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浙江省镇海中学2016届高三5月模拟考试数学(文)试题 Word版含答案


第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.设集合 U ? {?1, ?2, ?3, ?4,0} ,集合 A ? {?1, ?2, 0} , B ? {?3, ?4, 0} ,则 (CU A) ? B ? ( ) B. {?3, ?4} C. {?1, ?2} ) C. sin ? ? 0 D. cos 2? ? 0 ) D. ?

A. {0}

2.若 sin 2? ? 0 ,则( A. cos ? ? 0

B. tan ? ? 0

3.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列命题中,正确的是( A.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? / / ? B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m / / n C.若 m / /? , n / /? ,则 m / / n D.若 m / /? , m / / ? ,则 ? / / ? 4.下列说法正确的是( )

A.命题“ p 或 q ”为真命题,则命题 p 和命题 q 均为真命题 B.命题“已知 A, B 为一个三角形的两内角,若 A ? B ,则 sin A ? sin B ” 的逆命题为真命 题
a b a b C. “若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ”

D. “ a ? 1 ”是“直线 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 2 ? 0 互相垂直”的充要条件 5.函数 f ( x)( x ? R) 是周期为 4 的奇函数,且在 [0, 2] 上的解析式为

? x(1 ? x),0 ? x ? 1 17 41 ,则 f ( ) ? f ( ) ? ( f ( x) ? ? 4 6 ? sin ? x,1 ? x ? 2



A.

7 16

B.

9 16

C.

11 16

D.

13 16

? x ? y ?1 ? 6.已知 x , y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ,且 z ? 2x ? y ? a ( a 为常数)的最大值为 2,则 z 的 ?x ? 1 ?
最小值为( A. )

1 2

B. ?

1 2

C. ?

7 6

D.

7 6

7.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 ,直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,点 P( x0 , y0 ) 在直线 l 上,若存在圆 C 上的 点 Q ,使得 ?OPQ ? 45 ( O 为坐标原点) ,则 x0 的取值范围为(
0



A. [0, ]

6 5

B. [0, ]

8 5

C. [1, ]

8 5

D. [1, ]

6 5

8.设 k , b 均为非零常数,给出如下三个条件: ① {an } 与 {kan ? b} 均为等比数列; ② {an } 为等差数列, {kan ? b} 为等比数列; ③ {an } 为等比数列, {kan ? b} 为等差数列, 其中一定能推导出数列 {an } 为常数列的是( A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ )

非选择题部分 二、填空题(本大题共 7 小题,9~12 小题每题 6 分,其它小题每题 4 分,共 36 分,将答案 填在答题纸上) 9.函数 f ( x) ? 10 x ? 1 的值域是 10.若函数 f ( x) ? a sin( x ? 区间为 . 11.一个几何体的三视图如图所示, (单位: cm )则该几何体的体积是 积是 . lg 5 ? lg 20 的值是 . ;单调增

?

) ? 3 sin( x ? ) 是偶函数,则实数 a 的值为 4 4

?

cm3 ;表面

cm2 .

12.已知正数 x , y 满足 xy ?

x? y ,则 y 的最大值为 x ? 3y

当且仅当

.

13.若函数 f ( x) ?| ln | 3x ?1|| 在定义域的某个子区间 (k ? 1, k ? 1) 上不具有单调性,则实数 k 的取值范围为 14.在 ?ABC 中, AE ? .

??? ?

? ??? ? 2 ???? ??? ? ??? ? 3 ??? AB , AF ? AC ,设 BF , CE 交于点 P ,且 EP ? ? EC , 4 3
.

??? ? ??? ? FP ? ? FB (? , ? ? R) ,则 ? ? ? 的值为

15.某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息: ①题目: “在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 x ? 2 y ? 1 的左顶点为 A ,过点 A 作两条斜
2 2

率之积为 2 的射线与椭圆交于 B, C ,?”

②解: “设 AB 的斜率为 k ,?点 B( 据此,请你写出直线 CD 的斜率为

5 1 ? 2k 2 2k , ) , D(? , 0) ,?” 2 2 3 1 ? 2k 1 ? 2 k
.(用 k 表示)

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中, BC ? 6,| AB ? AC |? 2 . (1)求 ?ABC 三边的平方和; (2)当 ?ABC 的面积最大时,求 cos B 的值. 17. (本题满分 15 分)

??? ? ??? ?

