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3.2 第1课时 一元二次不等式及其解法


3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 一元二次不等式及其解法

1.能从实际问题中抽象出一元二次不等式,了解一元二 次不等式的实际背景;

2.正确理解一元二次方程、一元二次不等式和一元二次
函数之间的关系;(重点) 3.掌握一元二次不等式的解法;(难点) 4.会用程序框图表示求一元二次不等式的流程.

上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部
分,因特网服务公司(ISP)的任务就是负责将用户的计 算机接入因特网,同时收取一定的费用.

某同学要把自己的计算机接入因特网.现有两家ISP公司 可供选择.公司A每小时收费1.5元(不足1小时按1小时计 算);公司B的收费原则如图所示,即在用户上网的第1小

时内(含恰好1小时,下同)收费1.7元,第2小时内收费1.6
元,以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小 时,按17小时计算).

一般来说,一次上网时间不会超过17个小时,所以, 不妨假设一次上网时间总小于17小时.那么,一次上网 在多长时间以内能够保证选择公司A的上网费用小于或 等于选择公司B所需费用?

假设一次上网 x 小时,则公司A收取的费用为1.5 x(元),

x(35 - x) (元). 公司B收取的费用为 20
如果能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少,则

x(35 - x) ? 1.5x, 20 整理得 x2 - 5x ? 0. ①

这是一个关于x的一元二次不等式,只要求得满足不等
式①的解集,就得到了问题的答案.

一元二次不等式的概念 不等式 x2 - 5x ? 0 有两个特点: (1)只含有一个未知数x; (2)未知数的最高次数为2.

一元二次不等式的定义:

我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是
2的不等式,称为一元二次不等式.

一元二次不等式的一般表达式为ax2+bx+c>0(a≠0)
或ax2+bx+c<0 (a≠0),其中a,b,c均为常数.

例1

下面哪些是一元二次不等式(其中a、b、c、m为常数)?

(1)x 2 ≥ 0;(2)- x 2 - x ≤ 5;(3)ax 2 + bx + c > 0; (4)x 3 + 5x - 6 > 0; (5)mx 2 - 5y < 0.

紧扣定义

解:(1)(2)是;(3)(4)(5)不是. (3)不是,∵a=0时,不符合定义; (4)不是,x的最高次数是3,不符合定义; (5)不是,m=0时,是一元一次不等式;m≠0时, 是二元二次不等式.

一元二次不等式的解法 怎样求一元二次不等式x2-5x≤0的解集? 画出二次函数 y = x 2 - 5x 的图象. (1) 当 x 取 0或5 时,y=0. 当 x < 0或x > 5 时,y>0. 当
0 < x < 5 时,y<0.

y

y=x2-5x

O

5 x

(2)由图象可知: 不等式 x2 - 5x > 0 的解集为 ?x x < 0或x > 5? ;

不等式 x2 - 5x ? 0 的解集为

?x 0 ? x ? 5?

.
y

所以,当一次上网时间在5小时以内 (含恰好5小时)时,选择公司A的费用 小于或等于选择公司B的费用;超过5小 时,选择公司B的费用少.

O

5 x

2 2 ax + bx + c > 0 或 ax + bx + c < 0(a > 0) 不等式

的解集是什么?

完成下表:
Δ = b2 - 4ac

??0
y

??0
y
O x =x x 1 2

??0
y x

y = ax2 + bx + c
(a > 0) 的图象
方程ax 2 + bx + c = 0 (a > 0)的根
ax 2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集
ax 2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集

x1 O

x2

x

O

有两个不等 实根 x1 < x2

有两个相等 实根 x1 = x2
2

无实根

? x x < x 或x > x ?
1

? b ? x x ≠ ? ? 2a ? ?

R
?

?x x

1

< x < x2 ?

?

例2

求不等式 4x2 - 4x +1 > 0 的解集.

2 解:原不等式可变形为 (2x -1) > 0,

1? ? 所以原不等式的解集为 ? x|x ≠ ? . 2? ?

