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两角和差正余弦公式的证明


两角和差正余弦公式的证明
北京四中数学组 皇甫力超 论文摘要: 本文对两角和差的正余弦公式的推导进行了探讨。 在单位圆的框架下 , 我们得到了和 角余弦公式 ( 方法 1) 与差角余弦公式 ( 方法 2)。 在三角形的框架下 , 我们得到了和角 正弦公式 ( 方法 3 ~11 ) 与差角正弦公式 ( 方法 12,13)。 关键词: 两角和差的正余弦公式 正文: 两角和差

的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。 下面我们就它们的推导证明方 法进行探讨。 由角 , 的三角函数值表示 的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公

式的功能。 换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或方程 , 将 或 根据诱导公式 , 由角 与 , 的三角函数联系起来。 的三角函数。 因此 , 由和角公式容

的三角函数可以得到

易得到对应的差角公式 , 也可以由差角公式得到对应的和角公式。 又因为

, 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦 公式的相互推导。 因此 , 只要解决这组公式中的一个 , 其余的公式将很容易得到。 (一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示 , 和 , 而且角的终边与单位圆的交点坐标可 与 , 的三

以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系 角函数值的等式。 1. 和角余弦公式

(方法 1) 如图所示, 在直角坐标系 角 的始边为 , 交 始边为 , 由两点间距离公式得 于点 A, 终边交 , 终边交

中作单位圆 于点 B; 角

, 并作角 始边为

,

和 , 终边交

, 使

于点 C;角

于点。从而点 A, B, C 和 D 的坐标分别为 , 。

,





注意到

, 因此



注记:这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架 , 利用平面内两点间距离公 式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的 2. 差角余弦公式 仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以 得到我们希望的三角等式。这就是 和 为任意角。

(方法2) 如图所示, 在坐标系 的始边均为 , 交 于点 C, 角 ,

中作单位圆 终边交 。

, 并作角 于点 A,角

和 终边交

, 使角



于点。从而

点 A, B 的坐标为 由两点间距离公式得

。 由余弦定理得



从而有



注记:方法 2 中用到了余弦定理 , 它依赖于 要补充讨论角 和 的终边共线, 以及 大于

是三角形的内角。 因此, 还需 的情形。容易验证 , 公式在以上

情形中依然成立。 在上边的证明中 , 用余弦定理计算 的过程也可以用勾股定理来进行。

(二) 在三角形的框架下推导和差角正弦公式 除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式 , 还可以在三角形中构造和角或差角来 证明和差角的正弦公式。 1. 和角正弦公式 (一)

