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[套卷]河南省名校2015届高三上学期期中考试数学(文)试题


河南省名校 2015 届高三上学期期中考试数学(文)试题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1.在复平面内,复数 Z ? A.第四象限
2 ? i 2015 对应的点位于 3?i



)<

br />
B.第三象限

C.第二象限

D.第一象限 )

1? x? ? 2 2.已知集合 M ? ? x | y ? lg ? , N ? y | y ? x ? 2 x ? 3 ,则 (?R M ) ? N ? ( x ? ?

?

?

A.{x|10<x<1} B.{x|x>1} 3.已知 sin2α=- A.-
1 5

C.{x|x≥2}

D.{x|1<x<2} ) D.
7 5

24 ? ,α∈(- ,0) ,则 sinα+cosα=( 25 4

B.

1 5

C.-

7 5

4.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,f(x)=x- e-x (e 为自然对数的底数) ,则 f (ln 6) 的 值为 A.ln6+6
63 65

( B. ln6-6
63 65



C. -ln6+6
63 65

D.-ln6-6 )
5 13

? 8 ? , a ? b ? ? ?8, 16 ? ,则 a 与 b 夹角的余弦值为( 5.已知向量 a ? b ? ? 2,
A. B. ? C. ? D.

6.执行下图所示的程序框图,会输出一列数,则这 个数列的第 3 项是 A.870 B.30 C.6 D.3 ( )

?? ? ? ? ?? 7.函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ? ? ? 的图象向左平移 个单位后关于原点对称,则函数 f(x)在 ?0, ? 上的 2? 6 ? ? 2?
最小值为( A. ?
3 2

) B. ?
1 2

C.

1 2

D.

3 2

8.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 是( A.2 C.
3 2

x 的值
x


9 B. 2
2 正视图

1 1 侧视图

D.3

9. 已知数列 ?a n ? 为等差数列, ?bn ? 为等比数列,且满足:

俯视图

a1003 ? a1013 ? ? , b6 ? b9 ? 2 ,则 tan
A.1 B. ?1

a1 ? a2015 ?( 1 ? b7 b8

) D.
3

C.

3 3

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ? 10.若点 M( x, y )为平面区域 ? x ? y ? 1 ? 0 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值是( ?x ? 0 ?

)

A.?1 11.已知函数 f ( x) ? ? 值范围是( )

B. ?

1 2

C.0

D.1

? ?sin ? x (0 ? x ? 1) , 若 a、b、c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 a ? b ? c 的取 log x x ? 1 ? ? ? 2014 ?
B. (1,2015) C. (2,2015) D.[2, 2015]

A. (1,2014)

?1 ? 12. 已知定义的 R 上的偶函数 f ? x ? 在 [0,??) 上是增函数, 不等式 f (ax ? 1) ? f ( x ? 2) 对任意 x ? ? ,1? 恒成 ?2 ?

立,则实数 a 的取值范围是( A. ? ?3, ? 1? B. ? ?2, 0?

) C. ? ?5, ? 1? D. ? ?2, 1?

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13.已知 tan(? ? ? ) ? 2 ,则 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos 2 ? ? 3 的值为 14. 设 a 为 g ( x) ? 于 .
2 1 2 xy 取得最大值时, ? ? 的最大值为 x y z z
1? x

?a x , x ? 0, 1? 4 3 ? ?1? ? ,则 f ? ? ? f ? log 2 ? 的值等 x ? 2 x 2 ? 3x ? 1 的极值点,且函数 f ( x) ? ? 6? 3 ?4? ? ? ?log a x, x ? 0,

15.设正实数 x、y、z 满足 x 2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0 ,则当

?1? 16. 设 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数, 且对于 ?x ? R 恒有 f ( x) ? f ( x ? 2) , 已知当 x ? ? 0, 1? 时, f ? x ? ? ? ? ?2?

则 (1) f ? x ? 的周期是 2; (2) f ? x ? 在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;
x ?3

?1? (3) f ? x ? 的最大值是 1,最小值是 0; (4)当 x ? ? 3, 4 ? 时, f ? x ? ? ? ? ?2?

