、2、3 题.

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高二数学选修 1-2 第二章《推理与证明》学案

课题:2.1.1 合情推理(2)
课标转述: 1、 结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并 认识合情推理在数学发现中的作用。 2、 结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本方法,并能运用他们进 行一些简单推理。 3、 通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异

学习目标: 1、通过自学课本,了解类比推理、合情推理的含义; 2、能利用归纳和类比等进行简单的推理; 3、总结合情推理在数学发现中的作用.。 学习重点:了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理. 学习过程: 一、复习准备: 1. 练 习 : 已 知
(iii ) (a1 ? a2 ? a3 )(

ai ? 0 (i ? 1, 2,

a1 ? , n) , 考 察 下 列 式 子 : (i )

1 ? a1

1 ; (ii ) (a1 ? a2 )(

1 1 ? )?4 ; a1 a2

1 1 1 ? ? ) ? 9 . 我们可以归纳出,对 a1 , a2 , a1 a2 a3

, an 也成立的类似不等式为

.

2. 猜想数列

1 1 1 1 ,? , ,? , 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9

的通项公式是

.

3. 阅读:鲁班由带齿的草发明锯;人类仿照鱼类外形及沉浮原理,发明潜水艇;地球上有生命,火星与地球有许 多相似点,如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星,有大气层,也有季节变更,温度也适合生物生存,科学家猜测: 火星上有生命存在. 以上都是类比思维,即类比推理. 二、学习新课: 问题 1:根据实例讨论类比推理的概念: (小组讨论)

与课本对比小组讨论成果: (课本上的概念)

问题 2:类比练习(自己完成后小组对改答案) (i)圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体?

(ii)平面内不共线的三点确定一个圆,由此结论如何类比得到空间的结论?
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(iii)由圆的一些特征,类比得到球体的相应特征. (教材 P25 探究 填表)

问题 3:以平面向量为基础学习空间向量,试举例其中的一些类比思维.(由平面知识类比到空间知识)

问题 4:例题解析: 例 3、类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质. (得到如下表格)

探究:你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象?

例 4、类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想;这个结论是正确的吗?请同学们自己 证明。 (画出图形)

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问题 5:巩固练习: 1、若数列 ?an ? 是等差数列,若数列{ bn }满足, bn =

a1 ? a 2 ? ? ? a n * ( n ? n ),则{ bn }也为等差数列.类比上述 n
*

性质,相应地,若数列{ cn }是等比数列,且 cn >0( n ? n )则有 比数列.

时 ,数列{ d n }也为等

2、类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当 的是( ) 。 ①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都 相等;③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。 A.①; B.①②; C.①②③; D.③

思考:有三根针和套在一根针上的若干金属片,按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上:①每次只 能移动 1 个金属片;②较大的金属片不能放在较小的金属片上面。试推测:把 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针,最 少需要激动多少次?怎样移动才能到到最少的移动次数呢?

三、本节小结: (从知识与方法,例题与练习方面总结)

四、作业:P35 A 组 4、5、6 题.

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高二数学选修 1-2 第二章《推理与证明》学案

课题:2.1.2 演绎推理
课标转述: 4、 结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并 认识合情推理在数学发现中的作用。 5、 结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本方法,并能运用他们进 行一些简单推理。 6、 通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异

学习目标: 1、 结合已学过的数学实例和生活中的实例,认识演绎推理的重要性; 2、 掌握演绎推理的基本方法; 3、 能运用演绎推理的基本方法进行一些简单的推理。. 学习重点:演绎推理的含义;利用“三段论”进行简单的推理. 学习过程: 一、复习准备: 1. 练习: ① 对于任意正整数 n,猜想(2n-1)与(n+1)2 的大小关系? ②在平面内,若 a ? c, b ? c ,则 a // b . 类比到空间,你会得到什么结论?

2. 讨论:以上推理属于什么推理,结论正确吗?

3. 新课导入: (自学 P30——P31 思考上方的内容) ① 所有的金属都能够导电,铜是金属,所以 ; ;

② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,冥王星是太阳系的大行星,因此 ③ 奇数都不能被 2 整除,2007 是奇数,所以 .

(填空→讨论:上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗?) 二、学习新课: 1. 根据实例讨论演绎推理的概念: (小组讨论)

与课本对比小组讨论成果: (课本上的概念)

概念要点:
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问题 1:演绎推理与合情推理有什么区别?(小组讨论)

问题 2:观察教材 P30 引例,它们都由几部分组成,各部分有什么特点?(个人完成)

举例:举出一些用“三段论”推理的例子. (个人完成)

2. 例题解析: 例 6、在锐角三角形 ABC 中, AD ? BC , BE ? AC ,D,E 是垂足. 求证:AB 的中点 M 到 D,E 的距离相等.

例 7、证明函数 f ( x) ? ? x2 ? 2 x 在 ? ??, ?1? 上是增函数.

1 思考:因为指数函数 y ? a x 是增函数, y ? ( ) x 是指数函数,则结论是什么? 2
(指出:大前提、小前提 ;讨论:结论是否正确,为什么?)

讨论:演绎推理怎样才结论正确?(个人完成)

3、巩固练习: 1.、演绎推理是以下列哪个为前提,推出某个特殊情况下的结论的推理方法。(
20



A.一般的原理原则; B.特定的命题; C.一般的命题; D.定理、公式 2、三段论“①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港的,③所以这艘船是准时起航 的”中“小前提”是 ( ) A. ① B.② C.①② D.③ 3、 “因对数函数 y=log a x 是增函数(大前提) ,而 y=log 1 x 是对数函数的(小前提) ,所以 y=log 1 x 是增函数(结
2

3

论)”.上面的推理的错误是 ( ) A 大前提错导致结论错。 B.小前提错导致结论错。 C.推理形式错导致结论错。 D.大前提和小前提都错导致结论错。 4、推理“①矩形是平行四边形,②三角形不是平行四边形,③所以三角形不是矩形”中的小前提是 ( ) A,① B,② C, ③ D, ①② 计算与证明 5、月蚀时落在月球上的地球的影子,轮廓始终都是圆形的。①只有球形的东西,才能在任何情形下投射出圆形的 影子。②这就证明地球是球形的。 ③以上证明过程是否正确?正确时指出大前提,小前提和结论,不正确时指出 错误。

三、本节小结: (小组讨论:从知识与方法,例题与练习方面总结)

四、延伸提高: 已知数列 a1 , a 2 , ? , a30 ,其中 a1 , a 2 , ? , a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列; a10 , a11 , ? , a 20 是公差为 d 的等差 数列; a 20 , a 21 , ? , a30 是公差为 d 2 的等差数列( d ? 0 ). (1)若 a 20 ? 40 ,求 d ; (2)试写出 a 30 关于 d 的关系式,并求 a 30 的取值范围; (3)续写已知数列,使得 a30 , a31 , ? , a 40 是公差为 d 3 的等差数列,??,依次类推,把已知数列推广为无穷 数列. 提出同(2)类似的问题( (2)应当作为特例) ,并进行研究,你能得到什么样的结论?