等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2, S6 ? 22 . (1)求 Sn ,并求 Sn 的最小值; (2)若从 {an } 中抽取一个公比为 q 的等比数列 {akn } ,其中 k1 ? 1 ,且 k1 ? k2 ? ? ? kn ? ?,

kn ? N * ,当 q 取最小值时,求 {kn } 的通项公式.
18. (本题满分 15 分)

AB ? 2 ,点 E 是 AB 的中点. 如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,已知 AD ? AA 1 ? 1,
(1)求证: D1E ? A 1D ; (2)求直线 B1C 与平面 DED1 所成角的大小.

19. (本题满分 15 分) 已知抛物线 E : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,定点 M (2,3) 与点 F 在抛物线 E 的两侧,抛物
2

线 E 上的动点 P 到点 M 的距离与到其准线 l 的距离之和的最小值为 10 . (1)求抛物线 E 的方程; (2)设直线 y ?

1 x ? b 与圆 x2 ? y 2 ? 9 和抛物线 E 交于四个不同点,从左到右依次为 2

A, B, C , D , 且 B, D 是与抛物线 E 的交点, 若直线 BF , DF 的倾斜角互补, 求 | AB | ? | CD | 的
值. 20. (本题满分 15 分)

已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 满足 f (0) ? 0 ,对于任意 x ? R 都有 f ( x) ? x ,且

1 1 f (? ? x) ? f (? ? x) ,令 g ( x) ? f ( x)? | ? x ? 1| (? ? 0) . 2 2
(1)求函数 f ( x ) 的表达式; (2)函数 g ( x) 在区间 (0,1) 上有两个零点,求 ? 的取值范围.

参考答案 一、选择题 BBBBC ABD

二、填空题 9. [0, ??) ,1 10. -3, [2k? , ? ? 2k? ]k ? Z 12. 14.

160 3 cm ,32 ? 32 2cm 2 3 2 4 5 ?1 ? k ? ? 或 ? k ? 13. 3 3 3 3k 15. 2k 2 ? 4
11. 三、解答题

1 , x ?1 3 7 5

故 AB ? BC ? AC ? 10 ? 6 ? 16 为定值.
2 2 2

(2)由(1)知: AB ? AC ? 10 ,
2 2

所以 AB ? AC ?

AB 2 ? AC 2 ? 5 ,当且仅当 AB ? AC 时取“=”号, 2
2 , AB ? AC

因为 AB ? AC ? cos A ? 2 ,所以 cos A ? 从而 sin A ? 1 ? cos A ? 1 ?
2

4 . AB ? AC 2
2

?ABC 的面积 S ?

1 1 4 , AB ? AC ? sin A ? AB ? AC ? 1 ? 2 2 2 AB ? AC 2

?

1 1 21 AB 2 AC 2 ? 4 ? 25 ? 4 ? , 2 2 2

当且仅当 AB ? AC 时取“=”号.
2 2 因为 AB ? AC ? 10 ,所以当 AB ? AC 时, AB ? AC ? 5 ,

BC 6 30 ? 故 cos B ? 2 ? . AB 2 5 10
17.(1)设等差数列的公差为 d ,则 S6 ? 6a1 ? 所以 S n ?

n(n ? 5) , 3

1 2 ? 6 ? 5d ? 22 ,解得 d ? , 2 3

因为数列 {an } 是正项递增等差数列,所以 Sn 的最小值为 S1 ? 2 . (2)因为数列 {an } 是正项递增等差数列,所以数列 {akn } 的公比 q ? 1 , 若 k2 ? 2 ,则由 a2 ?

8 4 2 32 a 4 ,得 q ? 2 ? ,此时 ak3 ? 2 ? ( ) ? , 3 3 9 a1 3



32 2 10 ? ( n ? 2) ,解得 n ? ? N * ,所以 k2 ? 2 ,同理 k2 ? 3 ; 9 3 3
n?1

若 k2 ? 4 ,则由 a4 ? 4 ,得 q ? 2 ,此时 akn ? 2 ? 2 另一方面, akn ?



2 2 (kn ? 2) ,所以 ( kn ? 2) ? 2 n ,即 kn ? 3? 2n?1 ? 2 , 3 3
n ?1

所以对任何正整数 n , akn 是数列 {an } 的第 3 ? 2 所以 kn ? 3? 2n?1 ? 2 .

? 2 项,所以最小的公比 q ? 2 .

