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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第二章精要课件 事件的独立性


2.2.2

2.2.2
【学习要求】
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事件的独立性

1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念. 2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的 实际问题. 【学法指导】 相互独立事件同时发生的概率可以和条件概率对比理解, 事 件独立可以简化概率计算,学习中要结合实例理解.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.2.2

本 课 影响,即 P(B|A)=P(B) .这时,我们称两个事件 A,B 相 时 栏 互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件. 目 开 2.两个相互独立事件都发生的概率,等于 每个事件发生的 关

1.相互独立事件:事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有

概率的积 .即若 A,B 相互独立,则 P(A∩B)=P(A)×P(B) .

3.相互独立的性质 如果事件 A 与 B 相互独立, 那么 A 与 B , A 与 B, A 与
B 也都相互独立.

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2.2.2

探究点一
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相互独立事件的概念

问题 1

3 张奖券只有 1 张能中奖, 名同学有放回地抽取. 3 事

件 A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”,事件 B 为“第 三名同学抽到中奖奖券”,事件 A 的发生是否会影响 B 发 生的概率? 答 因抽取是有放回的, 所以 A 的发生不会影响 B 发生的概率,

事件 A 和事件 B 相互独立.

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问题 2

2.2.2

在问题 1 中求 P(A)、P(B)及 P(AB),观察它们有何

关系? 2×1 2 2 1 答 P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= = . 3 3 3×3 9 P?AB? 1 P(B|A)= = ,即 P(B|A)=P(B). P?A? 3 ∴P(AB)=P(A)P(B).

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问题 3

若 A 与 B 是相互独立事件,则 A 与 B ,A 与 B,A 与

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B 也相互独立吗?(结合问题 1 说明理由) 2×2 4 2 答 P( B )= ,P(A B )= = . 3 3×3 9 P?A B ? 2 ∴P( B |A)= = , P?A? 3
即 P( B |A)=P( B ),A 与 B 相互独立. 同理可证 A 与 B, A 与 B 也相互独立.

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问题 4

互斥事件与相互独立事件有什么区别?

答 两个事件相互独立与互斥的区别: 两个事件互斥是指两个 事件不可能同时发生; 两个事件相互独立是指一个事件的发生
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与否对另一个事件发生的概率没有影响. A,B 互斥,则 P(A∩B)=0;
A,B 对立,则 P(A)+P(B)=1; A,B 相互独立,则 P(A∩B)=P(A)×P(B).

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例1

甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件 A:“甲击 B.互斥但不相互独立 D.既不相互独立也不互斥

中目标”, 事件 B: “乙击中目标”, 则事件 A 与事件 B( A ) A.相互独立但不互斥
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C.相互独立且互斥

解析 对同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影 响的,所以事件 A 与事件 B 相互独立; 对同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说 事件 A 与事件 B 可能同时发生,所以事件 A 与事件 B 不是互 斥事件.

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小结
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有三种方法判断两事件是否具有独立性

(1)定义法:直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)公式法:检验 P(AB)=P(A)P(B)是否成立. (3)条件概率法:当 P(A)>0 时,可用 P(B|A)=P(B)判断.

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跟踪训练 1 已知下列各对事件:

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(1)甲组 3 名男生,2 名女生;乙组 2 名男生,3 名女生.今从 甲、乙两组中各选一名同学参加游园活动.“从甲组中选出一
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名男生”与“从乙组中选出一名女生”. (2)一盒内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球. “从 8 个球中任 取 1 个,取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取 1 个, 取出的仍是白球”. (3)一筐内有 6 个苹果和 3 个梨, “从中任取 1 个, 取出的是苹 果”与“取出第一个后放回筐内,再取出 1 个是梨”. 其中为相互独立事件的有 A.(1)(2) C.(2) B.(1)(3) D.(2)(3) ( B )

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探究点二 例2 相互独立事件同时发生的概率

2.2.2

某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以

获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次 抽奖方式相同的兑奖活动. 如果两次兑奖活动的中奖概率都
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是 0.05,求两次抽奖中以下事件的概率: (1)都抽到某一指定号码; (2)恰有一次抽到某一指定号码; (3)至少有一次抽到某一指定号码.

解 设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件 A,“第二次 抽奖抽到某一指定号码”为事件 B,则“两次抽奖都抽到某一 指定号码”就是事件 AB.

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2.2.2

(1)由于两次抽奖结果互不影响, 因此事件 A 与 B 相互独立. 于 是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.002 5.
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(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A B )∪( A B)表示.由于事件 A B 与 A B 互斥,根据概率的加法公式和相 互独立事件的定义可得,所求事件的概率为 P(A B )+P( A B)=P(A)P( B )+P( A )P(B)
=0.05×(1-0.05)+(1-0.05)×0.05=0.095.

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(3)方法一

2.2.2

“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用

(AB)∪(A B )∪( A B)表示.由于事件 AB,A B 和 A B 两两互斥, 根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得, 所求事件的概
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率为 P(AB)+P(A B )+P( A B)=0.002 5+0.095=0.097 5.
方法二 1-P( A B )=1-(1-0.05)2=0.097 5.
小结 求 P(AB)时注意事件 A、B 是否相互独立,求 P(A∪B) 时同样应注意事件 A、B 是否互斥,对于“至多”,“至少” 型问题的解法有两种思路:①是分类讨论;②是求对立事件, 利用 P( A )=1-P(A)来运算.

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1 1 跟踪训练 2 甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为 、 .求: 3 4 (1)两个人都译出密码的概率; (2)两个人都译不出密码的概率;
本 课 (4)至多一人译出密码的概率; 时 栏 (5)至少一人译出密码的概率. 目 开 解 记事件 A 为“甲独立地译出密码”,事件 B 为“乙独立地译 关 出密码”.