21

五、作业:P35 A 组 6 题,B 组 1 题.

高二数学选修 1-2 第二章《推理与证明》学案

课题:2.2.1 综合法与分析法(1)
课标转述:结合已将学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解 分析法和综合法的 思考过程、特点。 学习目标: 1、结合已学过的数学实例,了解直接证明的基本方法----综合法 2、了解综合法的思考过程、特点; 学习重点:综合法证明 学习过程: 一. 引入 合情推理分归纳推理和类比推理,所得的结论的正确性是要证明的,数学中的两大基本证明方法 -------直接证 明与间接证明。

例2、在?ABC中,设CB ? a, CA ? b,求证:S ?ABC ?
若要证明下列问题: 已知 a,b>0,求证: a(b
2

a b

2

2

? ( a ? b) 2 .

? c2 ) ? b(c2 ? a2 ) ? 4abc

(先个人后小组活动:充分讨论,思考,找出以上问题的证明方法)

22

二、新知探索 1、根据实例讨论综合法的概念: (小组讨论)

与课本对比小组讨论成果: (课本上的概念)

2、框图表示

三、例题解析: (自学指导:看书时可以先跳过例题的解答过程)

例1、已知:x, y, z ? R, a, b, c ? R ? b?c 2 c?a 2 a?b 2 求证 : x ? y ? z ? 2( xy ? yz ? zx ) a b c

23

例3、在?ABC中,三个内角 A, B, C对应的边分别 为a, b, c, 且A, B, C成等差数列 , a, b, c成等比数列, 求证:?ABC为等边三角形

24

四、巩固练习:

1、在?ABC中,已知: (a 2 ? b 2 ) sin(A ? B) ? (a 2 ? b 2 ) sin(A ? B) 求证:?ABC为 等腰三角形或直角三角 形

2、求证:对于任意角θ , cos 4 ? ? sin 4 ? ? cos 2? .

25

五、本节小结: (从知识与方法,例题与练习方面总结)

六、作业:P44 A 组 1、2 题 B 组 1 题

高二数学选修 1-2 第二章《推理与证明》学案

课题:2.2.1 综合法与分析法(2)
课标转述:结合已将学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解 分析法和综合法的 思考过程、特点。

学习目标: 1、 结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法; 2、 分析法和综合法; 3、 了解分析法和综合法的思考过程、特点. 学习重点:会用分析法证明问题;注意分析法的连接词. 学习过程: 一、复习准备: (个人完成) 1. 提问:基本不等式的形式?

2. 讨论:如何证明基本不等式

a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) . 2

二、学习新课:
26

环节一、引例: (本例可以小组讨论)

例 1.

3 ? 7 ? 2 5.

(提示: 能用综合法证明吗? → 如何从结论出发, 寻找结论成立的充分条件?→ 板演证明过程 (注意格式) → 再讨论:能用综合法证明吗?→ 比较:两种证法)

环节二、新知探索 1、根据实例讨论分析法的概念: (小组讨论)

与课本对比小组讨论成果: (课本上的概念)

2、框图表示

环节三、例题解析:

例2、已知?,? ? k? ? sin ? ? cos? ? 2 sin ? ,

?
2

(k ? Z ),且

sin ? ? cos? ? sin 2 ? ;

1 ? tan2 ? 1 ? tan2 ? 求证: ? 1 ? tan2 ? 2(1 ? tan2 ? )

27

二、巩固练习: (个人完成,小组评改,课堂展示) 1、例 1 针对性练习: 求证: 3 ? 5 ? 2 ? 6 .

2、设 a, b, c 是的△ABC 三边,S 是三角形的面积,求证: c2 ? a2 ? b2 ? 4ab ? 4 3S

3、设 x > 0,y > 0,证明不等式: ( x 2 ? y 2 ) 2 ? ( x3 ? y 3 ) 3

1

1

三、对比综合法和分析法的区别与联系(小组讨论,课堂展示)

四、本节小结: (从知识与方法,例题与练习方面总结)
28

五、延伸提高: 用分析法证明:若 a ? 0 ,则 a 2 ?
1 1 ? 2≥a ? ? 2 . 2 a a

六、作业:P44 B 组 1、2 题

高二数学选修 1-2《推理与证明》学案

课题:2.2.2 反证法
课标转述:结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法—反证法;了解反证法的思考过程、特点。 学习目标: 4、 通过学习 P42 页内容,了解间接证明的一种基本方法——反证法; 5、 通过对例 1、例 2 的讨论学习,了解反证法的思考过程、特点.
29

学习重点:会用反证法证明问题;了解反证法的思考过程. 学习过程: 一、复习准备: (小组合作完成) 提问: 将 9 个球分别染成红色和白色, 那么无论怎样染, 至少有 5 个球是同色的。 你认为真确么?为什么? (口 头展示) 二、新知探索 个人精读反证法的概念并记忆:

三、例题解析: (个人思考后小组讨论) 例 1、已知 a ? 0 ,证明 x 的方程 ax ? b 有且只有一个根。

例 2、已知直线 a , b 和平面 ? ,如果 a ? ? , b ? ? ,且 a ∥ b ,求证: a ∥ ?

四、巩固练习: (个人完成,小组评改,课堂展示)

?B一定是锐角。 1、证明: 在?ABC中,若?C是直角,则 .
30

2、求证: 2, 3, 5, 不可能成等差数列.

3、用反证法证明:如果 x ?

