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人教A版数学选修2-3配套课件:2.1.1离散型随机变量


第二章

随机变量及其分布

2.1

离散型随机变量及其分布列

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离散型随机变量

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离散型随机变量
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1.会分析随机变量的意义,能知道随机变量与函数的区别与联系. 学习目 标 2.能区分离散型与非离散型随机变量,并能举出离散型随机变量的 例子. 3.能理解随机变量所表示试验结果的含义,并恰当地定义随机变量. 重点:1.理解随机变量所表示试验结果的含义. 重点难 点 2.离散型随机变量的概念. 难点:1.随机变量的意义. 2.区分两类随机变量,并能举出离散型随机变量的例子.

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1.随机变量 (1)定义:随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. (2)表示法:随机变量常用字母 X,Y,ξ,η,…表示.

预习交流 1
随机变量与函数有何区别与联系? 提示:联系:两者均是特殊的映射. 区别:随机变量把试验的结果映射为实数,而函数是把一个非空数 集映射到另一个非空数集上.

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2.离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.

预习交流 2
(1)离散型随机变量有什么特点? 提示:①随机变量的取值能一一列出,这是判定随机变量是否为离 散型随机变量的关键. ②离散型随机变量的取值可以是有限个,如取值 1,2,3,…,n;也可以 是无限个,如取值为 1,2,…,n,…. (2)下列不是离散型随机变量的是( A.某水文站观察到一天中长江的水位 B.某立交桥一天经过的车辆数 C.110 报警中心一天内接到的报警电话个数 D.从编号为 1,2,3,4 的卡片中任取一张,取出的卡号 提示:A ).

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一、随机变量的概念
活动与探究 问题:怎样理解随机变量? 提示:随机变量是将随机试验的结果数量化;随机变量的取值对应 于随机试验的某一个随机事件.如:“掷一枚骰子”这一随机试验中所得 点数是一随机变量 ξ,随机变量“ξ=2” x ,即对应随机事件:“掷一枚骰子,出 现 2 点”;而“ξ=3 或 ξ=4”,即对应随机事件:“掷一枚骰子出现 3 点或 4 点”.

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例 1 判断下列各个量,哪些是随机变量,哪些不是随机变量, 并说明理由. (1)北京国际机场候机厅中 2014 年 5 月 1 日的旅客数量; (2)2014 年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间所查酒驾的人数; (3)2014 年 6 月 1 日济南到北京的某次动车到北京站的时间; (4)体积为 1 000 cm3 的球半径长. 思路分析:判断所给的量是否随试验结果的变化而变化,发生变化 的是随机变量.
x

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解:(1)旅客人数可能是 0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此是 随机变量. (2)所查酒驾的人数可能是 0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此 是随机变量. (3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值,是随机的,因此是随 机变量. (4)球的体积为 1 000 cm3 时,球的半径为定值,不是随机变量.

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迁移与应用 1.下列变量中,不是随机变量的是( A.2016 年奥运会上中国取得的金牌数 B.每一年从地球上消失的动物种数 C.2008 年奥运会上中国取得的金牌数 D.某人投篮 6 次投中的次数 答案:C
x

).

解析:选项 A 中由于 2016 年奥运会还没有举行,中国取得多少枚金 牌并不知道,符合随机变量的定义;选项 B 中每一年消失的动物种数,其 结果不知,也符合随机变量的定义;选项 C 中北京奥运会已结束,金牌数 x 是确定的,不是随机变量;选项 D 中某人投篮投中与否在投前并不知道, 其结果是随机的,也是随机变量.

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2.将一枚均匀骰子掷两次,随机变量为( A.第一次出现的点数 B.第二次出现的点数 C.两次出现的点数之和 D.两次出现相同点的种数 答案:C
x

).