其中正确的命题的序号是 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? cos(2 x ?
4? ) ? 2 cos 2 x. 3

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(1)求 f ( x) 的最大值,并写出使 f ( x) 取最大值时 x 的集合;
3 (2)已知 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若 f (? ? A) ? , b ? c ? 2 , 2

求 a 的最小值.

18. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, Sn ? 2an ? 2 . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn ? log 2 an , cn ? 取值范围.
1 * ,记数列{cn}的前 n 项和 Tn.若对 n?N , Tn ? k ? n ? 4 ? 恒成立,求实数 k 的 bn bn ?1

19. (本小题满分 12 分) 如图所示的多面体中,ABCD 是菱形,BDEF 是矩形, ED?面 ABCD, ?BAD ?

E F

?
3


D A B C

(1)求证: 平面BCF / / 平面AED ; (2)若 BF ? BD ? a,求四棱锥A ? BDEF的体积 .

20. (本小题满分 12 分) 设椭圆 3 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,上顶点为 B.已知|AB|= |F1F2|. 2 2 a b

(1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过原点 O 的直线 l 与该圆相切, 求直线 l 的斜率. 21. (本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? x ? a ( x ? ln x) , x ? 0 , a ? R 是常数.

(1)求函数 y ? f ( x) 的图象在点 1 , f ?1? 处的切线方程; (2)若函数 y ? f ( x) 图象上的点都在第一象限,试求常数 a 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知圆上的 AC ? BD ,过 C 点的圆的切 线与 BA 的延长线交于 E 点. (Ⅰ)求证:∠ACE=∠BCD; (Ⅱ)若 BE=9,CD=1,求 BC 的长. 23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程

?

?

? x ? 5cos ? ? x=t cos ?+m 已知直线 l: ? (t 为参数)恒经过椭圆 C: ? ( ? 为参数)的右焦点 F. ? y ? 3sin ? ? y=t sin ?

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求|FA|·|FB|的最大值与最小值. 24. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | . (1)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ?| a ? 1| 的解集非空,求实数 a 的取值范围.

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? 1 ?????3 分 2 2 3 f ( x) 的最大值为 2 ???????????????4 分

要使 f ( x) 取最大值, cos(2 x ? 故 x 的集合为 ? x x ? k? ?

?
3

) ? 1,2 x ?

?
3

? 2k? (k ? Z )

? , k ? Z ? ???6 分 6 ? 3 ? 1 (2)由题意; f (? ? A) ? ,即 cos(2? ? 2 A ? ) ? . 2 3 2 ? 1 化简得 cos(2 A ? ) ? ????????????????????8 分 3 2 ? ? 5? ? ? ? Q A ? ? 0,? ? ,? 2 A ? ? (? , ) ,只有 2 A ? ? , A ? . ???9 分 3 3 3 3 3 3
在 ?ABC 中,由余弦定理, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos 由 b ? c ? 2 知 bc ? (

? ?

?

?
3

? (b ? c) 2 ? 3bc ???10 分

b?c 2 ) ? 1 ,即 a 2 ? 1 ,????????????11 分 2 当 b ? c ? 1 时, a 取最小值 1. ?????????????12 分
18.解: (1)当 n ? 1 时, a 1 ? 2 ,当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2a n ? 2 ? ( 2a n ?1 ? 2) 即:
an ? 2 ,? 数列 ?a n ? 为以 2 为公比的等比数列 a n ?1
n

? an ? 2n

(2)由 bn=log2an 得 bn=log22 =n,则 cn=

1 1 1 1 = = - , bnbn ?1 n ? n ? 1? n n ? 1

1 1 1 1 1 1 n + - +?+ - =1- = . 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 n n n 1 = 2 ∵ ≤k(n+4),∴k≥ = . (n+1)(n+4) n +5n+4 n+ 4 +5 n ?1 n
Tn=1-

∵n+ ∴

4 4 4 +5≥2 n +5=9,当且仅当 n= ,即 n=2 时等号成立, n n n

1 1 1 ?1 ? ≤ ,因此 k≥ ,故实数 k 的取值范围为 ? , ?? ? 4 9 9 9 ? ? n+ +5 n 19.证明: (1)由 ABCD 是菱形? BC / / AD