1 , 那么 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0. 2

五、本节小结: (从知识与方法,例题与练习方面总结)

六、延伸提高:
1) .求证: (1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a 不能同时大于 已知 a,b,c ? (0,
31

1 . 4

七、作业:P44 A 组 3 题

补充作业:已知x、y ? 0, 且x ? y ? 2.试证:

1? x 1? y , 中至少有一个小于 2. y x

选修 1-2 第二章单元测试
一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.如果数列 ?an ? 是等差数列,则( ) A. a1 ? a8 ? a4 ? a5 B. a1 ? a8 ? a4 ? a5 C. a1 ? a8 ? a4 ? a5 D. a1a8 ? a4 a5 2.下面使用类比推理正确的是( ) A.“若 a ? 3 ? b ? 3 ,则 a ? b ”类推出“若 a ? 0 ? b ? 0 ,则 a ? b ” B.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“ (a ? b)c ? ac ? bc ”
a?b a b ? ? (c≠0) ” c c c n n (ab) ? a nbn ” 类推出“ (a ? b) ? a n ? bn ” D.“ 3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显 然是错误的,是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

C.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ” 类推出“

4.设 f 0 ( x) ? sin x, f1 ( x) ? f 0 ( x) , f2 ( x) ? f1' ( x), A. sin x B.- sin x C. cos x

'

, fn?1 ( x) ? fn' ( x) ,n∈N,则 f2007 ( x) ? (
D.- cos x

)

0 1 2 3 5. 在十进制中 2004 ? 4 ?10 ? 0 ?10 ? 0 ?10 ? 2 ?10 ,那么在 5 进制中数码 2004 折合成十进制为

( A.29

) B. 254 C. 602 D. 2004 )

6. 由数列 1,10,100,1000,??猜测该数列的第 n 项可能是( A.10n; B.10n-1;
32

C.10n+1;

D.11n

7. 下 面 的 四 个 不 等 式 : ① a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ; ②
2 2 2

a ?1 ? a ? ?

1 a b ? ?2 4 ;③ b a

;④

?a

2

2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ?ac ? bd? .其中不成立的有 (

??

?

)

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

8. 已知 f1 ( x) ? cos x, f2 ( x) ? f1' ( x), f3 ( x) ? f2' ( x), f4 ( x) ? f3' ( x) , 。 。 。 fn () x ? f n() ,1' x 则 f2005 ( x) ? ( ) ? A、 sin x 9. 函数 y ? A 、1 B、 ? sin x C、 cos x ( ) D 、3 ) 。 D、 ? cos x

x2 ? 5 x2 ? 4
B、
5 2

的最小值为 C 、2

10 设 m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,则 x 与 y 的大小关系为( A.x>y; B.x=y; C.x<y; D.x≠y。

11. 有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ? ? 平面 ? , 直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的,这是因为
?

(

)

A.大前提错误 12.已知 f ( x ? 1) ? A. f ( x) ?

B.小前提错误

C.推理形式错误

D.非以上错误 (
2 2x ?1

2 f ( x) , f (1) ? 1 (x ? N *) ,猜想 f ( x) 的表达式为 f ( x) ? 2

)

4 2 B. f ( x ) ? 2 ?2 x ?1 二、填空题.(每空 4 分,共 20 分。
x

C. f ( x ) ?

1 x ?1

D. f ( x) ?

13. 类比平面几何中的勾股定理:若直角三角形 ABC 中的两边 AB、AC 互相垂直,则三角形三边长之 间满足关系: AB2 ? AC 2 ? BC 2 。若三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两互相垂直,则三棱 锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .

2 ? 3 ? 4 ? 32,3+4+5+6+7=52 中,可得到一般规律为 14.从 1 ? 12,

15. 命题“△ABC 中,若∠A>∠B,则 a>b”的结论的否定是



16.设平面内有n条直线 (n ? 3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用
f (n) 表示这n条直线交点的个数,则 f (4) =

; (用含 n 的数学表达式表示)

当n>4时, f ( n ) = 三、解答题:
33

17、 (10 分)在△ABC 中, sin A ?

sin B ? sin C ,判断△ABC 的形状 cos B ? cos C

18、 (12 分)自然状态下鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力 及捕捞强度对鱼群总量的影响,用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量, n ? N ? ,且 x1 >0.不考虑其 它因素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比,死亡量与 x n 成正比,这些比例系数依 次为正常数 a, b, c . (Ⅰ)求 xn?1 与 xn 的关系式; (Ⅱ)猜测:当且仅当 x1 , a, b, c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证 明)
2

34

19、 (12 分)已知 f ( x)(x ? R) 恒不为 0,对于任意 x1 , x2 ? R

? x ? x2 ? 等式 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 2 f ? 1 ?? ? 2 ?

? x ? x2 ? f? 1 ? 恒成立.求证: f ( x) 是偶函数. ? 2 ?

? 20、 (12 分)已知 ? ? (0, ), 求 y ? sin ? cos2 ? 的最大值。 2

35

21、 (12 分)已知: f ( x) ? x2 ? px ? q ,求证: (1) f (1) ? f (3) ? 2 f (2) ? 2 ; (2) f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于
1 。 2

36

22、 (12 分)设函数 f ( x) ? x sin x( x ? R) . (1)证明: f ( x ? 2k? ) ? f ( x) ? 2k? sin x, k ? Z ; (2)设 x0 为 f ( x) 的一个极值点,证明 [ f ( x0 )]2 ?
4 x0 2 1 ? x0

37

高二数学选修 1-2 第三章《数系的扩充与复数的引入》学案

3.1.1 复数的概念
【课标转述】
(1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系的扩 充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。 (2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 (3)了解复数的代数表示法及其几何意义。 (4)能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

【学习目标】
1. 理解复数的基本概念; 2. 掌握复数的相关概念,清楚复数与实数的关系; 3 . 复数相等的充要条件。

【学习流程】 一、 【复习引入】实数系中 N、Z、Q、R 之间的关系 二、 【自主学习】
问题 1.方程 x ? 1 ? 0 在实数集中无解,你能设想一种方法,使这个方程有解么?
2

问题 2.阅读 p50-51,回答下列问题 1.虚数单位 i : (1)它的平方等于____,即

i 2 ? ____ ;

(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.
2 2 2. i 与-1 的关系: i 就是-1 的一个平方根,即方程 x =-1 的一个根,方程 x =-1 的另一个根是

!