( 方 法 3) 如图 所 示 , , ,



的 , 则。从而有

边上的高 ,



边 上 的 高 。设

,

,

,



因此

,



注意到 从而有

,

, 整理可得 。

注记:在方法 3 中 , 用 边上高

和与底角

,

相关的三角函数 , 从两个角度来表示

, 从而得到所希望的等式关系。 这一证明所用的图形是基于钝角三角形的 ,

对基于直角或锐角三角形的情形 , 证明过程类似。 利用方法 3 中的图形 , 我们用类似于恒等变形的方式 , 可以得到下面的

( 方法 4) 如图所示 , , , 则



的 。

边上的高 ,



边上的高。 设

注意到

, 则有

,即。

从而有 。 利用正弦定理和射影定理 , 将得到下面这个非常简洁的证法。 注意证明利用的图形框 架与方法 3,4 所用的图形框架是相同的。

(方法 5) 如图所示 , 则有





边上的高。 设

,

,

,。 由正弦定理可得

, 其中 d 为 的外接圆直径。





, 从而有 。 2. 和角正弦公式 ( 二 ) 方法 3,4 和 5 利用的图形框架是将角 , 放在三角形的两个底角上。 如果将这两

个角的和作为三角形的一个内角 , 将会有下面的几种证法 ( 方法 6~11)。

(方法 6) 如图所示 , 作 , , 则

于 D, 交 , ,

外接圆于 E, 连 。



。 设







接 ,





径 ,



d,





, 。

所以有



注意到

, 从而



( 方法 7) 如图所示 , , , 则





边上的高 , 。 设 , 则



边上的高。设

,

,

, 。

,



从而



整理可得



(方法 8) 如图所示 , 作 设 , , 。 ,

于 D, 过 D 作 则 ,

于 F, , 设 ,

于 G。 从 而 ,

所以



注意到

, 则有

。 注记:我们用两种不同的方法计算 法来计算 , 得到了和角的正弦公式。 如果我们用两种方

, 则可以得到和角的余弦公式。 由上图可得 ,

,

从而有 而可得 。

。注意到

, 从

方法 6,7 和 8 都是用角

,

的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段 , 从

而构造出我们所希望的等式关系。

(方法 9 ) 如图所示 , 设 , , , 从而有





边上的高。 设

,

方法 9 利用面积关系构造三角恒等式。下面这两个证法的思路则有所不同。

(方法 10) 如图所示 , 设 , 则

为 , 从而

的外接圆直径 d, 长度为 d。设

,

注记:这一证明用到了托勒密定理:若

和 。

是圆内接四边形的对角线 , 则有

(方法 11) 如图所示 , 则 。 设

为 , 则



边上的高。 设

,

,

方法 10 和 11 将某一线段作为基本量 , 利用与角

,

相关的三角函数表示其它

线段 , 再通过联系这些线段的几何定理 ( 托勒密定理或正弦定理 ), 构造出我们希望的 等式关系。 3. 差角正弦公式 仍然还是在三角形中 , 我们可以在三角形的内角里构造出差角来。 方法 12 和 13 便

是用这种想法来证明的。

(方法 12) 如图所示 , 于 E, 则 ,

。 设

, , 从而有

, 记

, 作

( 方法 13) 如图所示 , , 则 ,



的外接圆直径 , 长度为 d 。设 。 从而

,

方法 12 和 13 的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段 , 借此来构造等式关 系。 很显然 , 在这十二种证法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。 换言之 , 这两种方法中出 现的角 , 是任意角。 而其余方法中 , 角 和 则有一定的限制 , 它们都是三角形 和

的内角 ( 甚至都是锐角 )。 因此 , 对于方法 3~13, 我们需要将我们的结果推广到角

是任意角的情形。 具体而言 , 我们要证明:如果公式对任意 任意角也成立。 容易验证 , 角 和

成立 , 则对

中至少有一个是轴上角 ( 即终边在坐标轴上的角 ), 我们的 和 都是象限角 ( 即终边在坐标系的某一象限中的角 ) 为第二象限角 , 为第三象限角 , 从而有

公式是成立的。 下面证明 , 角 时 , 我们的公式也成立。 不妨设

从而

同理可证, 公式对于象限角 3~13 推导的公式推广到角 ,



的其它组合方式都成立。因此 , 我们可以将方法

是任意角的情形。

两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。 其推导证明对指导学生进行探 究性学习很有帮助。 从上文中可以看到 , 这一探究过程可分为四个步骤: (1) 明确推导证明的目标:构造联系 等式或方程 ; (2) 简化课题:四个公式只要解决一个 , 其余的都可由它推出 ; (3) 解决问题:利用单位圆或三角形作为联系 和 三角函数与 或 和 三角函数与 或 的

的工具 , 寻找我们希望的等式关系 ; (4) 完善解决问题的方法: 考察方法是否有普遍性。 如果普遍性有欠缺 , 可考虑将其 化归为已解决的情形 , 必要时还要进行分类讨论。 参考文献: 1.谷丹:全面数学教育观与知识形成过程的教学——三个教学个案及分析 , 《开放的 视野 , 务实的努力》, 中央民族大学出版社 ,2006 年 3 月第 27 ~32 页。 2. 人民教育出版社中学数学室:全日制普通高级中学教科书 << 数学 ( 第一册 下 )>>( 必修 ), 人民教育出版社 ,2003 年 12 月第 34 ~ 35 页。


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