? BC ? 面ADE , AD ? 面ADE ? BC / / 面ADE ??????3 分
由 BDEF 是矩形? BF / / DE ? BF ? 面ADE , DE ? 面ADE

? BF / / 面ADE ? BC ? 面BCF , BF ? 面BCF , BC ? BF ? B ?????6 分
(2)连接 AC , AC ? BD ? O 由 ABCD 是菱形,? AC ? BD 由 ED ? 面 ABCD , AC ? 面ABCD

? ED ? AC

? ED , BD ? 面BDEF , ED ? BD ? D
? AO ? 面BDEF ,??????8 分
则 AO 为四棱锥 A ? BDEF 的高 由 ABCD 是菱形, ?BAD ?

?
3

,则 ?ABD 为等边三角形,

由 BF ? BD ? a ;则 AD ? a , AO ?

3 a S BDEF ? a 2 , 2 ,

1 3 3 3 VA? BDEF ? ? a 2 ? a? a 3 2 6
由|AB|= 3 |F F |,可得 a2+b2=3c2. 2 1 2 2 . 2

???????????????12 分

20. 解:(1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c,0). c2 1 又 b2=a2-c2,则 2= , a 2 …………………………………4 分

所以椭圆的离心率 e=

x2 y2 故椭圆方程为 2+ 2=1. 2c c → → 设 P(x0,y0).由 F1(-c,0),B(0,c), 有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c). → → 由已知,有F1P· F1B=0,即(x0+c)c+y0c=0. (2)由(1)知 a2=2c2,b2=c2. 又 c≠0,故有 x0+y0+c=0.① x2 y2 0 0 又因为点 P 在椭圆上,所以 2+ 2=1.② 2c c 4 c 2 由①和②可得 3x0 +4cx0=0.而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=- c.代入①得 y0= , 3 3 4c c? 即点 P 的坐标为? ?- 3 ,3?. 4 c - c+0 +c 3 3 2 2 设圆的圆心为 T(x1, y1), 则 x1= =- c, y1= = c, 进而圆的半径 r= (x1-0)2+(y1-c)2 2 3 2 3 = 5 c. ??????10 分 3

?k?-2c?-2c? ? ? 3? 3? |kx1-y1| 设直线 l 的斜率为 k,依题意,直线 l 的方程为 y=kx.由 l 与圆相切,可得 2 =r,即 k +1 k2+1
= 5 c,整理得 k2-8k+1=0,解得 k=4± 15, 3 所以直线 l 的斜率为 4+ 15或 4- 15.??????12 分

21 解: (1)函数的定义域为 ?x | x ? 0?,

1 f / ( x) ? 2 x ? a (1 ? ) f (1) ? 1 ? a , f / (1) ? 2 ? 2a x 函数 y ? f ( x) 的图象在点 (1 , f (1)) 处的切线为 y ? (1 ? a ) ? (2 ? 2a )( x ? 1) ,
即 y ? (1 ? a )(2 x ? 1) ??????????4 分 (2) ① a ? 0 时,f ( x) ? x , 因为 x ? 0 , 所以点 ( x , x ) 在第一象限, 依题意,f ( x) ? x ? a ( x ? ln x) ? 0
2 2 2

② a ? 0 时,由对数函数性质知, x ? (0 , 1) 时, ln x ? (?? , 0) , a ln x ? (?? , 0) ,从而“ ?x ? 0 ,

f ( x) ? x 2 ? a ( x ? ln x) ? 0 ”不成立
2 ③ a ? 0 时 , 由 f ( x) ? x ? a ( x ? ln x) ? 0 得

1 1 1 1 1 ? ?( ? 2 ln x) , 设 g ( x) ? ?( ? 2 ln x) , a x x x x

g / ( x) ?

x

x ?1 2 ? 3 ln x x3 x (0 , 1)
- ↘

1

(1 , ? ?)

g / ( x)
g ( x)

0
极小值

?