(3)恰有一人译出密码的概率;

1 1 1 (1)两个人都译出密码的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=3×4=12. (2)两个人都译不出密码的概率为 P( A B )=P( A )P( B ) ? 1?? 1? 1 =[1-P(A)][1-P(B)]=?1-3??1-4?=2. ? ?? ?

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2.2.2

(3)恰有一人译出密码分为两类:甲译出乙译不出;乙译出甲译不 出,即 A B + A B,
∴P(A B + A B)=P(A B )+P( A B)
本 1? ? 1? 1 5 1 ? 课 时 =3×?1-4?+?1-3?×4=12. ? ? ? ? 栏 目 (4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码, 开 关 ∴1-P(AB)=1- 1 =11.

=P(A)P( B )+P( A )P(B)

12

12

(5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码, 1 1 ∴1-P( A B )=1-2=2.

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探究点三 例3 综合应用——系统可靠性问题

2.2.2

在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关,只要其

中 1 个开关能够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间 内每个开关能够闭合的概率都是 0.7,计算在这段时间内线
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路正常工作的概率. 解 如图所示,记这段时间内开关 JA,JB,
JC 能够闭合为事件 A、B、C.
由题意,这段时间内 3 个开关是否能够闭合 相互之间没有影响,根据相互独立事件的概 率公式,这段时间内 3 个开关都不能闭合的 概率是
P( A · · )=P( A )P( B )P( C )=[1-P(A)][1-P(B)]· B C [1-P(C)] =(1-0.7)(1-0.7)(1-0.7)=0.027.

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于是这段时间内至少有 1 个开关能够闭合, 从而使线路能够正 常工作的概率是 1-P( A · · )=1-0.027=0.973. B C
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即这段时间内线路正常工作的概率是 0.973.
小结 (1)解答此类题目时,先分析给的元件间是串联、并联还 是串并联混合关系,在此基础上结合事件的相互独立性及互斥 事件、对立事件的有关知识依据“串联通易求,并联断易求” 的原则,给予解答. (2)有的事件正面情况较繁,可以从其对立事件入手解决.

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跟踪训练 3

2.2.2

(1)如图(1)添加第四个开关 JD 与其他三个开关串

联,在某段时间内此开关能够闭合的概率也是 0.7,计算在这 段时间内线路正常工作的概率. (2)如图(2)两个开关串联再与第三个开关并联,在某段时间内
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每个开关能够闭合的概率都是 0.7,计算在这段时间内线路正 常工作的概率.

(1)

(2)

解 (1)[1-P( A B C )]· P(D)=0.973×0.7=0.681 1.

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(2)方法一

P(A B C)+P( A BC)+P( A B C)+P(ABC)+

P(AB C )=P(A)P( B )P(C)+P( A )P(B)P(C)+P( A )· B )P(C) P( +P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P( C )=0.847.
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方法二

分析要使这段时间内线路正常工作只要排除 JC 开且

JA 与 JB 至少有 1 个开的情况.则 1-P( C )[1-P(AB)]=1- 0.3×(1-0.72)=0.847.

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2.2.2

1.坛子中放有 3 个白球,2 个黑球,从中进行不放回地取球 2
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次,每次取一球,用 A1 表示第一次取得白球,A2 表示第二 次取得白球,则 A1 和 A2 是 A.互斥的事件 C.对立的事件 B.相互独立的事件 ( D )

D.不相互独立的事件 3 2 1 解析 ∵P(A1)= .若 A1 发生了,P(A2)= = ;若 A1 不发生, 5 4 2 3 P(A2)=4,即 A1 发生的结果对 A2 发生的结果有影响,

∴A1 与 A2 不是相互独立事件.

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2.2.2

2.甲、乙两人独立地解决同一问题,甲解决这个问题的概率 是 p1,乙解决这个问题的概率是 p2,那么恰好有 1 人解决 这个问题的概率是
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( B) B.p1(1-p2)+p2(1-p1) D.1-(1-p1)(1-p2)

A.p1p2 C.1-p1p2

解析
斥的.

恰好有 1 人解决可分为:

甲解决乙没解决、甲没解决乙解决.这两个事件显然是互

所以恰好有 1 人解决这个问题的概率为:p1(1-p2)+p2(1 -p1).故选 B.

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2.2.2

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1 3.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码,分别译出的概率为 , 5 1 1 , ,则此密码能译出的概率是 ( C ) 3 4 1 2 3 59 A. B. C. D. 60 5 5 60 解析 用 A、B、C 分别表示甲、乙、丙三人破译出密码, 1 1 1 则 P(A)=5,P(B)=3,P(C)=4, 4 2 3 2 且 P( A · · )=P( A )· B )· C )= × × = . B C P( P( 5 3 4 5 2 3 ∴此密码被译出的概率为 1- = . 5 5

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1 4.有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是 ,乙能 2 1 解决的概率是 ,2 人试图独立地在半小时内解决它,则两人 3 2 1 本 都未解决的概率为______,问题得到解决的概率为_______. 3 3 课
时 栏 目 开 关

解析

? 1?? 1? 1 2 1 都未解决的概率为?1-2??1-3?= × = . ? ?? ? 2 3 3

问题得到解决就是至少有 1 人能解决问题, 1 2 ∴P=1- = . 3 3

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2.2.2

一般地,两个事件不可能既互斥又相互独立,因为互斥事件不 可能同时发生,而相互独立事件是以它们能够同时发生为前
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提.相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的 积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的.(列表比较) 互斥事件 定义 概率 公式 P(A∪B)=P(A)+P(B) P(A∩B)=P(A)×P(B) 事件 相互独立事件 发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个 事件 A 是否发生对事件 B


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