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讲义——抛物线


复习抛物线
(一.)抛物线的定义: 平面内到一个定点 F 和一条直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点 F 叫做抛物线的焦点, 直线 l 叫做抛物线的准线

(二)

抛物线标准方程和几何性质: 标准方程

y 2 ? 2 px ( p ? 0)

y
图形

r />y 2 ? ?2 px ( p ? 0) y

x2 ? 2 py ( p ? 0)

x2 ? ?2 py ( p ? 0)

y

y
O

O

? F

F
x
? F O

?
O

x

x

F

?

x

范围 焦点 准线 对称轴 顶点 离心率

x≥0 , y?R
?p ? ? ,0? ?2 ? p x?? 2

x≤0 , y?R
? p ? ? ? ,0? ? 2 ? p x? 2

y ≥0 , x? R
? p? ? 0, ? ? 2? p y?? 2

y ≤0 , x? R
p? ? ? 0, ? ? 2? ? p y? 2

x轴

y轴

? 0, 0 ?
e ?1

p 的几何意义: 焦准距(焦点到准线的距离) 通径(垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段) : 2p(过焦点最短的弦) (三)直线与抛物线的位置关系

直线

,抛物线



,消 y 得: (1)当 k=0 时,直线 l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点; (2)当 k≠0 时, Δ >0,直线 l 与抛物线相交,两个不同交点; Δ =0, 直线 l 与抛物线相切,一个切点; Δ <0,直线 l 与抛物线相离,无公共点。 (3) 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定) ( 4) 对于抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) , 若直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点, 点 M ( x0 , y0 ) 是弦 AB 的中点,则有 k AB ?
x1 ? x2 2 x0 x0 ? ? (点差法) 2p 2p p
p A( x1 , y1 ) 2

(四)抛物线常见的性质(1)焦半径公式: AF ? x1 ?

(2)焦点弦 AB 的几条性质 x1 x2 ?

p2 4

y1 y2 ? ? p 2

y o

2p p2 S ? 若 AB 的倾斜角为 ? ,则 AB ? ?AOB sin 2 ? 2 sin ?
以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切

A ? x1 , y1 ?
x B ? x2 , y2 ? F

1 1 AF ? BF AB 2 ? ? ? ? AF BF AF ? BF AF ? BF p
(3)若抛物线方程为

y2 ? 2 px( p ? 0) ,过( 2 p ,0)的直线与之交于 A、B 两点,则 OA⊥OB。反

之也成立。

考点一、抛物线的定义及其应用
例 1、设 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点. (1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值; (2)若 B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值. 例 2、(2011·山东高考)设 M( x0, y0 )为抛物线 C: y ?
1 2 x 上一 点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 8

为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)

)

例 3 设圆 C 与圆 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 外切,与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹为(
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆

)

考点二、抛物线的标准方程和几何性质
例 3、抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,经过 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,交 准线于 C 点,点 A 在 x 轴上方,AK⊥l,垂足为 K,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,则△AKF 的面 积是 A.4 B. 3 3 ( C.4 3 ) D.8

例 4、过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A、B,交其准线 l 于点 C,若|BC| =2|BF|,且|AF|=3 则此抛物线的方程为 ( ) 3 9 A.y2= x B.y2=9x C.y2= x D.y2=3x 2 2

考点三、抛物线的综合问题
例 5、 (2011· 江西高考)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点, 斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1, y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;

(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 OC = OA +λ

OB ,求λ 的值.

例 6、(2011·湖南高考)(13 分)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离 的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A,B,l2 与轨迹

C 相交于点 D,E,求 AD

·

EB 的最小值

练习、 1.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3, 则此抛物线的方程 2.已知 F 是拋物线 y2=x 的焦点,A,B 是该拋物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距 离为 3.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积 为 4,则抛物线方程为 4.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F, 准线为 l, P 为抛物线上一点, PA⊥l, A 为垂足. 如果直线 AF 的斜率为- 3, 那么|PF|= 5.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标 为 2,则该抛物线的准线方程为 → → 6.已知以 F 为焦点的抛物线 y2=4x 上的两点 A、 B 满足AF=3FB, 则弦 AB 的中点到准线的距离为________. 7 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程. (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等 于 5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5

8.如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点均在抛物线 E:x2=2py(p>0)上. (1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P, 与直线 y=-1 相交于点 Q.证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点. 9 抛物线 y2=2px 的焦点为 F,点 A、B、C 在此抛物线上,点 A 坐标为(1,2).若点 F 恰为△ABC 的重心, 求直线 BC 的方程 10(2012· 北京高考)在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F, 且与该抛物线相交于 A, B 两点, 其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60° ,则△OAF 的面积为________. 11.过抛物线 y2=4px(p>0)上一定点 M(x0,y0)(y0>0)作两条直线,分别交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2). (1)求该抛物线上纵坐标为 4p 的点到点(p,0)的距离; y1+y2 (2)当 MA 与 MB 的斜率都存在,且 =-2 时,求 MA 与 MB 的斜率之和; y0 (3)证明:直线 AB 不可能平行于 x 轴.


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