4n+1 4n+2 3. i 的周期性: i =_____, i =_____,

i 4n+3=-_____,

i 4n=_____

王新敞
奎屯

新疆

4.复数的定义: 5. 复数的代数形式:

6. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系:

38

7.复数集与其它数集 N、 Z 、Q、 R 之间的关系: 8. 两个复数相等的定义:

9.由复数的定义,反之也成立么? 10.实数 a=2,b=3,我们可以比大小,a<b; 3+5i 与 4+3i 能比较大小?现有一个命题: “任何两个复数都不能比 较大小”对吗?

三、 【例题解析】
例 1 实数 m 取什么数值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是: (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?

例2

已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x,y∈R,求 x 与 y.

四、 【练习反馈】 :第 52 页练习

五、 【课堂小结】 :

39

六、 【拓展延伸】 : a ?5 ? (a 2 ? 2a ? 15)i 为实数时,实数 a 的值是( 1.设 z= 2 a ? 4a ? 5
A.3 C.3 或-5 B.-5 D.-3 或 5



2 . 设 关 于 x 的 方 程 x 2 ? (tan? ? i) x ? (2 ? i) ? 0 , 若 方 程 有 实 数 根 , 则 锐 角 ? 和 实 数 根 ______________________________________. 3.设复数 Z ? lg(m 2 ? 2m ? 2) ? (m 2 ? 3m ? 2)i ,试求 m 取何值时 (1)Z 是实数; (2)Z 是纯虚数

七、 【课后作业】 :
第 55 页习题 A:1,2,3

高二数学选修 1-2 第三章《数系的扩充与复数的引入》学案

3.1.2 复数的几何意义
【课标转述】
(1 了解复数的代数表示法及其几何意义。

【学习目标】
1、学习 P52 的内容,掌握复平面的建立; 2、学习 P53 的内容,掌握复数的几何意义(两种意义)和复数的模的概念;
40

【学习流程】
一、 【复习回顾】 : 1.虚数单位 i , i ? _______;
2

2. i 的周期性: i =_____, i =_____, i =-_____, 3.复数的定义:(指明实部、虚部和复数集的字母表示) 4. 复数的代数形式: 5. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系:

4n+1

4n+2

4n+3

i 4n=_____

王新敞
奎屯

新疆

6.复数集与其它数集之间的关系: (Q、Z、N、C、R 排序) : 7. 两个复数相等的定义: (用式子表示) 8.阅读:复数相等的定义是求复数值,在复数集中解方程的重要依据 一般地,两个复数只能说相等或不相 等,而不能比较大小.如 3+5i 与 4+3i 不能比较大小. 现有一个命题: “任何两个复数都不能比较大小”对吗?(不用急于解决,接着往下学习)
王新敞
奎屯 新疆

二、 【自主学习】
1、实数可以用数轴上的点来表示 实数 ( ) 实数轴上的点 (几何模型)





问题 1:若把 a,b 看成有序实数对(a,b) ,则(a,b)与复数 a+bi 是怎样的对应关系?有序实数对(a,b)与平面 直角坐标系中的点是怎样的对应关系?

问题 2:类比实数的性质, 你能否找到用来表示复数的几何模型?还能得出复数其他的一些性质吗? (学生猜测, 小组讨论,形成一些共识)

2、复平面的概念: 3、复数的几何意义(结合图形个人完成)

41

y

y Z(a,b)

?
3 2 A -2

b
y

Z=a+bi Z(a,b)

?C ?B
1 2 3 o
y

a
y

?

x
y

x

( 1) 、复数 a+bi 与点 Z(a,b) (复数的几何形式)之间的关系? ( 2) 、复数 a+bi 与向量 OZ (复数的向量形式。以 O 为始点的向量)之间的关系?

提醒:相等的向量表示同一个复数。
小结:复数 a+bi,点 Z(a,b) (复数的几何形式) 、向量 OZ (复数的向量形式。以 O 为始点的向量)三者的关系 如下: (个人填空)

三、 【练习反馈】 :
练习(1) (1) 、在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,2+i,-1+3i,3-2i,-i

(2) 、 “a=0”是“复数 a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的( ) 。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3) 、第二象限的点表示的复数有何特征? 问题 3:实数可以比较大小,任意两个复数可以比较大小吗?认为可以者,请拿出进行比较的方法;认为不可以者, 请说明理由。 (学生讨论,回答,形成共识)

42

3、复数的模(或绝对值)的概念、表示及计算公式:

练习(2) ( 1) 、已知复数 Z1 =3+4i, Z 2 =-1+5i,试比较它们模的大小。

( 2) 、若复数 Z=3a-4ai(a<0),则其模长为



四、 【课堂小结】 :

五、 【课后作业】 :P55

A 组 4(3) (4) ;5; B 组 1

六、 【拓展延伸】 :
满足|z|=5(z∈R)的 z 值有几个?满足|z|=5(z∈C)的 z 值有几个?这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图 形?其轨迹方程是什么?

高二数学选修 1-2 第三章《数系的扩充与复数的引入》学案

3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
【课标转述】
(1 能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

【学习目标】
6、 通过学习 P56-P57 页内容,掌握复数加、减运算法则; 7、 会计算简单的复数加减运算,并会理解复数的几何意义在复数加减法中的应用.

【学习流程】
一、 【复习引入】
43

问题 1:复数的代数形式; 问题 2:复数的几何意义。 二、 【自主学习】 复数的加法(看书完成) 复数的加法规定按照以下的法则进行: z1 + z2 =(a+bi)+(c+di)=_________________ 探究:复数的加法满足交换律、结合律吗?(用 z1,z2, z3 ∈C 表示)

探究:复数与复平面内的向量有一一对应关系。我们讨论过向量加法的几何意义,你能由此出发讨论复数加法几 . 何意义吗?(个人思考后,小组讨论) y
Z

(提示:向量的加法与复数的加法结合, OZ1 , OZ2 分别与 复数 a ? bi, c ? di 对应)

Z 2 ?c, d ?

Z1 ?a, b?

o

x

思考:复数是否有减法?如何理解复数的减法 (指导:类比实数的加减法自学复数的减法, ) 结论: (a+bi)—(c+di)=_________________ 探究:类比复数加法的几何意义,请指出复数减法的几何意义?