解析:A,B,D 中出现的点数虽然是随机的,但是其取值所反映的结果, 都不能整体反映本试验,C 整体反映两次投掷的结果,可以预见两次出
x 现的点数的和是 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 这 11 种结果,但每掷一次之前

都无法确定是哪一个,因此是随机变量.

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在一次随机试验中,随机变量的取值实质是随机试验的结果所对 应的数,且这个数所有可能的取值是预先知道的,但不知道究竟会出现 哪一个值,这便是“随机”的本源.

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二、离散型随机变量的判定
活动与探究 问题:非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别? 提示:非离散型随机变量是指可以取某一区间的一切值的随机变 量,又称为连续型随机变量. 它们的区别在于:离散型随机变量可能取的值为有限个或者说能 x 将它的可能取值按一定次序一一列出,而连续型随机变量可取某一区 间的一切值,无法对其中的值一一列举.

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例 2 指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理 由. (1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔 30 m 有一路灯,将所有路灯进行编 号,其中某一路灯的编号 X; (2)在一次数学竞赛中,设一、 二、 三等奖,小明同学参加竞赛获得的 奖次 X; (3)一天内气温的变化值 X; (4)小张在某比赛中每局所得的分数 X. 思路分析:看一个变量是否为离散型随机变量时,首先明确是否是 随机变量,再看变量的取值是否一一列出.
x

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解:(1)桥面上的路灯是可数的,编号 X 可以一一列出,是离散型随机 变量. (2)小明获奖等次 X 可以一一列出,是离散型随机变量. (3)一天内的气温变化值 X,可以在某区间内连续取值,不能一一列 出,不是离散型随机变量. (4)每局所得的分数 X 可以一一列举出来,是离散型随机变量.

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迁移与应用 1.下面给出四个随机变量: ①高速公路上某收费站在未来 1 小时内经过的车辆数 X; ②一个沿直线 y=x 进行随机运动的质点,它在该直线上的位置 Y; ③某网站未来 1 小时的点击量; ④某人一生中的身高 X. 其中是离散型随机变量的序号为( A.①② 答案:C B.③④ C.①③
x

). D.②④

解析:①收费站在未来 1 小时内经过的车辆数 X 有限且可一一列出, 是离散型随机变量;同理③也是;而②④都是不可一一列出的连续变化 x 的数,不符合离散型随机变量的定义.

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2.下列随机变量中不是离散型随机变量的是 ①某地车展中,预订各类汽车的总人数 X; ②北京故宫某周内每天接待的游客人数; ③正弦曲线上的点 P 到 x 轴的距离 X; ④小麦的亩产量 X; ⑤王老师在一次英语课上提问的学生人数 X. 答案:③④
x

.

解析:③中 X 的值在[-1,1]内取值,不能一一列出,不是离散型随机变 量;④中 X 的值可在某一区间内取值 x ,不能一一列出,不是离散型随机变 量.①②⑤是离散型随机变量.

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判断一个变量是否为离散型随机变量,首先看它是不是随机变量, 其次看可能取值是否能一一列出,也就是说变量的取值若是有限的,或 者是可以列举出来的,就可以视为离散型随机变量,否则就不是离散型 随机变量.

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三、离散型随机变量的取值
活动与探究 例 3 写出下列各随机变量可能取的值,并说明随机变量所 取的值表示的随机试验的结果: (1)在 2014 年北京大学的自主招生中,参与面试的 5 名考生中,通过 面试的考生人数 X; (2)一个袋中装有 2 个白球和 5 个黑球,从中任取 3 个,其中所含白球 的个数 X; (3)一袋中装有 5 只同样大小的球,编号为 1,2,3,4,5.现从该袋内随机 取出 3 只球,被取出的球的最大号码数 X. 思路分析:明确随机变量 X 的意义,写出 X 的所有取值及每个值对 应的试验结果,要列举全面.
x

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解:(1)X 可能取 0,1,2,3,4,5. X=i,表示面试通过的有 i 人,其中 i=0,1,2,3,4,5. (2)X 可取 0,1,2. X=i,表示取出的 3 个球中有 i 个白球,3-i 个黑球,其中 i=0,1,2. (3)X 可取 3,4,5. X=3,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,3;X=4,表示取出的 3 个球的编 号为 1,2,4 或 1,3,4 或 2,3,4;X=5,表示取出的 3 个球的编号为 1,2,5 或 1,3,5 或 1,4,5 或 2,3,5 或 2,4,5 或 3,4,5.