18.(1)连结 AD1 ,因为 A 1 ADD 1 是正方形,所以 AD 1 ? A 1D , 又 AE ? 面 ADD1 A 1, A 1 D ? 面 ADD 1A 1, 所以 AE ? A1D , 又 AD1 ? AE ? A , AD1 , AE ? 平面 AD1E , 所以 A1D ? 平面 AD1E , 而 D1E ? 平面 AD1E , 所以 D1E ? A 1D . (2)易证,四边形 A 1DCB 1 是平行四边形,所以 A 1D / / B 1C , 则直线 B1C 与平面 DED1 所成角就是直线 A1D 与平面 DED1 所成角, 平面 DED1 交 A1B1 于 F ,过 A 1H ? D 1F , 1作 A

易证: A1H ? 平面 D1DEF ,

?A1DH 就是直线 A1D 与平面 DED1 所成角,
2 AH 1 sin ?A1 DF ? 1 ? 2 ? , A1 D 2 2
所以直线 B1C 与平面 DED1 所成角的大小为 30 . 19.(1)过 P 作 PP 1 ? l于 P 1 |?| PM | ? | PF |?| MF | , 1 ,则 | PM | ? | PP 当 P, M , F 共线时, | PM | ? | PP ( 1 | 取最小值 | MF |? 解得 p ? 6 或 p ? 2 . 当 p ? 6 时,抛物线 E 的方程为 y 2 ? 12 x , 此时,点 M 与点 F 在抛物线 E 同侧,这与已知不符. ∴ p ? 2 ,抛物线 E 的方程为 y 2 ? 4 x . (2) F (1, 0) ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) ,
0

p ? 2)2 ? 9 ? 10 . 2

1 ? ?y ? x ?b 由? ,得 x2 ? (4b ?16) x ? 4b2 ? 0 , 2 2 ? ? y ? 4x
所以 x2 ? x4 ? 16 ? 4b , x2 x4 ? 4b2 ,且由 ? ? 0 得 b ? 2 . 因为直线 BF , DF 的倾斜角互补,所以 kBF ? kDF ? 0 , ∵ kBF ? kDF ?

y2 y y ( x ? 1) ? y4 ( x2 ? 1) , ? 4 ? 2 4 x2 ? 1 x4 ? 1 ( x2 ? 1)( x4 ? 1)
1 2 1 2

∴ y2 ( x4 ?1) ? y4 ( x2 ?1) ? 0 ,即 ( x2 ? b)( x4 ? 1) ? ( x4 ? b)( x2 ? 1) ? 0 ,

1 x2 x4 ? (b ? )( x2 x4 ) ? 2b ? 0 , 2 1 1 4b 2 ? (b ? )(16 ? 4b) ? 2b ? 0 , b ? , 2 2

1 1 ? ?y ? x ? 2 由? 2 2 ,得 5x ? 2 x ? 35 ? 0 , 2 2 ? ?x ? y ? 9
所以 x1 ? x3 ? ?

2 , 5

1 1 | AB | ? | CD |? 1 ? ( x2 ? x1 ) ? 1 ? ( x4 ? x3 ) 4 4
? 5 5 2 36 5 . ( x2 ? x4 ? x1 ? x3 ) ? (14 ? ) ? 2 2 5 5
1 1 ? x) ? f (? ? x) , 2 2

20.(1)∵ f (0) ? 0 ,∴ c ? 0 ,∵对于任意 x ? R 都有 f (? ∴函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? ?

1 b 1 ? ? ,得 a ? b , ,即 ? 2 2a 2

又∵ f ( x) ? x ,即 ax2 ? (b ?1) x ? 0 对于任意 x ? R 都成立, ∴ a ? 0 ,且 ? ? (b ?1)2 ? 0 ,∵ (b ? 1)2 ? 0 ,∴ b ? 1, a ? 1 , ∴ f ( x) ? x2 ? x ; (2)①当 0 ? ? ? 2 时,可知函数 g ( x) 在区间 (0,1) 上单调递增, 又 g (0) ? ?1 ? 0 , g (1) ? 2? | ? ? 1|? 0 ,故函数 g ( x) 在区间 (0,1) 上只有一个零点,

1 1 1 1 ? 1 ,而 g (0) ? ?1 ? 0 , g ( ) ? 2 ? ? 0 , g (1) ? 2? | ? ? 1| , ? 2 ? ? ? 1 ? ?1 ? 1 ,且 (ⅰ)若 2 ? ? ? 3 ,由于 ? ? 2
②当 ? ? 2 时,则

1

?

g(

? ?1
2

)?(

? ?1
2

) 2 ? (1 ? ? ) ?

? ?1
2

?1 ? ?

(? ? 1)2 ?1 ? 0 , 4

此时,函数 g ( x) 在区间 (0,1) 上只有一个零点; (ⅱ)若 ? ? 3 ,由于 个不同的零点, 综上所述,当 ? ? 3 时,函数 g ( x) 在区间 (0,1) 上有两个不同的零点.

? ?1
2

? 1 且 g (1) ? 2? | ? ? 1|? 0 ,此时,函数 g ( x) 在区间 (0,1) 上有两


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