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坐标系与参数方程重点解析与典型例题


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 坐标系与参数方程重点解析与典型例题 作者:车树勤 来源:《中学课程辅导高考版· 学生版》2013 年第 01 期 坐标系与参数方程的主要内容是极坐标和直角坐标的互化,曲线的参数方程与普通方程的 互化,以及参数方程和极坐标的简单应用三部分,下面针对这三部分内容进行透析: 一、坐标系 了解极坐标系;会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置;会进行极坐标和直角坐标的互 化. 特别提醒: 1.平面上任意一点的极坐标不是唯一的; 2.点的直角坐标化为极坐标,通常用如下方法:ρ=x2+y2,tanα=|yx|,α∈(0,π2), 当 θ 在第一、第二、第三、第四象限时,极角 θ 分别取 α、π-α、π+α、2π-α; 3.极坐标方程与直角坐标方程互化要注意其等效性.极坐标和直角坐标互化的前提条件 是:(1)极点与直角坐标系的原点重合;(2)极轴与直角坐标系的 x 轴正半轴重合;(3) 两种坐标系取相同的长度单位.设点 P 的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ),则互 化公式是 x=ρcosθy=ρsinθ 或 ρ2=x2+y2tanθ=yx;若把直角坐标化为极坐标,求极角 θ 时,应注 意判断点 P 所在的象限(即角 θ 的终边的位置),以便正确地求出角 θ,在转化过程中注意不 要漏解,特别是在填空题和解答题中,则更要谨慎漏解. 例 1 取直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,则点 M(-1,-3)的极坐标为 _____________. 分析:把直角坐标化为极坐标主要是求出求出 ρ 与角 θ 即可. 解:利用互化公式,可得 ρ=2,tanα=3,又点 M 是第三象限内的点,可得 θ=43π,故点 M 的极坐标为(2,43π). 点评:可以利用数形结合,直接得出答案;也可以利用互化的公式得出答案但也要注意点 的位置与极角的关系. 例 2 若限定 ρ≥0,0≤θ≤2π,则曲线 ρsinθ=2 与曲线 ρ=4sinθ 的交点的极坐标为 _____________. 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 分析:把极坐标方程化为直角坐标方程,可求出交点的直角坐标,再化为极坐标或联立方 程即可求出 ρ 与角 θ. 解:法一:把两个极坐标方程化为直角坐标方程,可得 y=2 与 x2+(y-2)2=4,利用数形 结合可得到交点坐标为(2,2)和(-2,2),由 ρ≥0 则 ρ=22,由 tanθ=±1,又 0≤θ≤2π, ∴θ=π4 或 θ=3π4.则两曲线交点的极坐标为(22,π4)或(22,3π4). 法二:把 ρ=4sinθ 代入到 ρsinθ=2,注意到 ρ≥0,得到 sinθ=22,从而 θ=π4 或 θ=3π4,再得 到 ρ=22.则两曲线交点的极坐标为(22,π4)或(22,3π4). 点评:本题用了两种解法,化成直角坐标要稍麻烦一点,直接联立方程可以方便的求出 ρ 与角 θ. 二、曲线的极坐标方程 了解曲线的极坐标方程的求法;会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化;了解简 单图形(过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆)的极坐标方程. 特别提醒 1.在极坐标系中,以极点为圆心,r 为半径的圆的极坐标方程是 ρ=r; 2.在极坐标系中,以 C(a,0)(a>0)为圆心,a 为半径的圆的极坐标方程是 ρ=2acosθ; 3.在极坐标系中,以 C(a,π2)(a>0)为圆心,a 为半径的圆的极坐标方程是 ρ=2asinθ; 4.在极坐标系中,θ=α(ρ≥0)

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