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迁移与应用 1.抛掷两枚骰子,所得点数之和为 ξ,那么 ξ=4 表示的随机试验结果 是( ). A.一枚是 3 点,一枚是 1 点 B.两枚都是 2 点 C.两枚都是 4 点 D.一枚是 3 点,一枚是 1 点或两枚都是 2 点 答案:D
x

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2.写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值和所表 示的随机试验的结果: (1)袋中有大小相同的红球 10 个,白球 5 个,从袋中每次任取 1 个球, 取后不放回,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数; (2)从标有 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片中任取 2 张,所取卡片上的数字之 和. 解:(1)设所需要的取球次数为 X,则 X=1,2,3,4,…,10,11, X=i 表示前 i-1 次取到红球,第 i 次取到白球,这里 i=1,2,…,11. (2)设所取卡片上的数字和为 X,则 X=3,4,5,…,11. X=3,表示取出标有 1,2 的两张卡片; X=4,表示取出标有 1,3 的两张卡片; …… X=11,表示取出标有 5,6 的两张卡片.
x

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解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值 ,以及 其取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对应一个或 多个随机试验的结果,解答过程中不要漏掉某些试验结果.

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1.给出下列四个命题: ①某次数学期中考试中,其中一个考场 30 名考生中做对选择题第 12 题 的人数是随机变量; ②黄河每年的最大流量是随机变量; ③某体育馆共有 6 个出口,散场后从某一出口退场的人数是随机变量; ④方程 x2-2x-3=0 根的个数是随机变量. 其中正确的是( A.1 答案:C 机变量. ). B.2 C.3
x

D.4

解析:①②③是正确的,④中方程 x2-2x-3=0 的根有 2 个是确定的,不是随
x

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2.袋中有大小相同的 5 个球,分别标有 1,2,3,4,5 五个号码,现在在有放回 抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量 X,则 X 所有可能取值的个数是( A.5 答案:B B.9 ). C.10
x

D.25

x 解析:X 的可能取值是 2,3,4,5,6,7,8,9,10, 共 9 个.故选 B.

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3.某班有学生 45 人,其中 O 型血的有 10 人,A 型血的有 12 人,B 型血的 有 8 人,AB 型血的有 15 人,用 0,1,2,3 分别表示 O 型,A 型,B 型,AB 型,现 任抽一人,其血型是随机变量 ξ,则 ξ 的可能取值为 答案:0,1,2,3
x

.

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4.下列随机变量中是离散型随机变量的有 ①某鱼塘所养的鲤鱼中,重量在 2.5 kg 以上的条数 X; ②直线 y=x 上的整点个数 X; ③放学后,小明同学离开学校大门的距离 X; ④网站中,歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数 X. 答案:①②④
x

.

解析:③中距离 X 可取某区间内的任意值,故③中 X 不是离散型随机变
x 量.①②④的 X 可以一一列举,且②中的 X 是无限的.

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5.写出下列各随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值所表示的 随机试验的结果. (1)从一个装有编号为 1 号到 10 号的 10 个球的袋中,任取 1 球,被取出的 球的编号为 X; (2)一个袋中装有 10 个红球,5 个白球,从中任取 4 个球,其中所含红球的 个数为 X. 解:(1)X 的可能取值为 1,2,3,…,10,X=k(k=1,2,…,10)表示取出第 k 号球. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4.X=k x 表示取出 k 个红球,4-k 个白球,其 中 k=0,1,2,3,4.


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