例3

求不等式 -x2 + 2x - 3 > 0 的解集.

点拨:二次项系数为负数时,先转化为正数再求解.
解:不等式可化为
x2 - 2x + 3 < 0
∵Δ = -8 < 0,

∴方程 x2 -2x +3 = 0 无实数根, 而 y = x2 - 2x +3 的图象开口向上, 所以原不等式的解集为 ?.

例4

求不等式 3x2 + 2x > 2 -3x 的解集.

解:不等式可化为 3x2 + 5x - 2 > 0.
∵ Δ = 49 > 0,

∴方程 3x2 + 5x - 2 = 0 有两个实数根
1 x1 = -2,x 2 = . 3

转化为一般 形式

而 y = 3x2 + 5x - 2 的图象开口向上,
? 1? 所以原不等式的解集为 ? x x < -2或x > ? . 3? ?

解一元二次不等式的一般步骤:
(1)化成不等式的标准形式:
ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0);

(2)求方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0)的根,
2 并画出对应的一元二次函数 y = ax + bx + c(a > 0)

的图象;

(3)由图象得出不等式的解集:

当Δ > 0时,方程ax 2 + bx + c = 0有两个不等的实数根 x1,x( 2 x1 < x 2),
ax2 + bx + c > 0(a > 0)的解集为?x x < x1或x > x2 ?, ax2 + bx + c < 0(a > 0)的解集为?x x1 < x < x 2 ? .

简记为:大于在两边,小于在中间.

下面,我们用一个程序框图把求解一般一元 二次不等式的过程表示出来,请补充完整.

开始
将原不等式化成一般形式 ax 2 ? bx ? c ? 0?(a ? 0)

? =b2 ? 4ac

方程没有实数根, 输出“解集为R”

△≥0?



求方程的两个根x1、x2 是

x1 ? x2 ?
x ? x1


x ? x1或 x ? x2 ? ( x1 ? x2 )

原不等式的解集为? x

?

原不等式的解集为 ? x

结束

1.判断下列式子是否是一元二次不等式.
(1)x 2 - 3x + 5 ≥ 0;(2)x 2 - 9 ≥ 5;(3)3x 2 - 2x > 0; (4)x 2 + 5 < 0; (5)3x + 5 > 0;(6)(x - 2)x ≤ 4.

(5)不是,其他都是.

2.解下列不等式:
(1)x 2 + 4x + 4 > 0; (3)1 - x - 4x 2 > 0; 1 1 (2)( - x)( + x)> 0; 2 3 (4)3x 2 + 5 < 4x.

解:(1)∵Δ= 42 - 4× 1×4 = 0,
2 ∴原不等式可化为 (x + 2) > 0,

所以原不等式的解集为 ?x x≠ -2? .

1 1 (2)不等式可化为 (x - )(x + )< 0, 2 3 1 1 ∴方程(x - )(x + )= 0 有两个实数根 2 3

1 1 x1 = - ,x2 = . 3 2
1 1 而 y =(x - )(x + ) 的图象开口向上, 2 3

? 1 1? 所以原不等式的解集为 ?x - < x < ? . 2? ? 3

(3)原不等式化为 4x2 + x - 1 < 0,
∵Δ= 12 - 4× 4× (-1)= 17 > 0,

∴方程

4x2 + x -1 = 0 有两个实数根

-1- 17 -1+ 17 x1 = ,x2 = 8 8
所以不等式的解集是 {x|
-1- 17 -1+ 17 <x< }. 8 8

(4)原不等式可化为 3x2 - 4x +5 < 0,
2 ∵Δ=(-4) - 4× 3× 5 <0,

所以原不等式的解集是 ?.

1.一元二次不等式的定义; 2.一元二次不等式的解法及步骤; 3.一元二次不等式与一元二次方程、一元二次函数的联系.

只有忠实于事实,才能忠实于真理。
——周恩来


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