三、 【例题解析】 例 1、计算 (5-6i)+(-2-i)-(3+4i)

例 2、已知正方形 ABCD 的三个顶点坐标分别是 A(1,2) ,B(-2,1) ,C(-1,-2) ,则 D 点的坐标?

四、 【练习反馈】 : (个人完成,小组评改,课堂展示) 1、课本 P58 页练习:1、2 题(写书上) 补充: (1) (? 2 ? 3i) ? [( 3 ? 2) ? ( 3 ? 2)i] ? (? 2i ? 3); (2)[(a+b)+(a-b)i]-[(a-b)-(a+b)i];
44

2、设 z1 ? 3 ? 4i , A.第一象限

z2 ? ?2 ? 3i ,则 z1 ? z2 在复平面内对应的点位于(
B.第二象限 C.第三象限 ) C. ? D.第四象限



3、 设复数 ? ? ? A. ? ?

1 3 ? i, 则1 ? ? =( 2 2
B. ?
2

1

?

D.

1 ?2

4、 两个复数 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i, (a1,b1,a2,b2 都是实数且 z1≠0,z2≠0) ,对应的向量在同一直线上的充要条 件是( A. ) B. a1a2 ? b1b2 ? 0 C.

b1 b2 ? ? ?1 a1 a 2

b1 b2 ? a1 a 2

D. a1b2 ? a2 b1

5、 向量 OZ 1 对应的复数是 5-4i,向量 OZ 2 对应的复数是-5+4i,则 OZ1 ? OZ2 对应的复数是_____________。 五、 【课堂小结】 : : (从知识与方法,例题与练习方面总结)

六、 【拓展延伸】

设z为复数,且| z| ?| z ? 1| ? 1,求| z ? 1| 的值。

45

七、 【课后作业】 : :P61 A 组 2、3 题

高二数学选修 1-2 第三章《数系的扩充与复数的引入》学案

3.2.2 复数代数形式的乘除运算
【课标转述】
(1)能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

【学习目标】
通过学习 P58-P60 页内容,掌握复数乘除运算法则; 8、 会计算简单的复数乘除运算; 9、 理解共轭复数的概念及简单的运算。

【学习流程】 一、 【复习引入】
问题:复数加、减运算的法则和复数加法的几何意义;

二、 【自主学习】
复数的乘法(个人看书完成) 复数的乘法规定按照以下的法则进行:
46

z1 z2 =(a+bi) (c+di)=_________________ 探究:复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律吗?(用 z1,z2, z3 ∈C 表示)

三、 【例题解析】 (个人完成) 例 2、计算 (1)(1-2i)(3+4i)(-2+i); (2) (1+i) ;
2

例 2 小结( (2)的过程对比实数系中的公式) : 例 3、计算: (3+4i) (3-4i) 由例 3 引出共轭复数的概念和记法:

思考:若 z1,z2 是共轭复数,那么 (1) 在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系? (2) z1*z2 是一个怎样的数? 探究:类比实数的除法是乘法的逆运算,我们规定复数的除法是乘法的逆运算,试探究复数除法的法则。 (指导: 类比复数的加减法自学,可以小组讨论) 写出计算过程: (a+bi)÷(c+di)=

例 4、计算

(1+2i) ÷(3-4i)

四、 【练习反馈】 : (个人完成,小组评改,课堂展示)
1、课本 P60 页练习:1、2、3 题

47

补充: (1)(a+bi)(a-bi)(-a+bi)(-a-bi) (2)

?1 ? i ?5 ? ?1 ? i ?5
1? i 1? i

1 ? 2i) ? z ? 4 ? 3i,求:z及 2、已知:(

z 。 z

五、 【课堂小结】 : (从知识与方法,例题与练习方面总结)

六、 【拓展延伸】 :
已知 2i-3 是关于 x 的方程 2x +px+q=0 的一个根,求实数 p,q 的值
2

七、 【课后作业】 :
P61 A 组 4(3) (4) 、5(1) (4)题

48

第三章《复数》单元小结
一、选择题 1
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若 z1 , z2 ? C , z1 z2 ? z1 z2 是( A
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?

?

) C
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纯虚数

B

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实数

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虚数

D

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不能确定

2

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若有 R? , R? , X 分别表示正实数集,负实数集,纯虚数集,则集合 m m ? X =(
2

?

?

)

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A

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R?

B

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R?

C

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R?
) D
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R?

D

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R?

?0?

3

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(? 1? 3 i 3) ? ? 2i 的值是( ? 6 ( 1? i ) ? 1 i2
A
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0

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1

C

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i

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2i
2

4

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若复数 z 满足 z ? 3(1 ? z)i ? 1 ,则 z ? z 的值等于(

)

A

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1

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0

C

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?1

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1 3 ? ? i 2 2
)

5

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已知 3 ? 3i ? z (?2 3i) ,那么复数 z 在平面内对应的点位于( A
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第一象限 B

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第二象限

C

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第三象限 D

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第四象限

6

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已知 z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? 1,则 z1 ? z2 等于( ) A
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1

B

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2 C

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3 D

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2 3
)

7

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若? ? ?

1 3 ? i ,则等于 ? 4 ? ? 2 ? 1 ? ( 2 2
B
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A 8
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1

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0

C

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3 ? 3i

D

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?1 ? 3i

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给出下列命题 (1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足 z ? i ? z ? i ? 2 的复数 z 的轨迹是椭圆; (3)若 m ? Z , i ? ?1 ,则 i ? i
2 m m?1

? i m?2 ? i m?3 ? 0;

其中正确命题的序号是( A
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)
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(1)

B

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( 2)(3) C

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(1) ( 3 ) D

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(1) ( 4 )

二、填空题 1 2
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2 2 若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a 、 b ? R , i 使虚数单位,则 a ? b ? _________

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若 z1 ? a ? 2i , z2 ? 3 ? 4i ,且

z1 为纯虚数,则实数 a 的值为 z2

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49

3 4 5 6 7 8

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复数 z ?

1 的共轭复数是_________ 1? i
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计算 (1 ? i )(1 ? 2i ) ? __________ 1? i
2 3 4

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复数 z ? i ? i ? i ? i 的值是___________ 复数 z ?

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?1? i ? 1. 在复平面内, z 所对应的点在第________象限 1? i 已知复数 z0 ? 3 ? 2i, 复数 z满足z ? z0 ? 3z ? z0 , 则复数 z ? __________
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计算

1? i

?1 ? i ?