1 1 1 ? ?( ? 2 ln x) ? ?1 , ? 1 ? a ? 0 a x x 综上所述,常数 a 的取值范围 ? 1 ? a ? 0 ??????????8 分 f (e) ? f (1) a (3)计算知 ? e ?1? a ? e ?1 e ?1 f (e) ? f (1) a a 设函数 g ( x) ? f / ( x) ? ? 2 x ? (e ? 1) ? ? e ?1 x e ?1
g ( x) ? g (1) ? ?1 ,从而

a a e(e ? 1) 2 ? a a a (e ? 2) ? (e ? 1) 2 , g (e) ? e ? 1 ? ? ? g (1) ? 1 ? e ? a ? ? e ?1 e ?1 e e ?1 e(e ? 1)
当 a ? e(e ? 1) 或 a ?
2

(e ? 1) 2 时, e?2

g (1) g (e) ? ?

[a (e ? 2) ? (e ? 1) 2 ][a ? e(e ? 1) 2 ] ? 0, e(e ? 1) 2

因为 y ? g ( x) 的图象是一条连续不断的曲线,所以存在 ? ? (1 , e) ,使 g (? ) ? 0 ,即 ? ? (1 , e) ,使

f / (? ) ?


f (e) ? f (1) ; e ?1

(e ? 1) 2 ? a ? e(e ? 1) 2 时, g (1) 、 g (e) ? 0 ,而且 g (1) 、 g (e) 之中至少一个为正,由均值不等式知, e?2

g ( x ) ? 2 2a ?

a ? e2 ?1 , 等 号 当 且 仅 当 x? e ?1

a ? (1 , e) 时 成 立 , 所 以 g ( x) 有 最 小 值 2

m ? 2 2a ?

a ? e 2 ? 1 ? a ? 2(e ? 1) 2a ? (e 2 ? 1) ,且 ? e ?1 e ?1

? a ? 2(e ? 1) 2a ? (e 2 ? 1) ? [ a ? 2 (e ? 1)]2 ? (e ? 1)(e ? 3) m? ? ? 0, e ?1 e ?1

a a ) 或? ? ( , e) ) ,使 g (? ) ? 0 2 2 f (e) ? f (1) 综上所述, ?a ? R ,存在 ? ? (1 , e) ,使 f / (? ) ? ??????12 分 e ?1 ? ,??ABC ? ?BCD .??????(2 分) (22)解: (Ⅰ)? ? AC ? BD
此时存在 ? ? (1 , e) ( ? ? (1 , 又? EC 为圆的切线,??ACE ? ?ABC , ? ?ACE ? ?BCD .?????(5 分) (Ⅱ)? EC 为圆的切线,∴ ?CDB ? ?BCE , 由(Ⅰ)可得 ?BCD ? ?ABC ,??????????????(7 分) ∴△ BEC ∽△ CBD ,∴

CD BC ,∴ BC =3.????????(10 分) ? BC EB

x2 y 2 (23)解: (Ⅰ)椭圆的参数方程化为普通方程,得 ? ?1, 25 9 ? a ? 5, b ? 3, c ? 4, 则点 F 的坐标为 (4, 0) .
? 直线 l 经过点 (m, 0),? m ? 4 .?????????????(4 分)
(Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入椭圆 C 的普通方程,并整理得:

(9 cos 2 ? ? 25sin 2 ? )t 2 ? 72t cos ? ? 81 ? 0 .
设点 A, B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1 , t2 ,则

81 81 ? . ??????(8 分) 2 9 cos ? ? 25sin ? 9 ? 16sin 2 ? 当 sin ? ? 0 时, | FA | ? | FB | 取最大值 9 ;

| FA | ? | FB |?| t1t2 | =

2

当 sin

? ? ?1 时, | FA | ? | FB | 取最小值

81 . ?????????(10 分) 25

24. (Ⅰ)原不等式等价于

3 3 1 ? ? 1 ? ?x ? ?? ? x ? ?x ? ? 或? 2 或? ----3 分 2 2 2 ? ? ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 3 1 3 1 解,得 ? x ? 2或 ? ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? 2 2 2 2 即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} -------------------------------5 分
(Ⅱ)?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) |? 4 ------------------8 分

?| a ? 1 |? 4

? a ? ?3, 或

a?5

------10 分


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