2

?

1? i

?1 ? i ?

2

? ______________

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若复数 a ? 3i ( a ? R , i 为虚数单位位)是纯虚数,则实数 a 的值为___________
1 ? 2i

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设复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? x ? 2i( x ? R), 若 z1 z2 为实数,则 x ? _____________

三、解答题 1.已知复数 z1 ? a ? 2 i (a ? R) , z 2 ? 3 ? 4i ,且

z1 为纯虚数,求复数 z 1 . z2

2、已知 z 是复数,z+2i、 求实数 a 的取值范围。

z 均为实数,且复数(z+ai)2 在复平面上对应的点在第一象限, 2?i

50

3、已知复数 z 满足 | z ? 4 |?| z ? 4i |, 且 z ?

14 ? z 为实数,求 z 。 z ?1

4、设 ? , ? 是关于 x 的方程 x 2 ? 2x ? m ? 0(m ? R) 的两个根,求 ? ?

? 的值.

5、已知 z ? 1 ? i,a,b 为实数. (1)若 ? ? z 2 ? 3z ? 4 ,求 ? ; (2)若

z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,求 a , b 的值. z2 ? z ? 1

6、已知 ? ? z ? i( z ? C) ,

z?2 2 2 是纯虚数,又 ? ? 1 ? ? ? 1 ? 16 ,求 ? . z?2

51

高二数学选修 1-2 第四章《框图》学案

4.1.1 《流程图》 (一) 【课标转述】
l.流程图
(1)通过具体实例,进一步认识程序框图。 (2)通过具体实例,了解工序流程图(即统筹图) (3)能绘制简单实际问题的流程图,体会流程图在解决实际问题中的作用。

2.结构图
(1)通过实例,了解结构图;运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息。 (2)结合作出的结构图与他人进行交流,体会结构图在揭示事物联系中的作用。

【学习目标】
能绘制简单实际问题的流程图,体会流程图在解决实际问题中的作用,并能通过框图理解某件事情的处理过程.

【学习流程】 一、 【复习引入】
把用自然语言描述的算法转化为程序框图,一般需要将每个算法的步骤分解为若干输入、输出、条件结构、循 环结构等基本单元,再根据各个单元之间的逻辑关系,用流程线将它们连接起来,下面我们来用用实例说明这个问 题。 图形符号 名称 功能

二、 【自主学习】 (阅读 P66-70 回答下列问题)
例 1.画出利用二分法求方程 x -2=0 的近似根的程序图框 1.自然语言:
2

52

2、画出完整的程序框图

三、 【练习反馈】 :生活中的流程图实例——
1、图书室借书的流程图:

2、上医院看病的流程图:

思考一: 1.流程图的定义及作用是什么?

2.流程图有哪些特征?

3.你能说出流程图的特点么?

53

四、 【例题解析】
例 2:考生参加培训中心考试需要遵循的程序。
在考试之前咨询考试事宜.如果是新考生,需要填写考生注册表,领取考生编号,明确考试科目和时间,然后缴纳 考试费,按规定时间参加考试,领取成绩单,领取证书;如果不是新考生,则需出示考生编号,明确考试科目和时间, 然后缴纳考试费,按规定时间参加考试,领取成绩单,领取证书。设计一个流程图,表示这个考试流程。

例 3.某工厂加工零件有 3 道工序:粗加工、返修加工、精加工。每道工序完成时对产品进行检验,合格则进 入下一步加工,不合格返回加工,返修后,合格进入精加工,不合格作废品处理,用流程图表示其整个加工过程。 思考:根据这个工序流程图,一件成品可能经过几道加工和检验程序?哪些环节可能导致废品产生?

五、 【课堂小结】绘制流程图的一般过程:
(1)用自然语言描述流程步骤; (2)分析每一步骤是否可以直接表达,或需要借助于逻辑结构来表 达( “细化”流程步骤)(3)分析各步骤之间的关系; (4)画出流程图表示整个流程。

六、 【课后作业】 :课本 P72,
54

1,2

高二数学选修 1-2 第四章《框图》学案

4.1.2 《流程图》 (二)
【课标转述】
l.流程图
(1)通过具体实例,进一步认识程序框图。 (2)通过具体实例,了解工序流程图(即统筹图) (3)能绘制简单实际问题的流程图,体会流程图在解决实际问题中的作用。

【学习目标】
1.能绘制简单数学问题的流程图, 2.会阅读流程图,并能通过框图理解某件事情的处理过程.

【学习流程】 一、 【复习引入】绘制流程图的一般过程:

二、 【自主学习】 : (阅读 P71,回答下列问题)
流程图可以比较直观地表达数学计算或证明过程中的主要思路。 1.用流程图表示综合法的解题过程:

2.用流程图表示分析法的解题过程:

55

3.解决数学问题的过程用流程图表示

三、 【例题解析】
例 1:喝茶问题: 假设洗水壶须 2min,烧开水需 15min,洗茶壶、杯需 3min,取放茶叶需 2min,沏茶需 1min.试给 出“喝茶问题”的流程图. 思考:上述工作,哪些有先后顺序关系?

例 2: 12 ? 2 2 ? ? ? n 2 ? 100

例 3:某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数 如下表所示: 表中是统 队员编号 i 三分球个数 1 2 3 4 5 6

a1

a2

a3

a4

a5

a6

计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图,
56

如(图 1)所示,则图中判断框应填 输出的 s= 。



例 4.读下面的流程图,若输入的值为-5 时,输出的结果为( 开始 输入A A<0 Y A←A+2 A←2×A

). 输出A 结束

若流程图改为下图,结果如何? 开始 输入A A<0 A←2×A 输出A 结束

N
A←A+2 1. 某算法的程序框如右图所示,则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式是________________. 开 始 S=0,T=0,n= 0 T>S 否 S=S+5 n=n+2 T=T+n 第1题 2. 执行右边的程序框图,输出的 T= 第2题 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ) 第3题 是

四、 【练习反馈】

输 出 T 结束

3.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4.(1).右面流程图的功能 是 (2).按照该流程图操作后输出 的结果是 ; (3).若将流程图菱形框中条件 改为 ,则操作后输出 的结果为 ; (4).若使最后输出的结果为 720, 则菱形框中的应改为
57



.

五、 【课后作业】 : :P73 2,3

高二数学选修 1-2 第四章《框图》学案

4.2 《结构图》学案
【课标转述】
2.结构图
(1)通过实例,了解结构图;运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息。 (2)结合作出的结构图与他人进行交流,体会结构图在揭示事物联系中的作用。

【学习目标】
1、紧密结合具体实例,从能读懂结构图到能画出结构图; 2、区分好各要素的从属关系或逻辑先后关系,按基本单元或要素(必要时进行细化)画出结构图 3、了解结构图的常见类型:树形、环形以及其它类型的结构图。

【学习流程】 一、 【复习引入】
前面已学过了流程图,可以用来描述具有时间特征的动态过程。本节我们将学习一种描述系统结构的图示——结构 图

二、 【自主学习】 (阅读P74-77)
1、认识结构图——结构图示例P74图 ( 1) 、结构图的作用:梳理知识、整理资料、揭示要素的内在联系 ( 2) 、结构图的构成: 结构图一般由 。 2. 绘制结构图的步骤:
58

( 1) 、先确定组成系统的基本要素,以及这些要素之间的关系; ( 2) 、处理好“上位”与“下位”的关系; “下位”要素比“上位”要素更为具体, “上位”要素比“下位”要素更为抽象。 ( 3) 、再逐步细化各层要素; ( 4) 、画出结构图,表示整个系统。

三、 【例题解析】
结构图题型:题型一、首先要确定组成结构图的基本要素,然后通 过连线来标明各要素之间的从属关系或逻辑的先后关系。 例 1:如上面的基本初等函数的知识结构图。 它反映的是什么关系? 定义

指数函数 图象与函数 整数指数幂

例 2、如右图。 该结构图反映的什么过程? 有理指数幂

例 3、 《数学 3》第二章“统计”知识结构图。 课本 P76 页图 4.2-4 该结构图反映的什么?

无理指数幂

题型二、在结构图中也常出现一些“环”形结构,这种情形常在表达逻辑先后关系时出现。 例如课本 77 页图 4.2-7

题型三、表示一个组织或部门构成,呈“树”形结构。 如:某公司组织结构图课本 77 页图 4.2-8 和图 4.2-9
59

树形结构的优点: 题型四、除了表达知识结构和组织结构,结构图还广泛应用于其它情形,是人们有条理地思考和交流思想的工具。 请同学们谈谈对数列知识的认识,用结构图来表示。

四、 【练习反馈】
(1)画出四种命题的知识结构框图。

(2)画《数学 4(必修) 》第 3 章三角恒等变换的和角、差角、倍角公式结构图

60

五、 【课堂小结】 :
结构图小结: 流程图与结构图的区别:

六、 【课后作业】 :课本 P81 页第 1 题。

选修 1-2〈框图〉测试题
一、选择题 1. 算法的三种基本结构是( )

A 、顺序结构、选择结构、循环结构 B、顺序结构、流程结构、循环结构 C 、顺序结构、分支结构、流程结构、D、流程结构、循环结构、分支结构 2.下图给出的是计算 内应填入的条件是 A.i>10 判断不正确的是 A.画工序流程图类似于算法的流程图。自顶向下逐步细化 在工序 中可以出现循环回路 C. 工序流程图中的流程线表示相邻工序之间的接 结构图中基本要素之间一般为概念的从属关系或逻辑上的先后关系。 的结论正确的是( ) 程序的算法步骤是可逆的 B、一个算法可以无止境地运算下去的 一件事情的算法有且只有一种 D、设计算法要本着简单方便的原则 3.下列

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 的值的一个程序框图,其中 2 4 6 20

判断框

流程图 关系 D. 4.下面 A.一个 C、完成

61

5、给出以下一个算法的程序框图(如 程序框图的功能是( ) a,b,c 三数的最大数

图所示) ,该 A.求输出

B. 求输出 a,b,c 三数的最小数 按从小到大排列

C.将 a,b,c

D. 将 a,b,c 按从大到小排列 5 6 A.m=0 6、右边的程序框图(如图所示) ,能判断任意输入的数 x 的奇偶性:其中判断框内的条件是( D.m=1 7、右边程序运行后的输出结果为( ) A.17

8. 下列哪个不是算法的特征( )

(A)抽象性 (B)精确性

(C)有穷性

(D)惟一性

9. 下列给变量赋值的语句正确的是() (A)3:=a(B)a+1:=a(C)a:=b:=c:=3(D)a:=2b+1

10.阅读下列程序: 输入 x; = if x<0,then y: else if x>0,

?
2

?3;

then y:= ?

?
2

?5;

else y:=0;

输出 y.如果输入 x=-2,则输出结果 y 为() (A) ? ? 5 (B) ? ? ? 3 (C) ? ? ? 5 (D) ? ? 3 (A)3 (B)7

11、在如图所示的算法流程图中,输出 S 的值为() (C)12
62

(D)17

12.程序框图中的判断框,有 1 个入口和( )个出口. (A)1(B)2 二、填空题 13.下面的程序语句执行后的输出是 i=________, j=_________ i=5,j=-2; i=i+j ,j=i+j 答案:i=3,j=1 14. 下 面 是 求 解 一 元 二 次 方 程 请在空和缺的 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的流程图, 填上适当的标注。 (1) (2) (3) 地 方 (C)3 (D)4

15、右流程图表示了

的算法? 是___

16、有如下程序框图(如右图所示) ,则该程序框图表示的算法的功能 ______.

63

三、解答题 17、.(本小题 12 分)给出 30 个数:1,2,4,7,??,其规 第 2 个数比第 1 个数大 1, 第 3 个数比第 2 个数大 2,第 4 个 依此类推.要计算这 30 个数的和, 现已给出了该问题算法的程 示) ,请在图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处填上合适的 该题算法功能; 律是: 第 1 个数是 1, 数比第 3 个数大 3, 序框图(如图所 语句,使之能完成

18、.(本小题 12 分)设计算法求

1 1 1 1 ? ? ??? 的值.要求画出程序框图. 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ? 100
19、.(本小题 12 分)某电信部门规定:拨打市内电话时,如果通话时间不超过 3 分钟,则收取通话费 0.2 元,如果 通话时间超过 3 分钟,则超过部分以每分钟 0.1 元收取通话费(通话不足 1 分钟时按 1 分钟计) ,试设计一个计算 通话费用的算法.要求写出算法,画出程序框图.

64

数 学 选 修 1-2 数 学 测 试 样 题
考试时间:90 分钟
一、选择题: 1.若复数 z ? 3 ? i ,则 z 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ) D.第四象限 )

试卷满分:100 分

2.按流程图的程序计算,若开始输入的值为 x ? 3 ,则输出的 x 的值是( 输入 x 计算 x ?

x( x ? 1) 的值 2

x ? 100?



输出结果 x

否 A. 6 B. 21 C. 156 ) D. 231

3.用演绎法证明函数 y ? x3 是增函数时的小前提是( A.增函数的定义 C.若 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 4.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示: ( )

B.函数 y ? x3 满足增函数的定义 D.若 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 )

? ① ② ③ ) D . 8n ? 2

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( A. 6 n ? 2 B. 8n ? 2 C. 6 n ? 2 5.计算

1? i 的结果是( 1? i A. i

) B. ?i C. 2 D. ?2

6.有下列关系:① 人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系;② 曲线上的点与该点的坐标之间的关系;③ 苹果的 产量与气候之间的关系; ④ 森林中的同一种树木, 其横断面直径与高度之间的关系, 其中有相关关系的是 ( A.① ② ③ B.① ② C.② ③ D.① ③ ④
开始 S=0 A=1



7.求 S ? 1 ? 3 ? 5 ? ? 101 的流程图程序如右图所示, 其中① 应为( ) A. A ? 101? B. A ? 101? C. A ? 101? D. A ? 101?


是 S=S+A A=A+2

否 输出 x 结束

65

8.在线性回归模型 y ? bx ? a ? e 中,下列说法正确的是( A. y ? bx ? a ? e 是一次函数



B.因变量 y 是由自变量 x 唯一确定的 C.因变量 y 除了受自变量 x 的影响外,可能还受到其它因素的影响,这些因素会导致随机误差 e 的产生 D.随机误差 e 是由于计算不准确造成的,可以通过精确计算避免随机误差 e 的产生 9.对相关系数 r,下列说法正确的是( A. | r | 越大,线性相关程度越大 B. | r | 越小,线性相关程度越大 C. | r | 越大,线性相关程度越小, | r | 越接近 0,线性相关程度越大 D. | r |? 1 且 | r | 越接近 1,线性相关程度越大, | r | 越接近 0,线性相关程度越小 10.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤: ①A ? B ? C ? 90? ? 90? ? C ? 180? ,这与三角形内角和为 180? 相矛盾, A ? B ? 90? 不成立;② 所以一个三角形 中不能有两个直角;③ 假设三角形的三个内角 A 、 B 、 C 中有两个直角,不妨设 A ? B ? 90? ,正确顺序的序 号为( A.① ② ③ ) B.③ ① ② C.① ③ ② D.② ③ ① )

11.在独立性检验中,统计量 K 2 有两个临界值:3.841 和 6.635;当 K 2 >3.841 时,有 95%的把握说明两个事件有 关,当 K 2 >6.635 时,有 99%的把握说明两个事件有关,当 K 2 ? 3.841 时,认为两个事件无关.在一项打鼾与 患心脏病的调查中, 共调查了 2000 人, 经计算的 K 2 =20.87, 根据这一数据分析, 认为打鼾与患心脏病之间 ( A.有 95%的把握认为两者有关 C.有 99%的把握认为两者有关 B.约有 95%的打鼾者患心脏病 D.约有 99%的打鼾者患心脏病 )

12.类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可推出空间下列结论: ① 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③ 垂直于同一条直线的两个平面互相平行 A.① ② B.② ③ ② 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 ④ 垂直于同一个平面的两个平面互相平行则正确的结论是( C.③ ④ D.① ④ ) )

? a ( a ? b) 13.若定义运算: a ? b ? ? ,例如 2 ? 3 ? 3 ,则下列等式不能成立 的是( .... ? b ( a ? b)
A. a ? b ? b ? a C. (a ? b)2 ? a2 ? b2 B. (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

D. c ? (a ? b) ? (c ? a) ? (c ? b) ( c ? 0 ) )

14.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , Sn ? n2 an (n ? N* ) ,可归纳猜想出 Sn 的表达式为 ( A.

2n n ?1

B.

3n ? 1 n ?1

C.

2n ? 1 n?2

D.

2n n?2

66

二、填空题: 15.现有爬行、哺乳、飞行三类动物,其中蛇、地龟属于爬行动物;狼、狗属于哺乳动物;鹰、长尾雀属于飞行动 物,请你把下列结构图补充完整. 动物 爬行动物 蛇 狗 狼 飞行动物 鹰 .

16.已知 x, y ? R ,若 xi ? 2 ? y ? i ,则 x ? y ? 17.在等比数列 ?an ? 中,若 a9 ? 1 ,则有 a1 ? a2 ? 等差数列 ?bn ? 中,若 b7 ? 0 ,则有

? an ? a1 ? a2 ?


? a17?n (n ? 17 ,且 n ? N? ) 成立,类比上述性质,在

18.观察下列式子: ? 2 ? 3 , ? 3 ? 4 , ? 4 ? 5 , ? 5 ? 6 , 三、解答题:

2 1

1 1

3 2

1 2

4 3

1 3

5 4

1 4

,归纳得出一般规律为



19. (本小题满分 8 分) 某市居民 1999~2003 年货币收入 x 与购买商品支出 Y 的统计资料如下表所示: 单位:亿元 年份 货币收入 x 购买商品支出 Y 1999 40 33 2000 42 34 2001 44 36 2002 47 39 2003 50 41

(Ⅰ )画出散点图,判断 x 与 Y 是否具有相关关系; (Ⅱ )已知 b ? 0.842, a ? ?0.943 ,请写出 Y 对 x 的回 算出 1999 年和 2003 的随机误差效应.
43 41 2 39 2 37 35 33

Y/亿元

归直线方程,并计

67

31 38 40 42 44 46 48 50 52 x/亿元 2

20. (本小题满分10分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 an ? 2 ? Sn (n ? N? ) . (Ⅰ )求 a1 , a2 , a 3 , a4 的值并写出其通项公式; (Ⅱ )用三段论证明数列 ?an ? 是等比数列.

21. (本小题满分 10 分) 用反证法证明:如果 x ?

1 ,那么 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 . 2

68

69


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